CC BY
68
УДК 531.787.084.2:629.7; 53.084.2.389
П. Г. Михайлов, Е. А. Мокров, В. В. Скотников, Д. А. Тютюников, В. А. Петрин
ВОПРОСЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ДАВЛЕНИЙ
P. G. Mikhailov, E. A. Mokrov, V. V. Skotnikov, D. A. Tyutyunikov, V. A. Petrin
THE SYNTHESIS AND ANALYSIS OF METROLOGICAL MODELS OF PIEZOELECTRIC SENSORS RAPIDLY VARYING PRESSURE
Аннотация. Статья посвящена разработке инженерных математических моделей элементов и узлов пьезоэлектрических датчиков, используемых для измерения быстропеременных давлений и пульсаций давлений жидкостей и газов в различных изделиях и агрегатах ракетно-космической и авиационной техники. Представлены математические модели в виде структурных моделей, уравнений, графиков и числовых величин. Проведен анализ влияния различных факторов на точность измерения датчика. Метрологические модели узлов и датчика в целом позволяют определить величину и структуру погрешностей датчика с целью дальнейшей ее минимизации.
Abstract. The article is devoted to the development of mathematical models of engineering components and assemblies of piezoelectric sensors used to measure rapidly varying pressures and pressure pulsations of liquids and gases in a variety of products and units of rocket and space and aviation technology. Mathematical models in the form of structural models , equations , graphs and numerical values. We analyze the influence of various factors on the accuracy of the sensor. Metrology and sensor node model as a whole, allow us to determine the size and structure of the sensor errors , in order to further minimize it .
Ключевые слова: математическая модель, анализ, синтез, упругий элемент, передаточная функция, погрешность, датчик, физическая величина, быстропеременный, давление, влияющий фактор.
Key words: mathematical model, analysis, synthesis, an elastic member, the transfer function, the error sensor, the physical quantity of rapidly, pressure, influence factor.
Математическое моделирование является в настоящее время обязательной процедурой в процессе разработки и модернизации измерительных приборов, в том числе и датчиков физических величин (ДФВ). Большинство ДФВ являют собой сложные гетерогенные структуры, состоящие из конструктивных узлов различной конфигурации и назначения, в которых объединены элементы, изготовленные из различных материалов, поэтому единую математическую модель датчика невозможно разработать [1]. Кроме того, в датчиках используются различные физические эффекты, которые описываются значительно различающимися математическими аппаратами (тензорный анализ, уравнения Максвелла, уравнения математической физики и пр.), что также сильно затрудняет создание сквозных моделей ДФВ. Поэтому на практике используют построение математических моделей в соответствии с декомпозицией
ДФВ [2, 3]. При этом в зависимости от уровня ДФВ проводят синтез таких математических
моделей, как структурные, деформационные, энергетические, метрологические и пр., которые позволяют оптимизировать конструкцию датчика и его технические характеристики [4-6].
Разработку одной из таких математических моделей - метрологической модели (ММ) -рассмотрим применительно к пьезоэлектрическим датчикам быстропеременных давлений (ДБД) [7]. Синтез такой ММ базируется на структурной и функциональной моделях ДБД. При этом ММ позволяет установить связи между погрешностями ДБД в целом и погрешностями его отдельных структурных элементов.
1. Метрологические характеристики упругого элемента
Упругий элемент (УЭ) как измерительный преобразователь ДБД имеет структурную схему, представленную на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема упругого элемента
Преобразуемая величина х1 воздействует на УЭ, и на выходе его получается выходная величина у1 в соответствии с функцией преобразования (ФП):
Y = sxi, (1)
где S1 - чувствительность УЭ.
Так как для реализации преобразования (1) используется закон Гука, чувствительность УЭ не зависит от входной величины и ФП принимается линейной. Поэтому УЭ характеризуется номинальной входной величиной хном и соответствующей ей номинальной выходной величиной уном. Тогда, исходя из определения ФП, чувствительность УЭ можно записать в виде
S = . (2)
^"ном
Однозначность зависимости между входной и выходной величинами обеспечивается неизменностью чувствительности УЭ. Если S1 = const, то ФП изображается прямой линией 1, приведенной на рис. 2. Каждому значению входной величины xj соответствует единственное значение выходной величины yt. Упругий элемент при этом условии теоретически не имеет погрешности. Однако условие S = const на практике никогда не обеспечивается. На чувствительность УЭ воздействуют различные влияющие факторы: климатические, механические нагрузки, различные поля, включая и гравитацию, временной фактор и др. [8].
Измеряемая величина также влияет на чувствительность УЭ. Например, при действии силы на УЭ ее увеличение приводит к увеличению жесткости УЭ и его чувствительность с увеличением силы уменьшается (линия 2). Это является одной из причин возникновения погрешности от нелинейности Дн (нелинейность). Причинами нелинейности могут быть неоднозначное восприятие входной величины при ее изменении и упругие несовершенства материала УЭ. Упругие несовершенства материала приводят к появлению и другой погрешности - погрешности от гистерезиса ДГ (вариация показаний). Данная погрешность проявляется в том, что при увеличении (линия 3) и уменьшении входной величины Xj значения выходной величины yj не совпадают.
При действии линейных ускорений УЭ деформируется за счет сил инерции, в результате чего появляется погрешность от воздействия линейных ускорений Дл. Эта погрешность по своей природе является аддитивной погрешностью, так как сдвигает ФП параллельно самой себе на величину Дл (прямая 5).
Если на УЭ одновременно с линейными ускорениями действуют вибрационные нагрузки, то на прямую 5 накладываются соответствующие вибрациям сигналы (линия 6) и
возникает погрешность от воздействия вибраций А^ которая по природе тоже является аддитивной.
Действие времени на УЭ проявляется в изменении свойств материала, из которого он изготовлен. В материале УЭ происходят временные процессы, приводящие к различного рода фазовым переходам, в результате чего может измениться как модель упругости, а значит и наклон ФП, так и геометрические размеры, что приводит к сдвигу ФП (изменению начального уровня). Изменения ФП, вызванные действием временного фактора, характеризуются временной погрешностью Ав.
Существенное влияние на чувствительность УЭ оказывает температура. При изменении температуры изменяются геометрические размеры УЭ и модуль упругости материала, что приводит к изменению чувствительности УЭ. Обычно с увеличением температуры увеличивается чувствительность УЭ, т.е. увеличивается наклон прямой, изображающей ФП (прямая 4). Изменение чувствительности за счет изменения температуры называется мультипликативной температурной погрешностью Ах.
Изменение ФП (нуля и чувствительности) может быть вызвано и другими влияющими факторами: радиацией, влажностью, давлением окружающей среды и т.д.
Действие каждого влияющего фактора вызывает появление соответствующей погрешности, в результате чего ФП может иметь любое значение, лежащее в области возможных значений (на рис. 2 - между прямыми 1’ и 1’’). Ширина этой области и положение ее относительно координат х и у определяют точностные свойства УЭ. Чем она уже и чем она меньше сдвинута относительно начала координат, тем точнее УЭ, тем меньшую погрешность А (основную погрешность) он имеет. Значение основной погрешности зависит от ее составляющих. Погрешности от нелинейности, гистерезиса, температурные, временные и т.д. являются составляющими основной погрешности. Чем меньше величины составляющих основной погрешности, тем меньше величина основной погрешности. Наличие погрешностей нарушает однозначность между входной и выходной величинами. Одному значению входной величины х, могут соответствовать множество значений выходной (от у’ до у’ ). Таким образом, номинальная входная величина, номинальная выходная величина, основная погрешность и составляющие основной погрешности полностью определяют реальную ФП и являются метрологическими характеристиками УЭ.
У
2,
Рис. 2. График семейства функций преобразования упругого элемента
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
2. Синтез моделей погрешностей упругого элемента
ФП УЭ в общем виде может быть представлена следующим образом:
У1 = •(■*, Xi, x2,..., xn )• x + b \x, xl5 x2,..., xn), (3)
где S^x, x1, x2, ..., xn) - коэффициент преобразования УЭ, в общем случае являющийся функцией измеряемой величины х и совокупности влияющих величин xb..., xn; b(x, x1, x2,..., xn) -
начальное значение выходного сигнала (при x = 0), в общем случае являющееся также функцией величин x, x1, x2,..., xn.
В более компактной форме уравнение (3) можно представить:
у = Six + b, (4)
учитывая, что S1 и b есть сложные функции многих аргументов.
По влиянию на результирующую точность измерения все погрешности измерительных преобразователей делятся на два вида: аддитивную (погрешность нуля) и мультипликативную (погрешность чувствительности).
При наличии только аддитивной составляющей погрешности функция преобразования УЭ принимает вид
У1 = Si (x + До), (5)
где Д0 - абсолютная погрешность нулевого уровня, или аддитивная абсолютная погрешность.
При наличии только мультипликативной составляющей погрешности функция преобразования УЭ принимает вид
У1 = Si (x + 5i )x, (6)
где 51 - относительная погрешность чувствительности, или относительная мультипликативная погрешность.
Для конкретных УЭ может преобладать одна из этих составляющих погрешности, тогда другой составляющей можно пренебречь.
Самый распространенный на практике случай - это ситуация, при которой имеет место как аддитивная, так и мультипликативная составляющие погрешности.
При этом функция преобразования УЭ имеет вид
У1 = Si (x + 5 X(x + До). (7)
Считая влияющие величины независимыми, определяем абсолютную систематическую погрешность как полный дифференциал сложной линейной функции вида (3). Тогда
n YS n ль
dyi = хЁS&t + Ё . (8)
i=i Yxi i=i Yxi
Разделив (8) на y1, получим величину относительной систематической погрешности:
dy1 x A dS1 n 1 Yb
Yy = — =—Ё + Ё—-r-fci, (9)
У1 У1 ,=1 Yxi ,=1 У1 Yxi
где S1 - коэффициент преобразования УЭ.
В выражении (9) величина
x YSk YSi / Si (10)
У1 dx, dx,
определяет относительное изменение коэффициента преобразования, вызванное изменением влияющего фактора x,. Эту величину называют относительной мультипликативной чувствительностью УЭ к влияющему фактору x, и обозначают Sk-. Введем величину
1 Yb (11)
Упр дх, ’
где упр - значение выходного сигнала, соответствующее пределу измерения УЭ.
Эта величина характеризует относительное изменение начального уровня выходного сигнала УЭ, вызванного изменением влияющего фактора х, называется она относительной аддитивной чувствительностью УЭ к влияющему фактору хі.
Используя введенные обозначения и переходя в выражении (9) к конечным приращениям, получим
У у = Лх1 +(Упр / У Лх.. (12)
і=1 і=1
Для анализа систематических погрешностей необходимы следующие данные:
- выражение для функции преобразования УЭ;
- перечень влияющих факторов и параметры законов их изменения;
- зависимости аргументов, входящих в функцию преобразования, от влияющих факторов. Чувствительность мембраны (УЭ) по деформации определяется по формуле
В
$ =(.3)
где Вм - конструктивный коэффициент чувствительности мембраны; к - толщина мембраны; Е - модуль упругости материала УЭ (мембраны).
Толщина мембраны к определяется из выражения для площади поперечного сечения мембраны 5:
е
к =—. (14)
2яЯ
Тогда выражение для коэффициента преобразования (чувствительности по деформации) мембраны принимает вид
Вм 4я2Я2Вм , ч
$ =—V-• (15)
^5' Ее'
Е
4 я2 Я 2
Наибольшее влияние на чувствительность УЭ в разрабатываемом датчике оказывает температура. При изменении температуры изменяются геометрические размеры УЭ и модуль упругости материала, что приводит к изменению чувствительности УЭ.
Проведем синтез метрологической модели образования погрешности в случае одного влияющего фактора - температуры. В этом случае формула (12) принимает вид
= Б^ДТ + ^Д?>Пр / у, (16)
где - относительная аддитивная чувствительность мембраны к температуре; - относи-
тельная мультипликативная чувствительность мембраны к температуре; АТ - изменение температуры.
Относительная мультипликативная чувствительность определяется как производная сложной функции, поскольку различные сомножители коэффициента преобразования мембраны являются функциями температуры:
$ = 1 Э(2Я2вм /Ее2) = )_±ЭЕ _ 2 Эе^ 4я2Я2Вм (17)
к $1 Эt $1 ^ Е Э( 5 Эt) Ее2
Коэффициенты аЕ = ёЕ/Л и а* = ds/dt для соответствующих материалов находятся по справочнику как температурные коэффициенты модуля упругости и линейного расширения.
С учетом введенных обозначений величину можно выразить следующим образом:
Бы =—Е-2-*-. (18)
Е *
В полученном выражении аЕ и а * являются составляющими мультипликативной температурной погрешности УЭ.
Таким образом, относительная мультипликативная температурная погрешность УЭ мо-
жет быть определена как
§1 =-аЕ - 2а(19)
По справочным данным, для материала мембраны - сплава ХН67МБЮ-ВД (ЭП-782) ТУ 14-1-2705-79 - температурный коэффициент линейного расширения ах = 11,96 • 10-4 % / °С, температурный коэффициент модуля упругости аЕ = 24-10" % / °С.
Тогда численная модель погрешности
5: = - 24-10-4 - 2- 11,96-Ю-4 = -47,92-10-4 % / °С = - 0,004792 % / °С.
3. Синтез математической модели функции преобразования пьезоэлектрического модуля
В пьезоэлектрическом измерительном модуле ДБД механические усилия передаются на пьезоэлемент через промежуточные звенья, роль которых выполняют металлические упругие прокладки - силопередающая и изоляционная. Различие упругих свойств материалов пьезоэлементов и упругих прокладок может существенно изменить генерируемый пьезоэлементом сигнал под действием внешней силы. При определении чувствительности пьезоэлемента возникает необходимость количественной оценки вклада поверхностного упругого взаимодействия пьезоэлемента с упругими прокладками.
Рассмотрим пьезоэлектрический цилиндр постоянной толщины 2Н и радиусом а с упругими прокладками толщиной Н на торцах (рис. 3). Поместим в центр пакета цилиндрическую систему координат {г, 0, 2} с осью 02, параллельной образующей пакета. Считаем, что упругие прокладки однородны и изотропны, а пьезоэлектрический цилиндр (пьезоэлемент) - поляризованная керамика с осью поляризации, направленной вдоль оси 02.
Рис. 3. Геометрическая модель пьезомодуля:
1 - пьезоэлемент; 2 - металлическая прокладка
Торцы пьезоэлемента полностью покрыты электродами весьма малой толщины, которые закорочены. Считаем, что проскальзывание между пьезоэлементом и прокладками отсутствует (коэффициент трения равен бесконечности).
На торцевые поверхности упругих прокладок действует равномерно распределенная гармоническая сила Р = Р0 е а на боковой поверхности упругой системы равнодействующая всех сил равна нулю. Краевые условия и условия непрерывности на границе пьезоэлемент -прокладка имеют вид:
- для 2 = ± (Н, Н) огг(2) = Р, огг(2) = 0, Ф = 0;
- для 2 = ± Н огг(2) = огг(1), огг(2) = стгг(1), и(2) = ц(1); (20)
- для г = а оГг(г) = огг(г) = Ог = 0, (/' = 1, 2),
где <3кгп') - компоненты механических напряжений в /-м слое; и (и2, иг) - вектор механических
смещений; ф - электрический потенциал; О (О2, Ог) - электрическая индукция; Р - давление.
Решение данной краевой задачи (20), удовлетворяющее уравнениям электроупругости, строится с помощью разложения решения по малому параметру е = Н / а в форме
и(/) = и0(/) + е2и2/ + ... ф = ф0 + е2 ф2 + ... . (21)
Удовлетворяя уравнениям равновесия и электростатики, краевым условиям (20) и ограничиваясь составляющих не более 2 степени (е2), получаем систему уравнений для напряженно-деформированного состояния пьезоэлемента:
_Н + С13 и
1 -V С33
= Р Ф = 0 иг = -гР—^----—^—; (22)
Еп Н + С13 Н
1 Vn С33 |Б13|
Vn Н + С13
иг=Р+2С1Р ЕУп Н ■ (23)
С33 С33 Еп Н + Н
1 Vn С33 |Б13|
Vn -Н + -С°
агг + аее = -2РС1 Уп ЕС33-------------------------------------------+ 2 ^ Р, (24)
С33 1о I Еп ТТ , 1. С
С„ ^1-
Н + Н 33
-13 1-Vn
где С,, - упругие модули керамики; Б,, - упругие податливости керамики.
Вычисляя интеграл по поверхности пьезоэлемента при 2 = ± Н
Я[^22 + ^31(агг + аеее = в, (25)
окончательно получим математическую модель чувствительности пьезопреобразователя:
в _ , , 2|^---------------------------------------------------, (26)
р “33 + -|-"31 Н С
Р Ек (1- Vn)- + ^кЕп
Н С31
где d33, d31 - продольный и поперечный коэффициенты чувствительности; Ек, ук, Еп, \п - соответственно модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов пьезоэлемента и упругих прокладок.
Таким образом, математическая модель коэффициента преобразования (чувствитель-
ности) пьезоэлемента:
^ = ^33 + 21 dзl\-----Ек Vn -ЕпСк---------------------------------. (27)
Ек (1-Vn) 77 + С1 ^кЕп
Н С13
4. Синтез модели погрешности пьезоэлектрического измерительного модуля (ПЭИМ)
Для определения составляющих погрешности используем прием логарифмического дифференцирования, который заключается в логарифмировании функции и последующем ее дифференцировании:
о
^в _ ^dзз + ^Ек -218Еп + 2^Vп -21§Vk -1§С33 + !§С13; (28)
<^в _ ddзз , к 2 ^п , 2 dV п - 2 dvk dCзз , dClз (29)
в d33 Ек Еп ^п V к С33 С13
Заменяя дифференциалы конечными приращениями, получим формулу образования систематической погрешности ПЭИМ:
Ав_^зз+АЕ^2АЕп+2Avп -2А^-АСзз+АСи (30)
в ^3 Ек Еп Vn Vk С33 С13
Действительно, Авв есть относительное изменение выходного сигнала ПЭИМ при изменении какого-либо фактора, входящего в функцию преобразования. Все слагаемые в полученном выражении входят в общую сумму со своими знаками и весом, отражающими накопление (или компенсацию) суммарной погрешности ПЭИМ.
При определении отдельных составляющих систематической погрешности ПЭИМ от действия влияющих факторов проводится анализ поведения всех слагаемых суммы в зависимости от значения тех или иных факторов. Наиболее существенным для ДБД является температурный фактор. При этом источниками температурной погрешности ПЭИМ будут изменяющиеся модули упругости материала ПЭИМ (АЕк / Ек) и материала упругих прокладок (АЕп / Еп), а также изменяющийся пьезоэлектрический модуль (Ad33 / d33).
Таким образом, суммарная мультипликативная температурная погрешность определяется как
52 = Ав_А-33 + АЕк-2АЕп_аd + аЕ -2аЕ . (31)
в dзз Ек Еп d Ек Еп К ’
Все остальные слагаемые погрешности, входящие в выражение (29), обращаются в нуль, поскольку от температуры не зависят.
Погрешности при заданном изменении температуры определяются по справочным температурным коэффициентам пьезоэлектрической чувствительности пьезомодуля, модулей упругости материалов пьезомодуля и упругих силопередающих прокладок.
Пример. По справочным данным на пьезомодуль типа ПМ производства НКТБ «Пьезоприбор» [9], изменение пьезоэлектрической чувствительности модуля во всем диапазоне температур составляет не более 10 %. Температурный диапазон ДБД составляет 696 °С (от минус 196 до 500 °С). Таким образом, температурный коэффициент пьезоэлектрической чувствительности ^ = 0,0143 %/ °С.
Температурный коэффициент модуля упругости для материала НТВ-1 пьезоэлектрического модуля типа ПМ аЕк = 7,9-Ю-4 % / °С. Температурный коэффициент модуля упругости для материала силопередающих прокладок (сплава ХН67МБЮ-ВД) аЕп = 24-10"4 % / °С.
Подставляя числовые значения температурных коэффициентов в выражение (31), определяем значение относительной температурной мультипликативной погрешности пьезомодуля:
52 = 0,0143 + 0,00079 - 2-0,0024 = 0,01029 % / °С.
Общая мультипликативная погрешность датчика на 1 °С определяется по формуле 5_81 + 52 = - 0,004792 + 0,01029 = 0,005498 % / °С.
Общая относительная мультипликативная погрешность во всем температурном диапазоне (от минус 196 до 500 °С) составит
0,005498 % / °С-696 °С = 3,82 %,
что является вполне приемлемым значением для пьезоэлектрических ДБД.
Так как работа ДБД основана на прямом пьезоэлектрическом эффекте, в отсутствие входного воздействия (х = 0) выходной сигнал также будет отсутствовать (у = 0). Следовательно, аддитивная погрешность нулевого уровня будет равна нулю.
Список литературы
1. Михайлов, П. Г. Синтез информационно-энергетических моделей датчиков / П. Г. Михайлов, А. П. Михайлов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. -2003. - № 3. - С. 37-40.
2. Михайлов, П. Г. Моделирование полупроводниковых чувствительных элементов микроэлектронных датчиков / П. Г. Михайлов, П. Н. Цибизов // Актуальные проблемы науки и образования : материалы Междунар. симп. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2003. - С. 233-236.
3. Михайлов, П. Г. Микроэлектронные датчики. Разработка и проектирование / П. Г. Михайлов, А. В. Варламов // Датчики и системы. - 2007. - № 8. - С. 23-26.
4. Михайлов, П. Г. Разработка моделей качества датчиков физических величин / П. Г. Михайлов, М. А. Чернецов // Надежность и качество - 2010 : тр. Междунар. симп. : в 2 т. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. - Т. 2. - С. 185-187.
5. Михайлов, П. Г. Разработка моделей качества датчиков физических величин на основе квалиметрического подхода / П. Г. Михайлов, П. Н. Цибизов // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2012. - № 5 (130). - С. 99-104.
6. Михайлов, П. Г. Моделирование чувствительных элементов датчиков механических напряжений в строительных конструкциях / П. Г. Михайлов, А. В. Соколов // Региональная архитектура и строительство. - 2012. - № 3. - С. 110-117.
7. Михайлов, П. Г. Датчики быстропеременных и акустических давлений / П. Г. Михайлов, С. Д. Забродина // Измерительная техника. - 1994. - № 6. - С. 52-54.
8. Михайлов, П. Г. Пьезодатчики быстропеременных, импульсных и акустических давлений / П. Г. Михайлов // Радиотехника. - 1995. - № 10. - С. 36-37.
9. Каталог продукции НКТБ «Пьезоприбор». - Ростов н/Д, 2005.
Михайлов Петр Григорьевич
доктор технических наук, профессор, кафедра управления информационными ресурсами, Пензенский филиал РГУ E-mail: [email protected]
Мокрое Евгений Алексеевич
доктор технических наук, профессор, кафедра приборостроения,
Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Скотников Валерий Владимирович
аспирант,
Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Тютюников Дмитрий Александрович
аспирант,
Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Mikhailov Petr Grigorievich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of information resources management, Penza branch of Russian State University
Mokrov Evgeny Alekseevich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of instrument making,
Penza State University
Skotnikov Valery Vladimirovich
postgraduate student,
Penza State University
Tyutyunikov Dmitry Aleksandrovich
postgraduate student,
Penza State University
Петрин Владимир Алексеевич
аспирант,
Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]
Petrin Vladimir Alekseevich
postgraduate student,
Penza State University
УДК 531.787.084.2:629.7; 53.084.2.389
Вопросы синтеза и анализа метрологических моделей пьезоэлектрических датчиков быстропеременных давлений / П. Г. Михайлов, Е. А. Мокров, В. В. Скотников, Д. А. Тютюников, В. А. Петрин // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 1 (7). - С. 35-43.
