CC BY
9
открывается возможность наблюдения цт-процесса, обусловленного майорановским нейтрино массы mм ~ 1 ТэВ. При y/s = 25 ТэВ могут наблюдаться процессы цт и fifi для майорановских масс mjv в диапазоне 1^3 ТэВ.
Рассмотренные лептон-протонные процессы выгодно отличаются от протон-протонных отсутствием фоновых процессов, обусловленных стандартными взаимодействиями с сохранением лептонного числа [11]. В случае же рр-рассеяния возможны стандартные каскадные процессы, приводящие к рождению дилептонов с сигнатурой (++) или (—) [25].
Авторы выражают благодарность Д. В. Перегудо-ву за помощь в проведении численных расчетов, а также участникам семинара под руководством проф. В.Ч. Жуковского за полезное обсуждение полученных результатов.
Литература
1. Particle Data Group Collab.: Hagiwara К. et al. // Phys. Rev. D. 2002. 66. P. 010001.
2. Super-Kamoiokande Collab.: Fukuda S. et al. // Phys. Lett. В. 2002. 539. P. 179.
3. SNO Collab.: Ahmad Q.R. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002.
89. P. 011301.
4. KamLAND Collab.: Eguchi K. et al. // Phys. Rev. Lett. 2003.
90. P. 021802.
5. Pakvasa S., Valle J.W.F. // E-print ArXive: hep-ph/0301061.
6. Боум Ф., Фогель П. Физика массивных нейтрино. М., 1990.
7. Kayser В. // E-print ArXive: hep-ph/0211134.
8. Кlapdor-Kleingrothaus H. V, Dietz A., Harney H.L., Krivo-sheina I.V. // Mod. Phys. Lett. A. 2001. 16. P. 2409.
9. Ali A., Borisov A.V., Zamorin N.B. // Frontiers of Particle Physics. — Proc. of the Tenth Lomonosov Conf. on Elemen-
tary Particle Physics (Moscow, 23^29 August 2001) / Ed.
A.I. Studenikin. — Singapore: World Scientific, 2003. P. 74.
10. Pattella O., Cannoni M., Carimalo C., Srivastava Y.N. // Phys. Rev. D. 2002. 65. P. 035005.
11. Flanz M., Rodejohann W., Zuber К. 11 Phys. Lett. B. 2000. 473. P. 324; 2000. 480. P. 418(E).
12. Rodejohann W., Zuber К. 11 Phys. Rev. D. 2000. 62. P. 094017.
13. Flanz M., Rodejohann W., Zuber К. 11 Eur. Phys. J. C. 2000. 16. P. 453.
14. Bilenky S.M., Guinti C., Grifols J.A., Massô E. // Phys. Rep. 2003. 379. P. 69.
15. Bhattacharyya G., Pas H., Song L., Weiler T.J. // Phys. Lett.
B. 2003. 564. P. 175.
16. Langaker P. 11 Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). 2001. 100. P. 383.
17. Blaskiewicz M., Drees A., Fischer W. et al. Fermilab Report TM-2158, 29 June 2001.
18. de Almeida Jr. F.M.L., Coutinho Y.A., Martins Simoes J.A., do Vale M.A.B. 11 Phys. Rev. D. 2002. 65. P. 115010.
19. Dawson S. 11 Nucl. Phys. B. 1985. 249. P. 42.
20. Kuss /., Spiesberger H. Phys. Rev. D. 1996. 53. P. 6078.
21. Pumplin J., Stump D.R., Huston J. et al. 11 JHEP. 2002. No. 07. Art. 012 [E-print ArXive: hep-ph/0201195],
22. Nardi F., Roulet F., Tommasini D. // Phys. Lett. В. 1995. 344. P. 225.
23. Bélanger G., Boudjema F., London D., Nadeau H. // Phys. Rev. D. 1996. 53. P. 6292.
24. London D. 11 E-print ArXive: hep-ph/9907419.
25. Datta A., Guchait M., Roy D.P. // Phys. Rev. D. 1993. 47. P. 961.
Поступила в редакцию 30.04.03
УДК 530.12, 51:53
ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ:
СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ
А. Н. Петров
(.ГАИШ) E-mail: [email protected]
Рассмотрена общая терия относительности в виде, где гравитационные возмущения вместе с другими физическими полями распространяются на вспомогательном фоне. В произвольно искривленном заданном пространстве-времени с использованием техники Каца-Бичака-Лин-ден-Белла построены новые сохраняющиеся токи, дивергенции от антисимметричных тензорных плотностей (суперпотенциалов).
1. Краткий обзор и постановка задач
Возмущенные уравнения Эйнштейна часто представляют в следующем виде: линейные возмущения метрики оставляют слева, а все остальные (нелинейные) члены переносят направо и вместе с
материальным тензором энергии-импульса трактуют как полный (эффективный) тензор энергии-импульса . Такой подход был разработан как теория тензорного поля с самодействием в заданном фоновом пространстве-времени и называется полевой формулировкой [1] общей теории относительности
(ОТО). При этом получается варьированием
действия по фоновой метрике д^. Дезер [2], обобщая предыдущие работы и используя формализм 1-го порядка, предложил наиболее последовательную полевую формулировку ОТО в замкнутой форме (без разложений) в плоском пространстве-времени. Для случая Риччи-плоского фона и в квадратичном приближении Бичак доказал теорему: с необходимей)
мостью должен содержать вторые производные гравитационных переменных [3].
Нами [4] для произвольно искривленных фонов построена полевая формулировка ОТО со всеми свойствами полевой теории в фиксированном пространстве-времени. Эти результаты получили развитие и примененяются в настоящее время. Так, в статье [5] на основании результатов и техники работы [4], а также требования только первых производных в симметричном тензоре энергии-импульса, была получена новая полевая формулировка ОТО в пространстве Минковского. Здесь нет противоречия с теоремой, доказанной в работе [3], поскольку в статье [5] левая часть, в отличие от стандартных подходов, нелинейна. В [6], на основании результатов работы [4] были получены полные энергия и угловой момент для й + 1-мерного асимптотически анти-де ситтеровского пространства-времени. При решении многих задач появляются свойства результатов работы [4]. Например, в [7] и [8] рассмотрение возмущений на фридмановских фонах приводит к линейным приближениям в полной теории [4]. В рамках полевого подхода в [9] построен класс «слегка биметричееких» гравитационных теорий, а в [10] изучается поведение световых конусов. Насколько мы знаем, в работе [10] приведена самая полная на настоящий момент библиография по полевому подходу в гравитации.
Современная космология и релятивистская астрофизика в большей части изучают эволюцию возмущений на заданных пространственно-временных фонах. Инфляционные модели и открытие ускоренного расширения вселенной [11] повышают интерес к фонам, определенным решениями де Ситтера с космологической постоянной. При возрастающей точности наблюдений становится необходимым рассматривать не только линейные, но и следующие порядки возмущений. Важным оказывается построение законов сохранения для возмущений, в том числе на фонах (анти-)де ситтеровских решений (см. [12, 15]). Эти задачи имеют большое значение для развития полевой формулировки ОТО. Отметим, что кроме нее существуют другие подходы, большое разнообразие которых (см. обзор [16]) вызвано неоднозначным определением в ОТО таких величин, как энергия. Одним из самых последовательных является монад-ный метод описания систем отсчета, основанный на введении конгруэнции времениподобных мировых линий приборов (наблюдателей) [17, 18]. Основа построения — это поле монады, единичного вектора,
касательного к линиям конгруэнции. С его помощью определяются как плотность энергии и импульса материи, так и величины, имеющие смысл плотности энергии и импульса гравитационного поля.
Вернемся к полевому подходу. Несмотря на все достижения, некоторые вопросы остались без ответа.
Во-первых, чтобы построить ток, как обычно, сворачивается с каким-либо вектором Киллинга фона [4]: iv = yf^jtfi. Ток дифференциально сохраняется iv-v = ivylJ = 0, если выполняется дифференциальный ковариантный закон сохранения
t)i = 0, который имеет место лишь на плоских, Риччи-плоеких и (анти-)де ситтеровских фонах. Для более сложных фонов, таких как большинство
космологических, tj!'0^"ф 0. Это объяснено взаимодействием динамической и фоновой систем [4], но только качественно. Однако существует необходимость математического описания, которую обозначим проблемой (А). Во-вторых, суперпотенциалы (антисимметричные тензорные плотности, дивергенции от которых представляют сохраняющиеся токи) играют очень важную роль в ОТО (см. [13, 19] и ссылки там). В то же время разработка суперпотенциалов в рамках полевого подхода не достаточна. Определим это как проблему (Б), в связи с которой можно упомянуть лишь следующее. Дивергенция линейной левой части уравнений (как минимум на плоском фоне) равна нулю, поэтому левая часть уже задана через суперпотенциал. На основании этого свойства Абботт и Дезер [12] построили суперпотенциал с векторами Киллинга на (анти-)де ситтеровских фонах.
В настоящей работе решены проблемы (А) и (Б), они оказались взаимосвязанными. В результате в полевой формулировке ОТО получены суперпотенциалы и соответствующие им токи на произвольно искривленных фонах и с произвольными векторами смещений.
2. Полевая формулировка ОТО
Представим основные свойства формулировки работы [4] в формализме 2-го порядка. Рассмотрим так называемый динамический лагранжиан [20, 21]:
ХГЕ ХГЕ - 1
¿dyn = ¿Е — — фА — — ^а (1)
(dec) V дфА 2К К J
построение которого основано на обычном лагранжиане ОТО
СЕ = -(г«)"1^) + £М(Ф A,9liV) (2)
с метрикой скалярной кривизнои
R = ga(jRaf}
и материальными переменными ФА, представляющими набор произвольных тензорных плотностей (не спиноров). Частные производные обозначаются как (}0); крышки «"» означают плотности веса +1;
8/8а — лагранжевы производные; С®^ — лагранжиан (2) после подстановки разбиений
9'
4и>
; д/п- + //»'_ фА=фА.
(3)
Возмущения I91/ и фА определяются как независимые гравитационные и материальные динамические переменные; черта означает заданные фоновые величины, и д1ш и ФА удовлетворяют фоновым уравнениям Эйнштейна; индексы смещаются фоновой метрикой. Полагаем также
%9 = (4)
где символы Кристоффеля Т"1и зависят от д91/ как суммы в (3).
Представим лагранжиан (1) в виде суммы чисто гравитационной и материальной частей: ¿йуп = _(2к)-1£» + Ст. Как видно, (1) получен вычитанием из нулевой и линейной по 191/
и фА частей функционального разложения ■
Нулевой член — это фоновый лагранжиан, а линейный пропорционален операторам фоновых уравнений. Варьирование Сйуп по I91/ и фА, алгебраические преобразования и учет фоновых уравнений дают уравнения Эйнштейна в виде
+ = К + = кЩ^. (5)
Здесь левая часть, линейная по I91/ и фА, представлена выражениями
О
Ц.Р ■
8 _|>Т_<Ш
(] ;р + п 1ра — 1 9 — 1 9 \
(6)
- ¡XV
п 8 / г 8СМ ±а8См\ ^к^==\19<1-= + фА^=\ (7)
8д9и \ 8д9°
$фА
с ковариантными производными построенными с помощью д^. Правая сторона (5) является симметричной (метрической) плотностью полного тензора энергии-импульса:
—С9 + £"' ) = /•'' + £т
V \ 2к ' ~ 9и 91>'
91/ 8д9и 8д9'
Явные выражения для С9 и следуют из (1), и их можно найти в [4].
3. Суперпотенциалы и сохраняющиеся токи
Наше построение законов сохранения в полевой формулировке ОТО следует методу, развитому Кацем, Бичаком и Линден-Беллом (КБЛ) [13]. Их лагранжиан
(9)
зависит от физической метрики (без разбиений) и фоновой метрики д(1и; величина к9 определена также в (4), только с 191/ = д91> — . Тождество + (^9Сс)ф = 0, справедливое для Со, как для скалярной плотности, преобразуется в главное тождество подхода КБЛ:
дСс дд,
9ра;и ~ С
ра;р
2
ттАсг
[ЗСс
удРа
9р(*К)
8 Со _
9р(т8 •
¿9
/рсг
191/. = 191/
= - (Ю)
Производная Ли, например, от вектора <фа и вдоль векторного поля £а определятся как £^фа = + £аффа• Разберем структуру вы-
ражения (10): первый член + (2кУ119а Ера8Ц:)^ включает плотность канонического тензора энергии-импульса Ш для свободного гравитационного поля, второй член представлен сверткой плотности спина а"а с ^.р], третий член — это
— С!»)^ с тензором Эйнштейна О», четвертый член (9 равен нулю, если — вектор Киллинга фона. Антисимметричная тензорная плотность 191> справа (10) — это суперпотенциал КБЛ, обобщающий на произвольно искривленные фоны известный суперпотенциал Фрейда [22]. Все эти выражения могут быть найдены в работе [13]. Используя динамические Оу = кТи и фоновые Оу = кТЦ" уравнения Эйнштейна КБЛ преобразовали тождество (10) в «слабый» закон сохранения для тока I9 (д^!9 = 0):
(Н)
% + (Т9 - Т9) + (2К)-Ч9"Пра89\ С +
+ ^РЧ[а,р] + С9 = 19 = 19\„.
Для применения техники КБЛ в рамках полево го подхода нужно использовать разницу д вместо I91*. Тогда — гравитационная
часть (1), зависящая только от первых произ-
Р.У
водных 191/, переходит в
£(2)
и выражается че-
рез лагранжиан КБЛ (9) как З2^ = Со — с = —(2к)^1{д91/^д11')Кр1и. Затем мы преобразуем тождество + = 0 в
дСд
■Яргг-СабЦ + сЫб»- 2
ра;р
6СЫ
$9ра
9р(а
ЗСд
$9ра
9р{*К)
<т;р
8С(2)
ра
9р(аК)
(м^е)
где
M
(2^ _ 2 ( от дт
А = I 9~а-9р(а"Х) + ■=-
\ иУра\р Ура,и
(12)
9р(Л)\ (13)
и выражается через спиновый член (см. (10) и (11)) как
а'
p[pi<\
а
и[рщ
(14)
Отмечая, что аргументами оператора Gflu в (6) могут
быть как , так и уравнении (12):
важно установить, что в
Sy
ра
v)
Вычитая уравнение (12) из выражения (10) и заменяя у^ на Р11/ в соответствии с (3), получаем тождество:
1
СГ
_ т'1и = Р1и
(15)
с новым суперпотенциалом î^ = + М^^уХр(,р
Величина =
M
А У £(а-,р) равна нулю на
киллинговых векторах фона точно так же, как в (10) и (11).
Чтобы получить слабые законы сохранения, нужно подставить уравнения Эйнштейна (5) в тождество (15). Заметим, что величина Ф^,, определенная выражением (7), исключается из (5). Действительно, подставляя (1) и (2) в определение (8), находим, что выражение (7) возникает также в правой части уравнений (5), и, таким образом, они переписываются как
(16)
Sltl = 2-р=
Gpu ~ К (tfll
XÎM\
С
M
У•
pu
tn - iM
Подставляя уравнение (16) в (15), получаем
if
« iFxRXu)e
гр
Ч*)
(17)
(18)
<f~p ¿и 1 '(*)!/?
е
Это дает закон сохранения = 0 для тока .
Он имеет место, первое, на произвольно искривленных фонах, включая все космологические решения; второе, для произвольных векторов смещений а не только для векторов Киллинга; третье, мы представляем член (включенный в
который явно описывает взаимодействие с фоном; четвертое, также в уравнении (18) представлен новый суперпотенциал. Выражение для него получается из определения в тождестве (15) с использованием
формулы (13) и суперпотенциала КБЛ и имеет вид = к~Чр^\р + к'1 (дрЩ^ - дгЩ^
,(Т (19)
где коэффициент при £р — это ковариантизованный суперпотенциал Папапетру [23].
Итак, построение закона сохранения в виде выражения (18) решает одновременно проблемы (А) и (Б). Возникает вопрос: почему уравнение (18) оказалось успешным? Во-первых, вместо î™v в уравнении (5) мы используем модифицированную плотность материального тензора энергии-импульса ôtffu в уравнении (16). Действительно, выражение (17) не следует стандартным способом из лагранжиана (1). Во-вторых, благодаря члену новая
плотность полного тензора энергии-импульса Т^ оказывается несимметричной на произвольно сложных фонах, в то время как прежде были попытки построить сохраняющиеся токи только с симметричным .
Сделаем замечания. 1. Токи и суперпотенциалы в работе [19] получены с использованием метода Белинфанте в законах сохранения [13]. Они точно совпадают с полученными здесь (18) и (19). Так, процедура Белинфанте оказывается «мостом», соединяющим два подхода в построении законов сохранения: канонический [13] и симметричный [4]. 2. Полевую формулировку ОТО можно построить с помощью разбиения уа = уа + ha любой метрической переменной из набора уа е ури,у^, ур^УУри-, ••• [21]. Тогда полевые уравнения, токи и суперпотенциалы принимают форму соответственно (5), (18) и (19) с заменой на laV = ha{dyil1'/&уа). Использование разных laV ведет к неоднозначности, начиная со 2-го порядка по возмущениям, в определениях тензора энергии-импульса (что впервые отмечено в работе [24]) и суперпотенциала. С другой стороны, в [13, 19] построение токов и суперпотенциалов не зависит от выбора динамической переменной из набора уа. Поэтому результаты [19], совпадая только с (18) и (19), разрешают эту неопределенность в пользу разбиения (3).
Автор очень благодарен Джозефу Кацу за обсуждения и рекомендации, а также Иржи Бичаку, Стивену Лау и Лацло Сшабадошу за объяснение их работ и дискуссии.
Литература
1. Grishchuck L.P. Current Topics in Astrofundamental Physics.
Singapore, 1992. P. 435.
2. Deser S. // Gen. Relat. and Grav. 1970. 1. P. 9.
3. Bicâk J. Relativity and Gravitation. N. Y., 1971. P. 47.
4. Grishchuck L.P., Petrois A.N., Popoisa A.D. // Comm. Math.
Phys. 1984. 94. P. 379.
5. Babak S.V., Grichshuk L.P. // Phys. Rev. D. 2000. 61.
P. 24038.
6. Pinto-Neto N., Silva R.R. // Phys. Rev. D. 2000. 61. P. 104002.
7. Kopeikin S., Ramirez J., Mashhoon В., Sazhiti M. // Phys. Lett. A. 2001. 292. P. 173.
8. Ramirez /., Kopeikin S. 11 Phys. Lett. B. 2002. 532. P. 1.
9. Pitts J.B., Schieve W.C. // Gen. Relat. and Grav. 2001. 33. P. 1319.
10. Pitts J.B., Schieve W.C. // Preprint arXiv: gr-qc/0111004.
11. Чернин А.Д. // Успехи физ. наук. 2001. 171. С. 1153.
12. Abbott L.F., Deser S. 11 Nucl. Phys. B. 1982. 195. P. 76.
13. Katz J., Bicak /., Lynden-Bell D. // Phys. Rev. D. 1997. 55. P. 5759.
14. Lau S.R. 11 Phys. Rev. D. 1999. 60. P. 104034.
15. Deser S., Tekin B. // Phys. Rev. D. 2003. 67. P. 084009.
16. Szabados L.B. // Electronic J.: Living Reviews in Relativity. 2004. 7. P. 4; www.livingreviews.org.
17. Ценен Г. Эйнштейновский сборник: 1969-1970. М., 1970. С. 140.
18. Владимиров К).С., Румяецев С.В. // Изв. вузов. Физика. 1981. №12. С. 63.
19. Petrov A.N., Katz J. 11 Proc. R. Soc. Lond. A. 2002. 458. P. 319.
20. Петров A.H., Попова А.Д. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 1987. 28, №6. С. 13 (Moscow University Phys. Bull. 42, N 6. P. 13).
21. Popova A.D., Petrov A.N. 11 Int. J. Mod. Phys. A. 1988. 3. P. 2651.
22. Freud P. 11 Ann. of Math. Princet. 1939. 40. P. 417.
23. Papapetrou A. 11 Proc. R. Irish Ac. 1948. 52. P. 11.
24. Boulware D.C., Deser S. 11 Ann. of Phys. N. Y. 1975. 89. P. 193.
Поступила в редакцию 30.05.03
