CC BY
53
УДК 550.834 Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2014. Вып. 1
А. В. Пономаренко1, Б. М. Каштан1, В. Н. Троян1, В. А. Мулдер2'3
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ МЕТОДОМ ОБРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН*
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация
2 Делфтский технический университет, 2600, AA, Делфт, Нидерланды
3 Компания «Shell Global Solution International», Нидерланды
Дисперсионные свойства поверхностных волн широко используются для восстановления параметров приповерхностной среды в разных областях геофизики — от сейсмологии до инженерно-технических задач. Чаще всего рассматривается одномерная слоистая скоростная модель, в которой среда представляется в виде набора горизонтальных однородных упругих слоёв. Для такой модели можно построить дисперсионное уравнение, корни которого для каждого значения частоты являются значениями фазовой скорости интерференционных поверхностных волн. В работе приведён вывод дисперсионного уравнения для фазовой скорости нормальных акустических мод в модели «свободный слой с линейным уменьшением с глубиной квадрата медленности, лежащий на однородном полупространстве». Рассмотрен пример восстановления профиля скорости продольной волны в упругой модели с большим различием между скоростями продольных и поперечных волн методом обращения дисперсионных кривых полученного акустического дисперсионного уравнения. Оценивалось значение градиента квадрата медленности при фиксированных значениях остальных параметров, определяющих профиль скорости. Несмотря на ограниченный интервал выбора начального значения градиента, различия между профилями скорости, соответствующими начальному и найденному истинному значению градиента, довольно существенны. Это даёт возможность восстановить профиль скорости из большого спектра его возможных значений. Использование полученного дисперсионного уравнения для оценки профиля скорости продольной волны может иметь смысл и при работе с реальными данными, особенно в качестве возможности получения начальной гладкой модели для процедуры полного обращения волнового поля. Библиогр. 11 назв. Ил. 10.
Ключевые слова: профиль скорости, дисперсионное уравнение, обращение дисперсионных кривых.
A. V. Ponomarenko1, B. M. Kashtan1, V. N. Troyan1, W. A. Mulder2'3
SURFACE WAVE INVERSION FOR A P-WAVE VELOCITY PROFILE
1 St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation
2 Delft University of Technology, 2600, AA, Delft, the Netherlands
3 Shell Global Solution International, the Netherlands
Dispersion properties of surface waves are widely used to obtain parameters of the near-surface medium in different areas of geophysics — from seismology to engineering problems. Usually, a 1D model comprising a set of homogeneous horizontal elastic layers is considered, leading to a dispersion equation. The roots of this dispersion equation are the values of the phase velocity of the interfering surface waves, for each value of the frequency. Here, we choose an alternative approach and obtain the dispersion equation of the normal acoustic modes in a model with a decreasing constant vertical gradient of the squared slowness, bounded by a free surface on the top and a homogeneous halfspace at the bottom. We tested the method by inverting for the P-wave velocity profile of synthetic 2D isotropic elastic data with a small Vs/Vp-ratio, using the first three dispersive modes of
* По материалам доклада на международной конференции «EAGE 2013» 8—15 июня 2013 г., Лондон, Великобритания.
Работа выполнена при поддержке CRDF, грант № RUG1-300020-ST-11.
the obtained acoustical dispersion equation. The result is an optimal value for the single gradient parameter of the squared P-wave slowness. Despite the restricted region of initial possible values for this parameter, the differences between velocity profiles for different values are quite large. This allows to invert for a wide spectrum of possible profiles. The method should be useful to provide a smooth initial P-wave velocity model for full waveform inversion of real data. Refs 11. Figs 10.
Keywords: velocity profile, dispersion equation, surface wave inversion.
Введение. Дисперсионные свойства поверхностных волн широко используются для восстановления параметров приповерхностной среды в разных областях геофизики — от сейсмологии до инженерно-технических задач [1, 2]. Чаще всего, рассматривается одномерная слоистая скоростная модель, в которой среда представляется в виде набора горизонтальных однородных упругих слоёв. Для такой модели можно построить дисперсионное уравнение, корни которого для каждого значения частоты являются значениями фазовой скорости интерференционных поверхностных волн [3-5]. Эта зависимость скорости поверхностных волн от частоты обычно представляется в виде дисперсионных кривых, каждая из которых соответствует определённой моде поверхностной волны. В рамках рассмотренной модели можно определять параметры среды, минимизируя невязку между модельными дисперсионными кривыми и дисперсионными кривыми, полученными из реальных сейсмических наблюдений. Такой метод восстановления значений параметров среды называется обращением поверхностных волн.
При проведении P-SV приповерхностных наблюдений на сейсмограмме выделяются волны рэлеевского типа, или нормальные моды, а также каналовые продольные волны, приходящие на малых временах (в ранних вступлениях). Волны рэлеевского типа чувствительны к значениям поперечных скоростей в скоростном профиле среды, и обращение дисперсионных кривых этих волн является классической задачей восстановления значений поперечных скоростей [1, 2]. С теоретической точки зрения, волны рэлеевского типа описываются вещественными корнями дисперсионнного уравнения. В свою очередь, комплексные корни описывают так называемые вытекающие моды, которые и проявляются на наблюдениях в виде каналовых продольных волн [6]. Эти волны чувствительны к значениям скоростей продольных волн в среде и могут быть использованы для их восстановления [1, 7]. Дисперсионные свойства каналовых продольных волн близки к свойствам нормальных акустических мод (интерференционных волн в акустической слоистой модели — см. [8]). При большом различии между значениями скоростей продольных и поперечных волн в среде (что является достаточно часто встречающимся свойством неглубоко залегающих пород и наносов) для описания дисперсионных свойств каналовых продольных волн приближённо можно пользоваться нормальными акустическими модами, описываемыми вещественными корнями акустического дисперсионного уравнения [6, 9].
В настоящей работе рассматривается модель упругой среды с гладким профилем скорости: упругий слой с линейным убыванием с глубиной квадрата медленности, расположенный на упругом однородном полупространстве; на поверхности учитываются условия свободной границы; при переходе от слоя к полупространству значения скоростей волн и плотность полагаются непрерывными. Используя известное решение (см. [10]) для представления поля в слое с линейным изменением квадрата медленности (для акустического случая), мы строим решение и получаем дисперсионное уравнение, описывающее свойства нормальных акустических мод. На основе численных сейсмических данных мы иллюстрируем фактическое совпадение между дисперсионными кривыми акустических нормальных мод и дисперсионными максимумами на сейсмограмме в координатах частота — волновое число. Мы приводим пример обращения дисперси-
онных кривых акустических нормальных мод для восстановления профиля скорости продольной волны.
Аналитический вывод дисперсионного уравнения. Мы рассматриваем двумерную акустическую задачу в плоскости (XZ), слой толщиной Н с линейным уменьшением квадрата медленности на однородном полупространстве, на поверхности заданы условия свободной границы. Закон изменения квадрата медленности с глубиной определяет скоростную модель среды: г^ = г>о/\/1 — аг, где г'о — значение скорости на поверхности, г — глубина, а — градиент. На границе слой—полупространство в скоростной модели нет скачка, значение скорости в полупространстве определяется как = VI(Н). Плотность во всей модели полагается одинаковой.
Выражение для поля волны давления в рассматриваемой модели может быть найдено следующим образом. Запишем волновое уравнение для области, где скорость распространения возмущения зависит от координаты г:
1 d2P(x,z,t)
vf{7) W
Используя фурье-преобразование в частотной области, для гармонического возмущения можно записать:
1 Г
Р(ж, z, t) = - Re / em,tdw Р(ж, z, ш),
п
'0
тогда из волнового уравнения получим уравнение Гельмгольца:
ю2 -
АР (ж, г, ш) + ^т— Pix, z, t) = 0. v2(z)
Так как в рассмотренной модели скоростные параметры не зависят от координаты x, решение можно искать в виде интеграла Фурье по горизонтальному волновому числу:
(• ОС
Р( Ж, ш) = I , 7 './/■• Р{к, Z, ш), 2п
' —оо
ю
2
P?(k,z,<o)- ( к )P(x,z,t) = 0. (1)
В уравнении (1) г^ = г'о / л/1 ~~ Обозначим со2/г'2 = Щ и сделаем замену переменных, для чего введём вместо переменной г переменную т:
X = То + То = я2 (к2 - Щ) , Н = (аЩ)~1/3 ,
тогда уравнение (1) можно записать в виде
Рт"(т) - тР(т) =0, т = т(г, к, ш). (2)
Уравнение (2) — есть уравнение Эйри [10], оно имеет два линейно-независимых решения — функции Эйри и(т) и V(т). Таким образом, выражение для поля в слое может быть представлено в виде линейной комбинации функций Эйри; в однородном полупространстве выражения для давления запишем как решение волнового уравнения;
окончательно, в интегральном виде запишем выражения для давления в слое (I) и в полупространстве (II):
Pi (x, z, t) =
2(л)"
Re
PH(x,z,t)
2(л)"
J 0 Re
d<ü
eimtdw
e-ikxdk (AU(t) + BV(t)) , f eTikxdk (Ce-a2(z-hA ,
J —oo
(3)
(4)
здесь А, В, С — неизвестные функции, не зависящие от координат, 0(2 = \/к2 — ш2/гщ-На свободной поверхности, а также на границе раздела сред должны выполняться следующие граничные условия: на свободной поверхности давление равно нулю; на границе раздела сред давление и нормальная к границе компонента скорости непрерывны [10]. Используя эти условия, можно получить значения неизвестных А, В, С при наличии источника возмущений в рассматриваемой задаче, а также дисперсионное уравнение как условие разрешимости данной системы. Итак, на свободной границе при z = 0
Р и = 0,
на границе z = к:
1 дРг
Pi dz
pi\z=h - Pll\z = H, 1 дРи
z=h
р2 dz
z=h
Используя представления (3) и (4), условия можно переписать в виде системы уравнений (интегралы опускаются):
Аи (х)|г=о + ВУ (х)\г=0 =0, (Аи(т)+ ВУ(т)) \г=н = С,
&smi)+Bvmz=h
Pilz
аоС Р- \z=h
Принимая во внимание, что дf(т)/дz = /т/дт/дz = ///И, из данной системы уравнений легко получить дисперсионное уравнение
U lz=o VI
t lz=h
+ ffPi
P2
O.2V |
z=h
- VI
z=0
UTI
z=h
+ H9-i P2
a2U |
z=h
0.
(5)
Корнями данного уравнения являются значения фазовых скоростей интерференционных акустических волн, которые могут распространяться в рассмотренной модели вдоль оси ОХ. Корни могут быть комплексными, но мы будем рассматривать только вещественные корни, соответствующие нормальным акустическим модам. Начиная с некоторого значения частоты, называемой частотой отсечки, дисперсионное уравнение (5) имеет по крайней мере один корень. Графически удобно представлять корни дисперсионого уравнения в виде дисперсионных кривых — функциональных зависимостей значений фазовой скорости от частоты V = у(/).
Необходимо заметить, что уравнение (5) одинаково для задач, когда на границе z = к скорость распространения волны изменяется скачком или остаётся непрерывной (как в рассмотренной модели). Кроме того, в настоящей задаче мы считаем
ос
X.
1
e
ОС
1
0
h
h
h
z
z
к X I
I
а
0
1 I
о я
о &
и =
0 я ч и
X
1
и
¡5
я со
3 —] 2 1 -| 0 1
1500 3 2 1 0 1
2000 2500 3000
1500 3 2 1 0
-1 Н -2
2000 2500 3000
1500 2000 2500
3000
Фазовая скорость, м/с
2000 2500 3000
Рис. 1. Зависимость дисперсионного выражения от фазовой скорости при значениях частоты, Гц:
6 (а), 15 (б), 20 (в), 40 (г)
о 3500-
§ 2800 оро
к
с
Рис. 2. Дисперсионные кривые фазовой скорости акустических нормальных мод
г = 0
2100
в 1400
25 50 75 Частота, Гц
100
Свободная поверхность
ф Л Л Л Л Л
Приёмники
Источник
Рис. 3. Схема модели для численного Слой с линейным уменьшением квадрата медленности
моделирования распространения волн
Однородное полупространство
одинаковыми плотности полупространства и слоя. Таким образом, окончательный вид дисперсионного уравнения
и и У 1=н + Иа2У |г=Л) - У и (их=к + Иа2и |г
0.
(6)
Аналогичный вывод дисперсионного уравнения можно проделать и для БН-задачи в упругом случае, полученное дисперсионное уравнение будет иметь похожий вид.
Поиск корней дисперсионного уравнения. Корни дисперсионного уравнения (6) представляются в виде дисперсионных кривых, которые описывают зависимость
0
к
фазовой скорости акустических интерференционных волн (или акустических нормальных мод) от частоты / или круговой частоты ш. Левая часть дисперсионного уравнения (6) (дисперсионное выражение) может быть комплексной при значениях фазовой скорости V ^ V2, это следует из выражения для а2, входящего в дисперсионное уравнение. Вещественные значения фазовой скорости, при которых для некоторых значений / дисперсионное выражение обращается в ноль, расположены в интервале vo ^ V ^ V2.
Для поиска корней дисперсионного уравнения была написана программа, которая определяет интервалы значений фазовой скорости, где дисперсионное выражение меняет свой знак, а потом ищет значение корня на выделенных интервалах. На рис. 1 показаны зависимости дисперсионного выражения от фазовой скорости в интервале vo ^ V ^ V2 соответственно для четырёх значений частоты: 6, 15, 20, 40 Гц и параметров модели: Vо =1500 м/с, а = 0,008 м-1, Н = 100 м. При значении частоты 6 Гц дисперсионное уравнение не имеет вещественных корней, при дальнейшем увеличении частоты — 15, 20, 40 Гц происходит увеличение количества вещественных корней (при 40 Гц уравнение имеет три вещественных корня).
Дисперсионные кривые значений фазовых скоростей интерференционных волн показаны на рис. 2, где представлены все возможные вещественные корни дисперсионного уравнения для частотного интервала от 0 до 100 Гц. Как было показано на рис. 1, с увеличением частоты растёт число корней дисперсионного уравнения, на рис. 2 это приводит к увеличению количества кривых с увеличением частоты.
Обращение дисперсионных кривых и восстановление профиля скорости продольной волны. В качестве иллюстрации использования дисперсионных кривых уравнения (6) для восстановления профиля скорости продольной волны было проведено численное моделирование распространения волн в упругой среде с использованием кода "REM2D", предоставленного университетом Гамбурга (Германия). На рис. 3 показана схема модели, её параметры: толщина слоя с градиентом (линейным уменьшением) квадрата медленности Н = 100 м, источник упругих колебаний расположен на глубине 4 м, а профиль приёмников расположен на той же глубине параллельно поверхности. Значения скоростей продольной и поперечной волн на поверхности: Vpo = 1500 м/с, Узо = 1500 м/с, значение плотности на поверхности р = 2200 кг/м3, а значение градиента квадрата медленности а = 0,008 м-1, которое принималось одинаковым для Ур, У и р. Центральная частота источника равнялась 20 Гц.
На рис. 4 и 5 показаны сейсмограммы вертикальной компоненты смещения в кор-динатах «расстояние по оси X — время» (х,Ь) и «частота — волновое число» (/, к), соответственно. Сейсмограмма в координатах «частота — волновое число» (будем называть её сейсмограммой в частотной области) получена с помощью /—к-преобразования к сейсмограмме в координатах (х,Ь). Благодаря тому, что отношение значений скорости поперечной волны к скорости продольной волны мало (Уз/Ур = 0,3), каналовые продольные волны хорошо отделяются от волн рэлеевского типа (см. рис. 4), так как имеют намного более ранние вступления. В частотной области (см. рис. 5) этому разделению волн соответствуют две группы спектральных максимумов. Первая группа, низкочастотная, с большими амплитудами максимумов при больших значениях волнового числа — это группа максимумов нормальных мод рэлеевского типа, вторая группа, более высокочастотная, с меньшими амплитудами — группа максимумов каналовых продольных волн. Корни дисперсионного уравнения (6) могут быть использованы для описания второй группы спектральных максимумов; для иллюстрации этого на рис. 5 на сейсмограмму наложены дисперсионные кривые, полученные численным поиском вещественных корней дисперсионного уравнения (6), они обозначены серым цветом.
0 0,1
100
Расстояние источник—приёмник, м 200 300 400 500 600
700
800
Рис. 4. Сейсмограмма вертикальной компоненты смещения в координатах (х,Ь)
0,030
0,025
Рис. 5. Сейсмограмма вертикальной компоненты смещения в координатах
(М)
10
20 30 40 Частота, Гц
50 60
0
Наблюдается совпадение положения кривых и спектральных максимумов второй группы. Спектральные максимумы содержат информацию о профиле скорости продольной волны в рассматриваемой модели, и, используя уравнение (6), можно восстановить значения скоростей этого профиля.
При анализе реальных данных поверхностных наблюдений дисперсионные кривые пикируются по положениям спектральных максимумов, полученные при этом значения фазовой скорости (или волнового числа) и частоты вводятся в формулу для функционала невязки, который зависит от модельных параметров. Минимизируя функционал по значениям модельным параметров, находят те значения параметров, при которых функционал имеет глобальный минимум. Такие значения принимают в качестве оценки истинных параметров среды. В нашем случае мы не пикировали дисперсионные кривые, а использовали значения фазовой скорости и частоты, соответствующие вещественным корням дисперсионного уравнения.
В рассматриваемой модели профиль скорости продольной волны определяется тремя параметрами — Уро, Н и а. Покажем возможность восстановить профиль скорости методом обращения дисперсионных кривых; определим значение градиента а, считая остальные параметры известными (в случае анализа реальных данных необходимо было бы применять процедуру оценки градиента для каждой пары возможных значений
Здесь П^ — значение левой части дисперсионного уравнения, вычисленное для частоты /^ и фазовой скорости гоц; г — номер точки на каждой дисперсионной кривой, а ] — номер дисперсионной кривой. Для поиска минимума функционала (7) мы применяли метод Ньютона.
Способ задания функционала невязки на основе значений левой части дисперсионного уравнения впервые был представлен в работе [11]. При истинном значении параметра а каждое слагаемое П^ обращается в ноль, таким образом, достигается глобальный минимум функционала. Это возможно потому, что значения параметров Уро и Н считались известными, а /^ и гоц соответствуют корням дисперсионного уравнения. В общем случае глобальный минимум функционала не всегда может быть определён, важную роль играет знание диапазона частот и значений парамеров.
Наименьшее значение частоты отсечки, при которой дисперсионное уравнение при данных параметрах имеет вещественный корень, — 7,6 Гц, оно соответствует началу первой дисперсионной кривой (см. рис. 2 и 5). В настоящей работе в качестве примера мы рассмотрели обращение первых трёх дисперсионных кривых. На рис. 6 показаны четыре функционала невязки, построенные по формуле (7): для первой дисперсионной кривой (первой моды) в двух частотных диапазонах (от 7,6 до 20 Гц введено обозначение н.ч. — низко-частотный диапазон, и от 20 до 50 Гц введено обозначение в.ч. — высоко-частотный диапазон), а также для второй и третьей дисперсионных кривых в диапазоне от 20 до 50 Гц. Значения параметров Уро и Н принимались известными. Каждый функционал нормирован на значение локального максимума для удобства изображения на одном графике. Локальный максимум есть у каждого из функционалов, таким образом, начальное значение градиента а для процедуры поиска глобального минимума функционала с использованием градиентных методов должно выбираться таким, чтобы оказаться с «правильной» стороны локального максимума. При этом, если начальное значение градиента выбирается больше истинного значения, возможность данного выбора ограничена лишь максимально возможным значением параметра (а ^ 1/Н). При использовании в процедуре инверсии более низкочастотного диапазона
Уро—Н).
Функционал невязки может быть записан в виде
Рис. 6. Зависимость функционалов невязки от градиента при истинных значениях Ур0 и Ь:
1 — 1 мода, в.ч.; 2 — 1 мода, н.ч.; 3 — 2 мода; 4 — 3 мода
значений дисперсионной кривой локальный максимум смещается левее, что расширяет интервал для выбора начального значения.
На рис. 7 показаны относительные ошибки определения градиента а как функции от количества итераций для разных исходных значений параметра. Для каждого из рассмотренных начальных значений процедуре нужно не более 10 итераций, чтобы достигнуть глобального минимума функционала невязки и получить искомое значение параметра градиента а = 0,008 м-1 с ошибкой менее 0,1 %. Начиная с некоторой итерации, относительная ошибка перестаёт изменяться; её значение определяется численными ошибками алгоритма, в частности, точностью определения корней дисперсионного уравнения (6). Таким образом, искомое значение градиента определяется с достаточной точностью, что позволяет восстановить значения профиля скорости продольной волны в рассмотренной модели.
Как было сказано выше, выбор начальных значений градиента ограничен, с одной стороны, положением локального максимума функционала невязки, с другой стороны, максимально возможным значением параметра. Несмотря на это, предложенный метод способен восстановить истинное значение параметра при достаточно больших вариациях скоростного профиля. На рис. 8 показаны профили скорости продольной волны для разных значений градиента. Сплошная кривая соответствует истинному значению градиента (а = 0,008 м-1), остальные — разным начальным значениям градиента, которые использовались в процедуре инверсии. Даже при незначительном отличии значения градиента от его истинного значения соответствующие профили существенно различаются, с увеличением разницы между значениями градиентов разница между профилями скорости возрастает.
Здесь может возникнуть вопрос, как будет работать метод, если точные значения параметров Уро и Н неизвестны, и мы будем искать минимум функционала невязки при неправильных значениях этих параметров. В качестве примера на рис. 9 и 10
Рис. 7. Относительная ошибка определения градиента для разных дисперсионных кривых и разных начальных значений градиента:
1 — 1 мода, в.ч., ао = 0,0098 м-1; 2 — 1 мода,
н.ч., ао = 0,0067 м-1; 3 4 — 2 мода, ао = 0,0098 м
- 2 мода,
-1
ао = 0,0074 м"
1
1| 0,1] 0,011 1Б-3] 1Е-4-] 1Е-5] 1Е-6
5 10 15 20 25 30 Номер итерации
35
0
^ 3200-Й 3000 -g 2800-& 2600 -u 2400-§ 2200-g 2000$ 1800-
3400
1
1600-
0 20 40 60 80 100 120
Глубина, м
Рис. 8. Профили скорости продольной волны для разных значений градиента, м-1:
1 — ao = 0,008; 2 — ao = 0,0067; 3 — ao = = 0,0074; 4 — a0 = 0,0098
1:
показаны такие же функционалы, как на рис. 6, но для смещённых значений Уро и Н, соответственно. Функционал на рис. 9 построен для значения УРо = 1600 м/с (при этом значение Н остаётся неизменным, истинным), а на рис. 10 — для значения Н = 70 м (значение УРо остаётся истинным). На обоих рисунках видно изменение каждого функционала по сравнению с изображёнными на рис. 6. Теперь функционалы имеют лишь локальные минимумы, которые смещены друг относительно друга. В этих случаях не представляется возможным определить истинное значение модельного параметра а. Такая проблема может возникнуть при обращении дисперсионных кривых реальных данных, когда точные значения параметров неизвестны и функционалы будут иметь лишь локальные минимумы. В этом случае критерием для поиска подходящих параметров может быть совпадение положений локальных минимумов функционалов для каждой дисперсионной кривой.
Заключение. В представленной работе приведён вывод дисперсионного уравнения для фазовой скорости нормальных акустических мод в модели «свободный слой с линейным уменьшением с глубиной квадрата медленности, лежащий на однородном полупространстве». Показан пример восстановления профиля скорости продольной волны в упругой модели с большим различием между скоростями продольных и поперечных волн методом обращения дисперсионных кривых полученного акустического дисперсионного уравнения. Рассмотрено обращение трёх дисперсионных кривых (значения первой моды брались для разных частотных диапазонов) и определение значения градиента квадрата медленности при фиксированных значениях параметров УРо и Н. Несмотря на ограниченный интервал выбора начального значения градиента, различия между профилями скорости, соответствующими начальному и найденному истинному значению градиента, довольно существенны. Это даёт возможность восстановить профиль скорости из довольно большого спектра его значений. Использование полученного дис-
1
2
3
4
Рис. 9. Зависимость функционалов невязки от
градиента при смещённом значении Ур0\ 1 — 1 мода, в.ч.; 2 — 1 мода, н.ч.; 3 — 2 мода; 4 — 3 мода
Я 0,0
0
0,003 0,006
0,009
Градиент, м
г-1
Рис. 10. Зависимость функционалов невязки от
градиента при смещённом значении Ь: 1 — 1 мода, в.ч.; 2 — 1 мода, н.ч.; 3 — 2 мода; 4 — 3 мода
0,003
0,006 Градиент, м-
0,009
г-1
персионного уравнения для оценки профиля скорости продольной волны может иметь смысл и при работе с реальными данными, особенно для получения начальной гладкой модели при процедуре обращения полного волнового поля.
Литература
1. Boiero D., SoccoL. V. P and S wave velocity model retrieved by multi-modal surface wave analysis // Ext. abstr. 71th EAGE Conference & Exhibition. Amsterdam, 2009. T010.
2. SoccoL. V., FotiS., Boiero D. Surface-wave analysis for building near-surface velocity-models. Established approaches and new perspectives // Geophysics. 2010. Vol. 75, N 5. P. A83—A102.
3. АкиК., Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы / пер. с англ. М.: Мир, 1983.
4. Молотков Л. А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 201 с.
5. Петрашень Г. И., Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. II. Л.: Наука, 1985. 302 с.
6. RothM., Holliger K., Green A.G. Guided waves in near-surface seismic surveys // Geophys. Res. Lett. 1998. Vol. 25. P. 1071-1074.
7. Boiero D., StrobbiaC., VelascoL., Vermeer P. Guided waves — inversion and attenuation // Ext. abstr. 75th EAGE Conference & Exhibition. London, 2013. Th-01-08.
8. КлейК., МедвинГ. Акустическая океанография. Основы и применения / пер. с англ. М.: Мир, 1980. 584 с.
9. Robertsson J. O. A., Holliger K., Green A. G. et al. Effects on near-surface waveguides on shallow high-resolution seismic refraction and reflection data // Geophys. Res. Lett. 1996. Vol. 23. P. 495-498.
10. Бреховских Л. А. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
11. Maraschini M., Ernst F., Boiero D. et al. A new approach for multimodal inversion of rayleigh and scholte waves // Ext. abstr. 70th EAGE Conference & Exhibition. Rome, 2008. D036.
Контактная информация
Пономаренко Андрей Валерьевич — аспирант; e-mail: avponom@rambler.ru Каштан Борис Маркович — профессор; e-mail: boris.kashtan@gmail.com Троян Владимир Николаевич — профессор; e-mail: vtroyan@hq.pu.ru Мулдер Вим Александр — профессор; e-mail: wim.mulder@shell.com
Ponomarenko Audrey Valerievich — post-graduate student; e-mail: avponom@rambler.ru Kashtan Boris Markovich — Professor; e-mail: boris.kashtan@gmail.com Troyan Vladimir Nikolaevich — Professor; e-mail: vtroyan@hq.pu.ru Mulder Wim Alexander — Professor; e-mail: wim.mulder@shell.com
Т. 1. 520 с.
Статья поступила в редакцию 5 ноября 2013 г.
