Возможность применения нейросетевого алгоритма для вероятностного анализа и прогнозирования нестабильности финансового рынка 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

осуществляют, как правило, сами собственники или сотрудники, совмещающие несколько должностей.

Библиографический список

1. Дэй Дж.С. Организация, ориентированная на рынок. Как понять, привлечь и удержать ценных клиентов. М: ЭКСМО, 2008.

2. Перекалина Н.С., Казаков С.П., Рожков И.В. Эволюция маркетинга в системе менеджмента. //Менеджмент. Т. 1. Выпуск 1. 2013. С. 35-36.

3. Kohli A., Jaworski B. Market Orientation: The construct, Research Propositions and Management Implications. //The Jouranl оf Marketing Research. Vol. 3. 1990.

Контактная информация

8 (915) 137-11-82

sergey.p.kazakov@gmail.com

ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЙРОСЕТЕВОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА2

APPLICATION OF NEURAL NET ALGORITHM FOR FINANCIAL MARKET ANALYSES AND FORECASTING

О. Е. ПЫРКИНА, канд. физ.-мат. наук, доцент

Финансовый университет при Правительстве РФ

O. E. PYRKINA, Ph.D., аssociate professor

Financial University under the Government of Russian Federation

Аннотация

Работа посвящена исследованию возможности применения математической байесовской модели и основанного на этой модели нейросетевого алгоритма для обнаружения временных интервалов, с высокой вероятностью предшествующих появлению системной нестабильности финансового рынка. Для решения этой задачи предлагается использование марковской модели смены режима и алгоритма Метрополиса-Хастингса, в котором применяется

2 Материал подготовлен по результатам исследований, выполненных за счет бюджетных средств по Государственному заданию Финуниверситета 2012 года.

последовательная покомпонентная подстройка вектора параметров с помощью самообучающихся нейронных сетей, в соответствии с изменяющейся финансовой ситуацией.

Abstract

The problem of financial market instability forecasting is the focus of attention in numerous researches. The paper suggests an idea of application of neural network, based on the Bayesian model and Metropolis - Hastings algorithm, to realize a concept of adaptive algorithm in self-learning system. This system could create ample opportunities for monitoring and predicting financial market instabilities.

Ключевые слова: нестабильность финансовых рынков, байесовская модель, марковская модель смены режима, алгоритм Метрополиса-Хастингса, прогнозирование

Keywords: instability of financial market, Bayesian model, Markov switching (MS) model, Metropolis-Hastings algorithm, forecasting

Одной из основных нерешенных проблем, возникающих при анализе устойчивости финансовой ситуации для отдельных отраслей экономики и государства в целом, является проблема выявления и своевременного распознавания «тревожных сигналов», своего рода индикаторов возникновения нестабильности финансового рынка, и разработка эффективных превентивных мер.

Известно, что в последнее десятилетие мировая экономика характеризуются существенной нестабильностью, высокой волатильностью мировых финансовых рынков и значимой чувствительностью внутренних финансовых рынков к общемировым финансовым процессам. Для адекватного реагирования на изменение финансовой ситуации и своевременного принятия решений, приводящих к сдерживанию развивающихся процессов дестабилизации, требуются современные сложные математические модели с высокой скоростью вычислительных алгоритмов. Эти модели должны учитывать взаимосвязь всех элементов финансовой системы и позволять делать качественные

выводы, касающиеся необходимых управленческих решений.

Такого рода модели обычно называют интеллектуальными системами; они способны моделировать процесс мышления и выносить суждения подобно тому, как это делает человек. В этих моделях наряду с количественными показателями, такими, как финансовые индексы, курсы акций и валют используются показатели качественного характера, отражающие ожидания и предпочтения участников финансового рынка.

Целью настоящей работы явилась исследование возможности применения математической байесовской модели и основанного на этой модели нейросетевого алгоритма для обнаружения временных интервалов, с высокой вероятностью предшествующих появлению системной нестабильности финансового рынка. Для решения поставленной задачи предлагается использование марковской модели смены режима и алгоритма Метрополиса-Хастингса [1, 2, 3], в котором применяется последовательная покомпонентная подстройка вектора параметров с помощью самообучающихся нейронных сетей в соответствии с изменяющейся финансовой ситуацией.

Марковские модели смены (переключения) режимов (Markov switching (MS) models), введенные Гамильтоном[4], обеспечивают наибольшую эффективность при моделировании динамики волатильности финансового рынка при изменении режима функционирования. Они образуют класс так называемых эндогенных моделей переключения режима (endogenous regime - switching models), в которых переходы между состояниями системы управляются параметрами, оцениваемыми внутри самой модели. Количество переходов (переключений режима) при этом не задано априори, в отличие от количества состояний системы.

Максимально гибким подходом, позволяющим описать зависимость от режима, является возможность для всех параметров уравнения условной дисперсии меняться в зависимости от режима. Этот поход был введен при

моделировании условного среднего[5] как ARMA (1,1) процесса (AutoRegressive Moving Average, авторегрессионное скользящее среднее) при постановке задачи построения байесовской оценки. Применение этой идеи для описания динамики условной дисперсии дает возможность описать отклик дисперсии на последние шоковые изменения доходности и волатильности при переходе от одного режима к другому.

Согласно этой модели, выделяются три возможных состояния (режима) условной волатильности: (1) - режим низкой волатильности, (2) -режим средней (обыкновенной) волатильности и (3) - режим высокой волатильности. На основе этих режимов формируется матрица переходных вероятностей цепи Маркова. Отметим, что наступление режима (1) низкой волатильности часто свидетельствует о надвигающихся существенных изменениях режима, это так называемое «затишье перед бурей», хорошо известное как в теории катастроф, так и в теории финансовых временных рядов [6].

Обозначим вероятность перехода из состояния i в состояние j как

л^, тогда матрица переходных вероятностей цепи Маркова имеет вид:

П =

С ЖЦ ж 12 Ж13Л

Ж21 ж 22 ж23

V Ж31 Ж 32 Ж33 J

(1)

Сумма вероятностей в каждой строке матрицы равна 1. Марковское свойство системы можно сформулировать следующим образом: режим, в который система переходит в данный период, зависит только от состояния системы (режима) в предшествующий период и не зависит от предшествующих состояний (режимов). Аналитически марковское свойство можно описать следующим образом

Р _ 1, St _ 2,..., S1 )= р ^^ _ 1) (2)

Каждая строка матрицы переходных вероятностей (1) представляет собой трехмерное условное распределение вероятностей для режима St

при условии реализации в предшествующий период режима St _1. Можно

сказать, что {St 1 есть трехмерная марковская цепь с матрицей

переходных вероятностей П (с дискретным временем). В модели переключения режимов уравнение, описывающее динамику условной дисперсии, принимает вид:

* tit_ 1 = ю (st) + « (St)u2_ 1 + р (st )* t2_iit_ 2 (3)

Для каждого периода t здесь:

(ю (St),« (St), р (St )) =

(ю 1, а1; р1 ) если St = 1 (ю 2, о 2, Р 2 ) если St = 2 (ю 3, о 3, Р3 ) если St = 3

Присутствие GARCH компоненты в уравнении (3) существенно усложняет оценку параметров модели. Это усложнение заключается в

следующем. Благодаря фактору *t2_1|t_2, значение условной дисперсии в

текущий момент зависит от значений условной дисперсии всех предшествующих периодов. И таким образом, от всей не поддающейся наблюдению последовательности режимов вплоть до момента t. Огромное количество вариантов изменения режимов может привести к определенному значению условной дисперсии в момент времени t (количество возможных комбинаций режимов возрастает экспоненциально с ростом количества временных периодов), что весьма затрудняет построение классической оценки. По этой причине ранние варианты марковской модели смены режима включали в уравнение условной дисперсии только ARCH компоненты. От этого недостатка свободна модель на основе алгоритма моделирования марковской цепи методом

Монте-Карло (MCMC, Markov Chain Monte Carlo method), что, собственно говоря, и называется алгоритмом Метрополиса-Хастингса.

Постановка задачи. Вектор параметров модели MS GARCH (1,1),

T

характерный для уравнения (3) и марковской цепи {St } , может быть записан следующим образом[5]:

0 = (у',Г>0 л,в0,2, eG з,жг,ж2,жз, S ), (4)

Здесь для i = 1,2,3 входящие в этот вектор совокупности параметров

есть

0G , i = (С , ai , ßi ) и 7i =(Жi1, 7i2 , 7i3 ) ,

и S есть предыстория текущего состояния - последовательность (путь) формирования режима

S = (S1,..., St )

Кроме того, у есть нормально распределенный коэффициент

регрессии, j есть параметр, описывающий смесь нормальных

распределений, v есть параметр, определяемый числом степеней свободы в распределении Стьюдента. Эти три параметры в GARCH (1,1) не зависят от типа режима.

Будем считать априори (в дальнейшем это представление можно скорректировать по реальным данным с помощью теоремы Байеса), что параметр 0G i, i = 1,2,3 распределен нормально, с учетом индикаторной функции

0 G , i ~ N (К, , 2 i ) I овог } (5)

где индикаторная функция ¡{^ j имеет вид

Г1 если с > 0, а > 0, ß > 0 (6)

{°G ,i} [ 0, во всех иных случаях

В качестве априорного распределения для переходных вероятностей 7 i цепи Маркова будем использовать распределение Дирихле, так что:

жi ~ Dirichlet (ai1, at2, at3 ) (7)

Здесь для нахождения априорных значений параметров aij, i, j = 1,2,3 достаточно задать интуитивным образом на основе

экономических представлений значения переходных вероятностей и решить систему уравнений.

Модельная задача. Эволюция волатильности в MS GARCH модели управляется значениями ненаблюдаемых (латентных) переменных, описывающих режим. Поэтому марковская цепь с дискретным временем

St}T=1 часто называется скрытым марковским процессом; при анализе

такого процесса возникает много сложностей.

В отличие от этого методология, основанная на теореме Байеса, позволяет пойти более простым путем и моделировать латентные переменные вместе с параметрами самой модели.

Условное апостериорное распределение для вектора переходных вероятностей ni, i = 1,2,3 в этом случае можно записать как

log (p (ni r ,в_ж. )) = const + X (atj + Пу _ 1)log (жij ) (8)

j=1

для i = 1,2,3, где в_ж обозначает вектор всех параметров, за исключением параметра ni.

В формуле (8) узнается ядро распределения Дирихле с параметрами (ai1 + ni1, ai2 + ni2, ai3 + ni3). Параметры aiJ- задаются априори, параметры

n^ определяются непосредственным подсчетом количества раз, когда

марковская цепь } переходила из состояния I в состояние j.

Выборка из распределения Дирихле осуществляется следующим образом. Для каждого I, / = 1,2,3 выбираются три независимых наблюдения:

2 2 2 УП ~ ^2 (а,! + пп ) ' У2~ ^2 (а, 2 + п, 2 ) ' У,3~ ^2 (а, 3 + п 3 )'

и тогда Л _ У ,1 Л _ У, 2 _ _ У, 3

Е к _ 1 у,к Е к _ 1 у,к Е к _ 1 у,к

Условное апостериорное распределение для 5 в байесовской модели с переключением между тремя режимами можно записать следующим образом. На каждом шаге мы осуществляем выборку из полной апостериорной условной плотности вероятности величины 5,, которая задается соотношением

р (_ ,\г , в_5 , _,) (9)

где в_5 есть вектор параметров (4), за исключением 5, и 5_, есть предыстория режима, за исключением момента ,. Применяя формулу условной вероятности, величину р(5, _ , г,в_$, 5_,) можно записать как

Р (5 , _ г\г , в _ 5 , 5 _ , )

5-

Р (5 , _ ' , 5 _ , , Г в _ 5 , )

р (5 _ , , Г в _ 5 )

(5 _ , , Г \в _ 5 )

Р (Г \в _ 5 , 5 _ , , 5 , _ , ) Р (5 , _ , , 5 _ , в _ 5 , )

(10)

Заметим, что второй сомножитель в числителе, р (5, _ ,, 5_, в_5),

согласно марковскому свойству задается как

Р (5, _ , , 5_ , \в_ 5 ,) _ Р (5, _ ,, 5, _ 1 _ ] , 5, + 1 _ к \в_ 5 ) _ Л ; , ,П , к (11)

В знаменателе записана величина

Р (5_,, Г в_ 5 )_ Е Р (5, _ *, 5_,, г в_ 5 ) (12)

5 _ 1

Используя соотношения (10), (11), (12), можно выразить условную апостериорную вероятность как

Р (, Г \в_ 5 , 5_ , , 5, _ , )Л ] , ,, к (13)

Р (5, _ , в_ 5 , 5_ , )

Е 3 _ 1 Р (, Г \в_ 5 , 5 _ , , 5, _ * )Л } , * Л *, к

для , _ 1,2,3

Описание алгоритма. Алгоритм для MS GARCH(1,1) должен

состоять из следующих шагов. Итерация с номером m :

1. Получает значение ж m' из апостериорной плотности

вероятностей (8).

2. Получает значение s (m)по (13).

3. Получает значение m) из распределения (см. [Bayesian Methods in Finance,

2008])^ |л _ч_ „ ........f v + 1 b-Xjrt^ v '

Р (Vt \eG , 7 ,v , r ) = G

am m a

+

v 2 2* tjt_ 1 2 y

4. Получает значение v(m) из распределения (см. [Bayesian

T v

T

Methods in Finance, 2008]) ( \a r f v ) f v ) 2 г 0 * J

' v p (v\eG , 7 , r )хГ1 2 I I 2 I exp |_vA J

.2 ) v 2

I m)

5. Получает значение у(т ) из распределения р (у \ва , ц ,у , г ) = N (у *, V )

6. Получает значение в^ ,, 1 = 1,2,3 из предложенного распределения, как описано выше

7. Проверяет, выполнены ли ограничения на компоненты вс 1, в сравнении с обучающим множеством. Если нет, то снова вычисляют в^ 1.

8. Вычисляет по алгоритму Метрополиса-Хастингса

г (в .) / (в * в (' -1)) 1 доверительную

а (в * , в 0- 1 )) = т 1П 1, , 4 V ^ . 1 . '

= m in

Р (в 0-1)) / Ч (в ('- 1 ) \в ' )

вероятность (вероятность принять или отвергнуть в ^ г, 1 = 1,2,3) и принимают решение, принять или отвергнуть в^ |, для I = 1,2,3.

Замечания по обучению и структуре нейронной сети. Обучение нейронной сети осуществлялось на материале реальных данных финансовых временных рядов, взятых на промежутках времени, предшествующих наступлению периодов нестабильности и высокой волатильности финансовых рынков. Дискриминантная функция, определяющая для каждого реального вектора состояния финансовой системы свой режим условной волатильности, выбиралась в виде логистической сигмоидной функции (функции активации) для одного искусственного нейрона. При использовании байесовского подхода обучающие данные «знают» свой класс, обучение такого типа относится к

категории «обучения с учителем» (supervised learning), т.е. состояние системы для любого рассматриваемого момента в прошлом оказывается отнесенным к тому или иному режиму условной волатильности. Выбор именно этого подхода обусловлен тем, что, несмотря на малое количество реальных данных для моментов, предшествующих появлению нестабильности финансового рынка, метод использования искусственных примеров (hints) для обучения сети представляется не вполне корректным.

Далее использовалась стандартная процедура максимизации функции правдоподобия и алгоритм обратного распространения ошибки. Проверка должного функционирования алгоритма обратного распространения осуществлялась градиентным методом, после обучения проверка отключалась.

При объединении единичных нейронов в сеть (выбиралась так называемая сеть прямого распространения) использовалась та же функция активации, что и при обучении единичного нейрона. Инициализация начальных значений параметров модели проводилась с помощью случайной выборки из исторических данных в моменты, предшествующие появлению существенной нестабильности финансовой системы.

Рассмотрена байесовская математическая модель и алгоритм на основе алгоритма Метрополиса-Хастингса, который в случае применения самообучающейся нейронной сети дает широкие возможности для мониторинга и вероятностного прогнозирования наступления нестабильности финансового рынка.

По оценкам, полученным в ходе исследования использования алгоритма, предлагаемая схема позволяет предвидеть появление более 50% возможных финансовых нестабильностей. Это дает возможность использования результатов в задаче распознавания системных нестабильностей финансовых рынков России, создавая своего рода индикатор необходимости принятия предупредительных мер. Дальнейшее

развитие рассмотренной методологии представляется перспективным проводить в направлении использования «комитетов» нейронных сетей, что позволит построить вероятностные оценки и получить представление о достоверности предсказаний.

Библиографический список

1. Rachev S.T., Hsu J.S J., Bagasheva B.S., Fabozzi F.J. Bayesian Methods in Finance. Hoboken, New Jersey: Wiley, 2008. - 329 с.

2. Bernd A. Berg. Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis. Singapore, World Scientific 2004. - 361 с.

3. Bolstad William M. Understanding Computational Bayesian Statistics. N-J, USA.: John Wiley&Sons, 2010. - 317 с.

4. Hamilton James D., Susmel, Raul. Autoregressive conditional heteroskedasticity and changes in regime. //Journal of Econometrics. - Vol 64. -Issue 1-2. - 1994. Р. 307-333.

5. Jan Henneke, Svetlozar Rachev, Frank Fabozzi, Metodi Nikolov. MCMC-based estimation of Markov Switching ARMA-GARCH models. Applied Economics, 2011, Volume 43. Issue 3. Р. 259-271.

6. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Эконофизика и фрактальный анализ финансовых временных рядов//Успехи физических наук.-Т.181.-№7.-2011.С.779-786.

Контактная информация

8 (916) 659-23-41

olga.pyrkina@gmail.com