Возникновение автоколебаний в простейшей системе резания металлов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.01

ВОЗНИКНОВЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ РЕЗАНИЯ

МЕТАЛЛОВ

В.С. Быкадор, Г.Ю. Костенко, Т.С. Бабенко

В статье приведено исследование условий возникновения автоколебаний в простейшей системе резания. Показано, что для образования автоколебаний при резании металлов достаточно наличия конкурентного взаимодействия двух факторов - запаздывания силы резания по отношению к перемещению вершины режущего инструмента и нелинейной характеристики контактного взаимодействия между обработанной поверхностью заготовки и задней поверхностью резца. В результате исследований установлена граница области существования автоколебательных движений в плоскости неуправляемых параметров системы резания

Ключевые слова: автоколебания, динамика, процесс резания, запаздывание

Введение. В ряде работ [1-3], автоколебания элементов системы «инструмент-заготовка», возникающие в процессе резания, объясняются на основе достаточно сложных механизмов взаимодействия различных элементов системы резания, что в свою очередь приводит к сложности идентификации большого количества параметров математических моделей. Но главное, возникает вопрос, на который достаточно трудно ответить, связанный с возможностью совместного проявления тех или иных гипотетических механизмов в процессе резания.

Тем не менее, в статье [4] было показано, что в системе «инструмент-заготовка», имеющей всего лишь одну степень свободы, могут возникать автоколебания её элементов. В работе [4] в качестве факторов, которые влияли на возникновение автоколебаний, были рассмотрены трение между стружкой и режущим инструментом и характеристика потери контакта между резцом и заготовкой.

В данной статье также, как и в работе [4] исследуется система «инструмент-заготовка» с одной степенью свободы, но в качестве базовых факторов, приводящих систему к автоколебаниям, рассмотрено свойство запаздывания радиальной составляющей силы резания от вариации перемещения режущего инструмента и нелинейная характеристика силы контактного взаимодействия между обработанной поверхностью заготовки и задней поверхностью резца. Так же в данной работе определены области затухающих и устойчивых колебаний в плоскости параметров системы резания.

Математическая модель. На рис. 1 показана расчетная схема системы «инструмент-заготовка», которая, как и математическая модель построена на базе следующих гипотез и ограничений:

1) система имеет только одну степень свободы - перемещение режущего инструмента в радиальном направлении;

Быкадор Виталий Сергеевич - ДГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected] Костенко Галина Юрьевна - ДГТУ, магистрант, e-mail: [email protected] Бабенко Татьяна Сергеевна - ДГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]

2) учитывается радиальная составляющая силы резания, которая зависит от координаты перемещения инструмента в радиальном направлении Х1 (0 и может быть описана уравнением (1)

P(t) = p(tp0-X1(t))

(1)

где р - жесткость процесса резания; - стационарное значение глубины резания;

3) учитывается нелинейная характеристика силы контактного взаимодействия между обработанной поверхностью заготовки и задней поверхностью резца, которая выражается формулой (2)

x±(t)

F(t)=P0e Ъ

(2)

где Р0 - силовой коэффициент, характеризующий сопротивление перемещению резца в тело заготовки [5]; 7\ - параметр, определяющий крутизну нарастания силы, действующей на заднюю поверхность инструмента [5].

Таким образом, сила будет возрастать по мере заглубления резца в тело заготовки, причем нарастание силы происходит по экспоненциальному закону.

Рис. 1. Схема системы точения с одной степенью свободы

Уравнение (1) не учитывает свойство запаздывания силы резания Р(ь) от перемещения резца в радиальном направлении Х-,^). Эффект запаздывания силы резания по отношению к перемещению элементов системы «инструмент-заготовка» изве-

стен достаточно давно и был описан, например в [6]. Следует отметить, что запаздывание силы резания, по отношению к перемещению, носит характер нечистого запаздывания, а сила резания нарастает по апериодическому закону по отношению к ступенчатому изменению перемещения резца в радиальном направлении. Выше описанный характер запаздывания силы Р(с) от перемещения Х1(^) может быть математически смоделирован системой уравнений (3) с учетом формулы (1)

' рц) = Ри1а)

dt

+ а

(о^-^а))

(3)

где Т2 - постоянная времени запаздывания радиальной составляющей силы резания по отношению к перемещению резца.

Учитывая выражение (2) и систему уравнений (3), на основании известного уравнения Лагранжа 11-го рода, получим систему (4) обыкновенных нелинейных, неоднородных дифференциальных уравнений, которая представляет собой математическую модель рассматриваемой системы резания металлов

а2х, (0 ах, (О

<И2 " <И

Xj.it)

= ри1(с) + Р0 е Ъ

(4)

йи, (С)

2 ^ 1

(С) =

где т, к, с - приведенные коэффициенты массы, диссипации и жесткости, соответственно, системы «инструмент-заготовка».

Отметим, что полученная система уравнений (4), сходна с системой, приведенной в работе [7]. Тем не менее, полученная математическая модель имеет одно существенное отличие от системы уравнений работы [7], в которой, в степень экспоненты нелинейной функции введена скорость координаты радиального перемещения режущего инструмента

что физически достаточно сложно обосновать. В работе [7] не приведено физического обоснования введения скорости перемещения в функцию контактного взаимодействия поверхностей инструмента и заготовки. Рассмотрение же перемещения резца Х1, в нелинейной функции, является естественным, и физически подтверждается на основе известных опытов с системами трения [8, 9].

Исследование устойчивости системы. Параметры системы (4) Т2 и р, в общем случае, являются неуправляемыми. Данные параметры могут варьироваться в процесс резания и зависят от многих факторов (температура, неоднородная структура обрабатываемого материала, формирование нароста и другие факторы). То есть изменение параметров Т2 и р может приводить к различным качественным изменениям траектории движения вершины резца.

Поэтому представляется интерес исследовать устойчивость системы в плоскости параметров Т2 и Р.

Следует отметить, что исследование устойчивости выполняется над линеаризованной системой. Как известно, если в нелинейной системе возможно развитие автоколебаний, то в линеаризованной системе, автоколебания выродиться в неустойчивые траектории движения. Таким образом, можно выявить множество пар значений параметров Т2 и р, для которых возможно, будут наблюдаться автоколебания при исследовании исходной нелинейной системы.

Линеаризованное представление системы (4), записанное в векторно-матричной форме в вариациях относительно координат стационарного состояния имеет форму (5)

X = А X

(5)

где X = (х1, х2,и.1 )т - вектор производных координат состояния системы; А - системная матрица; X = (х1,х2,и1 )т - вектор координат состояния системы.

Системная матрица А будет иметь вид (6)

/

А =

0

с + ^е

0

\

\

т

I

1

-Т~2

т т

0 "5;1

(6)

где Х° - координата стационарной точки позиционирования вершины резца в радиальном направлении.

Из системной матрицы (6) получим характеристическое уравнение (7)

а0А3 + а1Х2 + а2Л + а3 = 0 где а0 = тТ2; % = кТ2 + т;

(7)

а? =

Г, + к;

Рп _±1

а3 = р + с +— е Т1 - коэффициенты харак-

Т1

теристического уравнения.

Метод D - разбиения, который как правило используется для построения областей устойчивости, в данном случае не может быть применен, так как один из искомых параметров р (8) зависит от стационарной координаты Х°, которая в свою очередь зависит от искомого параметра р, как это показано в формуле (9)

Р .ж р(а)) = -[с+^ ) +

( /

т —

\\ 'II

(8)

где ш - частота, ш £ (—га, +га).

(с + р)Х° = р $ + Р0 е Т1

(9)

В данном случае, построение областей устойчивости, было выполнено на основе применения критерия Гурвица. Условия устойчивости по Гурви-цу, для характеристического уравнения (7), имеют вид (10)

а0 = тТ2 > 0,

Р0 Л а3 = р + с + — е Г1 > 0, '1

ДГХ = КГ2 + т > 0,

ДГ2 = —^-+ скГ22 — трТ2 +

(10)

V +к2Т2 + кт > 0.

Задавшись значениями параметров р £ [0; 200] — и Т2 £ [0; 0,1] с, были выполнены чис-

мм

ленные расчеты по выражениям (9) и (10) расположения областей устойчивости на плоскости «Т2 — р» (рис. 2). Значения остальных параметров системы резания приведены в таблице.

Параметры системы резания

Параметр Значение параметра

2 кг-с ш,- мм 0,01

, кг-с к, — мм 0,1

кг мм 1000

Р0, кг 0,1

Т1, мм 0,1

Ср, мм 2

Рис. 2. Области устойчивых и неустойчивых движений линеаризованной системы в плоскости параметров «Г2 — р»

Анализ вида областей устойчивости позволяет сказать, что изменение жесткости процесса резания р £ [0; руст) независимо от значения времени запаздывания Т2 силы резания, обеспечивает однозначно устойчивое движение (линия №1 на рис. 2). Варьирование параметра Т2 при значениях р < руст, так же обеспечивает однозначно только устойчивые движения системы. Но вариация параметра Т2 при значениях параметра р > руст, может приводить как к устойчивым, так и неустойчивым траекториям движения системы (линия №2 на рис. 2). То есть в системе, в результате изменения состояния процесса резания, могут меняться значения параметров Т2, р и тем самым приводить систему к неустойчивым траекториям движения.

Исследование автоколебаний системы. Как было отмечено выше, неустойчивые траектории движения, которые наблюдаются при анализе линеаризованной системы, при анализе исходной нелинейной системы (4) могут соответствовать как неустойчивым движениям, так и устойчивым колебаниям. Поэтому имело смысл дополнительно исследовать влияния значений параметров Т2 и р, из области неустойчивых движений линеаризованной системы (рис. 2), в исходной нелинейной системе (4). Было выполнено цифровое моделирование исходной нелинейной системы (4) для различных значений параметров Т2 и р взятых в разных точках области неустойчивых движений линеаризованной системы (рис. 2). Результаты моделирования приведены на рис. 3 и 4.

-0.5

-1.0

_151_._■_■_I

0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

С

б)

Рис. 3. Траектория движения вершины резца: а) Т2 = 0,005 и р = 120; б) Т2 = 0,0075 и р = 120

г, с

а)

Рис. 4. Траектория движения вершины резца: а) Т2 = 0,012 и р = 180; б) Т2 = 0,015 и р = 180

(, с б)

Рис. 4. Траектория движения вершины резца: а) Т2 = 0,012 и р = 180; б) Т2 = 0,015 и р = 180 (продолжение)

Как можно видеть из рис. 3 и 4, область неустойчивых движений, для линеаризованной системы, в исходной нелинейной системе соответствует устойчивым колебательным движениям. Варьирование параметров Т2 и р процесса резания несколько изменяет вид траектории движения, но качественно траектория движения вершины резца остается без изменения и соответствует автоколебательному процессу. Автоколебательный процесс развиваться в течение некоторого времени, после чего выходит на стационарное значение амплитуды.

Выводы. Было показано, что даже элементарная система резания, имеющая одну степень свободы, в которой учитываются всего лишь два фактора - запаздывание силы резания по отношению к радиальному перемещению вершины режущего инструмента и нелинейная характеристика силы контактного взаимодействия между обработанной поверхностью заготовки и задней поверхностью резца, приводит к формированию автоколебаний в системе.

Автоколебательные процессы обусловлены конкуренцией выше названных факторов. Запаздывание силы резания по отношению к перемещению резца вызывает развитие неустойчивых колебательных траекторий движения, а нелинейная характеристика силы контактного взаимодействия приводит к ограничению развития неустойчивых колебаний, тем самым формируя незатухающие колебания.

Важно отметить так же то, что при рассмотрении математической модели, не учитывающей фактор запаздывания силы резания и фактор контактного взаимодействия, область автоколебательных движений (рис. 2), вообще бы не была найдена. Таким образом, удалось не только показать элементарный механизм образования автоколебаний в системе резания, но и выявить область образования автоколебательных движений в плоскости неуправляемых параметров Т2 и р.

530002010201020123485353234848485389534853235348

Литература

1. Заковоротный В.Л. Один случай формирования хаотических аттракторов в динамической системе резания / В.Л. Заковоротный, А.А. Губанова, В.В. Христофорова // Вестник Донского государственного технического университета. - 2015. - Т.15. - № 2 (81). - С. 11-21.

2. Лукьянов А.Д. Анализ возможности изгибных колебаний заготовки на возникновение автоколебаний при глубоком сверлении маложестких деталей из гетерогенного материала / А.Д. Лукьянов, Т.С. Онойко, П.П. Вереще-тин // Вестник Донского государственного технического университета. - 2014. - Т.14. - № 1 (76). - С. 162-168.

3. Заковоротный В.Л. Моделирование динамической связи, формируемой процессом точения, в задачах динамики процесса резания (позиционная связь) / В.Л. Заково-ротный, Д.Т. Фам, С.Т. Нгуен, М.Н. Рыжкин // Вестник Донского государственного технического университета. -2011. - Т.11. - № 3 (54). - С. 301-311.

4. Litak G. Chaotic vibrations in a regenerative cutting process / G. Litak // Chaos, Solitons and Fractals - vol. 13, -2002, - P. 1531-1535.

5. Заковоротный В.Л. Самоорганизация и бифуркации динамической системы обработки металлов резанием / В.Л. Заковоротный, Фам Динь Тунг, В.С. Быкадор // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика». - 2014. - № 3. - С. 26-39.

6. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967, 359 с.

7. Алибаш К.Ю. Повышение эффективности точения на основе раскрытия нелинейных свойств процесса, дис. на соискание степени магистра, Ростов-на-Дону, 2015, 79 с.

8. Заковоротный В.Л. Введение в динамику трибоси-стем / В.Л. Заковоротный, В.П. Блохин, М.И. Алексейчик. Ростов-на-Дону: ИнфоСервис, 2004. - 680 с.

9. Заковоротный В.Л. Изучение многообразий в пространстве состояния трибосистем / В.Л. Заковоротный, Н.С. Семёнова // Вестник Донского государственного технического университета. - 2005. - Т.5. - № 1. - С. 30-40.

Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону

AN OCCURRENCE OF A SELF-OSCILLATION IN SIMPLE CUTTING SYSTEM V.S. Bykador, G.Ju. Kostenko, T.S. Babenko

Conditions of an appearance of a self-oscillations in simple cutting system were considered in the paper. Two competing factors are delay of a cutting force and nonlinear characteristic of contact clearance face of a tool and workpiece are making the self-oscillations. We also got a self-oscillations region for two non-controlled parameters

Key words: a self-oscillations, dynamics, cutting process, a delay