Возбуждение решеток диэлектрических щелевых волноводов плоской поверхностной Н1 - волной диэлектрической пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

1.РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

УДК 621.396.67

ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕШЕТОК ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЩЕЛЕВЫХ ВОЛНОВОДОВ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ Н1 - ВОЛНОЙ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Т. И. Бугрова

Строго поставлена та розв'язана методом Втера-Хопфа задача дифракцп поверхневоЧ xe^i плоскоi дieлeктpичноi пластины i3 нaпiвнeскiнчeнниx peшiток вузьких металевих стpiчок. Oдepжaнi вирази для eлeмeнтiв матриц pозсiювaння рештки. Завдяки уявленню про вузьтсть стpiчок рештки вдалося уникнути вeктоpноi постановки зaдaчi. Виведено про-стi спiввiдношeння для коeфiцieнтiв вiдбиття та проход-ження хвиль в peшiтку при одномодовому peжимi роботи. Отримат результати можна використовувати для проекту-вання штегральних решток та при дослiджeннi iх узгод-ження.

Поставлена и решена методом Винера-Хопфа задача дифракции плоской поверхностной H^ - волны плоской диэлектрической пластины на полубесконечной решетке узких металлических лент. Получены выражения для элементов матрицы рассеяния решетки. В результате предположения узости лент решетки удалось избежать векторной постановки задачи и получить простые выражения для коэффициентов отражения и прохождения в решетку, а также для их модулей при одноволновом режиме работы. Данные выражения можно использовать при исследовании согласования интегральных решеток, а также для их проектирования при построении многолучевых антенн, диаграммообразующих схем и просто излучателей на основе таких решеток.

The diffraction problem for surface wave falling on semi-infinite grating of thin metallic strips has been formulated and solved by Wiener-Hopf method. Simple expressions for reflection and transmission factors have been obtained due to avoiding of vector formulation of problem for thin metallic strips. The results obtained can be used for integrated gratings design.

ВВЕДЕНИЕ

В связи с развитием техники КВЧ диапазона большой интерес представляют исследования интегральных антенн, уже нашедших широкое применение на более низких частотах. К их числу относятся периодические решетки, которые в диапазоне КВЧ можно построить на щелевых линиях передачи (рис.1). Они могут играть роль фазированных антенных решеток. Ключевой для расчета таких структур является задача о наклонном падении волны на решетку. Как видно из рис.1, во всех вариантах в свободное пространство излучает периодическая структура, состоящая из узких металлических лент, которая при Х<0 плавно либо скачкообразно пере-

ходит в решетку щелевых линий. Поэтому для решения общей задачи о дифракции поверхностной волны диэлектрической пластины на решетке достаточно решить ее для узких металлических лент.

Рисунок 1 - Периодические решетки на базе щелевых линий передачи

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим падение плоской поверхностной Н^-вол-

ны экранированной диэлектрической пластины на решетку полубесконечных металлических лент, нанесенных симметрично на противоположные стороны диэлектрической пластины. Геометрия задачи показана на рис. 2. При этом как угол падения фп , так и углы разворота

лент решетки относительно границы "решетка-пластина" положим произвольными. Допустим также, что ширина металлических лент решетки мала по сравнению с длиной волны (21«X ). Ограничений на величину периода решеток накладывать не будем.

Пусть из области Х<0 на решетку набегает Н^ -волна

диэлектрической пластины:

En = е0е

-j ß Z - j x X

(1)

где во - амплитуда волны;

в , х - продольное и поперечное волновые числа Н^ -волны, соответственно.

о 1 ®1

зависимость от времени подразумевается в виде в .

Здесь и далее в выражениях полей она для простоты опущена.

E + E = 0

EXn EXem 0 '

IX,n = e jP"PIX'( Z"~ naX' + nPsin6) .

+< + < + i + na

£ J J G(X 'X

n = -nP sin 6-1 + na

I(J? + nP sin 6)

Z -na\2 I

Сведем задачу дифракции основной волны диэлектрической пластины к решению интегрального уравнения относительно неизвестного распределения плотности электрического тока, текущего вдоль металлических полосок. Составляющими токов, текущими поперек полосок, можно пренебречь ввиду предполагаемой узости самих полосок (21« X). Тогда вторичное поле, возбуждаемое падающей волной, запишется как

Е^(X;7) = |О(X";X' ';7";Z")J(X';¿")йХ'йГ', (2) £

где J(X ) - плотность тока на полосках;

О(Х;X'; 7; 7') - функция Грина экранированной диэлектрической пластины;

£ - область существования источников.

Воспользуемся граничными условиями

х е-'в nPdX ' + Еу, = 0. (7)

X п

Введем новые переменные: X' + пР$т 8 = X; 1

7'-па = 7

Представим функцию Грина в виде интеграла Фурье: о(X■X;Z;Z:) = | | g(x;а)е-'^(7')а^а.

Поскольку

+ <

I g(х;а)е-'а(- па)¿а =

+<

= 2 п, X |(%;Хе А) е"* па , (8)

где g(х;Хе, и) = Ке5а(g(X;а)) , а = хе, и - значение вычета в точке а ; хе, и = //Р^И-^, Ре> и ' постоянные

рас-пространения собственных волн пластины, то интеграль-ное уравнение принимает вид:

+< + < +1 +<

X 2П' X Л | ¿(X;хе, и)е-'^-*+ пР^8)х

т = 0 п = -< -I -<

X e

+J Xe h\z'- Z'- na - J в nP I(X)

- dXdZdx + EXn = 0. (9)

1 -

(3)

которые с учетом (1) и (2) дают уравнение относительно неизвестных плотностей токов, текущих вдоль полосок:

ЕХ'п +1О (X";!"; 7"; Z")IX,(X,; Т'Ш* '¿7' = 0. (4)

£

Источники расположены в области:

(5)

-I + nP cos 6 < Z' < I + nP cos 6; -nP sin 6< X'<~; n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...; P = (a / cos 6).

Ввиду эквидистантности решетки токи на каждой полоске отличаются фазовым множителем:

(6)

Пусть распределение тока поперек полосок описывается в статическом приближении функцией

1 /41 - (Z')/1. Тогда IXn = I(X' )/J1 - (Z'/1) и неизвестным остается лишь распределение тока вдоль полоски I(X') .С учетом области расположения источников (5) и дискретности распределения токов вдоль Z уравнение (4) примет вид:

Обозначим сумму в (9) как

£ g(x;Xe, h)X

m = 0

X -JX(X-X+ nP sin 6) + jxe, h\Z'-Z'~ n a -J p nP = (10)

= Se h(Z - Z)e-JPKP-JX(X-X).

Тогда, учитывая, что в системе переменных X и Z падающее поле имеет вид:

jZ(P cos 6 - xh sin 6) -jX(xh cos 6 - p sin 6) -j pkP

EX'n = e0 ■ e

(11)

и подставив (10) и (11) в (9), получаем, что интегральное уравнение перестает зависеть от номера полоски К, то есть, удается привести его к одному периоду. Проинтегрируем уравнение

+^ + ^+i+^

2nj £ J J J g (X .Xe, h )Se, h(Z - Z)X

m = 0 —<» —I —~

X fn(X - X _jm= (¡XdZdx + Ey = 0.

1 -If?

(12)

по Z и домножим его на 1 /V1 - (Z/l) , а затем проинтегрируем по Z. В результате получим:

2nj X J WJ g(Xh)(fm + Sm)x

m = 0 0

x eJX(X XdxdX + EXn = 0,

2 2 2

ГДе fm = П ' l ' J0 ÜXe, hl)X 2C0S q (Xl sin 9 + в' l) e

q = 0

n2' l2 J J I(X) J Jg(x, a)J02(a ' l)da -

2nj[S0g(x;Xh) + S1 g(x;xe)] \e-x(X-XdxdX+ Exn = 0.

J g(x, a)J0 (a ' l)da = -jy-H

1 (Xh)¿0

Z| + XJV), + ЗСЛ

W

klXe

pL

re2 ' l2 J J I(X) C x

(13)

-JXe, hq°

/о(хе - Бесселева функция первого рода нулевого порядка.

В уравнении (13) - собственные волны диэлектрической пластины, очень быстро затухающие с ростом т. Пусть незатухающими являются первые две волны:

Бо 1 Ф 0 , а для всех I > 1 , Б^ = 0 . Будем в дальнейшем также учитывать, что /о(х') = 1 , поскольку ширина полоски мала (21« X). С учетом изложенных допущений уравнение (13) примет вид:

Z Xh k0 X

WDeDh + j Т Sin (Xha)De + j—3-Sin (Xea)Dh

_Pa_k^_

D l D h

x e jx(x xdxdXX = -Exn,

ГДе De, h = cos (xe, ha) - cos (xP sin 9 + PP);

(16) (17)

C=

ra^aa J0(Xhl)Ф(Xh)

(14)

Рассмотрим несобственный интеграл в уравнении (14). Вычисление интегралов такого типа сопряжено со значительными вычислительными затратами, связанными с необходимостью выделения особых точек у под-интегральной функции для улучшения сходимости интеграла. В данном случае этого удается избежать, выразив интеграл через функции, определяемые численно - аналитическим путем [I]:

2

П2 •/о(Хй')ф(Хй)

4п H(xh)k0 • Если учесть, что 2l« X и J((xl) = 1) то C не зависит от x.

ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

В уравнении (16) числитель выражения в квадратных скобках при 9 = 0 превращается в дисперсионное уравнение решетки металлических полосок. Само уравнение (16) относится к числу уравнений, решаемых методом Винера-Хопфа. Введем обозначения:

z xh\ x2P;S,

R(X) = DlDh W-+ j—Tsin (Xha) Dl + j——sin (Xha) Dh; Ph k0Xe

S (X) = DeDh;

+<

g(X-1) = C J e—x(x-Xdx;

- -jX(xh cos 9 - в sin 9)

A (X) = e0J0(Pl cos 9 + xhl sin 9) e h . (18)

Тогда уравнение (16) преобразуется в уравнение

Винера-Хопфа:

+<

(15)

_1_

J2n

J IX(X)g(X-X)dX = a+(X)

(19)

ЭН1 1 дЕ2 где 1 Эх ; 2 Эх ;

Н1 и Е2 - дисперсионные функции Н1 и Е2 -волн диэлектрической пластины;

1/Ш - нормированный к волновому сопротивлению волны Н1 поверхностный импеданс связанных металлических полосок. В случае отсутствия потерь в полосках величина 1 имеет чисто мнимый характер. Таким образом, с учетом (15), приходим к окончательному виду интегрального уравнения относительно плотности тока, текущего вдоль полосок:

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ВИНЕРА-ХОПФА

Формальная процедура решения уравнения типа (19) подробно изложена в [2]. Поэтому остановимся только на особенностях нашей задачи. Для того, чтобы уравнение (19) имело вид интеграла свертки и к нему можно было применить преобразование Фурье с получением результирующего уравнения в пространстве изображений относительно Фурье-образа плотности тока, расширим область определения уравнения (19) для всех х от до . Выполним теперь Фурье-преобразование ядра и правой части интегрального уравнения (19):

0

^оо

x

x

^оо

x

0

G(a) = -¿-г J g(x)e-'aXdX —

G(P) = G(P) -

П(в - Р/)

i — и

(23)

= _L J J cRX-ej(x - a)djdy = (20)

¡V2) J J c¡S(x)e X

0

= д~пс Ra,

S(a)

A+(a) = J a+(x)e-'aXdx =

42 n J

c

a + a

A

где C = j

e(/0(P ■ /cosx + X//sin6)

л/2п

lim G(a) = lim cRa) = A a .

a ^ ~ a ^ ~ S(a)

П (в - PJ)[AJвк- Pok]

j — и

Теперь функция G(p) равна:

G(P) — G (P)

(21)

П(в - Pj)

^-aJp^-P

(24)

ah — P sin 6 - xh cos 6 .

Применение к (19) преобразования Фурье дает уравнение относительно Фурье-образа плотности тока на лентах решетки I+ (a) : I+ (a) — A+(a) -B_(a) , где G(a) и

A+(a) определяются выражениями (20) и (21), а I+ (a)

и B (a) подлежат определению.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ, входящих В ЯДРО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Ключевым моментом в уравнении (20) является факторизация функции G(a) [2]: G(a) — G(a)+ ■ G(a)- ,

где G (a)+ и G(a) _ регулярны соответственно в верхней

и нижней полуплоскостях комплексной плоскости a. Для нашей задачи функция G(a) не является ни четной, ни нечетной (исключение составляет случай перпендикулярного разворота полос решетки к границе, когда G(a) становится четной). Следовательно, приходится пользоваться обобщенной теоремой о факторизации функции G(a) [2]. Из выражений (17) видно, что функция G(a) может иметь нули и полюсы на действительной оси, которые соответствуют корням характеристических уравнений решетки и пластины. Поэтому для факторизации преобразуем G (a) таким образом, чтобы вновь построенная функция нулей и полюсов на действительной оси не имела и стремилась к единице при бесконечном аргументе. Асимптотическое поведение G(a) при стремлении аргумента к бесконечности дает линейную зависимость G от a :

п ЛТ ' 0

П(в - в)

и _ 1

где к = п _ т - разность числа нулей и полюсов О(Р) . В выражении (24) множитель в квадратных скобках

факторизуется непосредственно, а О(Р) - по обобщенной теореме факторизации.

МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ РЕШЕТКИ

Теперь, воспользовавшись уравнениями (16) и (19), с учетом того, что для нашей задачи (согласно теореме Лиувилля). В+(а) = 0, можно определить плотность токов на полосках, совершив обратное преобразование Фурье выражения (21). Вторичное поле равно:

+»

Ех(х) _ /а - 1 А+(а)с-(а)е_аХЛ . (25) 42 п О_(-ао)

Для нахождения коэффициента отражения Я^ Н -

волны необходимо замкнуть контур интегрирования (25) в верхней полуплоскости. Интеграл будет равен вычету подынтегральной функции в точке - Хц , где Хц - проекция волнового числа Н1 -волны, направленная вдоль полоски. При этом коэффициент отражения равен

Res[О_ (а)]

!5т 16 _ ф| а = _хй 1

Rhh sin 16 + ф

G(a0)

а его модуль

R

П (Xah i"X i)

R(-Xa)S(- "ОР, —n

S(-Xa)R(- -a0) m

П (Xah j — и hXj)

Xh~

П (a + Xj)

j_—J_

(22)

Здесь А - некоторая постоянная величина. Пусть Р1 , Р2 ,..., Рп - полюса функции О(Р) на действительной

оси, а Р1 , Р2 ,..., Рт - нули этой функции на той же оси.

Тогда функцию, обладающую требуемыми для факторизации свойствами, можно записать в виде:

кк\

П (а + Х/)

: _ 1

где Х/ - нули, а х^ - полюса функции О(х) .

Поскольку анализируемая структура экранирована, на границе решетки непрерывный спектр излучения волн не возникает, и для определения коэффициента прохождения волн через решетку в одномодовом режиме можно воспользоваться законом сохранения энергии:

\T.

hh\

í

— JI - R

i2

hh\

+»

+»

0

iii

ВЫВОДЫ

Таким образом, в результате постановки и решения задачи дифракции плоской поверхностной Н1 -волны

плоской диэлектрической пластины на полубесконечной решетке узких металлических лент получены выражения для элементов матрицы рассеяния решетки. В результате предположения узости лент решетки удалось избежать векторной постановки задачи и получить простые выражения для коэффициентов отражения и прохождения в решетку, а также для их модулей при одноволновом режиме работы. Данные выражения можно использовать

при исследовании согласования интегральных решеток, а также для их проектирования при построении многолучевых антенн, диаграммообразующих схем и просто излучателей на основе таких решеток.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Взятышев В.Ф., Ермолаев Е.А. Пучки диэлектрических волноводов как среда // Труды моск. энерг. ин-та. - М.: МЭИ, 1977. - Вып.341. - С.67-70.

2. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. - М.: "Мир", 1974. - 327с.

Надшшла 15.03.99 Шсля доробки 23.06.99

УДК 621.372.8.01

АЛГОРИТМ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МНОГОСЛОЙНЫХ ПОЛОСКОВЫХ СТРУКТУР С УЧЕТОМ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

Л. М. Карпуков, С. Н. Романенко

Рассмотрены методы, составляющие основу квазистатического анализа многопроводных и многослойных полосковых структур на подложке из диэлектрических пластин с конечными размерами. Предложен простой и универсальный метод моделирования функций Грина исследуемых структур с использованием декомпозиционных схем. Для решения систем уравнений большой размерности, возникающих при алгебра-изации используемого в работе интегрального уравнения, разработан итерационный алгоритм с высокой скоростью сходимости.

Розглянут1 методи, складаюч1 основу кваз1статичного ана-л1зу багатопров1дних та багатошарових смужкових структур на тдкладинцг з дгелектричних пластин з конечними роз-мграми. Запропонований простий i утверсальний метод моде-лювання функцш Грiна дослiджуeмих структур з викорис-танням декомпозицшних схем. Для рШення систем рiвнянь великоi розмiрностi, виникаючих при алгебраiзацi'i використу-емого в роботi iнтегрального рiвняння, розроблений iтера-цшний алгоритм з високою швидкiстю збiжностi.

Methods of quasistatic analysis of multiconductors and multi-layered strip structures on the substrate of dielectric sheets with final dimensions are discussed. Simple and universal method for modeling Green's functions of investigated structures by using decomposition scheems are proposed. To solve systems of large dimensions arising from algebraisation of integral equation used in the paper the iteration algorithm with high rate of convergence is developed.

При разработке современных интегральных схем СВЧ широко используются объёмные конструкции в виде комбинаций полосковых линий, располагаемых в различных слоях многослойной диэлектрической подложки. Основу инженерного расчета подобных конструкций составляют квазистатические модели [1]. Несмотря на

большое число публикаций по квазистатическому моделированию полосковых структур, актуальной продолжает оставаться задача создания универсальных и эффективных алгоритмов, обеспечивающих уменьшение объема вычислений и не имеющих ограничений на физико-топологические параметры элементов моделируемых конструкций. Предлагаемый в работе алгоритм реализует вычислительный процесс, включающий в себя составление и решение интегрального уравнения электростатики, моделирующего исследуемую структуру. Отличительными особенностями алгоритма, определяющими его оригинальность и полезность, являются простой и одновременно универсальный метод расчета функции Грина, представляющей собой ядро интегрального уравнения, а также итерационный, быстро сходящийся метод решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности, возникающих при алгебраизации интегрального уравнения электростатики методом моментов.

На рис.1 изображена исследуемая многослойная и многополосковая структура, состоящая из нескольких прямоугольных диэлектрических пластин и металлических полосок, расположенных на их поверхности. Каждая ьтая пластина характеризуется абсолютной диэлектрической проницаемостью и имеет в общем случае

конечные размеры по всем координатам. Структура может быть открытой, а также частично или полностью экранированной.