Восстановление полиномиального сигнала с помощью фильтра, построенного на динамическом звене произвольного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

встраивание на уровне пространства коэффициентов ДВП Хаара - 0,0033 бит/пиксель;

встраивание на уровне пространства коэффициентов ДКП - 0,0001 бит/пиксель.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грибунин, В.Г. Цифровая стеганография [Текст]/ В.Г. Грибунин, И.Н. Оков, И.В. Туринцев.-Солон-Пресс, 2002.

2. Ingemar, J. Cox. Digital watermaking and steg-anography [Текст]Л. Ingemar Cox, L. Miller Matthew,

A. Bloom Jeffrey [et al.].-Morgan Kaufmann Publishers, 2008.

3. Рашич, А.В. Принципы обработки изображений: Учеб. пособие [Текст]/А.В. Рашич.-СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.-148 с.

УДК 519.876.5

П.Н. Мельников, М.А. Терпигорев, С.Б. Симонов

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СИГНАЛА С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРА, ПОСТРОЕННОГО НА ДИНАМИЧЕСКОМ ЗВЕНЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

Для восстановления полиномиального сигнала, подверженного высокочастотным искажениям, применяются фильтры, построенные на динамических звеньях. Например, в работе [1] представлен многокаскадный фильтр, построенный на апериодических звеньях. Для уменьшения ошибки фильтрации целесообразно использовать фильтр динамического звена произвольного порядка. Выбор произвольного порядка динамического звена и величин коэффициентов усиления дает возможность синтезировать фильтр, в наибольшей степени отвечающий заданным требованиям. Однако увеличение порядка динамических звеньев, используемых при синтезе фильтра, приводит к усложнению программной и аппаратной реализации фильтра.

В данной статье предлагается решение задачи построения структурной схемы многокаскадного фильтра, каждый каскад которого построен на динамическом звене произвольного порядка следующего вида:

P(t)

О

W. =■

1

T,„s" + Tn_,sn

+... + T s +1

(1)

Динамическое звено Wn описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами при входном сигнале р(()=0:

тущ + Т-1 /п-1)(0 + ... + тх /(0 + у(0 = о. (2)

Звено Wn может быть представлено путем последовательного соединения и каскадирования пропорциональных и интегральных звеньев, как показано на рис. 1. Таким образом, программная и аппаратная реализации этого звена могут быть легко получены путем рекурсивного вызова процедур, либо увеличением количества элементов в электрической схеме.

Решение уравнения (2) есть общее решение линейного дифференциального уравнения порядка п с постоянными коэффициентами [3]. Возможны следующие варианты решений.

k л —

А>(0 к

S s

Рис.1. Структурная схема звена произвольного порядка

Научно-технические ведомости СПбГПУ 6' 2010 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

1. Если характеристическое уравнение имеет п различных действительных корней А2, ..., Ап, то общее решение имеет вид:

у0(г) = С1е-%1' + С/-^ + ... + Се^.

2. Если характеристическое уравнение имеет г-кратный корень Ак = Ак+р ..., А,^ то общее решение принимает следующий вид:

у0(г) = С^ + ... + Ске-'Ак> + Ск+1?е_Лк+1' + ...

... + С г^е-^* + ... + С е~Ч

л + г-1 п

3. Если характеристическое уравнение имеет простые комплексные корни, то каждой паре корней Ак к1 = ак + гЪк в общем решении соответствуют слагаемые Ске~ак,со$(Ъг), Се^втЪ).

4. Если характеристическое уравнение имеет кратные комплексные корни Ак = Ак+1.. = А2к+2г-1 = = ак + гЪ, то в общем решении им соответствуют следующие слагаемые:

C^ cos(bt), Ck+le-at' sin(bt), Ck+2te-"k' cos(bt), CkJe-akt sin(bt),

C Г"1

2k+2r-2

e-"k'cos(bt), C ,r-1e-

Л А 4 Ав-2 Аи-1 К "1"

ТА Т.2А, 7; ЗА, ТМт 0 t

Т22А, Т2 -3-2Аз Г24Л Т2 m(m - 1)Д, 0 0 х t2

Тпп\\ 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 _tm_

^2k+2r-r - ' sin(bt).

Пусть на вход фильтра fF подается сигнал, описываемый полиномиальной функцией времени порядка:

Pm(t) = K tm + K 1tm-1 +... + K,t + K0. (3)

V ^ m m-1 1 0

Тогда обработка сигнала (фильтрация) описывается уравнением:

Т Уи)(0 + Tn_iyfn-1)(t) + ... + Tiy'(t) + y(t) = Pm(t). (4)

Частное решение этого дифференциального уравнения ищется в виде полинома:

Sm (t) = Amtm + Am-itm-1 + ... + At + Ao.

Подставим частное решение в исходное дифференциальное уравнение (2) и запишем его в матричном виде:

"1 t

= [К0 ...Кп... Кт]х

Получим следующие соотношения для коэффициентов выходного и входного полиномиального сигнала, из которых определяются все коэффициенты Ап частного решения дифференциального уравнения:

А = К

A , + TmA = K ,

m - 1 1 m m - 1

A 9 + T(m -1)A , + Tm(m -1)A = K

m - 2 1 m - 1 2 m m

(5)

ления входного сигнала и постоянные времени фильтра;

старший член полиномиального представления выходного сигнала совпадает со старшим членом полиномиального представления входного сигнала.

Следовательно, для полиномиального сигнала порядка т полное решение уравнения (4) можно записать в виде:

у(') = Уо(') + £т (г),

А0 + Т1А1 + 2 ТА 2 + ... + Ап = К0.

Для дальнейшего синтеза фильтра отметим следующие следствия решения дифференциального уравнения (4):

выходной сигнал есть полином той же степени, что и входной сигнал;

все коэффициенты полиномиального представления выходного сигнала можно выразить через коэффициенты полиномиального представ-

y(t) = Уо (t) + Pm (t) - Qm-1(t),

(6) (7)

где

(т-1 (г) = рт (г) - Бт (г).

В соответствии с рис. 1 ошибка фильтрации Б0 (г) = (т-1 - у0 (г). Второе слагаемое в формуле ошибки фильтрации стремится к нулю для установившегося процесса. Этот член можно уменьшить или свести к нулю, если правильно выбрать начальные условия фильтрации.

т

т

Таким образом, важным следствием фильтрации полиномиального сигнала является то, что ошибка фильтрации — полиномиальная функция на единицу меньшего порядка, чем входной сигнал. Выходной сигнал есть полиномиальная функция того же порядка, что и входной сигнал, и имеет тот же старший член представления. При этом в выходном сигнале фильтр производит определенное подавление высокочастотной помехи.

Подвергнем дополнительной фильтрации сигнал ошибки ^0(?). Тогда, следуя логике предыдущих рассуждений, на выходе фильтра сформируется сигнал S1m-1(?) полиномиальной формы порядка (т—1), а ошибка фильтрации будет представлена полиномом степени (т—2). Коэффициент при старшем члене полинома S1m-1(?) на выходе фильтра равен ТхтКт. Если произвести сложение двух полиномов S0m(?) и S1m-1(?), то в результирующем полиноме два коэффициента при старших членах будут равны двум старшим коэффициентам полинома исходного сигнала Кт и К соответственно. Таким образом, произведено восстановление в выходном сигнале двух членов из представления входного сигнала. Выходной сигнал Я^) второго каскада фильтра содержит два старших члена, равных двум старшим членам входного сигнала Рт(?):

Я1т Ц) = КГ + КтЛ"

1 V ' т т—1

+ Вт—Г

+ ... + Во.

А»(0

к

Ошибка фильтрации О (0) есть полином степени (т—2), на который наложена высокочастотная помеха.

Следовательно, чтобы полностью восстановить входной сигнал Рт(?) на выходе фильтра, необходимо построить (т + 1) каскад из звеньев Wn (рис. 2). Выходной сигнал Ят(?) равен входному сигналу Рт(?).

Если входной сигнал Рт({) подвергнут искажениям высокочастотной помехи, то в выходном сигнале Яп(?) влияние этой помехи можно значительно уменьшить, подбирая постоянные времени звеньев Wn. Подбирая начальные условия фильтрации можно существенно сократить время переходного процесса фильтра.

С помощью моделирования в среде БтиНпк® МаАаЬ® исследованы характеристики двух че-тырехкаскадных фильтров, построенных на апериодических (п = 1) и колебательных (п = 2) звеньях [2]. Проанализированы фильтры, у которых сравнимы или равны длительности переходных процессов (что обеспечивается назначением постоянных времени). На рис. 3а, б представлены опытные оценки амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) сигналов фильтров.

"■2

-О

•?Л>

«"(О ■О--

Л

ю

асо

Л

А>С)

к 5

к

[ 51

-О

-о

^соД1"^

«о

Рис. 2. Структурная схема многокаскадного фильтра

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ 6' 2010 Информатика. Телекоммуникации. Управление

а)

Рис. 3. Результаты моделирования четырехкаскадных фильтров: а - АЧХ фильтра, построенного на апериодических звеньях; б - АЧХ фильтра, построенного на колебательных звеньях; в - входная высокочастотная помеха; г - сигнал, восстановленный апериодическим фильтром; д - сигнал, восстановленный колебательным фильтром

Сопоставление результатов моделирования дает возможность утверждать, что фильтр, построенный на колебательных звеньях, должен обладать лучшими свойствами к подавлению высокочастотных помех. Это подтверждает эксперимент по оценке восстановленного входного сигнала, результаты которого представлены на рис. 3 г, д.

Предлагаемая структура фильтра позволяет

осуществлять восстановление полиномиальных сигналов, которые были подвержены высокочастотным искажениям. Выбор произвольного порядка динамических звеньев и постоянных времени дает разработчику возможность синтезировать фильтр, в наибольшей степени отвечающий характеру помех.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках мероприятия 2 аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вернер, В.В. Восстановление полиномиального сигнала способом апериодической фильтрации [Текст]/В.В. Вернер, П.Н. Мельников, А.А. Сазонов// Системный анализ и информационно-управляющие системы: Сб. науч. тр.; Под ред. В.А Бархоткина.-М.: МИЭТ, 2006.-234 с.

2. Дьяконов, В. МАГЪАВ: Учеб. курс [Текст]/В. Дьяконов.-СПб.: Питер, 2001.-592 с.

3. Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями: Учеб. пособие[Текст]/М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко.-М.: Едиториал УРСС, 2002. -Изд. 4-е, испр. -258 с.