CC BY
59
Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2015. № 6 97
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
УДК 622.822.2: 622.271: 519.6
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФОРМЫ ИСТОЧНИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ КАК РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ
Сирота Дмитрий Юрьевич,
кандидат техн. наук, доцент, e-mail: dmsirota@vandex.ru
Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачева, 650000, Россия, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28
Аннотация
Актуальность работы. Производство горных работ проходит обычно в сложных горно-геологических условиях нарушенности вмещающих пород. Дистанционное (с дневной поверхности), предварительное определение местоположения таких нарушенностей (сместителей) является весьма важной задачей для обеспечения безопасности ведения горных работ. Кроме того, при производстве подземных горных работ появляются области перепадов механических напряжений, которые являются потенциальными очагами горно-тектонических ударов. Определение местоположения этих областей также ведёт к повышению безопасности ведения горных работ.
Цель работы. Разработка численного алгоритма и его программной реализации для решения обратной задачи воостановления формы источника электрического поля по измеренным значениям потенциала на дневной поверхности.
Методы исследования. Методы математической физики - для формулировки задачи восстановления формы источника, как обратной, некорректной задачи решения интегрального уравнения 1-го рода.
Методы математического программирования - для формирования численной расчётной схемы приближённого последовательного восстановления формы источника поля.
Результаты. Произведён расчёт величины потенциала электрического поля, порождённого тестовой областью эллиптической формы, расположенного в трёхслойной среде. Используя полученные значения, решена обратная некорректная задачи восстановления формы плоского источника электрического поля, как решение интегрального уравнения Фредгольма - Урысона Нго рода. Проведён сравнительный анализ формы и результатов расчёта прямой задачи от точно заданной и приближённо найденной области.
Ключевые слова. Нелинейная некорректная обратная задача, интегральное уравнение Фредгольма-Урысона 1-го рода, методы регуляризации.
Введение. Одной из многочисленных задач интерпретации геофизических данных является задача определения формы и глубины залегания источника поля того или иного вида (электрического, гравитационного, теплового, магнитного или другого). В дальнейшем мы будем рассматривать источник поля электрической природы, порождённое перепадами механических напряжений [1]. Особенностью данного вида источников является то, что они не имеют чётко очерченных границ в отличие от, например, рудных включений, которые порождают магнитные аномалии. Отсюда следует отсутствие необходимости в предельно точном (до сантиметров) определении размеров источника поля.
Решению задач интерпретации геофизических данных посвящено достаточно много работ, в которых рассматриваются как натурные, экспериментальные методы интерпретации [2-4], так и теоретические, в которых рассматриваются численные, компьютерные методы [4-9].
В представленной статье рассматривается реализация численного подхода к вопросу интерпретации геофизических измерений, основанного на решении интегральных уравнений Фредгольма -Урысона 1-го рода. Уравнения такого сорта относится к классу некорректных задач, решению которых посвящены работы [10 - 12]. Отдельно следует упомянуть работы [13 - 15], так как в них рассматривается по сути та же задача, но без учёта геологического строения вмещающих пород.
1. Постановка и решения прямой задачи. При интерпретации геофизических данных методами обратной задачи придерживаются следующего общего подхода:
1) Формируют оператор прямого моделирования - А, который позволяет получить модельные геофизические данные для тестовых параметров геологической или геофизической модели.
В нашем случае в качестве оператора А будем рассматривать функционал расчёта потенциала естественного электрического поля (ЕЭП), порож-
98
Д. Ю. Сирота
денного плоским источником тока произвольной формы, расположенного на известной глубине в трёхслойном изотропном и однородном в пределах каждого слоя пространстве.
2) На базе полученного оператора А, решают обратную задачу восстановления параметров модели по имеющимся экспериментальным геофизическим данным.
В нашем случае в качестве параметров модели будет рассматриваться геометрическая форма источника ЕЭП.
Рис 1. Схема вмещающего пространства и плоского источника поля
Перейдём к формированию оператора прямого моделирования. Пусть ЕЭП порождается плоским горизонтальным источником произвольной формы, который расположен на некоторой глубине в нижнем слое трёхслойного однородного и изотропного вмещающего пространства (рис. 1).
В этом случае потенциал точечного источника будет определяться известной формулой [4]
U"=krJ0(m-r)eM-m-zM)dnu (1)
* 1 + К ехр(-т • И)
где к - коэффициент, характеризующий силу электрического тока источника; -
функция Бесселя нулевого
порядка;
г ~ т]хм + Ум ~ расстояние от точечного ис-
точника до точки измерения поля, м; h - мощ-
ность второго слоя, м; К = ——— - коэффици-
Pi+Pi
ент отражения второго слоя; р12~ удельное электросопротивление первого и второго слоёв (Омм).
После интегрирования (1) по произвольной плоской области Sp получим формулу для потенциала простого слоя
U м = J'uixM ~хр->Ум ~ Уp->zм >C)dSр ,(2)
где вместо г используется величина D = ^xM-xl,)2 + (yM-yl,)2 - расстояние от
точки области интегрирования Р до точки измерения поля М, м; С - параметры, которые характе-
ризуют вмещающее пространство.
Следуя [10, 16], будем, ограничиваясь только звёздным контуром, определять границу области в виде функции р{(р) в полярной системе координат. Переход к последней производится стандартным способом: xp=rcos(p, у р — г sin (р, где
(р е [0;2тс\ и г е [0; /?(^>)]. Далее представим выражение (2) в виде произведения размерного и безразмерного сомножителя, сделав две замены
переменных: во внешнем интеграле = w,
где под w подразумеваются координаты точки измерения поля хм, ум, zM\ расстояние г; граница области интегрирования р((р), и, как следствие,
m-h = m - во внутреннем. Тогда интеграл (2) примет вид
См =
00
= h-kjr J
J0(m-D)exp(-m-zM) d_
drd(p
(3)
1 + К exp(-m)
где D = ,J(xM -rcos<p)2 + (yM -r sirup)2 .
Для расчёта внутреннего несобственного интеграла произведём аппроксимацию выражения вида
1
— = Z *?('к) ехР[“ m (к ~ Н >
1 + Кехр(-т) ы
где коэффициенты q(k) определим методом наименьших квадратов.
После применения интеграла Вебера - Лиф-шица получим выражение вида
2л-Г и
о
р{ср)
uM=k-h\ ) 5=
d(p, (4)
где R = г2+ В-Г + А,
А = Хм+Ум + (zM + к-1)2,
В = -2{хм cos(р-ум sinср).
Здесь и далее будем считать, что известна глубина залегания источника ЕЭП ZM = Н и используются только данные измерений вдоль оси Ох, то есть ум= 0 .
Внутренний интеграл в (4) лёгко вычисляется:
р(<р)
rdr
\ PR
2 2 J
Р(<Р)
= F(xu,p)
Таким образом, для решения задачи определения формы источника поля по измерениям потенциала на дневной поверхности получаем интегральные уравнения (ИУ) Фредгольма - Урысона 1-го рода относительно функции р{ср) :
2 л
\xU{xM,yM,zM,p(cp))d<p = U', (5)
О
Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2015. № 6 99
п
где KU = ^q(k)F(xM,p((p)) - ядро нелиней-*=]
ного вида; U* - измеренные на дневной поверхности значения потенциала ЕЭП.
2. Решение обратной задачи.
В серии работ [5, 13, 14], уравнения (5) после дискретизации рассматривают как систему нелинейных уравнений и решают её методом Левен-берга-Марквардта. В данной статье будем следовать базовым работам [11, 12, 16], посвящённым исследованию некорректных задач, где решение (5) ищется как результат минимизации сглаживающего регуляризованного функционала невязки
Ф (p)==\[AxM’P)-U*{xMtf dxM +>(6)
С
+ а • Cl(p) —» min
2к
где Л(хм,р)= | KU(xM ,p)d(p - нелинейный
о
интегральный оператор прямого моделирования
2 л
(4); Q(p) = J*p2d(p - стабилизирующий функ-
0
ционал; KU - ядро оператора, U*(xM} - правая часть ИУ, которая на практике задаётся экспериментально, а для тестовых задач определяется путём решения прямой задачи по формулам (4); а -параметр регуляризации, который определяется по формуле геометрической прогрессии [4, 6]
«*=«„■/“Л (7)
где q - номер итерации, / 6 [О; l] - знаменатель
прогрессии, а0 - стартовое число, которое определяется из соотношения (6) [4, 6]
и
\[А(хм,р0)~ f{xM)}2 dxM
ап = ■
Фо)
(8)
Минимум функционала (8) будем искать методом сопряжённых градиентов [], общая итерационная схема которого имеет вид
р(ч+]) =p^+k{q)-I{q), (9)
где = —1q - номер итера-
ции; к - шаг минимизации; S - линейная комбинация производных на предыдущих шагах; коэффициент определяется по формуле Поллака -
Рис 2. Пошаговые приближения от эллипса с полуосями а = 400, b = 250 м, I - № шага.
Рис. 3. Пошаговые приближения от круга радиуса а = 400,1-№ шага.
Рис. 4. Пошаговые приближения от эллипса с полуосями а = 100, b = 65 м, I -№ шага.
Рис. 5. Пошаговые приближения от круга радиуса а = 100,1 - № шага.
100
Д. Ю. Сирота
Рис. 6. Пошаговые приближения от эллипса с полуосями а = 100, b = 65м, I-№ шага.
Рис. 7. Пошаговые приближения от круга радиуса а = 100,1-№ шага
Рис. 8. Пошаговые приближения от эллипса с полуосями а = 10, b = 6 м, I - № шага.
Ребьера [17], Фд - производная функционала (6),
которая определяется по формулам [11]
2 п
4>/p=ap(t)+ \T[(p,t,p((p),p(t)\l<p- >(10)
о
~F[t.p(t)\
d
где T = J К[хм, р(ф)\ К