ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЛУЖДАНИЙ ПО ПОЛУМАРКОВСКОМУ ПРОЦЕССУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА

ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.837

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЛУЖДАНИЙ ПО ПОЛУМАРКОВСКОМУ ПРОЦЕССУ

Е.В. Ларкин

Исследуется проблема практического расчета временных характеристик блужданий по полумарковским процессам. Показано, что практический расчет сводится к решению двух типов задач: определение временного интервала блуждания от одного состояния до другого и определение временного интервала возврата в состояние. Получены зависимости для решения указанных задач с использованием операций формирования характеристической матрицы, возведения характеристической матрицы в степень, выделения элемента матрицы и определения плотности распределения по характеристической функции. Показано, что зависимости сложны для алгоритмизации. Получены формулы для прямого расчета математических ожиданий и дисперсий с использованием введенной операции свертки числовых характеристик полумарковских матриц. Показано, что и в этом случае расчет числовых характеристик сложен в реализации. Предложены алгоритм и система математических выражений для последовательного упрощения полумарковского процесса, позволяющего сократить вычислительную сложность анализа.

Ключевые слова: полумарковский процесс, числовые характеристики, характеристическая функция, свертка, рекурсивная процедура.

1. Введение. Полумарковские процессы [1, 2, 3, 4] являются основным математическим аппаратом, с помощью которого могут быть рассчитаны временные характеристики выполнения мобильными робототехниче-скими комплексами целевых задач [5, 6, 7]. Вместе с тем, последовательность операций, выполняемых мобильными роботами при достижении цели, может быть обставлена проверкой множества условий, проверка которых приводит к усложнению циклограмм управления мобильными роботами и их элементами [8, 9], а следовательно, к усложнению задачи расчета временных характеристик. В самом общем случае структура полумарковского процесса, описывающего циклограмму, представляет собой полный ориентированный граф с петлями, задача определения временных ха-

3

рактеристик блуждания по которому является далеко нетривиальной задачей. Вместе с тем, для оценки ряда параметров управления достаточно рассчитать основные числовые характеристики плотности распределения времени блуждания, такие, как математическое ожидание и дисперсия. Методики расчета, пригодные для алгоритмизации в настоящее время распространены недостаточно широко, что обусловило актуальность и релевантность настоящей работы.

2. Полумарковская матрица и ее производные

Полумарковский процесс [1, 2, 3, 4] определяется полумарковской матрицей

Н( )=[/у п ()], (1)

где Ьт п (()= ртп • /тп (() - взвешенная плотность распределения полумарковской матрицы; 1 < т, п < N; рт п - элемент стохастической матрицы; /т п (() - элемент матрицы плотностей распределения;

р = 1_Рт, п .1; (2)

/ (( )=/т, п (( )]• (3)

Будем считать, что состояния полумарковского процесса разделяются на поглощающие и непоглощающие, полупоглощающие состояния отсутствуют.

Для непоглощающих состояний справедливы следующие свойства:

N

I Рт,п = 1; 0 < ^[/т(ъ\п(ъ)()]<~ДЙ< «й< N(х) (4)

п=1

Для поглощающих состояний справедливы следующие свойства:

N

I Рт,п = 0 ; /т(х),п(х)() = ^ п № - Тщп)] 1(х) < п < N, (5)

п=1

где - Ттп) - 8-функция Дирака.

Основной задачей определения параметров блуждания по полумарковской цепи является задача определения взвешенной плотности распределения времени блуждания из состояния т в состояние п. Эта задача может быть решена только для случая, если т - непоглощающее состояние. Единственным ограничением на траектории при определении времени блуждания является то, что в ни в состояние т, ни в состояние п процесс не должен попадать дважды. Для того, чтобы удовлетворить этому ограничению состояние т должно получить статус стартового, а состояние п -статус поглощающего. Для этого из полумарковской матрицы Н() должны быть удалены ссылки на состояние т во всех строках, матрицы, а из строки, определяющей состояние п должны быть удалены все ссылки на все состояния матрицы !г(), т.е. должны быть обнулены т-й столбец и п -я строка. Обозначим указанное преобразование следующим образом

//( Н\г) (6)

Для того чтобы получить требуемую плотность распределения, необходимо стохастически просуммировать плотности распределения, которые поучаются при блужданиях по всем возможным траекториям

и ()=г т . т-\

пш, п\Ч ^

Е )]}к

к=1

с

1п, (7)

где 1т - вектор-строка, т -й элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю; с 1п - вектор-столбец, п -й элемент которого

равен единице, а остальные элементы равны нулю; Ь[...] и Ь 1[...] - соответственно, прямое и обратное преобразование Лапласа, вводимое для того, что бы заменить операцию матричной свертки на операцию перемножения характеристических матриц, формируемых из //(().

Полумарковский процесс //(() описывается матрицей (1) самого общего вида, поэтому в матрице // ((), сформированной в результате выполнения операции (6) могут быть другие поглощающие состояния, кроме искусственно созданного состояния п. Из этого следует, что не все траектории блуждания по комплексному полумарковскому процессу, которые начинаются в состоянии т, оканчиваются в состоянии п. Это, в свою очередь, означает, что группа событий достижения состояния п из т не является полной, а следовательно, в общем случае Итп (() имеет характер

взвешенной, а не чистой плотности распределения. Вероятность и чистая плотность распределения времени достижения п из т определяется как

Рщ п = I ит, п((; (8)

0

дль^. (9)

рт, п

Другой характеристикой блуждания по полумарковскому процессу (1), требующей несколько иного подхода, чем вышеизложенный подход, является время и вероятность возвращения процесса в состояние т . т -е состояние разделяется на два: т(Ь) и т(а). Состоянию т(Ь) придается статус стартового, а состоянию т(а) - статус поглощающего. С учетом того, что при блужданиях процесс не должен попадать ни в состояние т(Ь), ни в состояние т(а) дважды, матрица (1) должен быть преобразована следующим образом:

в матрицу должны быть добавлены одна строка и один столбец, и таким образом она увеличивается в размере с N х N до [Ы +1] х [Ы +1];

за состоянием т следует закрепить статус стартового, а за состоянием N +1 - статус поглощающего, т.е.

5

т = ю(Х, Ь); N +1=ю(Х, а); (10)

столбец матрицы к(() с номером т должен быть перенесен столбец с номером N +1, а сам столбец с номером т должен быть заполнен нулями;

добавленная строка с номером N +1 должна быть заполнена нулями.

Таким образом, выполняется преобразование

к(( Ы(() (11)

Временной интервал возврата полумарковского процесса в состояние т(Е) определяется по зависимости, аналогичной (7)

и' (()=г т . т-1

Е №'( )]}к

к=1

•С ^+1, (12)

Г т

где Iт - вектор-строка, т -й элемент которого равен единице, а осталь-

ные элементы равны нулю; 1п - вектор-столбец, (N + 1)-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.

Не все траектории блуждания по комплексному полумарковскому процессу, которые начинаются в состоянии т , оканчиваются в состоянии N +1, поэтому

Рт,т = |ит,т (()( ; (13)

0

тт (()= ^. (14)

рт, т

Из (9) и (14) могут быть получены числовые характеристики соответствующих плотностей распределения, а именно, математические ожидания и дисперсии:

Тт,п = |( • !т,п (()( ; ^т,п = |(( — Тт,п ^ • /т,п (()(; (15)

00

Тт,т = |( /т,т (()( ; ^т,т = |(( Тт,т ) • /т,т (()(, (16)

00 где Гт п, В'т п - математическое ожидание и дисперсия плотности распределения времени блуждания из состояния т в состояние п; Тт т, £>т т -

математическое ожидание и дисперсия плотности распределения времени возврата в состояние т

Полученные зависимости слабо поддаются алгоритмизации, поскольку предусматривают сначала аналитические преобразования математических выражений, а потом - собственно расчет основных числовых характеристик плотностей распределения. Поэтому для решения задач ана-

лиза временных и вероятностных характеристик систем блуждания по полумарковским процессам целесообразно получение математических выражений, которые позволяют напрямую рассчитывать основные числовые характеристики соответствующих плотностей распределения с использованием стохастической матрицы (2):

матрицы математических ожиданий [10, 11]

Т =

I п ( №

(тТт, п )

и матрицы диспе

В =

рсий [10, 11]

I(( — Тт, п ) 1т, п ((

((т,п )

(17)

(18)

3. Прямой расчет числовых характеристик

Вычленим из (7) и (12) операцию свертки двух полумарковских

матриц

Асф(() = Аа (() * Ар(() = Ь~1 [{(()] • ¿[р(()

X (р т,/ • Я/, п

(19)

где Аа(( ) = \Рт,/!т,/ (( )], Ав(( )=[Ят,/ёт,/ (( ?

Из (19) могут быть получены операции свертки числовых характеристик полумарковских матриц

Тав= Та * Тр= ]г •[( )* /|р()]

(20)

г т

Вав= Ва * Вр = {г2 • [ () * Ар ()] - Тар ® Т(

ар

(21)

0

С использованием операций (20) и (21) из (7) и (12) могут быть получены выражения для прямого расчета следующих числовых характеристик:

вероятности достижения состояния п из состояния т и вероятности возврата в состояние т при блужданиях -

рт

' =Г1

пт

X (р?

к=1

•сI • Х Р' =гI п т, т т

к

X (/)

к=1

•с I

N+1

(22)

взвешенное математическое ожидание времени достижения п из т и возврата в т -.

Т'

т

(X), п(Х?

т

X И

к=1

Л*к

с г т'

п т, т

т

х И

к=1

\*к // \ Л

•с I

N+1

(23)

г

г

взвешенная дисперсия времени достижения п из т и возврата в т -

7

В =Г1 •

Е И

к=1

Л*к

С1 • В" :

п ш, ш

I .

ш

Е И

к=1

\*к // \ л

• Iп(х)+1; (24)

чистое математическое ожидание времени достижения п из ш и возврата в ш -

Т'

ш, п

Т ш, п

Е /

рш,п

Т

ш, ш

грГГ

Тш, ш //

рш, ш

чистая дисперсия времени достижения п из ш и возврата в ш

В

В = ш, п Вш, п =

Е '

Рш, п

Е В ш, ш

В" №

Рш, ш

где

Т = Т ® р ; Т = Г" ® р'; Я' = Я' ® р'; Я' = Я" ® р';

)*к = )*к 1 * т' . (тт')*к = (*)*к 1 * т' .

*л*к-1

п \ л

-1

(/)')*к = (я')*к 1* Я'; И*к = Я')*к * Я'

;Л*к-1

// \ л

*Л> \ Л

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

Полученные в п. 3 формулы для прямого расчета вероятностных и временных параметров блуждания по комплексному полумарковскому процессу позволяют существенно упростить анализ циклограмм управления мобильными роботами, но все-таки достаточно сложны для их реализации на ЭВМ. Кроме того, в эти выражения входят возведение числовых матриц в степень, причем показатель степени теоретически может возрастать до бесконечности, и поэтому всегда существует проблема назначения к для остановки процедуры расчета. Существенно упростить процедуру расчета можно, если применить метод последовательных упрощений.

4. Метод последовательных упрощений

Для реализации рекурсивной процедуры введем три элементарных операции упрощения, показанные на рис. 1, а именно [12],

a) объединение последовательно расположенных состояний;

b). объединение параллельных переключений;

c) ликвидация циклов.

Пересчет математических ожиданий, дисперсий и вероятностей производится по следующим зависимостям.

Для случая а)

Т п-1

Тш,п = П рк ,к+1

к=ш

^ш,п(() = ^

иФк ,к+1(()

к=ш

Т п-1 Т п-1

Тш, п = Е Тк, к+1 ; п = Е Вк, к+1 .

к=ш к=ш 8

Т

Для случая Ь)

Р К ~ К

рт,п = Х рт,п,к ; Ат,п ((? = Х Ат,п,к ((); к=1 к=1 к х ( 2

Х рт,п,к • £т,п,к + Тт,п,к к=1

X Р • Т

т, п, к т, п, к

к=1

т, п

£

т, п

рт, п Для случая с)

Р = рт, п рт,п = 1+ ' "т,п

1 + рт, т

рт,

п

Ат,п (( ? = ^

г I • X {¿[Ас ()]}к •cI к=1

т = т +

т, п т, п

т

± г

т, т

рт,

т

1 - Рт.

т

£ = ^ + £т,т ' рт,т + Тт,т ' рт,т £т, п = £т, п + ^ + "7 \2"

где Ас =

Ат,т ((? Ат,п ((?

0

0

; й I =

1 рт, т (0) •

( рт,т ?

Тт,п • (31)

(32)

Рис. 1. Операции упрощения

Метод последовательных упрощений полумарковского процесса предполагает последовательную ликвидацию состояний, начиная с ^го, и кончая заданным, например, (Б - 1)-м.

Пусть в результате предыдущих преобразований были ликвидированы состояния с ^го по Б-е, т.е. полумарковский процесс (1) был упрощен до процесса, включающего Б состояний, описываемого матрицей

9

Бк(() размером Б х Б. Первой процедурой упрощения является ликвидация петли на состоянии Б. Для этого могут быть использованы зависимости (32), принимающие вид

Б Р

Б ~ рБ,п . р (Л г-1

РБ, п "

1+ БРБ, Б

; р, п (()=£

К (()]

• Iс

Б ~ Б п~> . ТБ,п- ТБ,п +

Б

т Б+у

к-1 РБ, Б

1-БРБ, Б

Бл Бл + Б°Б, ББрБ , Б + БтБ, ББрБ, Б лБ,п - лБ,п +——-+

1- Б+УрБ+уБ+у (1- , б

^Б, Б(() %, п(()' 0 0 ,

Следующей операцией рекурсивного цикла является расщепление

состояния Б на (Б -1)2 (рис. 2).

Состояние Б (обведено штрихпунктирной линией) сначала разбивается на множество состояний {(Б,1),..., (Б,п),..., (Б,Б -1)} (каждое обведено

штриховой линей), а затем состояния Б, п, 1 < п < Б - 1 разбиваются на множества {(Б,п,1),..., (Б,п,п),..., (Б,п,Б -1)}. Для того, чтобы обеспечить эквивалентность преобразований, вероятности, взвешенные плотности распределения, математические ожидания и дтисперсии должны быть пересчитаны в соответствии с зависимостями (30):

рп, т - БРп, Б -Б+]РБ, т, &п, т(() - [4^, Б(()\ • 4БрБ, т (()

(33)

Б

где Нс

Б

Тп, т (()-% б + БТб , т; т (()- б + БЛб , т 1 < т < Б - 1. (34)

Далее по зависимостям (31) должны быть пересчитаны вероятности, взвешенные плотности распределения и их числовые характеристики для полумарковского процесса с Б - 1 состояниями:

Б

Б-1 _ - БР + Р . Б-1 рп, т - рп, т + рп,т;

^п,т - ^п,т(() + ^п,т(();

Б-1Т - рп Тп, т

т • Тп, т + рп, т ' Тп, т

Б

рп, т + р п,

т

Б-1

Б

л

Рп,

т

• (Бд

п, т

+ Тп,т )+ рп,т (лп,т + Т

, )

,т Б-1

п, т

Б

рп, т + р п.

п,т) Б-1Т2 (35)

Тп,т (35)

т

Рекурсивная процедура повторяется от £ = N до требуемого состояния. В результате рекурсивной процедуры рассчитываются элементы: стохастической матрицы, полумарковской матрицы, матрицы математических ожиданий и матрицы дисперсий для полумарковского процесса самого общего вида. Для упрощения исходного полумарковского процесса, включающего N состояний, до полумарковского процесса, включающего два состояния, требуется всего N-2 цикла рекурсии, при этом в ряде практических случаев пересчет плотностей распределения можно не проводить, ограничившись пересчетом только вероятностей, математических ожиданий и дисперсий.

5. Заключение

Таким образом, общий метод расчета вероятностных и временных характеристик блуждания по полумарковскому процессу сложен и слабо поддается алгоритмизации. Для расчет числовых характеристик он может быть заменен на метод оценки только числовых характеристик с использованием операции свертки числовых характеристик полумарковских матриц. Для процессов, характеризующихся полумарковскими матрицами большой размерности, рекомендуется использовать метод последовательных упрощений с поэтапным понижением размерности матрицы и рекурсивным пересчетом значений элементов стохастической матрицы, матрицы математических ожиданий и матрицы дисперсий.

11

Список литературы

1. Jiang Q., Xi H.-S., Yin B.-Q. Event-driven semi-Markov switching state-space control processes // IET Control Theory & Applications, 2012. Vol. 6. Iss. 12. P. 1861 - 1869.

2. Yang T., Zhang L., Yin X. Time-varying gain-scheduling-error mean square stabilisation of semi-Markov jump linear systems // IET Control Theory & Applications, 2016. Vol. 10. Iss. 11. P. 1215 - 1223.

3. Korolyuk V., Swishchuk A. Semi-Markov random evolutions. Springer-Science+Buseness Media, 1995. 309 p.

4. Limnios N., Swishchuk A. Discrete-Time Semi-Markov Random Evolutions and their Applications // Adv. in Appl. Probab, 2013. V. 45. N. 1. P. 214 - 240.

5. Larkin E.V., Ivutin A.N., Kotov V.V., Privalov A.N. Semi-Markov Modeling of Command Execution by Mobile robots // Interactive Collaborative Robotics (ICR 2016) Budapest, Hungary, Lecture Notes in Artifical Intelligence. Subseries of Lecture notes in Computer Science. Springer, 2016. P. 189 - 198. DOI 10.1007/978-3-319-43955-6.

6. Larkin E.V., Kotov V.V., Kotova N.A., Antonov M.A. Data Buffering in Mobile Robot Control Systems // 4-th International Conference on Control, Automation and Robotics (ICCAR). Auckland, New Zealand: Conference Proceedings 2018. P. 50 - 54. DOI: 10.1109/ICCAR.2018.8384643.

7. Larkin E.V., Ivutin A.N., Kotov V.V., Privalov A.N. Simulation of Relay-races // Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2016. Vol. 9. N 4. P. 117 -128.

8. Siegwart R., Nourbakhsh I.R., Scaramuzza D. Introduction to Autonomous Mobile Robots. The MIT Press, 2011. 472 p.

9. Ivutin A., Larkin E., Lutskov Yu. Evaluation of Program Controlled Objects States // 4rd Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO) - 2015 JBudva, Montenegro, 2015. P. 250-253. DOI: 10.1109/MEC0. 2015. 7181915 (SCOPUS, WOS:000380406100059).

10. Bauer H. Probability Theory. Walter de Gruyter: Berlin, N.Y., 1996.

523 p.

11. Shiryaev A.N. Probability. Springer Science+Business Midia, 1996.

611 p.

12. Larkin, E., Ivutin, A., Esikov, D. Recursive Approach for Evaluation of Time Intervals between Transactions in Polling Procedure // 2016 8th International Conference on Computer and Automation Engineering (ICCAE 2016). Melbourne, Australia - MATEC Web of Conferences. Vol. 56 (2016) 01004. UNSP 01004 DOI: 10.1051/matecconf/20165601004. (SCOPUS< WOS: 000386717000004).

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, elarkin@ mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

12

TIME CHARACTERISTICS OF WANDERING THROUGH A SEMI-MARKOV PROCESS

E.V. Larkin

The problem of time characteristics applied calculation when wandering through semi-Markov process is investigated. It is shown, that applied calculation may be reduced to solving of two tasks: evaluation of time interval of wandering from one state to another, and evaluation of time interval of return to the state. Dependencies for solving of tasks, including densities-to-characteristic functions transform, exponentiation of characteristic function, matrix element selection and inverse characteristic function-to-density transform, are obtained It is shown, that dependencies mentioned are to complex for practical application. Formulae for direct calculation of expectations and dispersions with use of formulated operation of numerical characteristics convolution are obtained. It is shown, that in this case numerical characteristics calculation is too complicated. The algorithm and mathematical expressions system for recurrent simplification of semi-Markov process, which permits to reduce computational complexity of analysis, is proposed.

Key words: Semi-Markov process, numerical characteristics, characteristic function, convolution, recursive procedure.

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, elarkin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.396.67

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ, ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДИОЛИНЗ КАК ЭЛЕМЕНТОВ ДИАГРАММООБРАЗУЮЩИХ СХЕМ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК РЭС

СВЧ- И КВЧ-ДИАПАЗОНОВ

Н.Л. Алымов, А.А. Горшков, В.А. Кочетков, И.В. Солдатиков, И.М. Ханарин, А.Е. Черкасов

Обобщаются методы и анализируются теоретические модели радиолинз при проектировании диаграммообразующих схем антенных решеток радиоэлектронных средств СВЧ- и КВЧ- диапазонов. Представлены процедуры использования метода геометрической оптики, а также альтернативных методов синтеза диэлектрических радиолинз наряду с особенностями их применения в зависимости от целей и исходных данных проектирования. Структурированы процедуры проектирования радиолинзы, включающие перечень характеристик СВЧ-линзы, формулировку параметров геометрической оптики, аналитическое описание портов и линий передачи, оценку характеристик диэлектрического резонатора. Уточнены теоретические модели в проектировании СВЧ-радиолинзы и представлена формализация моделей печатной трифокальной линзы Ротмана.

Ключевые слова: геометрическая оптика, СВЧ-линза, асимптотические методы проектирования диэлектрических линз, модель печатной линзы, трифокальная линза Ротмана.

СВЧ-линзы как диаграммообразующие схемы (ДОС) антенных решеток (АР) РЭС различного назначения появились в 1950-х годах, и впоследствии получили многочисленные приложения. Достижения

13