CC BY
15
Доклады БГУИР
2015 № 6 (92)
УДК 621.385
возбуждение произвольно-нерегулярного волновода с
неоднородным заполнением анизотропным диэлектриком
А.А. КУРАЕВ, Т.Л. ПОПКОВА, А О. РАК
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 23 марта 2015
Сформулированы в общей форме уравнения возбуждения произвольно-нерегулярного волновода с неоднородным заполнением анизотропным диэлектриком.
Ключевые слова: произвольно-нерегулярный волновод, резонатор, анизотропный диэлектрик, уравнения возбуждения.
Введение
Теория возбуждения нерегулярных волноводов электронными потоками (в общем случае непрямолинейными) является основой моделирования и оптимизации широкого класса мощных электронных приборов сверхвысоких и крайне высоких частот (СВЧ и КВЧ) -релятивистских ламп бегущей и обратной волны (ЛБВ и ЛОВ), гирорезонансных приборов, убитронов и гиротонов. К настоящему времени общие основы трехмерной теории возбуждения продольно-нерегулярных волноводов разработаны [1-7], однако необходимо их развитие в двух направлениях:
а) необходимо учесть возможность частичного заполнения волновода неоднородным анизотропным диэлектриком;
б) в уравнениях возбуждения необходимо учесть конечную проводимость стенок, что особенно важно в КВЧ-диапазоне. Обе задачи решаются в представленной работе.
Общая постановка и схема решения задачи возбуждения нерегулярного волновода
Рассмотрим задачу возбуждения неоднородно заполненного анизотропным диэлектриком с тензором диэлектрической восприимчивости И(Т") нерегулярного волновода, боковая поверхность которого Бь отличается от регулярной цилиндрической поверхности. Эта задача сводится к решению системы уравнений Максвелла
5Е д („рд гсЛ Н = 8п--1--\хЕ)-
и дг аЛ > дн
I:
го! Е =
дг
(1)
с граничными условиями [7]: Ч д[п,[И,п]][
["'Е1БЬ Ч^
БЬ Л
дт
«у/г-г'
(2)
где о - удельная проводимость стенок волновода, Цо - ее магнитная проницаемость, т е [0, ? ] -аргумент интеграла,
и условиями излучения в начальном и конечном сечениях волновода.
Плотность электрического тока J определяется электронным потоком в приборе. Теория возбуждения нерегулярного волновода строится на основе метода преобразования координат. Для решения задачи введем криволинейную систему координат (г, ф, £), связанную с геометрией волновода (г, ф - полярные координаты в плоскости поперечного сечения волновода, £ - длина дуги оси волновода). Схема нерегулярного волновода приведена на рис. 1.
Рис. 1. Геометрия нерегулярного волновода Здесь 1 = г' / |г'| - единичный вектор касательной к оси волновода,
(х' = ); п = г"!|г"| = 1 г' - единичная нормаль к поверхности; Ь = 1 х п - бинормаль к оси
волновода. Эти три величины связаны с помощью формул Френа - Серре: 1:' = кп;п' = -к1 + тЬ; Ь' = -тп, где к = 1/р£ = |г"| - угловая скорость вращения касательной
вокруг бинормали; рк - радиус кривизны; т = 1 рк =1 г 'г "г "" - угловая скорость вращения
/ к
бинормали вокруг касательной; рт - радиус кручения.
Уравнения возбуждения нерегулярного волновода
Для решения задачи как и в работах [1-7] введем неортогональную систему координат (р, ф, г) . Декартовые прямоугольные координаты произвольной точки (х, у, г) внутри
волновода связаны с введенными координатами (р,ф, £) соотношением
г(р,ф,£) = К(£) + РГь (ф=£){п(£)(ф) + Ь(£)sin (ф)}, (3)
где г - радиус-вектор произвольной точки внутри волновода; К(£) - уравнение оси волновода в декартовой системе координат; п (£) и Ь(£) - единичные векторы главной нормали и бинормали оси волновода, определенные как функции ее длины:
р = г/г, (ф,£); (4)
г = г, (ф, £) - уравнение контура поперечного сечения волновода в системе координат (г, ф, £) . Тогда в системе координат (р, ф, £) уравнение боковой поверхности рассматриваемого волновода принимает вид
р =1. (5)
Это позволяет искать решение волновых уравнений (1) в виде разложений по системе базисных функций регулярного цилиндрического волновода. Например, для периодических во времени полей (ю = 2п/Т) можно искать решение (1) для электрической и магнитной напряженностей полей в виде
m
Es= Re^Ésmejm^
(6)
m где
Ш -У У (АЕ -еЕ+АМ еМ\
^tm — / , / , Y^mni^ni ^ ^mnicni l> i=\n=-N I N
®sm = Оига'Фга,
i=\n=—N
h
m
——g lrotEm, mrop, о
(7)
а собственные функции регулярного волновода выражены следующими соотношениями:
eE . = J'(v р ) e~Jn(P-erni Jn ( vm p)e ;
M
Mnip
Jn (Mm p)e-
eE ■=-
nJn (Vni p)e-^; M = JJ'n (Rm p)e-n
v niP
Фп1 = Jn (Vm P)e-jn9
(8)
Здесь т - номер гармоники основной частоты ю; п - азимутальный индекс; 1 -радиальный индекс; ] - мнимая единица; V- корни функции Бесселя (Jn (vni) = 0); р,п/- -
корни производной от функции Бесселя (J'n (р,п/- ) = 0). Направляющие векторы новой
(косоугольной) системы координат (р, ф, £) определяются следующим образом:
а1 = ар =|Г = гь(ф,s)•(n(s)• cosф + b(s)• sinф) = ry • r0,
a2=аф=|r=p^-(n (s )• сойФ+b (s )• sinф)+
+ p• rb •(-n(s)•si^ + b(s)• с°5ф) = p-|rb• r0 + p• rb "Фо,
(9)
a3 = as = p•(n(s)• ^ф + b(s)• sinф) + p• гь • t•
д r dn. — = p • —b
ds ds
•(-n (s )• sin ф + b (s )• cosф) + t(l- к • p • гь ) =
= p-f • ro+P•rb't фо+t•t1-к• P• rb• cosф)
Взаимная система контравариантных векторов записывается через основную:
ai =[ai+b ai+2 ]/ ai [ai+i'ai+2 ];
а1 = ар = - г0 -
.1 _дЪ .2 „2
Ф0
дгь дГъ
т--
ГЪ г2 г2дф ^4
^ дф &
а2 = аф = — ф0 -—1; а3 = а5 = V% ргь к4
Уравнения Максвелла (1) в новых координатах (р, ф, 5) в ковариантной форме имеют вид:
дЕ'
гогн = 8 0 + gJ ; дг
дн'
гогЕ 0 .
дг
Здесь метрический тензор g записывается как
(11)
g=4°
оп/р, о12, О13/Р g21, рg22, g23
о31/р, g32, О33/Р
(12)
где $ =|а*, а
2 3 а2, а3
'=(а', а* );,/£ = а1 Составляющие метрического тензора следующие:
= ргъ2%
11 1 1 g11 = ~2 + Т
гЪ гЪ
я Л2 2
дгЪ 1 , р
дф)
Т ( 5 )ддЪ-д-Ъ
дф д5
22 1
; g =
22 гър
&Ъ- рт (5)
г3р дф ъЬа
Т (5 )дГъ-ддЪ.
дф д5
. „23 =- .
; о о ;
Й4
(13)
о13 = р
Т ( 5 ^-^Ъ дф д5
. 33 _
;0 о :
к2
где Л4 = 1-р?ъ (ф,5)&(^соэф; &(5),ит(5) - соответственно кривизна и кручение оси волновода. Реальные физические векторы определяются через расчетные (штрихованные) следующим образом:
Е = £р а1 + Ефрра2 + Е'5 а3;
Н = нр а1 + Нф р а2 + Н'5 а3;
'1 г 2 г 3 J = ра + З^ра + а .
(14)
Для решения (11) воспользуемся методом Галеркина, который заключается в том, что коэффициенты разложений (7) определяются из условия ортогональности невязок уравнения (11) собственным векторам разложения (8) при любом 5:
2% 12% I
I I -1 1
80"
{{{^ гог >огЕ' | + ^0 о 0 0 0
2п 12п Г / ^ 111 гог \ о- гогЕ' | + ^0 о 0 0 0 1
80
д2Е' дг2 д2 1—2 дг2 И дУ + а
д2Е' дг2 д2 |—у дг2 и дУ + а
пг
ф^рйфйрг = 0.
Р
Это наиболее общее решение задачи возбуждения волновода произвольной формы с неоднородным включением анизотропных диэлектрических элементов.
Заключение
Полученные общие уравнения (15) могут быть конкретизированы для любого частного случая. Кроме того, при J = О они могут быть использованы для расчета пассивных элементов на нерегулярных волноводах с включениями анизотропных диэлектрических элементов.
excitation of arbitrary irregular waveguide with an inhomogeneous anisotropic dielectric filling
A.A. KURAYEV, T.L. POPKOVA, AO. RAK
Abstract
A general form of the equation excitation arbitrary irregular waveguide with an inhomogeneous anisotropic dielectric filling is formulated.
Список литературы
1. Кураев А. А. // Известия АН БССР, Сер. ФТН. 1979. № 1. С. 121-127.
2. Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. Минск, 1979.
3. Кураев А. А. Мощные приборы СВЧ. Методы анализа и оптимизации параметров. М., 1986.
4. Кураев А.А., Байбурин В.Б., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ-приборов. Минск, 1990.
5. Кураев А. А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн. Минск, 2004.
6. Методы нелинейной динамики и теории хаоса в задачах электроники сверхвысоких частот. Том I. Стационарные процессы / Под ред. А. А. Кураева и Д. И. Трубецкова. М., 2009.
7. Кураев А. А. // Весщ НАН Беларуси Сер. ФТН. 1999. №4. С. 60-65.
