CC BY
116ПЕДАГОГИКА
ф Ф
Ученые записки Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского Социология. Педагогика. Психология. Том 7 (73). 2021. № 2. С. 27-39.
УДК378: 004 DOI: 10.37279/2413-1709-2021-7-2-27-39
ВОЗМОЖНОСТИ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА В ОБУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Апатова Н. В.1, Гапонов А. И.2, Смирнова О. Ю.3
12 3Институт экономики и управления (структурное подразделение) ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского», Симферополь, Республика Крым, Россия E-male: [email protected], [email protected], [email protected]
На примере применения методов компьютерного представления знаний к разделу «Матрица» курса высшей математики, авторы рассматривают возможность использования элементов аппарата искусственного интеллекта, но не предлагают исчерпывающий алгоритм построения соответствующих систем, и основываются на известном тезисе: «Для интеллектуальных задач не существует формального алгоритма решения». Более того, мы безоговорочно исходим из концепции, что при решении задач, требующих участия человеческого интеллекта, искусственный интеллект может быть только вспомогательным инструментом. Анализ отечественных и англоязычных источников позволил сделать вывод, что автоматизированная процедура доказательства математических теорем с использованием искусственного интеллекта (включая нейронные сети) не приводит студентов первых курсов к естественной цели обучения высшей математике - «научить логически рассуждать». Как правило, результат сводится к «запрограммированному» использованию клавиатуры, что в определенных условиях, безусловно, является весьма полезным навыком. Но, к сожалению, задача «научить студента думать, рассуждать, логически и нестандартно мыслить», на основе современного уровня развития искусственного интеллекта (машинного обучения), по мнению авторов, пока не решена. Использование же базы знаний в адекватном формате и семантических сетей позволяют хотя бы приблизиться к возможности использования искусственного интеллекта, при доказательстве теорем высшей математики. Поскольку надлежащим образом построенная семантическая сеть окажет существенную помощь как преподавателю при изложении доказательства теоремы, так и продемонстрирует студентам известные логические связи и, надеемся, заинтересует их в создании новых. Вышеприведенные рассуждения определяют цель предлагаемого исследования - построение семантических сетей как для доказательства математических теорем, так и для решения так называемых «доказательных» задач. По нашему мнению, результаты настоящей работы будут не только способствовать упорядочению структуры изложения преподавателем и более глубокому пониманию студентами соответствующих разделов математики. Но и несколько приблизят решение задачи формирования искусственного интеллекта, ориентированного на решение «доказательных» задач высшей математики.
Ключевые слова: семантические сети, продукционные правила, математические теоремы, доказательства.
ВВЕДЕНИЕ
Авторы, опираясь на собственный опыт и мнение большинства своих коллег, посвятивших преподаванию высшей математики 10-20 лет, полагают, что цель изучения высшей математики заключается не только в том, чтобы обучить студента
27
известным математическим определениям, аксиомам, теоремам, пользоваться стандартным математическим формулами и алгоритмами, но в первую очередь научить логически и нестандартно мыслить.
В практике авторов не было случая, когда на первом же занятии по высшей математике студенты экономического ВУЗа не задали бы сакраментальный вопрос: «Зачем нам это?». Например, «Какая польза от понимания, почему систему линейных уравнений можно решить (а бывает - и нет) методом обратной матрицы?». «Почему возможно экспоненциальное представление комплексного числа?». Или, скажем: «Зачем понимать, почему «работает» формула Ньютона-Лейбница?» и т.д.
Ответ: «Научить мыслить! Причем, мыслить логически и нестандартно!». Независимо от будущей профессии: будь то физик-теоретик, экономист, специализирующийся на фьючерсных операциях, или продавец-консультант в магазине скобяных изделий. Научиться же, логически мыслить на занятиях по высшей математике можно в первую очередь, доказывая теоремы и решая «доказательные» задачи. А именно: используя имеющуюся информацию, сопоставлять известные данные, находить необходимые (а часто и нетривиальные) логические связи и в результате проведенного анализа формулировать вывод, подтверждающий или опровергающий изначально выдвинутое утверждение.
Цель статьи - рассмотреть на примере применения методов компьютерного представления знаний к разделу «Матрица» курса высшей математики, авторы рассматривают возможность использования элементов аппарата искусственного интеллекта, но не предлагают исчерпывающий алгоритм построения соответствующих систем, и основываются на известном тезисе: «Для интеллектуальных задач не существует формального алгоритма решения».
ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО МАТЕРИАЛА
Для убедительности представленных во введении рассуждений, считаем необходимым проанализировать научные труды отечественных и зарубежных ученых, которые занимались исследованием как общепринятыми методами доказательства математических теорем, так и с использованием семантических сетей и различных «машинных» методов.
Один из ведущих математиков-преподавателей США Кеннет Росс еще в 1998, выступая от имени Ассоциации математиков Америки (Mathematical Association of America) перед Национальным советом преподавателей математики (NCTM), отметил, что "одна из самых важных целей курсов математики - это научить студентов логическому мышлению. Это фундаментальный навык, а не просто математический вопрос (...). Следует подчеркнуть, что фундамент математика - это рассуждение. В то время как наука, как правило, проверяет свои гипотезы через наблюдение, математика проверяет их с помощью логических рассуждений (...). Если способность рассуждать, не развита в студенте, тогда математика просто становится ремеслом, смысл которого заключается в том, чтобы следовать определенному комплексу процедур и подражать примерам, не задумываясь, почему они имеют смысла [1].
28
Не злоупотребляя излишним цитированием, приведем еще несколько коротких высказываний.
«.. .Доказательство неотделимо от математики и является важным компонентом математических действий» [2]. «Доказательство служит для изучения математики и является основой обучения математике» [3] и пр.
Мы считаем принципиальным уточнить, что суть математики, заключается еще и в том, чтобы используя алгоритм доказательства, опираясь на предыдущие знания, логику и интуицию, показать, что рассматриваемое утверждение верно и непротиворечиво.
Учитывая приведенные суждения, кратко проанализируем очень небольшую часть примеров применения Искусственного интеллекта (ИИ). Хотя, на наш взгляд в настоящее время точнее следовало бы использовать термин «Искусственный машинный (компьютерный) интеллект», или в более узком смысле в соответствии с задачей настоящей работы - «Машинное обучение» («Machine Learning»), что вполне согласуется с приведенными выше высказываниями.
Рассуждая о конкретной проблеме, иногда через одно представление приходит осознание существования доказательства, через другое представление, которое будет являться легче и понятней, чем другие. Множество современных автоматизированных инструментов рассуждений сосредоточены в пределах одного представления [4]. Сегодня, актуален вопрос разработки совершенных инструментов для автоматизации формальных и логически обоснованных изменений в представлениях.
Автоматизированному доказательству математических теорем посвящена основная часть работы китайских математиков [5]. При этом приводятся примеры трех направлений автоматизированной реализации доказательства геометрических теорем, включающих алгоритмы метода поиска, формальной логики и безкоординатный метод. В заключение отмечается, что наглядное доказательство теоремы в геометрии имеет высокую прикладную ценность для образования, и может использоваться для разработки интеллектуальных геометрических программ, представляющих своего рода динамическими геометрическими программное обеспечение с функцией автоматизированного рассуждения. Однако в итоге авторы подчеркивают, что существующие программы доказательства геометрических теорем не дают возможности пользователю развивать и совершенствовать их, внося новые методы рассуждений, т.е. «вести диалог» с компьютером. В то же время авторы надеются, что исследования по этому аспекту позволят добиться существенного прорыва в ближайшем будущем.
В работе [6] рассматривается проблема создания искусственного интеллекта, моделирующего человеческое мышление, так называемой, семантической паутины (СП) - всемирной паутины нового типа, идеология которой предусматривает возможность участия в пополнении базы знаний неограниченного множества авторов и сходна с философией Википедии. Однако автор отмечает, что концепция СП хоть и может служить основой для создания глобального искусственного интеллекта, но основным препятствием для реализации интеллектуального агента СП является комбинаторная сложность задачи поиска, связанная с огромным
29
объемом базы данных. Так, для базы знаний из 100 фактов и 10 правил по 3 условия в каждом число попыток применения правил ко всем фактам равно 107
Как правило, база знаний искусственного интеллекта состоит из экспертной системы, которая хранит отдельное дерево решений для каждой проверяемой гипотезы, чем и обусловливается высокая скорость нахождения решений при наличии сотен и тысяч правил. Основные достоинства такой экспертной системы являются и ее недостатками: она не может найти решение, ранее не описанное экспертом; в базах знаний отсутствуют общие знания, объем которых на порядки превышает объем специальных знаний; отсутствие общих знаний не позволяет искусственному интеллекту установить причинно-следственные связи; известные решения отыскиваются с «нуля» [7]. Мы придерживаемся точки зрения автора, в том, что концепция семантической сети может стать основой при разработке искусственного интеллекта, однако комбинаторная сложность задачи поиска, является значимым препятствием.
В статье международного трио [8] утверждается, что удалось добиться существенных результатов в методах «машинного» доказательства: в рамках исследования ими была использована когерентная логика (логика, основанная на высказываниях, полагаемых истинными), которая подходит для выражения многих математических теорий. Отмечается, что на пути создания основы для автоматизации формализации математических теорем и лемм, выраженных в последовательной логике, успешно использовались, например, такие средства формализации представления теорем как Coq formalization - библиотека формализованных доказательств теорем, лемм; программный пакет Isabelle's Transfer package, обеспечивающий возможность автоматизированного доказательства около 500 лемм и теорем, и др. Рассматриваемая публикация основана на доказательствах теорем, приведенных выдающимся американским математиком польского происхождения Альфредом Таркским в его пионерской работе [9]. В ее основе лежит система аксиом элементарной евклидовой геометрии, которая формируется в логике предикатов, представляющих в простейшем случае логические высказывания «Истина», «Ложь" и не требует привлечения теории множеств. При этом кроме символов переменных используются только символы, соответствующие логическим операциям «Не», «И», «Или», «Если..., то», и кванторы общности и существования. Таким образом, для исследования выбран весьма специфический предмет, обеспечивающий условия, максимально соответствующие «машинной» обработке. Однако при ближайшем анализе данной работы очевидно: разработанная автоматизированная генерация машинно-проверяемых и читаемых доказательств на рассмотренном примере обладает рядом нюансов, не согласующихся с нашей задачей: «Научить студентов думать логически и, что особенно важно, - использовать интуицию, чего ни один из образцов ИК делать до сих пор не научился.
Уже упоминавшаяся международная группа математиков [4] предприняла попытку расширить упомянутую компьютерную библиотеку Isabelle's Transfer package. И определенные успехи были достигнуты. И, по словам авторов, они: «нашли умеренные, но многообещающие результаты...».
30
Что касается «машинного» доказательства математических теорем, то, видимо, можно утверждать, что на сегодняшний день сохраняются перечисленные ниже проблемы.
Во-первых, во все системы доказательств возможно вмешательство человека при проверке доказательств, следовательно, уровень автоматизации низкий. Во-вторых, доказательства автоматизированы, но они не представляют машинно-проверяемые и читаемые доказательства. В-третьих, средства проверки когерентной логики автоматизированы и экспортируют доказательства, не работающие при доказательстве сложных математических теорем. И главное - практически исключена потребность в творческом нестандартном мышлении.
Многие математические доказательства содержат в себе фрагменты из области, в которой трудно рассуждать о сущности некоторых аспектов, являющимися значимыми для доказательства теорем. Вследствие чего некоторые из теорем невозможно автоматизировать. Математические преобразования в целом в настоящее время сложно автоматизировать, запрограммировать, описать с помощью семантических или нейронных сетей, продукционных правил, поскольку процесс доказательства теоремы является нетривиальным математическим «действием, актом» в уме человека. В частности, для доказательства математической теоремы, как это может сделать человек, необходимо включить в «алгоритм» скрытые преобразования, происходящие в уме человека.
Авторы статьи предлагают для начала существенно упростить задачу. А именно: построить семантическую сеть на основе определенных уточнений. Суть их заключается в следующем: первое утверждение начинается с абстрактного представления, которое легко доказать на основе известных определений и аксиом, а далее происходит поэтапное уточнение до заключительного конкретного представления, которое возможно уже реализовать с помощью компьютерной программы.
Около 15 лет назад преподавателями кафедры высшей математики Московского физико-технического института была разработана программа ТеорМат, которая позволяет изучать основы математического анализа. Программа ТеорМат не предусматривает жесткого сценария доказательства, любое корректное доказательство приемлемо, поэтому изучение математического анализа с ее помощью носит творческий характер [10]. Мы не берем на себя смелость оценивать популярность этой программы, тем более, что в доступных источниках за 10-12 лет нам не удалось обнаружить каких-либо суждений о ее возможностях. Но после работы в программе ТеорМат у нас сложилось мнение, что понятие искусственного интеллекта вряд ли применимо к этой компьютерной разработке, хотя, стоит отдать должное авторам-разработчикам, они на это и не претендовали.
В основе предлагаемой работы лежат широко известные понятия «Продукционной модели» и «Семантической сети». Не останавливаясь на глубоком анализе, приведем стандартные определения.
Продукционная модель доказательства математической теоремы представляет собой процедуру, связывающую определенные математические действий логическими связками «если (условие), то (следствие)» [11]. Продолжая
31
исследование освоения студентами первого курса начал линейной алгебры [12], применение продукционной модели проиллюстрируем на примере доказательства теоремы существования обратной матрицы.
Сформулируем базу знаний, необходимую для понимания доказательства этой теоремы. Воспользуемся классической формулировкой рассматриваемой теоремы и ее стандартное доказательство изложенное, например, в общепризнанном учебнике [13].
Теорема.
Для того чтобы для матрицы А существовала левая и правая обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель Д = ёйА матрицы А был отличен от нуля. Доказательство.
1). Необходимость. Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например а-1 , то из соотношения А ■ А~1 = Е получим, что
ёй А ■ ёй а"1 = ёй Е = 1 (е - единичная матрица), откуда следует, что Д ф 0 .
2). Достаточность. Пусть определитель Д = ёй А отличен от нуля. Составим
из алгебраических дополнений А элементов а^ транспонированную матрицу А , которая называется присоединенной матрицей, каждый элемент которой разделим на определитель Д , исходной матрицы. Получим А-1 = (а/ д) следующую матрицу:
А'1 =
А а11 а21 А ап1
Д Д ' ' Д
а12 а22 ап 2
Д Д ' " Д
А1п А2п
\п
V Д
Д Д
Докажем, что произведения А ■ А 1 и А'1 А являются единичными матрицами. Любой недиагональный элемент матриц, этих матриц, равен нулю, так как пропорционален сумме произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующий алгебраические дополнения другой строки (столбца). Диагональные элементы матриц А ■ А 1 и А ХА равны единице, так как сумма произведений элементов строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения равны определителю Д . Теорема доказана.
Продукционные правила
1). Необходимость.
1. ЕСЛИ для матрицы А существует обратная матрица А 1 ,
ТО А ■ А'1 = Е .
ПП
32
2. ЕСЛИ А ■ А— = Е, ТО ёе^А • А—) = ёсЬ А • ёе! А"1 = ёсЬ Е = 1 (£ единичная матрица).
3. ЕСЛИёе!А■ ёеЬА"1 = 1, ТОёеЬА = А*0. 2). Достаточность.
1. ЕСЛИ ёе! А = А * 0, ТО существует матрица
А'1 =
А А11 А21 Ап1
А А ' ' А
А12 А22 А 2
А А ' ' А
Чн А2п
А
V А А
Анн
' а ;
Г А,.,.)
А
, I = 1, п; 7 = 1, п
А
А
2. ЕСЛИ а , ТО элементы матрицы С = А • А 1 равны
С7 =
Ё агка =Ё а
к=1
к=1
Ак А
|1,1 = 7
1о, 1 * 7
^ АА— = Е .
Теорема доказана. Матрица, обратная к матрице а, обозначается А~х.
Построим семантическую сеть доказательства теоремы существования обратной матрицы.
Семантические сети впервые были разработаны для исследований в области искусственного интеллекта как способ описания человеческой памяти и языка Квиллианом ^шШаи) в 1968 году [14]. По определению, семантическая сеть -ориентированный граф, вершины которого - понятия, дуги - отношения между ними, показывающая смысловую взаимосвязь объектов конкретной предметной области [15]. На каждом этапе построения семантической сети пошагово указываются отношения между ее объектами (понятиями) [16] - что надо знать студенту для перехода между вершинами.
Конкретизируем необходимый базовый минимум знаний, лежащий в основании семантических сетей, представленных на рисунках 1, 2.
База знаний
1. Определение понятия «Матрица».
a. Строки^), столбцы (п) матрицы Атхп
b. Порядок матрицы (т х п). Квадратная матрица (т = п) а Элементы
матрицы а, 1 — номер строки, 7 — номер столбца
1к
33
d. Диагональные элементы матрицы ай . Диагональные
[1, г = 1
матрицы а = 0, г Ф 1 . Единичная матрицаE а = <
7 1 [о, г ф 7
e. Равенство матриц: Атхп = БтУП, еслиа17 = Ъ17
f. Сложение матриц. Свойства сложения
g. Умножение матрицы на число. Свойства к Разность матриц
i. Перемножения матриц. Свойства перемножаемых матриц
Свойства перемножения матриц к Нулевая матрица 1. Понятие определителя т. Свойства определителей
п. Алгебраическое дополнение элемента аг> определителя
ёе! А А
о. Вычисление определителей р. Определитель произведения матриц
д. Присоединенная матрица А г. Понятие обратной матрицы 8. Теорема существования обратной матрицы
Чтобы наглядно показать, какими понятиями и почему должен владеть студент, построим семантические сети доказательства необходимости и достаточности неравенства нулю определителя матрицы А для существования обратной матрицы
а .
Рассмотрим построение семантической сети доказательства необходимости. В самом общем виде эта сеть приведена на рисунке 1 и представляет собой ориентированный граф из двух вершин, связанных отношением «СЛЕДУЕТ».
Рис. 1. Общий вид семантической сети доказательства необходимости.
Детализируем представленные на этом рисунке объекты в соответствии с приведенной выше базой знаний.
Рассмотрим построение семантической сети доказательства необходимости. В самом общем виде эта сеть приведена на рисунке 1 и представляет собой ориентированный граф из двух вершин, связанных отношением «СЛЕДУЕТ».
34
Детализируем представленные на этом рисунке объекты в соответствии с приведенной выше базой знаний как представлено на рисунке 2.
Определитель
порядка п матрицы А
п х п А = ёег А = \а
м а и д
и
тр и и
ц
а ч я а
и я
Рис. 2. Семантическая сеть доказательства необходимости существования обратной матрицы.
Перейдем к построению семантической сети доказательства достаточности, общий вид которой представлен на рисунке 3.
Рис. 3. Общий вид семантической сети доказательства достаточности.
35
Во избежание перегруженности статьи повторяющимися деталями и учитывая, что большинство звеньев обеих сетей и связок между ними являются общими, на рисунке 4 приведены только заключительные узлы, семантической сети, соответствующей доказательству достаточности существования обратной матрицы.
Рис. 4. Заключительный фрагмент семантической сети доказательства достаточности существования обратной матрицы.
ВЫВОДЫ
Предложенный метод использования необходимого базового минимума знаний и построенной на его основе семантической сети позволяют студентам облегчить «первое чтение» соответствующего учебного материала, что чрезвычайно важно, если учебный процесс не дает возможности непосредственного «живого» (и как, показывает практика, с необходимостью, творческого) общения с преподавателем, что имеет место при виртуальном методе обучения и в некоторой степени - при заочном. Так, при самостоятельном изучении рассмотренной темы, например по учебнику [13], студенту-первокурснику пришлось бы основательно «проштудировать» 28 страниц не вполне для него тривиального текста. Сомнительно, что этот процесс «приумножил» бы его любовь к математике.
В предлагаемом же авторами методе студенту следует вначале познакомиться с понятиями, заключенными в вершинах семантической сети, и наглядно представленными связями между ними. Получив общее представление («вид сверху»), можно уже приступать к более основательному изучению изучаемой темы.
36
Представление математических знаний в виде семантических сетей будет полезно как преподавателям, так и студентам при доказательстве математических теорем. С не меньшей эффективностью данный подход может использоваться при решении «доказательных» задач.
Связанные с приведенным примером рассуждения целесообразны при создании «проблемно-ориентированных» систем искусственного интеллекта [17]. Соответственно, концепция семантической сети может служить основой для создания, по крайней мере, элементов глобального искусственного (в определенных рамках) интеллекта [6].
В настоящее же время при решении именно доказательных математических задач, непосредственно требующих участия человеческого интеллекта, искусственный интеллект в современном виде представляет собой просто аналогию многофункциональной ЭВМ, пока что не способной решать задачи рассматриваемого типа и вести диалог с пользователем.
Список литературы
1. Ross K. Doing and proving: the place of algorithms and proof in school mathematics / K. Ross // American Mathematical Monthly. - 1998. - Vol. 3. - Р. 252-255.
2. Schoenfeld A. What do we know about mathematics curricula? / A. Schoenfeld // Journal of MathematicalBehavior. - 1994. - Vol. 13 (1). - Р. 55-80.
3. Stylianou D. A. Undergraduate Students' Understanding of Proof: Relationships Between Proof Conceptions, Beliefs, and Classroom Experiences with Learning Proof / D. A. Stylianou, M. L. Blanton, Q. Rotou // International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education. - 2015. - Vol. 1.
- Р. 91-134.
4. Raggi D. Automating Change of Representation for Proofs in Discrete Mathematics (Extended Version) / D. Raggi, A. Bundy, G. Grov, A. Pease // MathematicsinComputerScience. - 2016. - Vol. 10, No 4. -Р. 429-457.
5. Jiang J. A review and prospect of readable machine proofs for geometry theorems / J. Jiang, J. Zhong // Journal of Systems Science and Complexity. - 2012. - Vol. 25, No 4. - Р. 802-820.
6. Бессмертный И. А. Семантическая паутина и искусственный интеллект / И. А. Бессмертный // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2009. - № 6 (64).
- С. 77-83.
7. Bessmertny I. Semantic Network as a Knowledge Base in Training Systems / I. Bessmertny, V. Kulagin // Proceedings of 11th IACEE World Conference on Continuing Engineering Education. - Atlanta, GE, USA, 2008. - Р. 95-99.
8. Durdevic S. S. Automated Generation of Machine Verifiable and Readable Proofs: A Case Study of Tarski's Geometry / S. S. Durdevic, J. Narboux, P. Janicic // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, Springer Verlag (Germany). - 2015. - Vol. 84, No 3. - Р. 249-269.
9. Tarski A. "What is elementary geometry?" / A. Tarski, L. Henkin, P. Suppes // The axiomatic method. With special reference to geometry and physics, Proceedings of International Symposium, edited by Henkin L., Suppes P. and Tarski A. - Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1959. - P. 16-19.
10. Электронный ресурс: https://mipt.ru/education/chair/mathematics/razvitie/teormat/about_teormat.php (дата обращения: 21.05.2020).
11. Гаврилова Т. А. Базы знаний интеллектуальных систем / Т. А. Гаврилова, В. Ф. Хорошевский // СПб.: Питер. - 2000. - 384 с.
12. Апатова Н. В. Оценка освоения темы "матрица" при изучении дисциплины "математика для экономистов" с использованием теории нечетких множеств / Н. В. Апатова, А. И. Гапонов // Проблемы современного педагогического образования. - 2018. - № 59-1. - С. 47-56.
13. Ильин В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 280 с.
37
14. Quillian M. R. Semantic memory / M. R. Quillian // Semantic Information Processing, edited by Minsky M. - MA: MIT Press, Cambridge, 1968. - Р. 227-270.
15. Гуримская И. А. Использование семантической сети в научно-исследовательской работе студентов / И. А. Гуримская // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - № 11. -С. 116-120.
16. Детушева Л. В. Методика обучения учащихся доказательству теорем в контексте компрессивного обучения / Л. В. Детушева // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. - 2015. - № 1 (33). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-obucheniya-uchaschihsya-dokazatelstvu-teorem-v-kontekste-kompressivnogo-obucheniya (дата обращения: 21.05.2020).
17. Сигов А. С. Архитектура предметно-ориентированной базы знаний интеллектуальной системы / А. С. Сигов, В. В. Нечаев, М. И. Кошкарёв // International Journal of Open Information Technologies. -2014. - № 12. URL: https://cyberleninka.ru/article/n7arhitektura-predmetno-orientirovannoy-bazy-znaniy-intellektualnoy-sistemy.
POSSIBILITIES OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE IN TEACHING HIGHER MATHEMATICS
Apatova N. V.1, Gaponov A. I.2, Smirnova O. Yu.3
123Institute of Economics and Management of the V.I. Vernadsky Crimean Federal University,
Simferopol, Republic of Crimea, Russian Federation
E-male: [email protected], [email protected], [email protected]
The example of application of methods of computer representation of knowledge to the "Matrix" of the higher mathematics course, the authors examine the possibility of using elements of artificial intelligence, but do not propose an exhaustive algorithm for the construction of relevant systems, and based on the known thesis: "intellectual tasks no formal solution algorithm". Moreover, we implicitly proceed from the concept that when solving problems that require the participation of human intelligence, artificial intelligence can be only an auxiliary tool. Analysis of Russian and English sources has led to the conclusion that automated the process of proving mathematical theorems with the use of artificial intelligence (including neural networks) leads first-year students does not lead first-year students to the natural goal of teaching higher mathematics - " to teach logical reasoning. Usually the result comes down to "programmed" using the keyboard that, in certain circumstances, of course, is a very useful skill. But, unfortunately, the task "to teach the student to think, to reason logically and think outside the box", based on modern level of development of artificial intelligence (machine learning), according to the authors, is not yet resolved. Using the same knowledge base in an adequate format, and semantic networks allow at least allow you to at least get closer to the possibility of using artificial intelligence in the proof of theorems of higher mathematics. Because properly constructed semantic network will greatly assist as a teacher is in presenting the proof of the theorem, and demonstrate to the students a well-known logical connections and, we hope, will interest them in creating a new one. The above arguments determine the purpose of the proposed study is to build semantic networks for proof of mathematical theorems, and to solve the so-called "proof-based" tasks. In our opinion, the results of this study will not only contribute to streamlining the structure by the teacher and better understanding by students of the relevant sections of mathematics, but few will bring the solution of the
38
problem of formation of artificial intelligence, based on the decision of "evidence-based" tasks of higher mathematics.
Keywords: semantic networks, production rules, mathematical theorems, proofs.
References
1. Ross K., Doing and proving: the place of algorithms and proof in school mathematics, American Mathematical Monthly, 3, 252 (1988).
2. Schoenfeld A., What do we know about mathematics curricula?, Journal of Mathematical Behavior, 13 (1), 55 (1994).
3. Despina A. Stylianou, Maria L. Blanton and Rotou Q., Undergraduate Students' Understanding of Proof: Relationships Between Proof Conceptions, Beliefs, and Classroom Experiences with Learning Proof, International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 1 (1), 91 (2015).
4. Raggi D., Bundy A., Grov G. and Pease A., Automating Change of Representation for Proofs in Discrete Mathematics (Extended Version), Mathematicsin Computer Science, 10 (4), 429 (2016).
5. Jiang J., Zhong J., A review and prospect of readable machine proofs for geometry theorems, Journal of Systems Science and Complexity, 25 (40), 802 (2012).
6. Bessmertny I., Semantic web and artificial intelligence, Scientific and technical Bulletin of information technologies, mechanics and optics, 6 (64), 77 (2009).
7. Bessmertny I. and Kulagin V., Semantic Network as a Knowledge Base in Training Systems, Proceedings of 11th IACEE World Conference on Continuing Engineering Education (Atlanta, GE, USA, 2008), p. 95.
8. Durdevic S.S., Narboux J. and Janicic P., Automated Generation of Machine Verifiable and Readable Proofs: A Case Study of Tarski's Geometry, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, Springer Verlag (Germany), 84, 3, 25 (2015).
9. Tarski A., "What is elementary geometry?", The axiomatic method. With special reference to geometry and physics, Proceedings of International Symposium, edited by Henkin L. (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1959), p. 16.
10. Electronic resource: URL https://mipt.ru/education/chair/mathematics/razvitie/teormat/about_teormat.php (date accessed: 21.05.2020).
11. Gavrilova T.A. and Khoroshevsky V.F., Knowledge Bases of intelligent systems, 384 p. (Piter, Saint Petersburg, 2000).
12. Apatova N.V. and Gaponov A.I., Assessment of the development of the topic "matrix" in the study of the discipline "mathematics for economists" using the theory of fuzzy sets, Problems of modern pedagogical education, 59 (1), 47 (2018).
13. Ilyin V.A. and Poznyak E.G., Linear algebra, 280 p. (FIZMATLIT, Moscow, 2014).
14. Quillian M.R., Semantic memory, Semantic Information Processing, edited by Minsky M. (MA: MIT Press, Cambridge, 1968), p. 227.
15. Gurimskaya I.A., The use of semantic networks in the research work of students, Scientific and methodological electronic journal, 11, 116 (2015).
16. Detusheva L.V., Methods of teaching students to prove theorems in the context of compressive learning, Scientific notes. Electronic scientific journal of Kursk state University, 1 (33) (2015). URL https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-obucheniya-uchaschihsya-dokazatelstvu-teorem-v-kontekste-kompressivnogo-obucheniya (date accessed: 21.05.2020).
17. Sigov A.S., Nechaev V.V. and Koshkarev M.I., Architecture of the subject-oriented knowledge base of the intellectual system, International Journal of Open Information Technologies, 12 (2014). [Electronic resource]. URL https://cyberleninka.ru/article/n/arhitektura-predmetno-orientirovannoy-bazy-znaniy-intellektualnoy-sistemy (date accessed: 21.05.2020).
39
