CC BY
19
Раздел II. Моделирование процессов и систем
УДК 004.891.2 DOI 10.23683/2311-3103-2019-3-122-132
А.Н. Целых, В.С. Васильев, Л.А. Целых
ВОССТАНОВЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СМЕЖНОСТИ В ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРАХ ДЛЯ ИСХОДНОЙ ГРАФОВОЙ МОДЕЛИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ПРИЧИННОСТЬЮ*
В данном исследовании разработан подход формирования графа системы, обладающего заданными передаточными свойствами, не утрачивающего эффективных соотношений между векторами воздействий и откликов, на которых достигается максимум отношения этих норм (или отношения их квадратов норм), и реализующего на передаточной матрице эти экстремальные условия. Реализована задача восстановления матрицы смежности в заданных параметрах для исходной модели графа. Данная задача в обобщенной постановке не решалась и является новой. Решение данной задачи на основе комбинации положений теории систем, линейной и матричной алгебры позволяет формализовать зависимость влияния характеристик сети на свойства сети, что дает возможность конструировать сети, обладающие заданными свойствами. Мы применяем понятие передаточной матрицы к задаче максимизации передачи влияния в социально-экономической системе. В основе задачи оптимального изменения используется минимизация матричной нормы, согласованной с векторными нормами воздействий и откликов. Такая постановка задачи делает возможным формирование графа системы, обладающего заданными передаточными свойствами. Алгоритм, реализующий данный подход, является вычислительно эффективным с O(m3), где m - это число пар задаваемых векторов, поскольку в его основе лежит метод множителей Лагранжа 2-го порядка и метод сопряженных направлений. Поскольку решаются задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями, то критерием получения решения является не достижение требуемой точности, а выход в область безусловной оптимизации (ни одно ограничение не нарушается, множители Лагранжа, соответствующие ограничениям в форме неравенств, неотрицательны), что происходит существенно быстрее по сравнению с задачами общего нелинейного программирования.
Восстановление матрицы смежности; оптимизационные методы; когнитивные модели; детерминированная причинность; ориентированный взвешенный граф.
A.N. Tselykh, V.S. Vasilev, L.A. Tselykh
THE RECONSTRUCTION OF THE ADJACENCY MATRIX IN THE GIVEN PARAMETERS FOR THE ORIGINAL GRAPH MODEL WITH A DETERMINISTIC CAUSALITY
In this study, a new approach to the creation of a system graph, which has a given transfer properties, does not lose effective relations between the vectors of effects and responses, which achieves the maximum ratio of norms (or the ratio of squared norms), and implements these extreme conditions on the transfer matrix. The problem of adjacency matrix reconstruction for the given parameters is solved in order to construct the initial graph model. This problem in the generalized statement was not solved and is novel. The solution of this problem on the basis of a combination of the system theory, linear and matrix algebra allows to formalize the dependence of the
* Данная работа произведена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00109. 122
influence of network characteristics to the properties of the network, which makes it possible to design a network with specified properties. We apply the concept of a transfer matrix to the problem of maximizing the spread of influence in the socioeconomic system. The optimal change problem is based on the minimization of the matrix norm consistent with the vector norms of impacts and responses. This formulation of the problem makes it possible to construct a graph of the system with the given transfer properties. The algorithm implementing this approach is computationally efficient with harness of O(m3 ), where m is the number ofpairs of given vectors, because it is based on the 2nd order Lagrange multiplier method and the conjugate direction method. Since the problems of quadratic programming with linear constraints are solved, the criterion for obtaining a solution is not to achieve the required accuracy, but to enter the domain of unconditional optimization (no constraint is not violated, Lagrange multipliers corresponding to the constraints in the form of inequalities are non-negative), which is much faster than in the general nonlinear programming problems..
Adjacency matrix reconstruction; optimization methods; cognitive models; deterministic causality; directed weighted signed graph.
Введение. Многие биологические, социальные и технические системы состоят из взаимодействующих связанных элементов, которые могут быть описаны с помощью сетей или, в математических терминах, графов. В большинстве случаев граф является ориентированным и взвешенным, может иметь циклы, а также специальные параметры ребер и вершин. В связи с разнообразием контекстов, на базе которых появляются графы, область анализа сети для понимания особенности, структуры и динамики этих сложных систем стала междисциплинарной и чрезвычайно важной. Исследования поведения системы лежат в основе методов поддержки принятия решений.
Идентификация сетевых нелинейных систем имеет основополагающее значение для их управления. Реконструкция структуры сети является задачей обратной инженерии и представляет большой научный и прикладной интерес во многих областях науки и техники.
Основной подход, используемый для реконструкции сети, обычно заключается в том, чтобы вывести топологию из наблюдаемых данных во многих временных точках. Однако в сложных социально-экономических системах количество данных о динамике наблюдаемых ответов системы часто бывает ограничено, или они могут являться одноразовыми. Для систем, моделируемых через качественные параметры, наблюдаемые данные вообще могут быть недоступны. В таких условиях решение задачи реконструкции сети может быть основано на передаточных свойствах модели, характеризующих силу и характер связи в виде соотношений между векторами воздействий и откликов. В качестве данных формата "воздействие-отклик" могут выступать пары векторов экзогенного и эндогенного влияний, выражающие собственные передаточные свойства модели. Тогда представляется интересным восстановить или генерировать структуру графа на основе матрицы передаточной функции и этих пар векторов.
Формализация влияния характеристик сети на свойства сети даст возможность обеспечивать требуемые свойства сети за счёт выстраивания или коррекции существующей системы управления (для социально-экономической модели), т.е. конструирование сети, обладающей заданными свойствами, а также может являться инструментом валидации параметров исходной модели. Валидация модели является важным и необходимым инструментом в задачах поддержки принятия решений и может включать как проверку ее параметров, например, весов ребер, так и выявление (прогнозирование) скрытых, неявных связей. Для задач управления в социально-экономических системах реконструкция сети при таких условиях приобретает особую актуальность.
В данном исследовании разработан подход формирования графа системы, обладающего заданными передаточными свойствами, не утрачивающего эффективных соотношений между векторами воздействий u и откликов x, на которых достигается максимум отношения их норм (или отношения их квадратов норм), и реализующего на передаточной матрице Z эти экстремальные условия. Ставится задача восстановления матрицы смежности в заданных параметрах для исходной модели графа. Данная задача в обобщенной постановке не решалась и является новой. Решение данной задачи на основе комбинации положений теории систем, линейной и матричной алгебры позволит формализовать зависимость влияния характеристик сети на свойства сети, что дает возможность конструировать сети, обладающие заданными свойствами.
1. Связанные работы. Реинжиниринг сетей является важной задачей во многих областях науки и техники, включая социальные сети [1-3] биологию [4], физику [5], финансы (финансовые сети) [6-8]. Основное внимание исследователей сосредоточилось на разработке методов решения задачи для многопараметрической системы управления на основе серии динамических ответов системы. Задача реконструкции сети формулируется в следующих терминах: network reconstruction, reconstruction of graphs, topology identification, matrix recovery, matrix completion, и др. Выделяются три направления развития исследований в этой области: решения из полномасштабных наблюдаемых статистических данных для узлов сети; решения для ограниченного количества наблюдаемых данных - коротких временных рядов, включая одношаговые; и решения, учитывающие специфические особенности самой сети. В целом, решение задач реконструкции сети разрабатывалось на основе следующих подходов: анализа спектральной плотности реакции сети [1]; мер расстояний (матрицы расстояний); матрицы средней длины случайного блуждания между двумя узлами [2] и др.); статистического анализа сетевых данных, в т.ч. моделей структурных уравнений (SEM) [9-11]; использования причинности Грейнджера [12]; матричной факторизации [13]; и на основе Лапласианова спектра [14-17]. Как отмечается в [5] факторами, которые увеличивают сложность этой задачи, являются нелинейность, большой шум и отсутствие данных. Каждый из этих факторов, и все в совокупности, особенно присутствуют в сетях, отображающих социально-экономические системы.
Современные подходы, основанные на моделировании нелинейных явлений, предполагают, что форма нелинейных функций известна априори, а алгоритмы оценивают только неизвестные веса ребер. Однако это довольно существенное ограничение, поскольку такая предварительная информация может быть недоступна. Подходы, предложенные в [9-12], предназначены для систем, располагающих каскадом временных наблюдений.
В [1] рассматривается задача идентификации топологии неизвестной взвешенной направленной сети в динамических системах. Алгоритмы реконструкции основаны на анализе спектральных свойств мощности сетевого отклика, и используют функции кросс-спектральной плотности, что предполагает наличие входных данных в виде рядов динамических ответов сети, и известную пару собственных значений-собственных векторов матрицы связности. Для случая одноразовых входных данных кросс-спектральные характеристики вырождаются. Эти алгоритмы, в основном, предназначены для технических систем, имеющих измеримые входные и выходные характеристики.
Реконструкция графа в [2] основана на нахождении матрицы графа, как матрицы перехода Марковской цепи, т.е. вероятностной матрицы. Это накладывает ограничения на знак веса ребра (его неотрицательность), и сумму весов ребер, исходящих из узла (равенство единице). Для систем, имеющих отрицательные значения весов на ребрах и иную интерпретацию весов на ребрах, данный подход не применим.
Методы на основе эволюционных алгоритмов и нейронных сетей, как, например, представленные в [13, 18], также требуют наблюдаемых или частично наблюдаемых динамических данных.
Предлагаемый в [16] подход требует входную информацию для числа моментов времени, не меньшего, чем число вершин графа, что существенно сужает применимость метода. Предложенный в [17] подход рассматривает метод для одноша-говых данных, связывая динамику диффузии и структуру сети, и фундаментально не может быть применен для взвешенных графов.
Метод реконструкции сетевой топологии по собственным значениям ее матрицы Лапласа, рассматриваемый в [14, 15] состоит в решении полной проблемы собственных значений для графа, структура которого подлежит восстановлению, на каждой итерации. Эта проблема является самой трудоемкой в линейной алгебре (N4). Существенным ограничением данного метода является то, что, если рассматривать входную информацию этого метода с позиции воздействий и откликов системы, отклики обязательно должны быть подобны входным воздействиям, с коэффициентом подобия, равным собственному числу. Однако надо отметить, что подходы на основе спектра Лапласа являются наиболее фундаментально интересными для обобщения задачи реконструкции сетевой топологии.
Исследование алгоритмов в задачах реконструкции сети выявило три характеристические особенности, которые могут быть применены для рассматриваемого случая: метод матричной факторизации [3], положительные полуопределенные ограничения на матрицу переменных [19], метод минимизации матричной нормы методом множителей Лагранжа [20], матрица передаточной функции [21].
Все вышеописанные подходы решают частные задачи реконструкции сети. Для обобщения задачи восстановления структуры графа, требуется применение новых подходов и разработка новых алгоритмов. Задача полной реконструкции матрицы смежности, при наличии пар векторов экзогенного и эндогенного влияний, выражающих собственные резонансные свойства сети, и положительных полуопределенных ограничений на матрицу переменных, является обобщением задачи восстановления структуры графа по собственным значениям матрицы Лапласа.
2. Метод полной реконструкции матрицы смежности. Пусть вектор
управляющих воздействий u = ,и2ип )T и вектор отклика x = (xj, х2,..., хп )T связывает соотношение
(e -5At )x = u, (1) где A = (a„ ) - матрица смежности графа модели, E - единичная матрица, -
^ У 'nxn
декремент затухания, n - размерность пространства (число вершин графового представления модели).
Пусть в результате решения задачи
(x, x) _ _(x, x)_ _ (x, x) ra^ (2)
(u, u) = ((e - 5AT )x, (e - 5AT )x) = (Bx, x) '
где B = (E -8A)(e -8At ), найдены векторы x o и u o, на которых реализуется максимум
(xo, xo ) = (xo, xo ) = R = max M . (3)
(uo ,uo) (Bxo, xo) o (u,u)
Поставим иную задачу. Пусть векторы x и uo связывает соотношение
2х 0 = и 0. (4)
Требуется определить неизвестную матрицу Z = (гк1 )ихи из экстремальных условий. Заметим, что
(х0, х0)_ (Х0, х0 ) _ ||х0||2 ,
(uo ,u0 ) (Zx o, Zx o ) ||Zx II2
где - норма вектора V = V,,..Уп )Т .
»||2 2 2 2 V = VI + V2 + . + Vn . Для матричной нормы ЦжЦ, согласованной с векторной нормой ||х0||, по определению выполняется
1к11 2 1к112 1 .
teil2"IIZIVII2 И2
Для евклидовой векторной нормы V наиболее часто используется следую-
п п т-ш
щая согласованная норма ц^ц2 = ^^г^ матрицы А . Рассмотрим задачу
kl
l=1 k =1
1 1Ы12
» max или Z ^ mm
IIZI2
при ограничениях (1). Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
L = | Z||2 + (u0 - Zx 0, y min ,
где y = (У1,У2, • • Уп )T - вектор множителей Лагранжа.
Пусть zT = (zii,zi2,;zin) - i -я строка матрицы Z . Тогда необходимые условия минимума функции Лагранжа будут иметь вид
2z i - y x0 = 0, 1 < i < п,
(zi, xo ) = U , 1 <i < n,
откуда
zi =1 yixo, 1 < i < n,
(zi. Xo) = 1 У (xo. Xo) = Ui, 1 < i < n,
а экстремальное решение для всей матрицы Z будет иметь вид
т
ъ _ uoxo . o (xo , xo )
Заметим, что в этом случае
II ||2
Нт II2 и Ii 2 и и 2 и || 2 ||uo||
ZJ = z, + z9 + • .. + zJ =
1|| 2|| -г...тцл „|| =--—
xj
т.е. неравенство
выполняется как равенство
Заметим также, что
IIхЛ2 > IIхЛ2 1
Цил||2 1К1121К112 и2
\\гг |М|7 II2
\ЪоХа\\ \\Ио\\
т
В = ZT И, = ^охт_
о о о
(х о, хо К
По матрице Z о восстанавливается матрица смежности графа
А0 = 8-1 (Е - Z0 )=8-1 (Е-(хо, хо )-1 Хоио ).
Обобщённая экстремальная задача с дополнительными условиями для матрицы Z имеет вид:
II2 ^ ОТП , Их о = и о, zTZ = (хо, хо ) 1 К-1хох1
Пусть в результате решения задач
(х(1), х(1)) (х^,х(1)) (х(1), х(1))
(■ВД15) = ((Е -8Ат )х(1), (Е -8Ат )х(1)) = (Вх(1), х(1)) ^ "
(х(2),х(2))_ ,, (х(2),х(2)) . _ (х(2),х(2))
(и(2>7и(2^"((Е-8Ат)х(2),(Е-8Ат)х(2))= (Вх(2),х(2))^
тах
„ (1) (2) (1) (2) определены пара управляющих воздействии и , и и пара откликов х , х '
системы. Воздействия и отклики связывают соотношения:
(Е - 8Ат )х(1) " и(1), (Е - 8Ат)х(2) " и(2). Рассмотрим оптимизационную задачу
И ^ тт
с ограничениями
Их (1)= и(1), Их(2)" и(2). Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
Ь "IИ2 +
(и(1) - Их(1), у(1))+(и(2) - Их(2), у(2)) ^ тт
где у(1)=(у(1), у(1),..., У1), у(2)=(у(2), у(2),..., у(2)т - векторы множителей Лагранжа. Необходимые условия минимума функции Лагранжа будут иметь вид
- у«х(1)-#х(2)= 0, 1 < I < п, (г,,х(1))= и«, (г,, х(2))= и(2), 1 <I < п,
откуда
2
1
хо
= 1 д;(1)х( 1)+ 1 у( 2)х( 2) , 1 < | < п ,
(е,, х«) = ¿(х« х«)^ 1 (X2), х^2) = и«, (гг, х( 2))=1 (х( 1),х( 2))у?) +1 (х(2), х( 2))у( 2)= ы\2), 1< I < п,
а экстремальное решение для всей матрицы Ъ будет иметь вид
-1
Z =
^ - -1 jx: < x Эг g), $ г ^ ^
Заметим, что в этом случае
IKII2 ЧЫГ +llz 2I2+•••+llz Л2 =
jxj 4 xj 2))juj'), uj'))- jxj 2), xj'))ju:') ,u: 2))- jxj'), xj 2))u: 2),u:'))+ jx:1), xj^ 2),u: 2))
= (X^ '
Если управляющие воздействия ортогональны ^:1), u:2))= 0 .
то
.. ,,2 1х(2), х<2))и<1),и<1))+ (х(1), х(1)Уи<2),и<2)) (х(1), х(1))(х<2), х(2)) Г 1 1
1Ъе| = (х('),х( 1))(Х(2),х(2))- (Х('),х(2))х(2),х<^ = (х<^х<^2),х<2))-(х(^х<^2),х<'))[^ +Т2
где Кг = (х(1),X(1))/(и(1),и(1)}=|х(112/||и(1)||2, Я2 = (х(2),х^Ди®и(2))= ||х(2)||У||и(2)|2 . Поскольку матрица
_ Г (х(1), х(1)) I (х(1), х(2)
Сд ¡х( ч х щ ¡х( х( 2)
по построению является матрицей Грама, т.е. положительно определённой (хотя бы нестрого), то её определитель
А* С = (х( 1), х( 1))х(2), х( 2))- (х( 1), х( 2))х(2), х( 1))
неотрицателен. Тогда
IX II 1 X: 2)11
II2
Z 2 =-^-^^-гг1 —+ — |> —+
ell 11 Л11|2|| /ill|2
1 1 ] 1 1
|X:1)|2|X:2)|2 - :x:i), X2))2 ^r R2) R R2 d) л 2)) ,
Если ортогональны и отклики системы :x:i), x: 2))= 0, то
||Ze||2 = ± + ± -R1 R2
т-г :d :2) :D :2) Приведенное решение задачи для двух пар векторов u , u и X , xv '
очевидным образом обобщается для случая трех и более пар векторов.
3. Эксперимент. Целью настоящего эксперимента является демонстрация способности предлагаемого подхода восстанавливать матрицу смежности, по крайней мере, по двум парам векторов воздействий и откликов, а не полное аналитическое решение задачи. Реализуемость предлагаемого подхода покажем на нечеткой когнитивной модели, сконструированной из статьи Генри А. Киссинджера " Starting Out in the Direction of Middle East Peace" (напечатано в Los Angeles Times, 1982), характеризующей ближневосточную политику мира. Эта модель представлена в виде направленного невзвешенного знакового графа в работе [22], и направленного взвешенного знакового графа в статье [23] (рис. 1).
2
Рис. 1. Направленный взвешенный знаковый граф из [23] Матрица смежности графа из [23] имеет вид:
0 -0,5 0,8 0 0 0
0 0 0 0,2 0 0
0 0 0 0 0,8 0
0 0 0 0 0 -0,7
0 0 0 -0,4 0 -0,5
0 0 0 0 0 0
Адекватная работа модели предполагает следующие ограничения: вершины 5 и 6 являются неуправляемыми. Для задачи условной оптимизации пространство управлений полностью определяется четырьмя базисными управлениями (по количеству управляемых вершин). Для данной матрицы смежности решение задачи (2) под ограничениями входных данных при 8 = 1.0 с использованием алгоритма [24] дает 4 пары векторов ортогональных управлений х; и и; (табл. 1), на которых реализуется максимум (3).
Таблица 1
Результаты решения (2) при 8 = 1.0
N вер-ши-ны Компоненты вектора отклика р1 Компоненты вектора воздействия ГЧ N вер-ши-ны Упорядоченный по убыванию индекс эффективности 2 N вер-ши-ны Упорядоченный по убыванию индекс обеспечения управляемости Гц
1 управление, ^=13.82821
1 0.214840 0.214840 4 0.501680 1 0.046156
2 -0.316911 -0.102071 6 0.157061 2 0.010419
3 0.311985 0.097145 2 0.100432 3 0.009437
4 -0.708294 -0.079399 3 0.097334 4 0.006304
5 0.311985 0.000000 5 0.097334 5 0
6 0.396310 0.000000 1 0.046156 6 0
2 ортогональное управление, Х=2.312454
1 0.085462 0.085462 6 0.331857 3 0.197487
2 0.311777 0.397240 3 0.280748 2 0.157799
3 0.529858 0.444395 5 0.280748 4 0.069851
4 0.046213 0.264293 2 0.097204 1 0.007304
5 0.529857 0.000000 1 0.007303 6 0
6 -0.576071 0.000000 4 0.002135 5 0
3 ортогональное управление, Х=0.597704
1 0.538394 0.538394 2 0.522915 4 1.049217
2 -0.723129 -0.184735 1 0.289867 3 0.299858
3 -0.009199 -0.547593 4 0.096337 1 0.289868
4 0.310383 1.024313 6 0.090710 2 0.034127
5 -0.009199 0.000000 5 0.000085 6 0
6 -0.301181 0.000003 3 0.000085 5 0
4 ортогональное управление, Х=0.261636
1 0.809856 0.809856 1 0.655866 2 1.798799
2 0.531337 1.341193 2 0.282319 3 0.892847
3 -0.135050 -0.944906 6 0.024831 1 0.655866
4 -0.022527 -0.688910 3 0.018239 4 0.474597
5 -0.135046 0.000004 5 0.018237 6 0
6 0.157579 0.000006 4 0.000507 5 0
Следующим шагом была восстановлена матрица смежности с экстремальными свойствами, заданная набором откликов и воздействий. В данном случае были взяты наборы из табл. 1. Результаты численного эксперимента показали, что матрица полностью восстанавливалась с приближением 10_6 во всех случаях с двумя и более наборами векторов в любых сочетаниях как для взвешенной, так и для не-взвешенной матрицы. Таким образом, численный эксперимент показал разрешимость поставленной задачи.
Обсуждение результатов и выводы. Оценка предложенного метода восстановления матрицы смежности в заданных параметрах для исходной модели графа производится по следующим критериям:
1. Реализуемость. Задача обусловлена однозначной разрешимостью задачи минимизации положительно-определенной квадратичной формы с линейными ограничениями в выпуклой области. В свою очередь, эта задача сводится к набору задач квадратичного программирования с линейными ограничениями (для каждой строки искомой матрицы решается своя подзадача). Матрицы двойственных задач будут симметричными и положительно-полуопределенными (при нехватке данных вырожденными). Возникающие СЛАУ разрешаются с использованием регуляризации по Тихонову [25].
2. Сходимость. Поскольку решаются задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями, то критерием получения решения является не достижение требуемой точности, а выход в область безусловной оптимизации (ни одно ограничение не нарушается, множители Лагранжа, соответствующие ограничениям в форме неравенств, неотрицательны), что происходит существенно быстрее по сравнению с задачами общего нелинейного программирования.
3. Производительность. Алгоритм вычислительно эффективен с 0(т3), где т - число пар задаваемых векторов, поскольку в его основе лежит метод множителей Лагранжа 2-го порядка [26] и метод сопряженных направлений. На размерностях 103х103 время работы алгоритма составляет доли секунды.
В этом исследовании мы фокусируемся на проблеме восстановления матрицы смежности ориентированного взвешенного знакового графа в заданных параметрах. Данная задача в обобщенной постановке решена впервые. Гипотеза о том, что применение оптимизационных методов для минимизации матричных норм к задаче восстановления матрицы смежности исходной графовой модели, получила математическое и алгоритмическое подтверждение. Рассматривается новая задача оптимального изменения параметров системы, сохраняющего свойства системы.
В основе задачи оптимального изменения используется минимизация матричной нормы, согласованной с векторными нормами воздействий и откликов. Такая постановка задачи делает возможным формирование графа системы, обладающего заданными передаточными свойствами.
Эксперименты показали, что алгоритм эффективно восстанавливает структуру матрицы смежности графа, представляющего когнитивные модели социально-экономической системы. Такое представление системы является ключевым инструментом для понимания взаимоотношений факторов системы и ее структуры. Данный подход решают практическую задачу, которая может стать надежным решением для разработки практических приложений интеллектуальных систем и систем, основанных на знаниях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Anand K. and other. The missing links: A global study on uncovering financial network structures from partial data, J. Financ. Stab., 2018, Vol. 35, pp. 107-119.
2. Bertsekas D.P. Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods. Belmont, MA: Athena Scientifi, 1996.
3. Comellas F., Diaz-Lopez J. Spectral reconstruction of complex networks, Phys. A Stat. Mech. its Appl, 2008, Vol. 387, No. 25, pp. 6436-6442.
4. Fan J., Cheng J. Matrix completion by deep matrix factorization, Neural Networks, 2018, Vol. 98, pp. 34-41.
5. Kaplan D. Structural Equation Modeling (2nd ed.): Foundations and Extensions. 2455 Teller Road, Thousand Oaks California 91320 United States: SAGE Publications, Inc., 2009.
6. Kavanagh R.J. The application of matrix methods to multi-variable control systems, J. Franklin Inst, 1956, Vol. 262, No. 5, pp. 349-367.
7. Kolaczyk E.D. Statistical Analysis of Network Data. New York, NY: Springer New York, 2009.
8. KoskoB. Fuzzy cognitive maps, Int. J. Man. Mach. Stud., 1986, Vol. 24, No. 1, pp. 65-75.
9. Koulouriotis D.E., Diakoulakis I.E., Emiris D.M. Learning fuzzy cognitive maps using evolution strategies: a novel schema for modeling and simulating high-level behavior, Proceedings of the 2001 Congress on Evolutionary Computation (IEEE Cat. No.01TH8546): IEEE, pp. 364-371.
10. Maiorino E. and other. Spectral reconstruction of protein contact networks, Phys. A Stat. Mech. its Appl., 2017, Vol. 471, pp. 804-817.
11. Mantegna R.N., Stanley H.E., Chriss N.A. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance, Phys. Today, 2000, Vol. 53, No. 12, pp. 70-70.
12. Napoletani D., Sauer T.D. Reconstructing the topology of sparsely connected dynamical networks, Phys. Rev. E, 2008, Vol. 77, No. 2, pp. 026103.
13. Pandey P.K., Badarla V. Reconstruction of network topology using status-time-series data, Phys. A Stat. Mech. its Appl., 2018, Vol. 490, pp. 573-583.
14. Shahrampour S., Preciado V.M. Topology Identification of Directed Dynamical Networks via Power Spectral Analysis, IEEE Trans. Automat. Contr., 2015, Vol. 60, No. 8, pp. 2260-2265.
15. Shen Y., Baingana B., Giannakis G.B. Kernel-Based Structural Equation Models for Topology Identification of Directed Networks, IEEE Trans. Signal Process, 2017, Vol. 65, No. 10, pp. 2503-2516.
16. Squartini T. and other. Reconstruction methods for networks: The case of economic and financial systems, Phys. Rep., 2018, Vol. 757, pp. 1-47.
17. Tikhonov A., Arsenin V. Solutions of Ill-Posed Problems. New York: Wiley, 1977.
18. Tselykh A., Vasilev V., Tselykh L. Management of Control Impacts Based on Maximizing the Spread of Influence, Int. J. Autom. Comput., 2019, Vol. 16, No. 3, pp. 341-353.
19. Wang C.-L., Li C., Wang J. Comparisons of several algorithms for Toeplitz matrix recovery, Comput. Math. with Appl, 2016, Vol. 71, No. 1, pp. 133-146.
20. Wang W. and other. Kernel framework based on non-negative matrix factorization for networks reconstruction and link prediction, Knowledge-BasedSyst., 2017, Vol. 137, pp. 104-114.
21. Wang Y.X.R., Huang H. Review on statistical methods for gene network reconstruction using expression data, J. Theor. Biol., 2014, Vol. 362, pp. 53-61.
22. Wittmann D.M. and other. Reconstruction of graphs based on random walks, Theor. Comput. Sci, 2009, Vol. 410, No. 38-40, pp. 3826-3838.
23. Wu J. and other. A two-stage algorithm for network reconstruction, Appl. Soft Comput., 2018, Vol. 70, pp. 751-763.
24. Wu J., Dang N., Jiao Y. Reconstruction of networks from one-step data by matching positions, Phys. A Stat. Mech. its Appl., 2018, Vol. 497, pp. 118-125.
25. Wu X., Wang W., Zheng W.X. Topology detection of complex networks with hidden variables and stochastic perturbations, 2012 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. IEEE, 2012, pp. 898-901.
26. Xu K. and other. Discovering target groups in social networking sites: An effective method for maximizing joint influential power, Electron. Commer. Res. Appl., 2012, Vol. 11, No. 4, pp. 318-334.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.В. Боженюк.
Целых Александр Николаевич - Южный федеральный университет; e-mail: ant@sfedu.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: +79185562047; кафедра ИАСБ; д.т.н.; профессор.
Васильев Владислав Сергеевич - e-mail: vsvasilev@sfedu.ru; кафедра ИАСБ; к.т.н.; доцент.
Целых Лариса Анатольевна - Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического университета (РИНХ); e-mail: l.tselykh58@gmail.com; 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48; тел.: +79185695760; кафедра экономики и предпринимательства; к.э.н., доцент.
Tselykh Alexander Nikolaevich - Southern Federal University; e-mail: ant@sfedu.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79185562047; the department IASB; dr. of eng. sc.; professor.
Vasilev Vladislav Sergeevich - e-mail: vsvasilev@sfedu.ru; the department IASB; cand. of eng. sc.; associate professor.
Tselykh Larisa Anatolievna - Chekhov Taganrog Institute (branch) of Rostov State University of Economics; e-mail: l.tselykh58@gmail.com; 48, Initsiativnaya street, Taganrog, 347936, Russia; phone: +79185695760; the department of Economics and business; cand. of ec. sc.; associate professor.
УДК 621.315.3 DOI 10.23683/2311-3103-2019-3-132-143
М.Н. Дубяго, Н.К. Полуянович
МЕТОД ОЦЕНКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ИЗОЛЯЦИИ КАБЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Рассматриваются вопросы мониторинга состояния изоляции силовых кабельных линий (СКЛ). Показано, что наличие примесей, либо продуктов окисления, возникающих в результате нагрева в изоляционном материале (ИМ), приводит к возникновению токов утечки. Получена математическая модель, позволяющая рассчитать мощность ЧР, а также определить расположение включения т1 в основной изоляции, обусловленные мощностью активной составляющей тока утечки, при его возникновении в основной изоляции кабеля. Расчет изменения теплового потока, проходящего через слои изоляции кабеля проводится в зависимости от радиальных расстояний методом кусочно-заданных функций, с учетом теплового сопротивления включения. Математическая модель, позволяет на ряду с послойным расчетом изотерм в поперечном сечении кабеля, определять наличие включений
