Научная статья на тему 'Возможность превышения максимума эффективности ветродвигателя Бетца - Жуковского'

Возможность превышения максимума эффективности ветродвигателя Бетца - Жуковского Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
452
88
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВЕТРОДВИГАТЕЛЯ / ВИХРЕВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ / ИСКУССТВЕННАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Молчанов В. Ф.

Согласно исследованиям Н. Е. Жуковского и А. Бетца, касающимся ветродвигателя, максимальный коэффициент использования энергии ветра ξ = 59.3%. Этот результат получен из решения задачи обтекания многолопастных соосных винтов с прямыми лопастями. В статье показано, что использование искривленных лопастей увеличивает ξ.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Возможность превышения максимума эффективности ветродвигателя Бетца - Жуковского»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 1

УДК 533.6.01

ВОЗМОЖНОСТЬ ПРЕВЫШЕНИЯ МАКСИМУМА ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЕТРОДВИГАТЕЛЯ БЕТЦА — ЖУКОВСКОГО

В. Ф. МОЛЧАНОВ

Согласно исследованиям Н. Е. Жуковского и А. Бетца, касающимся ветродвигателя, максимальный коэффициент использования энергии ветра = 59.3%. Этот результат получен из решения задачи обтекания многолопастных соосных винтов с прямыми лопастями. В статье показано, что использование искривленных лопастей увеличивает

Ключевые слова: эффективность ветродвигателя, вихревая поверхность, искусственная погрешность.

Исследования Жуковского и Бетца, приоритеты которых детально рассмотрены в [1] и [2], основаны на теории активного диска Ренкина [3]. В ней винт заменяется проницаемым диском. Предполагается, что в каждой точке этого диска заложен механизм, который, передавая импульс среде или отбирая его, создает определенный перепад давления Ар на диске. Ренкин рассмотрел частный случай, когда упомянутый механизм создает постоянный перепад давления, а вихри образуются только на краях диска. Данный случай соответствует обтеканию многолопастных соосных винтов, которые вращаются в разные стороны. Лопасти предполагаются прямыми, а циркуляция вокруг лопастей постоянной. Вихревая система, образованная сходящими с концов лопастей вихрями, в теории активного диска моделируется тангенциальным разрывом, сходящим с краев диска. Поскольку внутри такого следа вихри отсутствуют, то справедлив закон Бернулли. В плоскости диска тоже нет вихрей, поэтому скорости на диске непрерывны и перепад давления определяется только разрывом постоянной Бернулли.

В приведенных рассуждениях важным является предположение о прямолинейности лопастей. При неограниченном увеличении числа лопастей каждого из винтов присоединенные вихри

лопастей будут взаимно сокращаться, «освобождая» диск от вихрей. При искривленных же лопастях такого сокращения может не произойти. На рис. 1 сплошной кривой показан присоединенный вихрь лопасти одного из соосных винтов, а штриховой кривой — присоединенный вихрь лопасти другого винта. Стрелками показаны направления присоединенных вихрей. Снося эти вихри на диск, можно заметить, что в точках их пересечения радиальные составляющие присоединенных вихрей взаимно сокращаются, а окружные составляющие взаимно усиливаются. При неограниченном увеличении числа лопастей каждая точка диска становится точкой пересечения присоединенных вихрей. В результате появляются кольцевые вихри, лежащие в плоскости диска. Свободные вихри по-прежнему сходят только с краев диска. Справедливость закона Бернулли сохраняется, а перепад давления на диске будет обусловлен не только разрывом постоянной Бернулли, но и разрывом скоростей на диске и, следовательно, может быть не одинаковым в разных точках диска. Данная постановка задачи отличается от предложенной Ренкиным, и в ней возможен иной результат.

МОЛЧАНОВ Виктор Федорович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ

В исследованиях Жуковского — Бетца постоянство перепада давления и механизм вихреобразования сохранены. Изменен лишь знак перепада давления на диске, что соответствует обтеканию ветродвигателя. В этом случае у частицы, пересекающей диск, часть энергии теряется. Она переходит в полезную энергию. Чем больше перепад давления на диске, тем большая часть энергии частиц переходит в полезную энергию, но и тем больше частиц обходят диск, избегая его пересечения. Найден оптимальный перепад давления и получен максимум эффективности использования энергии ветра Е = 59.3% [1]. Это отношение полезной энергии к энергии набегающего потока, приходящейся на площадь равную площади диска. Данный экстремум является условным. Если не касаться процесса вихреобразования, то условием будет указанное постоянство перепада давления на диске.

К сожалению, со временем данное обстоятельство выпало из поля зрения исследователей, что породило определенные проблемы. Возникают ситуации, когда численный расчет обтекания ветродвигателя, где Е > 59.3%, считается ошибочным. Проблема усугубляется наличием действительно ошибочной работы [4], где Е = 0.687, что убедительно опровергнуто в [2]. Кроме того, уточнение теории, например, связанное с учетом влияния вязкости [5], требует более сложных исследований.

1. СХЕМА РАССМАТРИВАЕМОГО ТЕЧЕНИЯ И ЕГО СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

За единицу длины примем расстояние от оси вращения винта до конца лопасти. Поток направлен вдоль оси х прямоугольной системы координат (х, у, г). Функция /(г), /(1) = 0 задает форму лопасти винта

Ф = I (г) + Фо, (1)

где г, ф — полярные координаты в плоскости вращения винта, фо — определяет координату конца лопасти винта. Полярная ось совпадает с осью г, но направлена в противоположную сторону. Положительное направление изменения ф определяется направлением оси х и правилом винта. Символом у предлагается обозначить суммарную циркуляцию всех лопастей винта. В этом случае определить циркуляцию Г1 некоторого количества лопастей можно путем интегрирования вектора скорости по контуру, который охватывает эти лопасти. Данный контур должен пересекать плоскость диска в точке г = 1, ф = 0, переходя к отрицательным значениям х, а затем в некоторой точке (г, ф) возвращаться к положительным значениям х. На рис. 2 даны примеры таких контуров. Штриховой кривой показаны первые части контуров, а непрерывной — вторые их части.

Контур должен обходить положительную часть оси х. Причина данного обхода в том, что эта часть оси совпадает с дискретным вихрем, образованным винтом, который затем будет обнулен дискретным вихрем другого винта. Для вычисления Г1 необходимо по значениям (г, ф) из (1) найти фо, что дает Г1 = уфо/2п. Поэтому получается

Г1 ( ф) = 1(г)).

(2)

Можно заметить, что Г1 (г, ф) является функцией тока для вектора плотности вихря 9^

Рис. 2. Примеры контуров, охватывающих несколько лопастей

непрерывно распределенного на диске. Для единственности этой функции необходим разрез, показанный на рис. 2 жирной линией. Частные производные Г определяют компоненты указанного вектора 01г, 01ф :

1 д Г _ ^ ; 0 _ _ д г _ У г'

Я 1 _ о ' 1ф " я 1 "о 1 .

г дф 2пг ^ дг 2п

Штрих означает операцию дифференцирования. У лопастей второго винта изогнутость противоположная, ф _ _/ ( г ) + ф0.

Циркуляция у имеет тоже противоположный знак, поэтому соответственно:

1 д у д у ,

_я-Г2 __т ' ®2ф__^~Г2 ? .

г дф 2пг ^ дг 2п

Компоненты суммы этих векторов 9г _91г +Э2г, 9ф _61ф+62ф определяют распределение кольцевых вихрей:

9г _ 0, /'.

т п

Можно поставить и обратную задачу определения формы / лопасти винта по заданным кольцевым вихрям:

/ , /(1)_ 0. у *

В настоящей работе распределение кольцевых вихрей задается в виде функции:

9ф_а ^ ^лЯ-Т2, (3)

3п

где и_ — скорость набегающего потока, а — свободный параметр. Причина выбора постоянного множителя будет объяснена позднее. Формула (3) задает следующую форму лопастей:

„ 32и л 2\3/2 .„.

* __а_2и"(1 _г2) . (4)

На рис. 3 показана характерная форма получающихся обоих винтов, которые показаны отдельно, но должны находиться на одной оси. Поток направлен от чертежа к читателю. Прямые стрелки обозначают направление присоединенных вихрей. Искривленные стрелки определяют направление вращения.

Вторым свободным параметром задачи является постоянная Бернулли следа с+. На рис. 4 показана трубка тока, образованная кромками активного диска. Нижними индексами «_» и «+» обозначены характеристики потока в сечениях трубки тока при х ^ _<х> и +со соответственно. На диске и — нормальная компонента скорости ио — средняя ее величина. Символом ¿о обозначается площадь диска. При х ^ +<х> законы Бернулли для следа и внешнего течения допускают следующую запись:

Рис. 4. Трубка тока, образованная кромками активного диска

Здесь р — плотность, р — давление. На тангенциальном разрыве перепад давления отсутствует. Поэтому:

2 2 / и_ и+ , ч [ и_ + и

---— = с _с+ =(и _и, )|-

2 2 + У + \ 2

Выражение в первой скобке равно плотности распределения вихрей на тангенциальном разрыве, а во второй — скорости снесения вихрей. Таким образом, постоянные Бернулли определяют интенсивность вихреобразования на лопастях или, соответственно, на краях диска.

За один оборот оба винта генерируют вихри с циркуляцией 2у. Если они вращаются с угловой скоростью ю, то за единицу времени генерируются вихри с циркуляцией ую/л. Получается следующее соотношение:

ую/п = с_ _ с+. (5)

Тем самым вводится еще один свободный параметр ю, позволяющий исключить у из (4), а именно:

. 32и_ / 2\3/2

7 = _аю9П(~_С+)(1 _г) .

Таким образом, искривленность лопастей зависит от трех свободных параметров — а, с+ и ю. Интенсивность же кольцевых вихрей зависит лишь от одного свободного параметра — а.

При вычислении перепада давления на диске символами у_ и у+ обозначаются проекции компонент скорости на диск соответственно с наветренной стороны и подветренной стороны. Поскольку нормальная компонента скорости и на диске непрерывна, то для перепада давления на диске получаем:

р__р+ =р(с__с+) + р(+_У_)[ У+ +

Видно, что второе слагаемое правой части совпадает с локальной формулой Жуковского, определяющей силы, действующие на кольцевые вихри. При усреднении по диску имеем:

ЛЛ =р( С-- С+) +

(6)

В этом выражении Лр1 — усредненный перепад давления на диске, Е — сила Жуковского, действующая на все кольцевые вихри. На рис. 5 проиллюстрирован механизм возникновения силы Жуковского. След можно представить в виде совокупности кольцевых вихрей. Поскольку все такие вихри находятся правее диска, то их индукция в точках диска при у > 0 имеет положительную проекцию на ось у. На рис. 5 эта проекция обозначена прямой стрелкой. При а > 0 через данные точки будут проходить кольцевые вихри с направлением циркуляций, показанных кривыми стрелками, что соответствует Е > 0. Иными словами, при а > 0 эта сила тормозит поток.

Рис. 5. Механизм возникновения силы Жуковского на диске

2. ВОЗМОЖНОСТЬ ПРЕВЫШЕНИЯ МАКСИМУМА БЕТЦА — ЖУКОВСКОГО

Применение законов сохранения к течению в трубке тока (см. рис. 4) приводит к следующим уравнениям:

рм- 5- = р^0 ¿о = ри+s+ = д, дх = рм- ¿о; д (м- - и+^Лр^;

1 д (и- - и+ ) = Е = д ^ Ех=1

2 V > п 2

(7)

(8)

(9)

Индексом «да» обозначены характеристики набегающего потока, приходящиеся на площадь, равную площади диска; д — расход массы; Е — полезная энергия. Первая система равенств определена законом сохранения массы, вторая — законом сохранения импульса, третья — законом сохранения энергии.

Поскольку давление определяется с точностью до постоянной, то удобно положить рда = 0,

где рда — давление на бесконечности. В этом случае с- = и-/2, с+ = и+/2 и соотношение (9) принимает вид:

ЛР2 =П(с-- с+).

(10)

Если левую и правую части уравнения (9) поделить соответственно на левую и правую части уравнения (8), то нетрудно получить следующее соотношение:

1 ( \ Лр2 —(и + и+) = и0—-. 2К ' Лр1

Из (7) и (9) с учетом данного выражения находятся формулы для Е, и относительного расхода п:

Е/Еда=Е= 1ЛР1

2 Лр2

1

(

1 -и+

V -и-2,

, 1 ЛР1

, д/дда = п = ~

2 Лр2

1

(11)

Если а = 0, то в плоскости диска нет вихрей. При этом ^ = 0, Др _ Др , Е зависит лишь от отношения и+/и_ . Можно показать, что максимум Е достигается при и+/и_ _ 1/3. Получается результат Бетца — Жуковского:

_17 _ 0.593, п_П1 _ 3, ДР2/(ри_ )_Д _ -4 «0.44. (12)

Однако, если, зафиксировав и+1 и_ _ 1/3, увеличивать а, то, как указывалось выше, в этом случае ^ > 0, следовательно, Др > Др . Это означает, что перед найденным значением Е1 будет стоять множитель больше единицы, что указывает на возможность превышения максимума Бетца — Жуковского.

Понятно, что коэффициент а нельзя увеличивать неограниченно. При весьма больших значениях а произойдет качественное изменение потока, сносящего вихри с кромок диска. Вихри станут двигаться против основного потока, и рассуждения, касающиеся знака потеряют силу.

Из второй формулы (12) следует, что индукция вихрей следа близка к _и_/3. Если в этой формуле положить а = 1 и вычислить индукцию кольцевых вихрей на краю диска, то получится _2и_/3. В совокупности с индукцией следа это должно быть близким к _и_ и уравновешивать скорость набегающего потока. Таким образом, множитель в (3) выбран с таким расчетом, чтобы качественные изменения течения около края диска ожидались в окрестности значения а = 1.

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

В силу симметрии достаточно построения течения в плоскости г = 0. Поэтому методика расчета почти полностью совпадает с приведенной в [6] для плоских течений. Тангенциальный разрыв заменяется системой кольцевых дискретных вихрей. В дальнейшем изложении поверхность, на которой располагаются эти вихри, именуется «вихревой поверхностью». Используются безразмерные переменные. За единицу скорости принимается скорость на бесконечности, за единицу длины — радиус диска, а за единицу давления — произведение ри_.

Согласно (5) в моменты времени, отделенные друг от друга шагом Д^ на краях диска помещается кольцевой вихрь с циркуляцией ДГ _ (с_ _c+)Дt.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Важным отличием настоящей методики расчета от изложенной в [6] является расположение точки, скорость в которой определяет скорость движения вихря. В данной методике эта точка располагается между вихрями. Реализуется следующая схема:

п+1 _ п Я+1 _ п

т+1 лт _„.« /т+1 Ут _п,п Л-34

Д _ ит+1!2, Д _ ^ (13)

Здесь т — номер вихря; п — номер шага по времени; иШ+1(/2, уШ— скорости, вычисленные в середине отрезка, соединяющего вихри с номерами т и т + 1. При этом учитывается набегающий поток и индукции всех вихрей, включая расположенных на диске. Вычисленная таким образом скорость считается постоянной в течение времени Д t и приравнивается к скорости движения вихря с номером т. Поэтому в случае нестационарного движения схема (13) имеет первый порядок точности, но при установлении, когда вихрь с номером т в следующий момент времени занимает позицию вихря с номером т + 1, эта схема приобретает второй порядок точности.

Скорость последнего вихря не определяется, а заменяется асимптотикой, которую дает цилиндр с расположенными на нем кольцевыми вихрями. Расстояние между вихрями Д х и радиус цилиндра выбираются из условий наилучшего сопряжения асимптотики с решением.

Расчет начинается с задания первоначального положения свободных вихрей и параметров асимптотики.

Для того чтобы движение кольцевых дискретных вихрей соответствовало движению тангенциального разрыва, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, во все время движения расстояния между вихрями должны быть много меньше радиуса кривизны тангенциального разрыва, который они представляют. Во-вторых, при переходе от одной пары вихрей к другой изменения расстояний между вихрями должны быть малыми по сравнению с самими расстояниями. Результаты исследования движения вихревых колец [7, 8] показывают, что в общем случае данные условия быстро нарушаются. Ситуация исправляется путем выполнения следующих двух процедур. Первой процедурой является введение специального вида искусственной погрешности. Эта погрешность вносится на каждом шаге и имеет порядок к3, что не меняет общего

порядка точности схемы. На рис. 6 показан типичный график дискретной функции хт в окрестности некоторого номера т = 1. Штрихами обозначены точки, где искусственная погрешность уже внесена. Для внесения погрешности в следующую точку необходимо через две последние точки со штрихами и одну не первую точку без штриха провести параболу и переместить на нее первую точку без штриха. Искусственной погрешностью является величина данного перемещения. Аналогичная процедура выполняется и с у'т. В итоге для х и у получаем:

х =

У =

(к + 1)(к + 2) '+к ' к + Р 1 к + 2 2

2к , к

Х_1 : X

1-2 >

2к , к , Уг+к +1 7 У/-1 Уг-2.

(14)

(к + 1)(к + 2) к +1 1 1 к + 2'

В (14) верхние индексы опущены, к > 0 — свободный целочисленный параметр; в расчетах принималось к = 2.

Вторая процедура связана с определением шага по времени АI. Для этого задается к — характерное перемещение вихрей за время А ^ и на каждом шаге определяется характерная скорость движения вихрей , что позволяет определить шаг по времени А ^ следующим образом:

А=Vvш.

В проведенных расчетах характерной скоростью движения вихрей va считалась скорость первого свободного вихря. Допустимы и другие определения v(й.

Несмотря на выполнение этих процедур, движение вихрей остается неустойчивым. Но растущие возмущения сносятся потоком в область асимптотики, и течение становится стационарным, сохраняя условия, необходимые для соответствия движений тангенциального разрыва и системы дискретных вихрей. Причина данного эффекта кроется в том, что дискретизация тангенциального разрыва приводит к избыточному влиянию вихрей друг на друга. Вихри, распо-

Рис. 6. Схема внесения искусственной погрешности

ложенные ниже по потоку, избыточно влияют на вихри, находящиеся выше по потоку, что препятствует снесению возмущений. Внесение погрешности (14) устраняет данное избыточное влияние. Но, следует подчеркнуть, что для этого погрешность (14) должна вноситься по ходу движения вихрей. Некоторые элементы теории, объясняющей принципы стабилизирующего воздействия первой процедуры, даны в [9].

Расчеты проводились при и+ _ и_/3, что соответствует c+ _ и_/18. На рис. 7 приведен график зависимости Е от а. Видно, что только при а > 1 наблюдается некоторое отклонение от линейной зависимости. Расчет удалось провести до а = 1.2, Е = 0.83. При дальнейшем увеличении а вихри переходят на наветренную часть диска, начинают движение к его центру и пересекают диск. Схема теряет устойчивость, и удовлетворительного результата получить не удается.

Можно дать другое объяснение механизму увеличения Е. Поскольку и+/и_ _ 1/3, то при любом значении а из (11) получается:

Рис. 7. Зависимость Е от а

Е = -п-

9

Поскольку индукция кольцевых вихрей, лежащих на диске, изменяет траекторию сходящих с краев диска вихрей, а они образуют оболочку следа, то происходит увеличение толщины следа. Более толстый след для своего заполнения требует больше среды, которая может попасть в него только после пересечения диска, что увеличивает п и соответственно Е.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Максимум эффективности ветродвигателя Бетца — Жуковского Е = 59.3% получен путем сведения проблемы к обтеканию активного диска с постоянным перепадом давления на нем. Показано, что это частный результат и применение переменного перепада давления способно увеличить Е не менее, чем на 20%.

2. Показано, что данный переменный перепад давления соответствует искривлению лопастей ветродвигателя в плоскости их вращения.

ЛИТЕРАТУРА

l.OkulovV. L.,SorensenJ. N. Maximum efficiency of wind turbine rotors using Jou-kowsky and Betz approaches // J. Fluid Mech. 2010. V. 699, p. 497 — 508.

2. ОкуловВ. Л. , ван КуикГ. А. М. Предел Бетца — Жуковского для максимального использования энергии ветра // Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология». 2009. № 9 (77), с. 110.

3. R a n k i n e W. J. M. On the mechanical principals of the action of propellers // Transactions of the Institute of Naval Architects. 1865. N 6, p. 13 — 30.

4. Сабинин Г. Х. Теория идеального ветряка // Труды ЦАГИ. 1927, вып. 32.

5. Брутян М. А. Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, № 3 — 4, с 82 — 85.

6. БелоцерковскийС. М., НиштМ. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука, 1978, с. 60 — 76.

7. Брутян М. А., КрапивскийП. Л. Гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в присутствии границ потока // Ученые записки ЦАГИ. 1992. Т. XXIII, № 2, с. 74 — 77.

8. Брутян М. А., КрапивскийП. Л. Движение системы вихревых колец в несжимаемой жидкости // ПММ. 1984. Т. 48, № 3, с. 503 — 506.

9. Молчанов В. Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т. VI, № 4, с. 1 — 11.

Рукопись поступила 12/V 2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.