Восстановление непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов с регуляризацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Andersen M., Rubin M., Powles R., Scartezzini J.-L. Bi-directional transmission properties of Venetian blinds: experimental assessment compared to ray-tracing calculations // Solar Energy. - 2005. - V. 78. -№ 2. - P. 187-198.

4. Антонов И.Н., Закируллин Р.С., Малков А.И., Пожар М.С., Руссов В.М., Чакак A.A. Устройство для измерения распределения плотности энергии лазерного излучения. Авт. свид. СССР, кл. G01J 5/02.1988.

5. Гуриков В.А. Эрнст Аббе. - М.: Наука, 1985. - 228 с.

6. Трембач В.В. Световые приборы: Учеб. для вузов по спец. «Светотехника и источники света». - М.: Высшая школа, 1990. - 4б3 с.

7. Zakirullin R.S. Expedient of regulation of the directional gear transmission of light. Заявка США, кл. G02В 5/22.2011 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.wipo.int/patentscope/search/en/search.jsf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 04.03.2013).

8. Закируллин Р.С. Способ регулирования направленного светопропускания. Заявка РФ, кл. G02В 5/20.2012 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www1.fips.ru/fips_servl/fips_servlet, свободный. Яз. рус. (дата обращения 04.03.2013).

9. Закируллин Р.С. Селективное регулирование направленного светопропускания по углам падения лучей // ЖТФ. - 2012. - Т. 82. - № 10. - С. 134-13б.

Закируллин Рустам Сабирович - Оренбургский государственный университет, кандидат технических

паук, доцепт, [email protected]

УДК 535.338.1+519.642.3+519.6

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ

В.С. Сизиков, А.В. Кривых

Рассмотрена обратная задача спектроскопии - восстановление непрерывных спектров путем математической обработки измеренных спектров, искаженных аппаратной функцией спектрометра и помехами. Задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода. Задача его решения некорректна, поэтому для получения устойчивого решения используется метод регуляризации Тихонова. При этом применен адаптивный способ вычислительных экспериментов, согласно которому, наряду с исходным спектром P, обрабатывается модельный спектр Q с задаваемым истинным спектром z и моделируемым измеренным спектром u с учетом дополнительной (априорной) информации об истинном спектре P. Это позволяет выбрать параметр регуляризации а . Предложенная методика может быть использована для но-вышения разрешающей способности спектрометра. Приведены численные иллюстрации.

Ключевые слова: непрерывный спектр, обратная задача спектроскопии, интегральное уравнение, метод регуляризации Тихонова, способ вычислительных экспериментов, повышение разрешающей способности спектрометра.

Введение

Измеренный спектрометром (например, интерферометром Фабри-Перо) спектр u(X) (где X -длина волны) обычно отличается от истинного спектра z(X) [1-8]. Это проявляется, во-первых, в большей сглаженности спектра u(X) по сравнению с z(X), а именно, в спектре u(X) не разрешены близкие линии, сглажена тонкая структура спектральной линии, что является результатом воздействия аппаратной функции спектрального прибора [1-9]. Во-вторых, это проявляется в зашумленности спектра u(X), а именно, слабые линии «тонут» в шуме, что является результатом погрешностей измерений [1-3], а также воздействия среды, через которую проходит излучение [10].

Дадим следующее определение аппаратной функции (АФ) [3, б-8] (ср. [9, С. 32, 704]): аппаратной функцией K(X, X') спектрометра называется его реакция (в виде измеренной интенсивности) на дискретную линию единичной интенсивности и длины волны X' при настройке спектрометра на длину волны X.

Форма аппаратной функции (ширина и т.д.) может заметно меняться с изменением длины волны настройки X e [Xmin, Xmax], где [Xmin, Xmax] - диапазон длин волн изучаемой части спектра. Обычно с увеличением X АФ становится шире, что характерно для широкополосной спектрометрии, например, изучения спектра звезды во всем видимом диапазоне. Если же АФ практически не изменяется при изменении X, то АФ является разностной (инвариантной): K (X, X') = K (X - X'), что имеет место, например, при изучении тонкой структуры отдельной линии [3, б, 8], когда диапазон [Xmin, Xmax] мал.

На рис. 1 в качестве примера приведен смоделированный непрерывный измеренный спектр u(X), сглаженный аппаратной функцией спектрометра K(X, X'), а также зашумленный (и дискретизирован-ный) измеренный спектр u(X) = u(X) + 8u (где Su - шум) и АФ спектрометра, причем, поскольку в дан-

ном примере К (X, X') - функция неразностная, то приведено два ее «сечения» (подробности примера см. дальше). В принципе похожий вид может иметь непрерывный узкополосный спектр [6, С. 200], например, сверхтонкая структура отдельной линии, обусловленная магнитными или электрическими полями (эффект Зеемана или Штарка), а также тепловым уширением (эффект Доплера) [10], однако в этом случае диапазон [Xшш, Xшах] мал, а АФ - разностная: К(X, X') = К(Х-Х').

6г

<ц 4

л

н о о

и «

к

о

я

ш Ё я

0'

А Г т |/ \ 1 f т

- u(X)

^ u( X)

г к / / J K(62 0, X )

I / \ / ^K(48 5, X') / / / 4t \ ч ч ч.

1 1 1 1 1

450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 X . X, X', нм X

min max

Рис. 1. u(X) - измеренный без шума спектр; u(X) - измеренный зашумленный и дискретизированный спектр; K (X*, X' ) - АФ при некоторой длине волны настройки X = X*; [X min, X max] - широкий диапазон

длин волн

Как будет видно далее, в примере на рис. 1 в измеренном спектре u(X) (тем более, в зашумленном спектре U(X)) не разрешены близкие линии и не выявлены слабые, причем этот эффект тем сильнее, чем шире АФ K (X, X ') (а также чем выше уровень шумов), другими словами, чем меньше разрешающая способность спектрометра [1, 9].

В данной работе ставится известная обратная задача спектроскопии - задача восстановления истинного спектра z(X) по измеренному спектру U(X) и аппаратной функции K(X, X ') [1-8, 11-15]. Данная задача описывается интегральным уравнением (см. дальше), задача решения которого некорректна, поэтому его обычно решают методом регуляризации Тихонова. При этом важным является вопрос о выборе параметра регуляризации а . В данной работе предлагается новый адаптивный способ (вычислительных экспериментов) для выбора параметра а .

Математическая формулировка обратной задачи спектроскопии

Рассмотрим случай непрерывного спектра, обычно характерного для веществ с повышенной плотностью (расплавленный жидкий металл, плазма и т.д.). Измеренная интенсивность u(X) при настройке спектрометра на длину волны X равна сумме (интегралу) по всем истинным интенсивностям z(X) с весовой функцией K:

b

u(X) = J z(X') K(X, X ') dX ',

a

где a = Xmin, b = Xmax, откуда, варьируя значение X (т.е. выполняя сканирование по спектру) и учитывая

зашумленность спектра u(X), получим:

b

J K(X, X') z(X') dX '= u(X), с <X< d , (1)

a

где [с, d ] - пределы изменения X (обычно более широкие, чем [a, b]).

В соотношении (1) известны (измерены или заданы) u(X), K(X, X '), a, b, с, d, а z(X ') является искомым истинным спектром. Соотношение (1) есть интегральное уравнение Фредгольма I рода, причем

5

1

К(X, X') является ядром уравнения, й(Х) - правой частью, а г(Х') - искомой функцией. Если К (X, X ') = К (Х-Х '), то

да

IК (Х-Х ') ¿(X ' ) ё X '=й(Х), 0 <Х<да. (2)

0

Соотношение (2) есть интегральное уравнение Фредгольма I рода типа свертки на полуоси. Решение уравнения (1) или (2) дает возможность, в принципе, восстановить истинный спектр X). Однако задача решения уравнений (1) и (2) является некорректной (существенно неустойчивой) [2-4, 6, 8, 16]: если решать уравнение (1), например, методом квадратур, а уравнение (2) - методом преобразования Фурье (инверсной фильтрации), то в качестве решения получим так называемую «пилу» [3, 6, 8] - крайне неустойчивое решение. По этой причине для устойчивого решения этих уравнений необходимо применение таких методов, как регуляризация Тихонова [2-4, 6-8, 11-16], параметрическая фильтрация Винера [3, 6, 8, 16], итеративная регуляризация Фридмана [6, 8, 16] и др.

При обработке спектра в широком диапазоне длин волн следует учитывать изменение формы АФ К (X, X ') с изменением длины волны настройки X. При обработке же спектра в узкой полосе следует использовать уравнение Фредгольма I рода с разностным ядром (ср. (2)):

ь

IК (Х-Х ') 2 (X ') ё X ' = й(Х), с <Х< ё . (3)

а

Задача решения уравнений (1)-(3) связана с задачей редукции к идеальному спектральному прибору [1-4, 9, 17] - с одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея [3, 6, 8, 13]. Успешное решение задачи редукции позволит путем математической обработки результатов измерений повысить разрешающую способность спектрального прибора. В настоящей статье воспользуемся методом регуляризации Тихонова. Что касается других устойчивых методов (фильтрации Винера, итеративных методов и др.), то они изложены в различных публикациях ([3, 6, 8, 16] и др.) и также могут быть применены для устойчивого восстановления спектров.

Краткая формулировка метода регуляризации Тихонова

Запишем уравнение (1) в виде

ь

^ = |К(Х,X ')¿(X ')ёХ '= й(Х), с<Х<ё , (4)

а

где А - оператор, соответствующий ядру К. Метод регуляризации Тихонова сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма II рода

ь

а (/) + | В(/, X ') (X ') ёX ' = и(/), а < t < Ь , (5)

а

где а > 0 - параметр регуляризации, а новое ядро и новая правая часть равны

ё ё В (/, X ') = В(Х ', t) = IК (X, Г) К (X, X ') ё X, и (/) = IК (X, t) й(Х) ё X.

с с

В таком варианте уравнение (5) обычно решается методом квадратур [3, 4, 6, 8, 16]. Если же рассматривать уравнение (2) или (3), то его решение методом регуляризации Тихонова будет включать преобразование Фурье и а -регуляризацию (подробности см. в [3, 4, 6, 8, 11-16, 18-21]).

При этом важным является вопрос о выборе параметра регуляризации а и об учете дополнительной (априорной) информации относительно искомого спектра . Существует ряд способов выбора параметра регуляризации а : способ невязки, обобщенный принцип невязки, метод перекрестной значимости, локальный регуляризующий алгоритм, способ подбора и др. [3, 4, 6, 8, 13, 16, 18-21].

Способ вычислительных экспериментов

В данной работе получает дальнейшее развитие способ вычислительных экспериментов для выбора параметра регуляризации а (другие его названия - способ псевдообратного оператора, способ эталонных, или модельных примеров, способ моделирования) [3, 6, 8, 16, 22, 23]. Данный способ учитывает дополнительную (априорную) информацию об искомом спектре (оценку количества спектральных линий, их параметров и т.д.) и поэтому является интерактивным и адаптивным способом.

Кратко изложим способ вычислительных экспериментов.

Рассмотрим операторное уравнение I рода: А г = и (ср. (4)). Полагаем, что вместо точных и и К известны й и К такие, что || и - и || <8, || А - А || < £ , где 5 и £ - верхние оценки погрешностей по норме правой части и и ядра К. При использовании метода регуляризации Тихонова решается операторное

уравнение а2а + АТА2а = Атй (ср. (5)), гдеАт- транспонированный оператор. Обозначим Д2а = 2а — 2 -погрешность регуляризованного решения 2а, а 2 - точное решение (нормальное псевдорешение [16, 20, 21]). В работах [16, 22, 23] получена следующая оценка относительной погрешности регуляризо-ванного решения по норме:

||Д 2а ||

|М|

где

■<в(а), (6)

в(а) = №+-£+-. (7)

2V а ра + 1

Здесь ц = 5отн + £отн , причем 5отн = 5/1| u || и £отн = £/ || A || - относительные погрешности исходных данных; р = || A+ ||2, A+ - псевдообратный оператор: A+u = z [20, С. 184]. Функция е(а) является верхней огибающей для истинной относительной погрешности

- отн (а) = ^ . (8)

|| z ||

В работах [16, 22] показано, что функция е(а) имеет (единственный) минимум при условии p • (|| A+ || ц)2 < 27/16 и 1,69 или || A+ || • || A || ц < зТ3/4 и 1,30. Согласно соотношениям (6)-(8), оценка относительной погрешности || Д zа ||/|| z || регуляризованного решения z(X зависит от A и ц (точнее, от произведения || A || ц). По этой причине, если решается несколько задач (другими словами, обрабатывается несколько спектров) с одинаковыми A и ц, то для них оценки погрешности

а (а) ||Дzа || < р||ц + Ра

аотн (а) = ,, ,, <-+ -

|| z || 27а ра +1 будут одинаковыми.

Отсюда следует, что при решении некоторого исходного примера P (т.е. при обработке исходного спектра йр) с неизвестным решением (спектром) zP можно использовать результаты решения другого,

модельного, примера Q с известным (заданным) точным решением (спектром) zQ , причем с такими же

A и ц, что и в примере P. При этом при решении примера Q можно рассчитать функцию стотн (а)q = || Д zаq ||/|| zQ || и по ней найти а опт Q - оптимальное значение а, при котором аотн (а)Q = min . Это значение а опт Q может быть использовано при решении исходного примера (спек-

Q а ^

тра) P. При этом необходимо также определить р = || A + ||2. Оценкар может быть получена путем подбора такого значения р, при котором огибающая кривая е(а) касается набора кривых аотн (а^ (см. рис. 3).

Добавим, что для повышения эффективности изложенного способа модельный пример Q (или несколько примеров) должен содержать дополнительную информацию об исходном примере (спектре) P, а именно, оценку количества спектральных линий (максимумов) в искомом спектре zP, соотношений их интенсивностей и значений их длин волн. Данную оценку должен делать опытный спектроскопист. Использование такой информации в модельном примере Q позволит более удачно выбрать параметр а. Данный способ следует считать адаптивным и интерактивным способом.

Численная иллюстрация

В рамках системы программирования MATLAB 7 был разработан пакет программ для восстановления истинных непрерывных спектров z(X) путем численного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода методом регуляризации Тихонова с использованием способа вычислительных экспериментов.

Сначала был рассмотрен первый пример (рис. 1) - оригинал P, у которого известен зашумленный измеренный спектр u(X) на равномерной сетке узлов X = Xmin, Xmin + h,..., Xmax, где Xmin = 450 нм; Xmax = 650 нм ; h = ДХ = const = 1 нм - шаг дискретизации; n = (Xmax -Xmin)/h = 200 - число шагов дискретизации по X. Известна также аппаратная функция - дифракционная АФ Рэлея (ср. [1, 4, 5]) вида

*(Х,X')=-^sinc2 iX-XL-L isnHX-XW^j , (9)

У(X) lr(X) J y(X) I rc(X-X')/r(X) Г

где у(Х) - полуширина АФ по уровню 0, равная приблизительно ширине АФ по уровню 0,5, которую мы положили равной у(Х) = 8 нм . Спектр полагается широкополосным (от фиолетового до красного),

поэтому ширина АФ непостоянна, а именно, у(Хш;п) = 8 нм, а у(Хшах) = 11,55 нм, т.е. у(Хшах)/у(Хш!п) = 1,44. При этом истинный спектр z(X) в примере Р неизвестен.

Из рис. 1 видно, что измеренный спектр ы(Х) имеет довольно сложную структуру, а именно, содержит шесть явных флуктуаций, две из которых (при X и 525 нм и X и 620 нм), скорее всего, состоят каждая из двух линий, но они не разрешились из-за того, что АФ имеет немалую ширину и, тем самым, ограничивает разрешающую способность спектрометра. Кроме того, есть намек на то, что при X и 507 нм и X и 543 нм имеются еще две слабые линии. Таким образом, все указывает на то, что на самом деле в спектре имеются не менее восьми спектральных линий. В связи с этим в качестве второго (модельного или эталонного) примера в был составлен близкий к оригиналу Р пример, истинный спектр (X) которого состоит из 9 спектральных линий в виде гауссиан:

zQ (X) = 2,0 ехр {-[(X - 486)/10]2} + 0,4exp{-[(X- 512)/5]2} + +8,5 ехр {-[(X - 522) / 2]2} + 9,2ехр {-[(X - 530)/ 2]2} + +0,5 ехр {-[(X - 542) /5]2} + 8,2ехр {-[(X - 566) / б]2} + +2,5 ехр {-[(X - 592) / 4]2} + 4,5 ехр {-[(X- 614)/7]2} +

+3,0ехр{-[^- 626)/5]2}.

Измеренный спектр uQ (X) в примере Q был рассчитан согласно выражению

ь

ив(X) = |К(X,X')zQ(X ')(IX', с<7,<ё ,

а

численно. При этом а = 460, Ь = 640, с = 450, ( = 650 нм.

Погрешности измеренной иР (X) были оценены примерно в 1%, что соответствует среднеквадра-тическому отклонению СКО ~ 0,02. По этой причине к значениям ив (X) были добавлены случайные нормальные погрешности с СКО от 0,01 до 0,025, что соответствует 5отн и 0,5 -1,25%, поскольку значение 5отн в исходном примере Р известно неточно. АФ спектрометра в примере в была взята в виде (9), причем (поскольку АФ известна также неточно) у^) было взято равным у^) = (8 + X/Xшin , где £, = 0 - 0,3 , что соответствует £отн и 0 - 3%.

Далее модельный пример в был решен методом квадратур с регуляризацией Тихонова с помощью разработанной ш-функции Т1кЬ.т [6, С. 207] для ряда значений параметра регуляризации а, и была построена зависимость относительной погрешности регуляризованного решения zа (X) по отношению к точному решению z(X) (см. (8)): ^а (X) - Z(X)||

" о1" (а) = ^ ■

На рис. 2 представлены зависимости стотн (а) для ряда погрешностей 5отн и £отн . На рис. 2 представлена также огибающая е(а) (см. (7)), при построении которой было положено ^=10-2 и || А || = || А || = || и 1| z = 0,82. Для ряда значений р от 100 до 270 были рассчитаны кривые е(а) (рис. 2). Было выбрано то значение р, при котором одна из кривых касается набора кривых стотн (а), а именно, р = 100. Этому соответствует значение параметра регуляризации а = 10-3. Из рис. 2 видно, что, несмотря на разброс кривых стотн (а) и е(а), значенияр и, как следствие, а определяются уверенно.

При значении а = 10-3, выбранном с помощью решения модельного примера в как вспомогательного восстановлен спектр в исходном примере Р (рис. 3). Как видно из рис. 3, в примере Р разрешились близкие линии и восстановились слабые линии, правда, на краях спектра проявился эффект Гиббса, однако в слабой форме (на уровне погрешностей метода). Аналогичные результаты получены для других, весьма различных, непрерывных спектров [3, 6-8, 14, 22, 23], т.е. изложенная в работе методика вычислительных экспериментов может быть использована для широкого класса спектров (с близкими линиями, со слабыми линиями, узкими и широкими линиями и т.д.).

. 7

<и ^

е 6

н о о

« 5

¡3

о

к

¡3 4 «

К

0

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

1

1 /.' /

1 1 « $ $ $ 7 / 0

« « 1 I • р- 270^/7 1 $ 1 $ 1

СТтн (а; » • • % • ¡Ь р-200

• • • * е(а) •7 и ! Г ' 1 ' - р-100

V -

Уч .ь / у

0

-9 -8 -7 -6 -5 -4

-3 -2

-1

0

1 2

^ а

Рис. 2. Зависимости стотн (а) для ряда погрешностей 5отн и £отн и огибающие е(а)

1111111111111111

■

л 4 Л Г 1

Г | т 1 I 1 | |

1 4 1 I / % •1 1' 2 Л 1 1/ 2 И 1

] ДГ и

I/ л и г 4 1 1 V 1 1 1/~\

'7 А 11 11 1 || ' II ,1 и 1 1 ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 : Г 1 Щ 3 1Г II II 1Г г[ 1 г и V* Уч. 4« 14 п 1* ч Л у л у* 1\

1 1 [ 1 Т- 1 I

460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640

X, X', нм

Рис. 3. 1 - истинный спектр 2Р(X); 2 - измеренный спектр й(Х); 3 - восстановленный спектр р (X)

Заключение

Практическое использование изложенной методики позволит повысить разрешающую способность спектрометра. Спектральный прибор может быть соединен с компьютером или со спецпроцессором с заложенным в него математическим и программным обеспечением, реализующим методы и численные алгоритмы решения обратной задачи спектроскопии. В результате такого комплексирования (соединения прибора с компьютером) можно разрешить близкие и выделить слабые линии спектров излучения (или поглощения), а именно, в физике - спектров газов, жидкостей, металлов, плазмы; в астрофизике - спектров звезд, планет, галактик, туманностей, комет; в металлургии - спектров расплавленных металлов в домнах; в геофизике - спектров залежей руд, минералов, нефти, газа и т.д.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-08-00442).

3

2

1

Литература

1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы // Успехи физических наук. - 1958. - Т. 66. - Вып. 3. -С. 475-517.

2. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 204 с.

3. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. - СПб: Политехника, 2001.

- 240 с.

4. Старков В.Н. Конструктивные методы вычислительной физики в задачах интерпретации. - Киев: Наукова думка, 2002. - 264 с.

5. Fleckl T., Jäger H., Obernberger I. Experimental verification of gas spectra calculated for high temperatures using the HITRAN/HITEMP database // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2002. - V. 35. - P. 3138-3144.

6. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. - СПб: Лань, 2011. - 256 с.

7. Сизиков В.С., Кривых А.В. Применение способа эталонных примеров при решении обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Изв. вузов. Приборостроение. - 2011. - Т. 54. - № 9. - С. 4451.

8. Сизиков В.С. Интегральные уравнения и MatLab в задачах томографии, иконики и спектроскопии. -Saarbrücken: LAP, 2011. - 252 c.

9. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. - М.: Сов. энциклопедия, 1984. -944 с.

10. Ландсберг Г.С. Оптика: Учебное пособие для вузов. - 6-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 848 с.

11. Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Оптимизация спектроскопических измерений на основе методов регуляризации // Журнал прикладной спектроскопии. - 1981. - Т. 35. - Вып. 4. - С. 592-599.

12. Брагинская Т.Г., Клюбин В.В. Решение обратной задачи спектроскопии оптического смещения методом регуляризации Тихонова. Препринт № 855. - Л.: ЛИЯФ, 1983. - 60 с.

13. Глазов М.В., Болохова Т. А. Решение редукционной проблемы Рэлея с использованием различных модификаций метода регуляризации // Оптика и спектроскопия. - 1989. - Т. 67. - Вып. 3. - С. 533537.

14. Кривых А.В., Сизиков В.С. Комплексированное восстановление непрерывных спектров с использованием псевдообратной матрицы // XLI Неделя науки СПбГПУ: материалы научно-практической конференции с международным участием. Ч. XIII. - СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - С. 240-242.

15. Кривых А.В., Сизиков В.С. Обработка дискретных спектров с помощью алгоритма интегральной аппроксимации // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 5 (75). - С. 14-18.

16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Нау-кова думка, 1986. - 544 с.

17. Краулиня Э.К., Лиепа С.Я., Пикалов В.В., Скудра А.Я. К проблеме исследования атомной сенсибилизированной флуоресценции по контурам спектральных линий // Некорректные обратные задачи атомной физики / Сб. статей под ред. Н.Г. Преображенского. - Новосибирск: ИТПМ, 1976. - 133 с.

18. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. - Новосибирск: Наука, 1984. - 240 с.

19. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений // Автометрия. - 2000. - № 3. - С 45-53.

20. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. -240 с.

21. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 232 с.

22. Сизиков В.С. Обобщенный метод редукции измерений // Электронное моделирование. - 1991. - Т. 13.

- № 4. - С. 7-14.

23. Верлань А.Ф., Сизиков В.С., Мосенцова Л.В. Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задачи спектроскопии // Электронное моделирование. - 2011. -Т. 33. - № 2. - С. 3-12.

Сизиков Валерий Сергеевич

Кривых Александр Владимирович

- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, [email protected]

- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]