ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3

doi:10.21685/2072-3040-2021-4-2

Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного диэлектрического тела, расположенного в полубесконечном прямоугольном волноводе

Р. О. Евстигнеев1, М. А. Москалева2

1ООО «Харман», Нижний Новгород, Россия пензенский государственный университет, Пенза, Россия

1roman_cezar@mail.ru, 2m.a.moskaleva1@gmail.com

Аннотация. Актуальность и цели. Целью данной работы является восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного диэлектрического тела, расположенного в полубесконечном прямоугольном волноводе. Предложенный метод может эффективно применяться при решении ряда задач прикладной электродинамики, таких как дефектоскопия и определение эффективности диэлектрической проницаемости метаматериалов. Материалы и методы. Для решения исследуемой задачи использован метод объемных сингулярных интегральных уравнений. Результаты. Разработан и обоснован численный метод восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного диэлектрического тела, расположенного в полубесконечном прямоугольном волноводе. Представлены численные результаты. Выводы. Предложенный метод может быть эффективно использован для конструирования нанокомпозитов и наноструктур, а также для их исследования методом неразрушающего контроля.

Ключевые слова: краевая задача, обратная задача дифракции, интегродифферен-циальное уравнение, тензор Грина

Финансирование: работа поддержана грантом Президента РФ № МК-2965.2021.1.1.

Для цитирования: Евстигнеев Р. О., Москалева М. А. Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного диэлектрического тела, расположенного в полубесконечном прямоугольном волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 17-26. doi:10.21685/ 2072-3040-2021-4-2

Recovering the permittivity of an inhomogeneous dielectric body in a semi-infinite rectangular waveguide

R.O. Evstigneev1, M.A. Moskaleva2

1 "Kharman" LLC, Nizhni Novgorod, Russia 2Penza State University, Penza, Russia 1 roman_cezar@mail.ru, 2m.a. moskaleva1@gmail.com

Abstract. Background. The purpose of this work is to restore the permittivity of an inhomogeneous dielectric body located in a semi-infinite rectangular waveguide. The proposed method can be effectively applied to solving a number of problems in applied electrodynamics, such as flaw detection and determination of the metamaterials' permittivity. Material and methods: To solve the studying problem, we used the method of volumetric singular integral equations. Results: A numerical method for reconstructing the dielectric constant of an inhomogeneous dielectric body located in a semi-infinite rectangular

© Евстигнеев Р. О., Москалева М. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

waveguide has been developed and substantiated. Numerical results are presented.. Conclusions: The proposed method can be effectively used for the design of nanocomposites and nanostructures, as well as for their study by the method of nondestructive testing.

Keywords: boundary value problem, inverse diffraction problem, integro-differential equation, Green's tensor

Acknowledgments: the work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-2965.2021.1.1.

For citation: Evstigneev R.O., Moskaleva M.A. Recovering the permittivity of an inhomo-geneous dielectric body in a semi-infinite rectangular waveguide. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):17-26. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-4-2

Введение

Рассматривается проблема восстановления диэлектрической проницаемости тел, имеющих составную структуру. Предположим, что тело находится в полубесконечном прямоугольном волноводе, при этом падающее поле создается точечным источником, расположенным вне тела. Мы восстанавливаем диэлектрическую проницаемость неинвазивными методами, используя измерения величины поля в точках наблюдения, находящихся вне тела [1-4].

На практике подобные задачи возникают при моделировании и создании наноматериалов с заданными свойствами, а также при восстановлении характеристик образцов композитных анизотропных материалов по результатам измерения поля вне тела.

Для численного решения обратной задачи предлагается использовать двухшаговый метод. Этот метод основан на сведении обратной задачи к объемному сингулярному интегральному уравнению и дополнительной процедуре пересчета диэлектрической проницаемости тела. Одно из главных преимуществ этого метода в том, что не требуется начального приближения. Для сокращения времени расчетов и повышения их эффективности можно использовать методы регуляризации Тихонова и различные методы предобу-славливания [5, 6]. Таким образом, предложенный метод может быть эффективно использован для конструирования нанокомпозитов и наноструктур, а также для их исследования методом неразрушающего контроля.

1. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению

Будем рассматривать полубесконечный прямоугольный волновод P := {x: 0 < xi < a, 0 < x2 < b,0 < x3 < с идеально проводящей границей dP . Пусть в P находится тело Q . Известно, что оно характеризуется постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной ограниченной функцией диэлектрической проницаемости e(x). Функция e(x) такова, что ее L^(Q)

и е-1 е L^(Q). Также тело обладает кусочно-гладкой границей dQ .

Рассмотрим задачу дифракции монохроматического электромагнитного поля E, H на Q . Источником падающего поля E, H является электриче-

.0 D ский ток jE , локализованный в P .

Будем искать слабые (обобщенные) решения уравнений Максвелла rot H = -/roeE + j0, rot E = 7a>|i0H,

(1)

где ю - круговая частота.

Поле E, H должно удовлетворять граничным условиям на стенках полубесконечного волновода:

et | ЭР = 0 Hи | ЭР = 0 условиям излучения на бесконечности

(2)

( E ^ ( E0 ^

f

v H /

v H 0 j

+ 2 4±} ехР [' Y УЫ

p

„«I

^Р1}П рвз - iyP1)V2 П p

+2 QP±) exp [i Y Р^|хз| p

«[2)1

-iroe0 [V2Пp )x e3

( /ю|о [V2¥p )xe3 ^Vpe3 - i'Y[p)v2¥p

+

V" p

(3)

'p J

где П = {(}, Х2): 0 < х < а,0 < Х2 < Ь} - прямоугольник с введенным на нем двумерным оператором Лапласа -А; Ар , П(х}, х2) и

Ч2)

- пол-

р ' V I' 2/ р

ная система собственных значений и ортогональных нормированных в ¿2 (Р)

собственных функций оператора Лапласа с условиями Дирихле и Неймана на границе П соответственно,

Yp ) =yjkg p) , ImYp) ^ 0, kY[p), k2 =ю2ео!о,

(4)

где к - волновое число свободного пространства, V2 = elд / Эх} + e2д / дх2 .

Мы также будем полагать, что Eo , ^ - это известное поле (падающая волна), являющееся решением уравнений

rot ^ =-/юeoEo, rotE о =/Ю|1оHo (5)

с граничными условиями

E?bp =0 HUbp =0

(6)

в отсутствие тела Q .

Решения E, H уравнения (1) могут быть выражены в аналитической

форме через j0 с помощью тензора Грина

( G1 ge 0 0 Л

G = 0 GE 0

0 0 GE

где

1 2 ^ ^ ехР(-Уиот |х3 - Уз|) + ехР(пт|хз + Уз I) °Е = ^-__--Х

п=0 т=1

Упт (1 + 50п )

пп . пт пп . пт

хсое—%1 sln-%2 cos—У1 sln-у2,

а Ь а Ь

п2 2 ^ ^ ехР(-Упт|хз -УзI) + ехР(-Упт|хз + Уз|)

&Е = аьъЦ :-~-х

п=1 т=0

У пт (1 + 50п )

. пп пт . пп пт

х sln—Х1 cos-Х2 sln—У1 cos-У2,

а Ь а Ь

2 ^^ ехР (-Упт|х3 - Уз I) + ехР (-Упт|хз + Уз |)

&е = аъ: :-—-х

п=1 т=1

У пт (1 + 50п )

. пп . пт . пп . пт хsln—Х1 sln—Х2 sln—У1 sln-У2.

а Ь а Ь

Здесь Упт =

пп (пт ,2

— I +1-I — К0 , при этом ветвь квадратного корня

а I I Ь I

выбирается так, чтобы выполнялись условия: 1т упт > 0 или Re упт > 0, если 1т У пт = 0. Подробная постановка задачи (1)-(6) и получение отвечающего интегродифференциального уравнения (7) представлены в [7, 8];

E = E0 (х) + 1&е (х,У/^ - ф(У)сУ +

е ^ е 1

( е(У) ^ +grad dlv| &е (х,У) 1 Е (у )ёУ.

(7)

е

2. Обратная задача дифракции

Мы используем рассеянное поле, измеренное вне тела, чтобы восстановить диэлектрическую проницаемость тела. Предположим, что тело е находится в полубесконечном прямоугольном волноводе Р. Характеристики поля, необходимые для восстановления диэлектрической проницаемости тела, измеряются в точках наблюдения хс . Заключим хс в некий объем пространства, представляющий набор нескольких параллельных между собой плоскостей ^. Плоскости ^ расположены перпендикулярно оси Охз [9].

Геометрия задачи показана на рис. 1. Представленное на рисунке тело является прямоугольным параллелепипедом, но в общем случае предложенный численный метод не налагает дополнительных ограничений на форму тела, достаточно заключить тело, имеющее произвольную форму в прямоугольный параллелепипед.

Переходим к построению численного метода.

Рис. 1. Геометрия задачи

Заключим тело Q в прямоугольный параллелепипед 0, затем выберем на нем регулярную прямоугольную сетку:

0={х : а1 < < ^2,Ь < Х2 < ¿2,С <х3 <с2} , ячейки которой определяются как

0к1т = {х : х1,к < х1 < х1,к+1 > х2,1 < х2 < х2,1+1>х3,т < х3 < х3,т+1} • Узлы сетки определяются как

а2 - а1 , , Ь2 - ¿1 с2 - с1

х1,к = а1 + 2 1 к, х2,Ь = ¿1 1, х3,т = С1 +' 2 1

Ni

N2

N3

-m,

где к = 0,...,Ni -1, l = 0,...,N2 -1, m = 0,...,N3 -1; размер вычислительной сетки равен N = N1 X N2 X N3 ;

X roq X лх2 H nhi H nh2

XI =-, A2 = —— , Hi =-, H2 --

a

6

a

6

В уравнении (7) интегралы могут быть вычислены аналитически, так как базисные функции равны 1 внутри Okim . Для компонентов тензора Грина над каждым из ©kim имеем выражения

0 ^ ^ /*0 / \ G1 = 4I ^Щ31 cos(Х )sin(mX2)x

n n=0 m=1 nmYnm

Xcos(nH1 (i1 + 0.5))sin^Щ1 jsin(mH2 (i2 + 0,5))sin^

mH 2

mH2

+ I Лф)sin(mX2 )sin(mH2 (2 + 0,5))) ^

n m=1 mY0m V 2

^ ©o /^0

g2 = ~2 II

2 _ й ^ fnm (x3) •

n2 n=1 m=0 nmY2m

sin

(nX1 )cos (mX 2 )x

X sin (пН ( + 0.5 ))п

пНл

cos

(тН 2 ( + 0,5)))

тН 2

+

+

2Н2 £Що!sin(^ )sin(пН1 ( + 0,5))sin^П

П п=1 птПо

О? =4 ££

/пт ( х3 ) •

П п=1 т=0 птУПт

Sin

(пХ1 )sin (тХ2 )х

Xsin(пН1 ( + 0.5))п^ЦН1 ^sin(тН2 ( + 0,5))п^

тН2

где

/пт ( х3 ) =

ехР(-(х3 -(з + 1)к3 )7пт )- ехР(-(х3 -/3И3 Ьпт) ехР (пт (х3 + /3И3 ))

+

+

/У п

"(((Упт^З )-1). если х3 >( + 1)А3.

ехР(-( - х3 )Упт )- ехР(-((( + 1)к3 - х3 )Упт ) + ехР('Упт (х3 + /3И3 ))

+

/У п

- (ехр (/упт^3) -1), если х3 < /3Л3,

2 - ехр(-(х3 - /3Л3 )упт ) - ехР(-(х3 -(( + 1)к3 )пт ) ехР (пт (х3 + /3И3 ))

+

+

Х = Пх1 Х =Пх2 Н = X 1 =- , X о =—;-, Н =

/У пт

"(ехР('УптА3 )-1)

иначе,

Н2 =

х/ =(х-1,х/2,х/3 ) х/1 =(1 + 0,5)А1 -

а " Ь а

координаты точек коллокации.

Разобьем тело Q на N непересекающихся подобластей . Также Q^ должны состоять из объединения 0^/т . Полагаем, что диэлектрическая проницаемость постоянна в каждой из Qi.

Значения дифрагированного поля в точках хс могут быть измерены экспериментально, либо можно решить задачу (1)-(5), являющуюся прямой задачей дифракции, и получить смоделированные значения поля Е (х) внутри тела Q , а затем вычислить Е (хс) в точках х = хс по формуле

Е(хс ) = Е0 (хс) + |(ОЕ (хс,у)(^ - (у )ёу + Q 1 £ }

(е(у) Л +grad div| Ое (хс,у) 1 Е(у)ф,

х г Q,

(8)

Q

где

E0 (x) = e2—sinf Iexp(-/'y(2)x3

падающее поле.

Далее решаем уравнение (8) относительно неизвестной функции

( *( Л

J (у ) =

Ф) -1

E (У )•

Первый шаг метода заключается в решении интегрального уравнения первого рода:

( Т^гЧ -E0 (xc ) = к0 jGe (xc,У)(y)dy £(y) -1

+

Q

+grad div jGe (xc,y) J(y)dy, xg Q,

Q

(9)

при этом используются значения поля в точках наблюдения, полученные ранее.

После того как мы нашли J (х), переходим ко второму шагу метода,

а именно определяем диэлектрическую проницаемость тела в каждой из подобластей, решая уравнение

J(x) 2 Г " f -y)-- -к0 j GE (xy)J(у)dy

+

Q

+grad div j GGe (x, y )J (y )dy = E0 (x), x e Q,

Q

(10)

относительно выражения

<y) -1.

3. Численные результаты

В качестве примера представим восстановленные значения диэлектрической проницаемости тела, полученные при решении задачи предложенным методом. Тело Q , расположенное в прямоугольном волноводе, имеет размеры 2 х1х 2 см. Волновое число вне тела к0 = 11,7 GHz . Размер расчетной сетки 10 х 10 х 10. Для получения исходных значений мы решили прямую задачу дифракции и получили смоделированные данные.

На рис. 2 представлено исходное абсолютное значение диэлектрической проницаемости тела, на рис. 3 - восстановленное.

Двухшаговый метод позволил восстановить диэлектрическую проницаемость большинства подобластей тела.

£

Рис. 2. Смоделированная диэлектрическая проницаемость тела Q

Рис. 3. Диэлектрическая проницаемость тела Q , восстановленная двухшаговым методом

Заключение

Рассмотрена обратная задачи дифракции, заключающаяся в восстановлении диэлектрической проницаемости тела в полубесконечном прямоугольном волноводе и предложен численный метод ее решения. Данный метод реализуется в два шага: сначала решается интегральное уравнение первого рода, отвечающее обратной задаче, а затем вычисляется функция диэлектрической проницаемости через ток поляризации. При использовании двухшагово-го метода не требуется выбирать начальное приближение, что существенно увеличивает круг возможностей для его применения. Приведена визуализация результатов решения обратной задачи восстановления диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе.

На практике разработанный метод может быть применен, например,

для исследования нанокомпозитов и наноструктур методами неразрушающе-

го контроля, а также для конструирования образцов с заранее определенными

характеристиками.

Список литературы

1. Baena J., Marques R., Medina F., Jelinek L. Near-perfect tunneling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a wave guide filled by a metamaterial: Theory and experiments // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 075-116.

2. Eves E., Murphy K., Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-network-controlled FDTD modeling // Power Electromag. Energy. 2007. Vol. 4 (41). P. 22-34.

3. Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic // Applied Physics A. 2009. Vol. 95. P. 367-372.

4. Usanov D., Skripal A., Romanov A. Complex permettivity of composites based on dielectric matrices with carbon nanotrubes // Technical Physics. 2011. Vol. 56 (1). P. 102-106.

5. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptive for Coefficient Inverse Problems. New York : Springer, 2012. 408 p.

6. Romanov V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht : VNU, 1986. 239 p.

7. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2009. 268 с.

8. Ильинский А. С., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М. : ИПРЖР, 1996. 176 с.

9. Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Обратные задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе. Пенза : Изд-во ПензГУ, 2014. 76 с.

References

1. Baena J., Marques R., Medina F., Jelinek L. Near-perfect tunneling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a wave guide filled by a metamaterial: Theory and experiments. Phys. Rev. B. 2005;72:075-116.

2. Eves E., Murphy K., Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-network-controlled FDTD modeling. Power Electromag. Energy. 2007;4(41):22-34.

3. Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic. Applied Physics A. 2009;95:367-372.

4. Usanov D., Skripal A., Romanov A. Complex permettivity of composites based on dielectric matrices with carbon nanotrubes. Technical Physics. 2011;56(1):102-106.

5. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptive for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012:408.

6. Romanov V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht: VNU, 1986:239.

7. Smirnov Yu.G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki = Mathematical methods for the study of electrodynamics problems. Penza: Inf.-izd. tsentr PGU, 2009:268. (In Russ.)

8. Il'inskiy A.S., Smirnov Yu.G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh ekranakh = Diffraction of electromagnetic waves on conducting thin screens. Moscow: IPRZhR, 1996:176. (In Russ.)

9. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G. Obratnye zadachi vosstanovleniya dielektricheskoy pronitsaemosti neodnorodnogo tela v volnovode = Inverse problems of restoring the dielectric permittivity of an inhomogeneous body in a waveguide. Penza: Izd-vo PenzGU, 2014:76. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Роман Олегович Евстигнеев кандидат технических наук, инженер-программист, ООО «Харман» (Россия, г. Нижний Новгород, ул. Ковалихинская, 8)

E-mail: roman_cezar@mail.ru

Roman O. Evstigneev Candidate of engineering sciences, part-programming engineer, "Kharman" LLC (8 Kovalikhinskaya street, Nizhni Novgorod, Russia)

Марина Александровна Москалева кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: m.a.moskaleva1@gmail.com

Marina A. Moskaleva

Candidate of physical and mathematical

sciences, associate professor of the

sub-department of mathematics

and supercomputer modeling, Penza

State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 29.09.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 20.10.2021 Принята к публикации / Accepted 15.11.2021