Восстановление смазанных под углом и зашумленных изображений без учета граничных условий Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УДК 621.397.331+517.968

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СМАЗАННЫХ ПОД УГЛОМ И ЗАШУМЛЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ БЕЗ УЧЕТА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ М.В. Дайнеко, В.С. Сизиков

Рассматривается задача реконструкции смазанных под углом и зашумленных изображений методом квадратур с регуляризацией Тихонова. При восстановлении смазанных изображений применяется новый подход - прием усечения и размытия краев, не учитывающий «граничные условия».

Ключевые слова: смазанные под углом изображения, реконструкция изображений, метод регуляризации Тихонова, граничные условия.

Введение

Реконструкция искаженных (смазанных и зашумленных) изображений является актуальной задачей в области цифровой обработки изображений. Данная некорректная задача описывается обычно набором одномерных интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма I рода типа свертки [1-13]

x+Д

(1/Д) J Wy d% = gy (x) + 5g , (1)

да

J h(x -S)Wy (I)d| = gy (x) + 5g (2)

—да

или двумерным ИУ Фредгольма I рода типа свертки

да да

J J h(x — y — n)w(|, n)dn = g(x,y) + 5g . (3)

—да —да

Здесь Д - величина смаза, h - функция рассеяния точки (ФРТ, PSF), обычно пространственно-инвариантная, w и g - распределение интенсивности по неискаженному и искаженному изображениям соответственно, 5g - помеха. В (1), (2) ось x направлена вдоль смаза, а y играет роль параметра. Интегральные уравнения (1) и (2) обычно используются в задаче смазывания, а (3) - в задаче дефокусирова-ния, но часто ([3] и др.) уравнение (3) используется для решения обеих задач.

Цель данной работы - восстановление (реконструкция) смазанных под углом и зашумленных изображений без использования так называемых «граничных условий», но с введением приемов усечения, размытия краев и поворота изображения в рамках системы программирования MatLab7. При этом предлагается использовать методы преобразования Фурье (ПФ) и квадратур с регуляризацией Тихонова как в прямой (моделировании смаза), так и в обратной задаче (реконструкции). Данная работа является продолжением работ [2, 9, 10, 13].

4

Граничные условия

Во многих зарубежных работах ([3, 5-8, 11] и др.) при решении прямой задачи смазывания изображения используются для учета интенсивностей вне границ изображения так называемые «граничные условия» (boundary conditions, BCs). Например, в да-функции imfilter системы MatLab7 при формировании смазанного или размытого изображения в качестве параметра можно задавать различные «граничные условия»: zero, circular, symmetric и др.

В дискретном виде задачу формирования смазанных или размытых изображений можно представить выражением

g = Aw + 5g, (4)

где g - матрица смазанного изображения, А - матрица, связанная с ФРТ и «граничными условиями», w -матрица неискаженного изображения размера m x n, 5g - помеха.

Однако введение «граничных условий», когда функция w не является финитной, приводит к усложнению матрицы A [6]. Например, при использовании нулевых граничных условий матрица A представляет собой блок теплицевых матриц, а при рефлективных (symmetric) - сумму блоков теплицевых и ганкелевых матриц [6]. Правильнее было бы говорить не о «граничных условиях», а о внеграничных условиях, точнее, об экстраполяции значений интенсивности w за границы изображения. Для решения модельной задачи - формирования смазанного изображения - был предложен [10] прием усечения и размы-

тия краев изображения для случая горизонтального смазывания. В данной работе этот прием распространяется на случай смазывания изображения под произвольным углом.

Моделирование смазанного под углом изображения уже реализовано в рамках системы программирования Ма1ЬаЪ7 при помощи да-функций £Брес1а1 и 1ш:Е1^ег. Функция £Брес1а1 задает разностную функцию рассеяния точки (ФРТ) И(х, у). Однако алгоритм, используемый в функции fspecia1.ni для решения прямой задачи, реализован достаточно сложным образом - путем отбора ближайших пикселей, расположенных вдоль наклонной под некоторым углом 6 прямой линии на расстоянии не более 1 пикселя. При этом используется билинейная интерполяция. Кроме того, получение смазанного изображения g(x, у) в функции imfi1ter.ni реализовано с использованием «граничных условий», а также путем свертки истинного изображения ^(х, у) с заданной в виде матрицы ФРТ И(х, у):

где Б - видимая область изображения.

В данной работе предлагается использовать другой подход - прием поворота изображения, который реализован при помощи т-функции imrotate.m [11]. На рис. 1 приведена схема смазывания изображения под произвольным углом с размытием краев изображения и с использованием его поворота.

Рис. 1. Моделирование смазывания изображения под углом по схеме с размытыми краями

Заметим, что в случае использования функций Ма1ЬаЪ'а fspecial .m и imfilter.m задача смазывания изображения рассматривается как двумерная (см. выражение (3)). В данной работе прямая задача сводится к решению набора одномерных уравнений (выражения (1), (2)).

На рис. 2 представлены два варианта смазанного под углом 6 = 35° текстового изображения размером 618 х 690 пикселей, величина смаза Д = 20 пикселей; на рис. 2, а - изображение, смазанное при помощи функций fspecial и imfilter («граничное условие» circular); на рис. 2, б - изображение, смазанное при использовании приема размытия краев и приема поворота изображения.

При решении обратной задачи (реконструкция смазанных под углом и зашумленных изображений) для решения набора одномерных ИУ (2) был применен метод квадратур с регуляризацией Тихонова. Кроме того, после реконструкции был выполнен обратный поворот и полученное изображение приводилось к фактическому размеру.

Уравнение (2) в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно представить в

виде

Смазывание изображения под углом

(5)

D

Aw = g,

(6)

где А - матрица СЛАУ. Ввиду использования приема размытия краев при решении прямой задачи выражение (6) является переопределенной СЛАУ [10]. Решение СЛАУ (6) методом квадратур с регуляризацией Тихонова имеет вид [5, 7, 10, 13]

и>а= (а I + АтА)^ Ат £, (7)

где а > 0 - параметр регуляризации, I - единичная матрица, Ат - транспонированная матрица.

Рис. 2. Реконструкция смазанных и зашумленных изображений

В данной работе, применительно к обратной задаче, было произведено сравнение метода квадратур (и регуляризации Тихонова) с методом преобразования Фурье (ПФ) (и регуляризации Тихонова) [9, 10, 13, 15], а также с методом параметрической фильтрации Винера. Метод параметрической фильтрации Винера реализован в Ма1ЬаЬ7 при помощи т-функции deconvwnr [11, с. 184] и дополнен использованием «граничных условий».

На рис. 3 представлен результат реконструкции смазанного под углом 0 = 35° и зашумленного 1%-ным гауссовым шумом (|| ||/|| £ || = 0,01 = 1% ) изображения методом квадратур и регуляризации Тихонова (рис. 3, б), методом ПФ и регуляризации Тихонова (рис. 3, в) и методом параметрической фильтрации Винера (рис. 3, г). Величина смаза А во всех случаях составляла 20 пикселей. Исходное изображение размером 618 х 690 пикселей приведено на рис. 3, а.

Пример. Пусть /| =5 м, / = 4 см. Тогда получим: /2= 4.04 см, </ = 123, т.е. изображение будет в 123 раза меньше объекта. Имеем формулу для /,:

/1 =

_1_

/

_1_

/2

-1

(2.5)

а)

Пример. Пусть /, = 5 м, / = 4 см. Тогда получим: /2 =4.04 см, </ = 123, т.е.

изображение будет в 123 раза меньше объекта. Имеем формулу для /,:

/, =

__1_

/ /2

Л"1

(2.5)

Пример. Пусть /) = 5 м, / = 4 см. Тогда получим: /2= 4.04 см, </ = 123, т.е. изображение будет в 123 раза меньше объекта. Имеем формулу для /,:

Л =

_1_

/

_1_

"/2

б)

\-1

(2.5)

Пример. Пусть /, = 5 м, / = 4 см. Тогда получим: /2= 4.04 см, </ = 123, т.е.

изображение будет в 123 раза меньше объекта. Имеем формулу для /1:

/1 =

/

_1_

/2

(2.5)

в) г)

Рис. 3. Реконструированные изображения с последующей фильтрацией (0=35°, А = 20 , уровень шума 1 %)

При решении обратной задачи выбор параметра регуляризации а определялся путем визуальной оценки полученных результатов и путем минимизации относительного среднеквадратического отклонения (СКО) восстановленного изображения от исходного [14]:

V

m n г т

) i -

j=1 i=1

m n

II w2

j=1 i=i

(10)

ji

(величину стге1 можно вычислить лишь в модельной задаче, когда ^ известно). На основании экспериментальных данных реконструкции были построены кривые зависимости величины СКО стге1 от параметра

регуляризации а, а также зависимость СКО от константы (параметра) К, определяющей соотношение шум/сигнал по мощности в методе параметрической фильтрации Винера [3, с. 392; 11]. На рис. 4 показаны данные зависимости: кривая 1 - в случае использования метода ПФ и регуляризации Тихонова; кривая 2 -при методе квадратур и регуляризации Тихонова; кривая 3 - при обращении к методу параметрической фильтрации Винера. Отметим, что оптимальное значение параметра регуляризации аор4 и параметра Кор4 в

случае решения модельных задач соответствует минимуму значения СКО стге1 (а) и стге1 (К).

Orel

Orel (а), Orel (K)

lg а, lg K

Рис. 4. Зависимость СКО от параметра регуляризации а при фильтрации шума после реконструкции

В рамках системы программирования MatLab7 при решении прямой и обратной задач были разработаны собственные m-функции: smearing. m - прямая задача моделирования смазывания изображения (в том числе для цветных изображений); normnoise.m - добавление нормального (гауссова) шума; rmsd.m -оценка относительного среднеквадратического отклонения (relative mean square deviation); desmearingf.m - обратная задача реконструкции смазанного изображения методом ПФ и регуляризации Тихонова; desmearingq.m - обратная задача реконструкции методом квадратур и регуляризации Тихонова.

Устранение зашумленности изображений

При решении задачи устранения шума также использовались методы параметрической фильтрации Винера, метод квадратур и ПФ с регуляризацией Тихонова. Для решения обратной задачи и сравнения вышеуказанных методов было предложено три способа восстановления: без фильтрации шума, с предварительной фильтрацией и с фильтрацией после реконструкции. Для подавления аддитивного гауссова 1%-го шума, как показали эксперименты, лучше всего использовать метод адаптивной винеровской фильтрации (реализация в MatLab7 при помощи m-функции wiener2). Численная оценка полученных результатов реконструкции при различных вышеуказанных способах представлена в таблице.

Вид реконструкции Метод ПФ с регуляризацией Тихонова Метод квадратур с регуляризацией Тихонова Метод параметрической фильтрации Винера

aopt ^relKpt) aopt CTrel(aopt) ^opt CTrel( ^opt)

без фильтрации шума ю-2-25 0,2006 10-2'85 0,1051 10 -5 0,0999

с предварительной фильтрацией 10-2-45 0,1991 10-3'5 0,0980 10-5 0,1110

с последующей фильтрацией 10-2'25 0,2086 10-3'6 0,0806 10-5 0,0945

Таблица. Относительная погрешность восстановления смазанных и зашумленных изображений

Заключение

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что метод квадратур с регуляризацией Тихонова позволяет наиболее точно и качественно восстанавливать искаженные изображения (смазанные под углом и зашумленные). Метод параметрической фильтрации Винера и метод ПФ с регуляризацией Тихонова уступают методу квадратур с регуляризацией Тихонова. Кроме того, в работе предложен новый способ моделирования смазанных под углом изображений без использования «граничных условий».

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-08-00034).

Литература

1. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - С. 185-195.

2. Сизиков В.С., Белов И.А. Реконструкция смазанных и дефокусированных изображений методом регуляризации // Оптический журнал. - 2000. - Т. 67. - № 4. - С. 60-63.

3. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.: Техносфера, 2006. - 1072 с.

4. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции // Автометрия. - 2006. - Т. 42. - № 6. - С. 3-15.

5. Christiansen M., Hanke M. Deblumng methods using antireflective boundary conditions. - 2006 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://citeseerx.ist.psu.edu, свободный.

6. Palmer K., Nagy J., Perrone L. Iterative methods for image restoration: Matlab object oriented approach. -2002 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://citeseer.ist.psu.edu, свободный.

7. Donatelli M., Estatico C., Martinelli A., Serra-Capizzano S. Improved image deblurring with anti-reflective boundary conditions and re-blurring // Inverse problems. - 2006. - V. 22. - P. 2035-2053.

8. Arico A., Donatelli M., Nagy J., Serra-Capizzano S. The anti-reflective transform and regularization by filtering. - 2007 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: ftp://ftp.mathcs.emory.edu, свободный.

9. Римских М.В., Евсеев В.О., Сизиков В.С. Реконструкция смазанных изображений различными методами // Оптический журнал. - 2007. - Т. 74. - № 11. - С. 53-57.

10. Сизиков В.С., Римских М.В., Мирджамолов Р.К. Реконструкция смазанных и зашумленных изображений без использования граничных условий // Оптический журнал. - 2009. - Т. 76. - № 5. - С. 38-46.

11. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. - М.: Техносфера, 2006. - 616 с.

12. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

13. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. - СПб.: Политехника, 2001. -240 с.

14. Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вейвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислит. методы и программирование. - 2003. - Т. 4. - С. 244-253.

15. Ягола А.Г., Кошев Н.А. Восстановление смазанных и дефокусированных цветных изображений // Вычислительные методы и программирование. - 2008. - Т. 9. - С. 207-212.

Дайнеко Мария Владимировна - Санкт-Петербургский государственный университет информа-

ционных технологий, механики и оптики, аспирант, dayne-kom@gmail. com

Сизиков Валерий Сергеевич - Санкт-Петербургский государственный университет информа-

ционных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]