Воздействие высокочастотных вибраций на конвективное движение неньютоновской жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

МЕХАНИКА

УДК 532.501.32

А.В. Перминов, Е.В. Шулепова

воздействие высокочастотных вибрации

на конвективное движение неньютоновской жидкости

В современной научной литературе большое количество работ посвящено изучению конвективных движений ньютоновских жидкостей под воздействием разного рода вибраций. При описании термовибрационной конвекции в несжимаемой жидкости, как правило, используются уравнения Зеньковской — Симоненко [1]. Систематическое описание основных положений термовибрационной конвекции можно найти в монографии [2]. В работах [3—5] было предложено использовать для моделирования конвективных течений вязкопластичных жидкостей модель Уильямсона, позволяющую проводить вычисления единым образом во всей полости. В статье [6] показано, что нелинейность реологического закона, а также зависимость реологических параметров от температуры существенно влияет на структуру течения вязко пластика.

Данная работа посвящена изучению термовибрационной конвекции, возникающей в классе неньютоновских жидкостей, для которых скорость сдвига в каждой точке представляет некоторую функцию только от напряжения сдвига в той же точке. При описании реологических свойств таких жидкостей для тензора вязких напряжений можно использовать реологический закон Уильямсона (1) или степенное реологическое уравнение Оствальда — де Виля (2):

ти =

А

еи -

(1)

(2)

где

ву = (дщ/дх^ + дИу/дх,-/2=е,уеу,у2; к— консистентность жидкости, а п — показатель ее неньютоновости; А, В — рео-

логические параметры жидкости Уильямсона;

— вязкость при больших скоростях сдвига.

Если параметры А = 0ип = 1,то модели (1), (2) превращаются в ньютоновскую. При малых значениях параметра В жидкость Уильямсона близка по своим свойствам к бингамовскому пластику, тогда Л приобретает смысл предельного напряжения сдвига [7].

В высокочастотном приближении были получены уравнения термовибрационной конвекции для реологических моделей (1), (2), которые описывают медленное осредненное конвективное движение, возникающее на фоне быстрых пульсаций полей скорости, давления и температуры. Для вывода уравнений применен метод осреднения, предложенный в работе [8]. Было сформулировано условие квазиравновесия неньютоновской жидкости, находящейся в замкнутой полости произвольной формы. Аналогичное условие для ньютоновской жидкости получено в работе [9]. На основании реологической модели Уильямсона рассматривалась задача о вибрационно-конвективном движении нелинейно-вязкой жидкости в плоском бесконечном вертикальном слое.

Уравнения термовибрационной конвекции

Пусть имеется однородная жидкость, целиком заполняющая замкнутую полость, совершающую линейно-поляризованные (возвратно-поступательные) вибрации с амплитудой смещения а и частотой ю в направлении единичного вектора п, тогда аю — амплитуда скорости пульсаций. Вибрации высокочастотные, малоамплитудные, но не акустические, а«Ьу ю >> Уе/1}, где Ь — характерный размер гидродинамических

структур; V — эффективная кинематическая

вязкость. Жидкость считается несжимаемой. В этих предположениях все физические поля расщепляются на быстро меняющуюся пульсаци-онную и медленную осредненную части. В уравнениях для пульсационных компонент можно пренебречь нелинейными слагаемыми. Отметим, что параметр аю необходимо считать конечным. Жидкость находится в неоднородном температурном поле.

Движение жидкости будем рассматривать в неинерциальной системе отсчета, связанной с сосудом, что приводит к перенормировке ускорения свободного падения. В этом случае уравнения свободной конвекции примут вид:

д\ 1 1 —+ (УУ)У =—УР + + £р7у +

д р р

2

дт_

д(

+ а& рпГсозюГ; + \УТ = рАТ, с1ЬУ = 0,

(3)

д д д _| д д — = ю--1---ью--ью--ь.

& д(_ дЦ дЦ д(2

Все переменные физические поля записываются в виде степенных рядов:

У = У0+Ю-1У,+Ю-2У2+...;

Т = Т0+аТ*Т1+аГ2Т2+...; Р = аР-+Р0 + а>-1Р1+.... (5)

Характерная скорость вибраций аю — конечная величина при следовательно, вибрационное ускорение аю2, а вместе с ним и главная часть давления пропорциональны первой степени ю.

Используя изложенные выше соображения и следуя методике, описанной в монографии [8], получим систему уравнений, которая описывает медленное осредненное конвективное движение жидкости:

— + (пУ)п = -—Ур + — О т + £ р Г у + д р р

1

(аю)2р2 уУ (ГП -У),

д

31 Л

сНу¥ = 0, го1:¥ = УГхп,

(6)

где V— скорость жидкости; Р— давление; р — плотность; g — ускорение свободного падения; Р — коэффициент теплового расширения жидкости; р — коэффициенттемпературопроводности; у — единичный вектор, направленный вертикально вверх; п — единичный вектор, показывающий направление вибраций; у А, ОЬ^сНу —стандартные обозначения дифференциальных операторов градиента, Лапласа и дивергенции.

Следуя методу, изложенному в работе [8], вводим иерархию времен: г_ =ш, ц г, = ю_'г, = .... Будем считать, что все поля скорости, давления и температуры зависят как от «быстрого» (пульсационного) времени , так и от «медленных» (конвективных) времен /0, /,, /2.....

Отметим, что характерное время изменения пуль-

_

одного порядка с ю_'. Производная по времени представится в виде ряда по степеням ю :

где и, 7\ /? — функции медленного времени /, описывающие осредненное конвективное течение; V — амплитуда пульсационного поля скорости.

Система (6) фактически совпадает с системой уравнений термовибрационной конвекции для ньютоновской жидкости, за исключением «вязкого слагаемого» От, вид которого определяется реологической моделью.

Определим явный вид разложения тензора вязких напряжений по степеням ю_' для реологической модели Уильямсона (1). Учитывая разложение поля скорости (5), для тензора скорости сдвига и второго инварианта этого тензора получаем:

е9=е09+ ю ещ+...\

Ь = 2еиеЛ =

Нелинейная часть тензора вязких напряжений примет вид

А

/ = -

^оо = ещЧ]1' Ли = еще\ // •

В данном случае учтена симметричность тензора скоростей сдвига ву. Раскладываем получившееся выражение в степенной ряд Тейлора. В качестве переменной в разложении выбирается сумма слагаемых, порядок малости которых выше нулевого.

/ =

А

ю 'Л/01

+ ... .

Тогда разложение тензора вязких напряжений по степеням обратной частоты с точностью до слагаемых порядка ю"1 имеет вид

с \

ха 2

А

+

еЩ-

+ ю

2(В + ^2)2^2

г \

А

+

В этом разложении нам необходимо ограничиться только первым слагаемым нулевого порядка малости, которое после осреднения по периоду пульсаций примет вид

_ _1_

^ _ 2 я

ъ

А

+ Мч

е0/7

Чц = +еиц

щ •

(7)

еУ={дЧ/дх]+дЧ/дх1)

определяется амплитудои скорости пульсации, вторая

еЩ = (д"//дХ;+д"//дХ/ )-

скоростью осредненного конвективного движения.

Для степенной модели осредненное выражение тензора вязких напряжений имеет вид

сИ .

(8)

Процедура получения выражения (8) аналогична той, что была приведена для модели Уиль-ямсона.

На твердых границах для медленно меняющейся скорости и выполняется условие прилипания, а для амплитуды пульсационной скорости — условие непротекания.

Приведем уравнения (6)—(8) к безразмерному виду. Для этого введем масштабные множители: 9 — характерная разность температур; И — характерный размер задачи; — масштаб «медленного» времени; р^/р/г — масштаб скорости. Тогда получим систему безразмерных уравнений:

ди

д1

+ (пУ)п = -Ур + От + Ог Ту +

д

С1гуи = 0, СНуу = 0, пйу = УГХП. (9) Для жидкости Уильямсона и степенной жидкости Оствальда — де Виля справедливы выражения:

2я

Ь + у!1 оо/2

+

е() ц

_ К

"в _ 2л

чн-1

т«_—/ ((ю/2) %у

_

+ е-

Тензор скоростей сдвига разделяется на две части: одна из них

2

где Су = (аюрЭрЛ/р^,) — вибрационное число Грасгофа; Ог = £Р9р2й3/р2 — гравитационное

число Грасгофа; Рг = р^/(хр) — число Прандт-ля; реологические параметры моделей:

Тп =

рИ2л/»2р-, Ь = рк2в/^р; К = к(^/ри:

Квазиравновесие

Под квазиравновесием жидкости, находящейся в замкнутой полости в поле высокочастотных вибраций, будем понимать такое-еесостояние, при котором на фоне быстрого пульсационного движения отсутствует медленное осредненное течение жидкости, т. е. и = 0, 3/3/ = 0 .

1 71

В этом случае система уравнений (9), после применения к ней операции ротора и исключения давления, примет вид:

rot DivT + ^GvV(vn)xVr + GrVrxj = 0;

ЛГ = 0, divv = 0, rotv = Vrxn. (10)

Эти уравнения, описывающие состояние квазиравновесия, являются фактически обобщением условий, полученных в работе [9], на рассматриваемый класс неньютоновских сред. В указанном литературном источнике изучалась термовибрационная конвекция в ньютоновских жидкостях.

Вертикальный слой

Рассмотрим вертикальный слой жидкости Уильямсона, ограниченный идеально теплопроводными твердыми границами. Ось х направлена перпендикулярно слою, z — вертикально вверх; начало координат находится в центре слоя, градиент температуры направлен поперек слоя. В безразмерных единицах на границах слоя с координатами х = +1 поддерживаются постоянные температуры Т = ± 1 соответственно. Слой совершает высокочастотные вибрации вдоль оси z, порождающие сдвиговые напряжения вдоль этой оси. Полагаем, что скорость, амплитуда пульсационной скорости, сдвиговые напряжения и температура являются функциями только координаты z.

Условие квазиравновесия (10) запишется в виде

Л

дх2

+ Gr = 0.

(Н)

В псевдопластичной жидкости (й = 1), для которой

т = -

J_

2л

x0^Gvsin t_

6+ vGvsini

dt_

жидкость находится в квазитвердом состоянии, которое можно трактовать как квазиравновесие. В этом случае в слое возникнут вязкие напряжения, распределение которых задается уравнением (11). Разрешая его относительно т, с учетом симметрии задачи получим

х = -0,5Сг-х2+С

(с точностью до произвольной константы).

Для реализации квазитвердого состояния жидкости необходимо, чтобы напряжения в центре и на границах слоя не превышали т0. Следовательно, при заданном числе вг весь слой вязкопластичной жидкости находится в квазитвердом состоянии, если выполняется неравенство т0 > в г/4 .Данное условие не содержит вибрационного параметра. Численные расчеты для модели Уильямсона показали, что оно строго выполняется только в отсутствие вибраций. Причины этого эффекта будут обсуждаться ниже. Отметим, что аналогичное условие было получено в работе [6] при рассмотрении гравитационной конвекции в вертикальном слое.

При выбранных режимах подогрева и вибраций в слое возникает плоскопараллельное течение, в котором вблизи горячей стенки жидкость движется вверх, а вблизи холодной — вниз. Для осредненного конвективного течения выполняется условие замкнутости потока. Такое течение удобно описывать в терминах функции тока Ф и завихренности X (и = дф/дх, X = ди/дх). Завихренность в этом случае представляет собой скорость сдвига жидкости. В квазитвердом состоянии Х = 0. Запишем уравнения движения жидкости в терминах функции тока и завихренности:

J_

2л

2л

дх1

Леа

В + \еЛ

дх

dt_ +—- Х(х ) + Gr = 0;

дх2

= ^smt_+Q(x). (12)

квазиравновесие имеет место лишь в отсутствие градиента температуры или в невесомости.

Для вязкопластичной жидкости Бингама [Ь ^ 0) имеется предельное напряжение сдвига т0, при достижении которого жидкость начинает течь. Если создаваемые в жидкости напряжения меньше предельного, то вязкопластичная

Задача (12) решалась численно методом конечных разностей. Функция тока на границах слоя равна нулю, а для завихренности выбрано условие Тома

где Их — пространственный шаг сетки (во всех расчетах полагался равным 0,01).

Значение погрешности при вычислении фун-

_о

кции тока и завихренности выбиралось 10 . Основные расчеты проводились для О г = 400. Для псевдопластичной жидкости параметр^ = 1,для вязкопластичной — Ь = 10"4. Параметр т0 варьировался.

На рис. 1 представлены характерные профили течения для вязкопластичной (кривые 7) и псевдопластичной (кривые 2) жидкостей в отсутствие вибраций. В вязкопластичной жидкости возникает четко выраженная квазитвердая зона, в пределах которой среда движется подобно твердой стенке. Скорость сдвига в пределах квазитвердой зоны практически равна нулю (см. кривую 7, рис. 1, б). Между движущимися навстречу друг другу стержнями, а также между стержнем и твердой стенкой имеются зоны вязкого течения, которые уменьшаются по мере увеличения предельного напряжения сдвига т0. Интенсивность течения в этом случае падает. Пороговое напряжение, соответствующее равновесному состоянию жидко-=

ты (кривая 7, рис. 2) показывают, что скорость жидкости стремится к нулю при т0 —> 100 .

В псевдопластичной жидкости квазитвердых зон не образуется, но вблизи максимумов встречных потоков скорость сдвига существенно меньше, чем около стенок и в центре слоя (см. кривую 2, рис. 1, б). Это влияет на подвижность жидкости. Из расчетов следует, что увеличение

параметра т0 приводит к монотонному уменьшению интенсивности течения псевдопластика. Как было отмечено выше, в псевдопластичной жидкости состояние равновесия в данных условиях невозможно, поэтому кривая 2 на рис. 2 асимптотически стремится к значению 0,06.

Включение касательных к слою вибраций приводит к ослаблению нелинейных реологических свойств жидкости. В вязкопластичной жидкости происходит разрушение квазитвердых зон. Увеличивается скорость сдвига вблизи максимумов профилей скорости течения. Конвективное движение жидкости становится более интенсивным, а профили скорости (см. рис. 1, а) и скорости сдвига (см. рис. 1, б) принимают вид, характерный для ньютоновской жидкости.

На рис. 3 показана зависимость максимальной скорости течения жидкости в слое от вибрационного числа Грасгофа для Ь = 10"4 при различных значениях параметраи т0. Расчеты

=

при тех же значениях реологического параметра т0, практически совпадают с соответствующими графиками рис. 3. Незначительные отличия в значениях максимальной скорости течения наблюдаются только при малых значениях вибрационного числа Грасгофа. Это свидетельствует о том, что в поле касательных вибраций вязко пластичная жидкость теряет свои свойства, т. е. происходит разрушение квазитвердых зон. Характер течения жидкости при высокочастотных вибрациях не зависит от значения параметра Ь во всем рассмотренном диапазоне значений т0. Под-

Рис. 1. Расчетные профили скоростей течения (а) и скоростей сдвига (б) при значении вг = 400 и различных значениях числа ву и параметра Ь: ву = 0 (/, 2) и ву = 400 (3); Ь = 10 4 (/, 3) и 1 (2, 3) (кривые 3 одинаковы для разных Ь)

20-

10-

/J—

г

1 1 1 * 1 i >

О

400

коо

12(H) Gv

Рис. 3. Зависимость максимума скорости течения от вибрационного числа Грасгофа при значении Gr = 400 и различных значениях предельного напряжения сдвига т0: 150 (/), 50 (2), 10 (J)

логичный вывод можно сделать в результате анализа нелинейно-вязкой части в уравнении (12). Можно показать, что

,lim j—т^—-

b +

Gvsin?_ + Q(x)|

Рис. 2. Зависимость максимума скорости течения от предельного напряжения сдвига при значении Сг = 400 и различных значениях числа Су и параметра Ь (нумерация кривых такая же, как на рис. 1).

Пунктир соответствует гравитационному течению ньютоновской жидкости

тверждением может служить кривая 3 на рис. 2, которая имеет одинаковый вид для Ь = 1 и Ю-4.

Увеличение вибрационного числа Грасгофа ослабляет неньютоновские свойства жидкости. Все кривые на рис. 3 асимптотически стремятся к пунктирной линии, которая соответствует значению мтах « 25,66. Это есть максимум скорости конвективного течения ньютоновской жидкости в поле касательных вибраций [ 1 ]. Ана-

тогда уравнение (12) преобразуется в известное уравнение для ньютоновской жидкости.

Таким образом, высокочастотные вибрации приводят к появлению в неньютоновской жидкости дополнительного механизма генерации осредненного движения, который связан с нелинейностью реологической модели и не зависит от температурного градиента.

В рассмотренном классе неньютоновских жидкостей возможна реализация квазиравновесных состояний, при которых на фоне пульсаций полей скорости и температуры не возникает осредненного тепло- и массопереноса. Условие квазиравновесия для неньютоновской жидкости отличается от ньютоновского аналога [9] наличием дополнительного слагаемого, связанного с тензором вязких напряжений.

В плоском вертикальном бесконечном слое псевдопластичной жидкости, в котором созданы горизонтальный градиент температуры и касательные к слою вибрации, квазиравновесие возможно только в отсутствие поля тяжести. В слое вязкопластичной жидкости равновесное состояние реализуется только в отсутствие вибраций. Имеется пороговое значение числа Грасгофа, при котором касательные напряжения, возникающие в жидкости, превосходят некоторое предельное значение. В этом случае во встречных конвективных потоках появляются две квазитвердые зоны, окруженные зонами вязкого течения. В квазитвердых зонах скорость сдвига равна нулю. С увеличением числа Грасгофа интенсивность течения вязкопластика растет, а толщина квазитвердых зон уменьшается. Включение касательных вибраций приводит к разрушению этих зон. Вязко-пластичная жидкость теряет свои свойства и превращается в псевдопластик. Квазиравновесное состояние в этом случае не реализуется.

При больших вибрационных числах Грасгофа профиль скорости неньютоновской жидкости в слое совпадает с профилем скорости ньютоновской жидкости, полученным при аналогичных условиях прогрева и вибраций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гершуни, Г.З. Устойчивость конвективных течений [Текст] / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, A.A. Непомнящий,— М.: Наука, 1989,— 320 с.

2. Gershuni, G.Z. Thermal vibrational convection |Текст| / G.Z. Gershuni, D.V. Lyiibimov.— New York: Wiley, 1998,- 358 p.

3. Любимова, Т.П. Конвективная устойчивость жидкости Уильямсона в вертикальном слое [Текст] / Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Д.В. Любимов // Уч. зап. Пермск. ун-та. Гидродинамика,— 1976.— Вып. 8,- С. 31-43.

4. Любимова, Т.П. Численное исследование конвекции вязкопластичной жидкости в замкнутой области |Текст] / Т.П. Любимова // Изв. АН СССР. МЖГ,- 1977,- № 1,- С. 3-8.

5. Любимова, Т. П. О конвективных движениях вязкопластичной жидкости в прямоугольной области [Текст] / Т.П. Любимова // Изв. АН СССР.

МЖГ- 1979,- № 5,- С. 141-144.

6. Любимов, Д.В. Стационарная конвекция вязкопластичной жидкости в вертикальном слое |Текст] / Д.В. Любимов, Т.П. Любимова // Изв. АН СССР МЖГ- 1980,- № 2,- С. 118-123.

7. Уилкинсон, У.Л. Неньютоновские жидкости: гидромеханика, перемешивание и теплообмен |Текст| / У.Л. Уилкинсон,— М.: Мир, 1964.— 216 с.

8. Любимов, Д.В. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях [Текст] / Д.В. Любимов, Т. П. Любимова, А.А. Черепанов,— М.: Физ-матлит, 2003,— 216 с.

9. Demin, V.A. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer [Текст] / V.A. Demin, G.Z. Gershuni, l.V. Verkholantsev // int. J. Heat Mass Transfer.— 1996,- Vol. 39. № 9,- P. 1979-1991.