Воздействие точечного источника на свободную поверхность двухслойной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.59

В. Н. Н о с о в, А. А. С а в и н, А. С. С а в и н

ВОЗДЕЙСТВИЕ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА НА СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрены неподвижный точечный источник переменной интенсивности в верхнем слое стратифицированной жидкости и частный случай импульсного источника. Получено общее выражение для возмущения свободной поверхности жидкости. Приведены примеры численных расчетов.

E-mail: anton_savin@list.ru

Ключевые слова: двухслойная жидкость, точечный источник, поверхностные волны.

Гидродинамические явления в толще морской воды представляют интерес как с точки зрения теоретического изучения, так и практического освоения океана. Следует отметить, что при мониторинге морской среды с помощью радиолокационных и оптических средств, размещенных на авиационных или космических носителях, такие явления недоступны для непосредственного наблюдения. Процессы, протекающие в водной толще, можно регистрировать по их проявлениям на морской поверхности [1]. В этой связи важным является изучение поверхностных волн, вызванных локализованными в водной среде источниками возмущений различной природы, например обтекаемыми потоком преградами, крупномасштабными вихревыми структурами, подвижными участками дна и т. д.

Источники возмущений можно рассматривать как некоторые неоднородности гидродинамических полей, локализованные в относительно небольших областях, где, например, характерные значения скорости, завихренности или давления заметно отличаются от фоновых. Один из наиболее эффективных способов моделирования воздействия таких неоднородностей на жидкую среду состоит в их замене эквивалентной системой гидродинамических особенностей (источников, стоков, вихрей, мультиполей) [2, 3]. При этом расчет поверхностных волн, порождаемых неоднородностями, основан на определении элементарных волн от моделирующих их гидродинамических особенностей. В частности, если неоднородность вызывает волну небольшой амплитуды, она представляет собой суперпозицию элементарных волн. Таким образом, задача о генерации поверхностных волн гидродинамической особенностью является базовой в рамках названного подхода.

В то же время точечная гидродинамическая особенность характеризуется небольшим числом параметров, например, точечный источник полностью задается своими координатами и интенсивностью, т. е. объемом выбрасываемой в единицу времени жидкости. Поэтому гидродинамическую особенность естественно использовать в качестве простого модельного источника возмущений жидкой среды при проведении численных расчетов для оценки возникающих на поверхности жидкости волн в зависимости от тех или иных гидрофизических условий.

Существенную роль при передаче возмущений от источника в морской толще на свободную поверхность может играть стратификация водной среды. В реальных условиях открытого моря скачкообразные изменения плотности воды с глубиной связаны прежде всего с наличием сезонного и главного термоклинов. При возмущении морской среды на границе слоев жидкости с разными плотностями возникают внутренние волны, амплитуда которых может достигать десятков метров [4—6]. Волновые движения стратифицированной жидкости оказывают влияние на морскую поверхность и приводят к образованию на ней весьма длинных волн, которые можно рассматривать как вторичное проявление источника возмущений посредством вызываемых им внутренних волн. Учет такого эффекта позволяет находить различные волновые режимы на свободной поверхности в зависимости от стратификации водной среды и параметров источника возмущений. При этом в некоторых гидрофизических ситуациях источники возмущений в толще стратифицированной морской среды могут вызывать весьма заметные поверхностные волны, а в других — практически никак не проявляться [7, 8]. В этой связи представляет интерес вопрос о влиянии стратификации водной среды на заметность поверхностных возмущений. Соответствующие оценки можно получить, моделируя возмущения жидкой среды, например, точечным источником.

Постановка задачи и основные соотношения. Рассмотрим двухслойную жидкость со свободной поверхностью. Обозначим плотность жидкости в верхнем слое через рх, в нижнем — через р2.

Будем считать, что рх < р2, т. е. жидкость находится в состоянии

устойчивого равновесия. Пусть в верхнем слое жидкости локализован неподвижный точечный источник переменной интенсивности О = О (). Направим ось г вверх и проведем ее через рассматриваемый источник. Если жидкость не имеет твердых границ, а ее течение вызвано исключительно источником, задача обладает цилиндрической симметрией: ни одна из величин, характеризующих поле гидродинамических возмущений от источника, не зависит от полярного

угла а, отсчитываемого от любой фиксированной прямой, лежащей в горизонтальной плоскости. В силу этого обстоятельства естественно ввести цилиндрическую систему координат (г, а, 2).

Пусть в невозмущенном состоянии свободная поверхность жидкости совпадает с плоскостью 2 = 0, граница раздела жидких слоев — с плоскостью 2 = -И (где Н — толщина верхнего слоя), а источник находится в точке (0, 0, -И) (где И — глубина, на которой

находится источник). Если в некоторый момент времени источник начинает свою работу, то под его воздействием на свободной поверхности жидкости и на границе раздела жидких слоев возникают поверхностные и внутренние волны соответственно. При достаточно большом удалении источника от границ верхнего слоя жидкости эти волны имеют амплитуды, много меньшие их длин. В рамках этого допущения, именуемого приближением малых волн, поле скорости жидкости является потенциальным в каждом слое [9]. Точнее, в верхнем слое это поле потенциально всюду, кроме точки локализации источника.

Найдем потенциал скорости для верхнего слоя жидкости

Ф_ (г, 2, г) = ф 0 (г, 2, г) + <( Г, 2, г), (1)

где <р(г, г, г) — волновой потенциал, обусловленный наличием границ верхнего слоя жидкости и связанными с ним возмущениями волнового характера;

Ф0 (г, ^ г)=--, °(г) 2 — (2)

г 2 + ( + И )

потенциал скорости течения, создаваемого рассматриваемым источником в безграничной однородной жидкости [2, 3]. Волновой потенциал < представляет собой гармоническую в верхнем слое жидкости функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа. С учетом того, что функция < не зависит от полярного угла а, уравнение Лапласа представим в виде

#< + _<#< = 0. (3)

дг2 г дг &2

Потенциал скорости Ф2 нижнего слоя жидкости имеет волновой

характер, обладает цилиндрической симметрией и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа (3). Для случая бесконечно глубо-

кои жидкости должно выполняться условие затухания волновых возмущений с глубиной [10]. Поэтому уравнение Лапласа для потенциала скорости нижнего слоя жидкости следует решать при условии, что

Ф2 (r, z, t) ^ 0, z ^ -да.

(4)

В рамках рассматриваемого приближения малых волн граничные условия на свободной поверхности жидкости [9, 10] имеют вид

= 0, 5Ф1 = as, z = 0,

dt

dz dt '

(5)

где g — ускорение свободного падения; £ — отклонение свободной поверхности жидкости от ее невозмущенного положения.

Исключив из равенств (5) величину £, можно получить [9, 10] граничное условие для потенциала скорости

d 2Ф1 dФ1 п

- + g—1- = 0, z = 0.

dt2

dz

(6)

На границе раздела жидких слоев зададим кинематическое условие равенства нормальных составляющих скорости в верхнем и нижнем слоях жидкости, а также динамическое условие непрерывности давления. В приближении малых волн [9, 10] эти условия имеют вид

dФ1 = dФ 2

dz

А

fd2 Ф1 dФ1 Л -1 + g—-

v dt2 g dz ,

dz = P2

z = -H,

fd2 Ф 2 dФ 2 ^ -2 + g—2

v dt2 g dz ,

z = - H.

(7)

(8)

Общее решение задачи. Применив преобразование Ханкеля нулевого порядка [11]

F(а, z, t) = JV(r, z, t) J (rp)rdr,

где J0 — функция Бесселя нулевого порядка, к обеим частям уравнения (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение - р1 Г = 0 с общим решением

F (а, z, t) = A (а, t) exp (-pz) + B (p, t) exp (pz).

(9)

Используя обратное преобразование Ханкеля [11]

да

(Р{г, г) = |рр г) 30 (гр)рёp,

0

находим из выражения (9) общий вид волнового потенциала скорости в верхнем слое жидкости

да

ср(т, г, г) = |[А(р, г)exp(-рх) + В(р, г)exp(рг)] (гр)рёр. (10)

0

Применяя аналогичный прием к определению потенциала скорости в нижнем слое жидкости и учитывая условие (4), получаем

да

Ф2 (г, г, г) = |С (р, г) exp (рг) 3 (р) рйр. (11)

0

С помощью известного интегрального соотношения [12] представим сингулярную часть потенциала скорости в верхнем слое жидкости (2) в виде

О (г) да

Фо (, г, г) = - ехр(-\г + к\р) (р¿р. (12)

4ж о

Подстановка общих выражений для потенциалов скорости в жидких слоях (1), (10)—(12) в граничные условия (6)—(8) приводит к системе интегральных равенств, из которых следует система уравнений для определения неизвестных функций А (р, г), В (р, г), С (р, г):

А - реА + Вгг + pgB = (4яр)- 1 (Огг - р^О) ехр (-Ъ^ ,

А ехр (2Нр) - В + С = - (4р_1 О ехр (Ър, (13)

(( - реА) ехр (2Нр) + Ва + реВ - 5~1 (С а + реС) =

= (4яр)-1 ((г + ре0 ) ехР (Ър, 5 = р1/р2.

Будем считать, что источник, локализованный в толще изначально невозмущенной жидкости, начинает работать в некоторый момент времени г0 > 0. В этом случае функции А, В, С, 0 и их производные по времени при г = 0 равны нулю. Решим систему дифференциаль-

ных уравнений (13), удовлетворяющих таким начальным условиям, с помощью преобразования Лапласа [11]. Полученные выражения для функций А, В, С подставим в равенства (10), (11) и с учетом соотношений (1), (2) получим формулы для потенциалов скорости течений в верхнем и нижнем слоях жидкости (здесь эти выражения не приведены ввиду их громоздкости).

Волна, возникающая на свободной поверхности жидкости, описывается величиной £ = £ (г, г). Из первого граничного условия (5) следует, что

£ = - ± ^, * = 0. (14)

я &

Воспользовавшись найденной в результате решения системы дифференциальных уравнений (13) формулой для потенциала скорости течения в верхнем слое жидкости, представим равенство (14) в виде

£ (г, г) = £1 (г, г) + £2 (г, г), (15)

£ (г, г) - % О) С-] О,

£2 (г, г) и(р) Jo (гр)р\йО)оо[(р)(г—\\р, (17)

2п

0 0

( ) = exp(-Hp){ch[(H -h)р] + 8exp{hp)sh(Hp)} p) [ch (Hp + 8sh (Hp][ch (Hp + (28-1) sh (Hp]' ( 8

&(p):

V

(1 -8) p^h (HP (19)

1 + 8th (Hp

При равенстве плотностей жидкостей в верхнем и нижнем слоях {8 = 1) из формул (15)—(19) находим выражение для волны на поверхности однородной бесконечно глубокой жидкости

1 ^ t S (r, t) = — j exp (-hp) J0 (rp) pj Q (r) cos \4gp (t - т)]drdp. (20)

0 0

Другой предельный случай соответствует бесконечно большой плотности жидкости нижнего слоя (8 = 0) :

* (г, г ) =

= ¿РР30 (гр)рОМС08[VЕр^(Нр) (г-т)]ётёр. (21)

Выражение (21) описывает волну на поверхности слоя однородной жидкости конечной глубины Н .

Импульсный источник. Пусть в некоторый момент времени г0 > 0 точечный источник мгновенно выбрасывает жидкость объемом

V и прекращает дальнейшую работу. В этом случае интенсивность источника можно задать в виде

О (г ) = VS(г - г0), (22)

где 5 (г - г0) — дельта-функция. С учетом выражения (22) из равенств (15)—(17) следует, что на поверхности двухслойной жидкости возникает суперпозиция двух волн

( ) _ V8l ехР(-Ър30 (гррС08[4§р(г-г0 ёр

(, 0 _ 2^] 3 + (1 -3)ехр(-2Нр) ' (23)

(г, г) _ М 0 и (р) 30 (тр) р С08 _ы(р) (г - г„ Д ёр, (24)

где величины и(р), <(р) определяются формулами (18), (19).

В реальных условиях (морская среда) толщина верхнего слоя воды, как правило, лежит в диапазоне значений 30 < Н < 70 м, при

этом плотность воды в верхнем слое р1 = 1022 кг/м3. Плотность воды в нижнем слое 1023 < р2 < 1029 кг/м3. При таких плотностях параметр 5 = рх\р2 находится в диапазоне значений 0,993 <5< < 0,999. Наиболее заметно эффекты, обусловленные наличием жидких слоев с различными плотностями, проявляются в случае существенного различия плотностей р1 и р. Поэтому рассмотрим случай сильной стратификации морской среды, соответствующий значению параметра 5 = 0,993 . Пусть источник находится на сравнительно небольшой глубине Ъ = 10 м и выбрасывает в момент времени г0 = 0

жидкость объемом V = 10 м3.

Согласно результатам численных расчетов, генерируемая таким источником волна *1, определяемая формулой (23), практически не

зависит от толщины верхнего слоя жидкости. При ее изменении в диапазоне значений 30 < Н < 70 м амплитуда волны меняется примерно на 0,1 %. Это можно объяснить тем, что даже при сильной стратификации морской среды значение отношения плотностей жидких слоев близко к единице. В этом случае общее выражение (16) для волны мало отличается от его асимптотического ( 5 ^ 1) вида (20),

поэтому волна с большой точностью соответствует волне, распространяющейся в однородной жидкости. Профили волн = (г, t) в

различные моменты времени приведены на рис. 1. Характерное время процесса, связанного с волной , определяет зависимость от времени обусловленных этой волной отклонений (0, t) свободной поверхности жидкости от равновесного положения непосредственно над источником (рис. 2).

Рис. 1. Профили волны 51 = 51 (г, €) (30 < Н < 70 м) в моменты времени ? = 0 (7), 2,5 (2), 5 с (3)

Рис. 2. Зависимость амплитуды волны = (0, ¿) над источником от времени. (30 < Н < 70 м)

На рис. 3 приведены профили волн £2 = £2 (г, ^) в различные моменты времени для тонкого (Н = 30 м) и толстого (Н = 70 м) верхних слоев воды. Волну $2 можно рассматривать как проявление на поверхности моря внутренней волны. Видно, что волна $2 существенно зависит от толщины Н верхнего слоя жидкости. При увеличении Н от 30 до 70 м амплитуда волны $2 уменьшается примерно в 5 раз, а характерная длина волны возрастает примерно в 2 раза. Графики зависимостей от времени амплитуд волн $2 непосредственно над источником для тонкого и толстого верхних слоев жидкости показаны на рис. 4.

Рис. 3. Профили волн $2 = $2 (г, 0 для тонкого (а) и толстого (б) верхних слоев в моменты времени г = 0 (1), 100 (2), 200 с (3)

Рис. 4. Зависимость амплитуд волн $2 = $2 (0, 0 над источником от времени для тонкого (а) и толстого (б) слоев жидкости

Как следует из рисунков, при рассмотренных условиях волна в начальной стадии имеет максимальную амплитуду порядка 10 м и характерную длину порядка 10 м. Для волны ¿2 максимальная

амплитуда есть величина порядка 10-6 м, длина — порядка 100 м. Заметность волны на морской поверхности можно характеризовать ее наклоном, т. е. отношением характерных значений амплитуды и длины.

Проведенные расчеты показывают, что волна имеет наклон порядка 10-3, а волна ¿2 — порядка 10-8. Характерный период колебаний точек свободной поверхности жидкости, обусловленный волной ¿1, имеет порядок 1 с, волной ¿2 — 100 с. Следовательно, волна ¿2 в рассматриваемых условиях проявляется существенно слабее как по амплитуде, так и по наклону, чем волна ¿1. Кроме того, она имеет значительно больший характерный период.

Таким образом, импульсный источник, локализованный в верхнем слое жидкости, генерирует две кольцевые расходящиеся поверхностные волны. В реальных морских условиях первая волна слабо

зависит от соотношения плотностей жидких слоев и практически совпадает с волной, возникающей под действием источника в однородной жидкости. Вторая волна £2 связана исключительно со стратификацией и в однородной среде не образуется. Однако при самых благоприятных гидрофизических условиях волна £2, порождаемая

источником возмущений морской среды, сопоставимым с рассмотренным выше, практически не наблюдается даже в начальной стадии своей эволюции.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (№11-01-00335).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методы, процедуры и средства аэрокосмической компьютерной радиотомографии приповерхностных областей Земли / Под ред. С.В. Нестерова, А.С. Шамаева, С.И. Шамаева. М.: Научный мир, 1996.

2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

3. Милн- Томпсон Л. М. Теоретическая гидродинамика : пер. с англ. М.: Мир, 1964.

4. Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982.

5. Степанянц Ю. А., Стурова И. В., Теодорович Э. В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 21. С. 93-179.

6. Булатов В. В., Владимиров Ю. В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. М.: Наука, 2005.

7. Владимиров И. Ю., Корчагин Н. Н., Савин А. С. Поверхностные эффекты при обтекании препятствий в неоднородно-стратифицированной среде // Докл. РАН. 2011. Т. 440. № 6. С. 826-829.

8. Обтекание препятствий стратифицированным потоком со свободной границей // И.Ю. Владимиров, Н.Н. Корчагин, А.С. Савин и др. Океанология. 2011. Т. 51. № 6. С. 974-983.

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

10. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.

11. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.