CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 145
1966
ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К БЕСКОЛЛЕКТОРНЫМ ЭЛЕКТРОМАШИННЫМ УСИЛИТЕЛЯМ (БЭМУ) ПЕРЕМЕННОГО
ТОКА
А. И. СКОРОСПЕШКИН
(Рекомендовано семинаром кафедр электрических машин и общей электротехники.)
Разработка общей теории электрических машин способствует дальнейшему развитию теории электрических машин и решению ряда важнейших практических задач электромашиностроения. К вопросам, которые могут решаться на базе общей теории, следует отнести возможность сравнения различных классов электрических машин и разработки новых машин.
Следует отметить, что развитие общей теории электрических машин обычно ведется применительно к машинам нормального исполнения (синхронным, асинхронным и машинам постоянного тока) [!, 2, 3]. При этом машина приводится к идеализированной двухполюсной и двухфазной, а затем ведется анализ режимов ее работы. При таком подходе имеются свои достоинства и недостатки. Достоинства заключаются в том, что упрощаются аналитические связи и уменьшается количество уравнений. Недостатки — некоторая искусственность, при которой реальная машина является отображением исходной идеализированной машины.
Совмещенные электрические машины типа преобразователей фиксированной и регулируемой частоты, бесколлекторных электромашип-ных усилителей постоянного и переменного тока фиксированной и регулируемой частоты, насколько нам известно, не рассматриваются с позиций общей теории электрических машин, хотя необходимость разработки общего подхода для них очевидна. Общий подход к совмещенным машинам, по нашему мнению, может быть разработан на основе теории электромагнитных явлений Максвелла и уравнений Лагранжа [4, 5, 6]). В этом случае общие уравнения выводятся, исходя из непосредственного рассмотрения физических свойств этих машин.
Разрабатываемые нами бесколлекторные электромашинные усилители (БЭМУ) и преобразователи являются двухкаскадными. Оба каскада совмещены в одном магнитопроводе при выполнении условий совмещения. Выполнение таких условий позволяет при исследованиях рассматривать вначале каждый каскад как отдельную машину с последующим установлением связи между отдельными каскадами.
При использовании уравнений Лагранжа — Максвелла представляется возможным рассматривать электрическую машину, состоящую из двух групп обмоток: одна из них неподвижная и располагается на статоре, другая — вращающаяся 1и располагается на роторе. В этом случае каждая из обмоток может рассматриваться в отдельности, и для нее уравнения Лагранжа второго рода представляются в виде двух 200
уравнений. Одно из них записывается для электромеханических сил, другое — для электродвижущих.
В окончательном виде эти уравнения записываются следующими формулами:
для электромеханических сил
= (1)
2 с)/г
для электродвижущих сил
. с! (/.¿к) , дЛтКд Гд) /„V
йЬ а-1
Здесь МЭм — обобщенная внешняя электромеханическая сила, е,с — обобщенная э. д. е., /г — обобщенная геометрическая координата, ¿к — ток контура (обобщенная скорость),
гк, тпав, ¿а, ¿в, и — активное сопротивление, индуктивности, взаимоиндуктивности и токи рассматриваемых обмоток. В каждом каскаде совмещенной машины для каждой из обмоток могут быть записаны общие уравнения электродвижущих сил и электрических мощностей и уравнения электромеханических сил и электромеханических мощностей с учетом взаимодействия обмоток статора и ротора.
Эти уравнения записываются в следующем виде:
1. Уравнения э. д. с.
. _ . (*(!к*к* , „(1{тк4а)
ек = 1к' к -\--—-------(о)
аЬ М
2. Уравнения электрических мощностей
Рзл= * ¿к = Ц ГК Н- /к -г и 2 . (4)
си а1;
3. Уравнения электромеханических сил
м 1 ■ / дп11в
эм — — 1а 1в —г:— • (О /
2 дН
4. Уравнения электромеханических мощностей
г, д, с!к 1 . . дтпа дк
Рэм = Мэм-^---1а1в . (6)
ат 2 да от
За обобщенную геометрическую координату /г в электрических машинах принимается угол поворота ротора а. Тогда при установившемся режиме
К ~ а = (*>£. (7)
В этом случае обобщенной электромеханической силой будет момент вращения.
Поскольку индуктивности зависят только от геометрических координат, а электрическая машина характеризуется одной геометри-
ческой координатой а, то частные производные - будут равны
О а
полным производным . Поэтому (5) и (6) принимают вид:
а а
= ' (8)
2 сш
Рэи ~ —- 1(1 ь8 ——~ - (9)
2 аг
Необходимо отметить, что в неявнополюсной машине индуктивности и взаимоиндуктивности между фазами можно считать постоянными, а изменяются лишь взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора, что является обязательным условием преобразования механической энергии в электрическую энергию переменного тока или наоборот.
Из системы уравнений (3) — (6) можно определить токи, мощности, моменты и установить таким образом взаимосвязь между отдельными каскадами.
Проведем определение необходимых величин применительно к БЭМУ переменного тока, схема и принцип работы которого поясняются рис. 1. На рисунке приняты обозначения:
Рис. 1. Схема бесколлекторного электромашинного усилителя (БЭМУ) переменного тока.
А — обмотка управления. Расположена на статоре и питается постоянным током.
В, С — обмотки ротора первого и второго каскадов усилителя.
О — выходная обмотка. Расположена на статоре.
Цифрами 1, 2, 3 обозначен порядок чередования фаз в трех фазных обмотках ротора и статора.
шр — угловая скорость вращения ротора.
о),; о)^,; о)2 — угловые скорости вращения полей в обмотках.
Стрелками показаны направления вращения ротора В, С м О и полей в I и II каскадах.
Рх и Р-1 — числа пар полюсов в I и II каскадах. Направление вращения поля в обмотке С зависит от чередования фаз, соответственно изменяется и о>2.
Напишем уравнения равновесия э. д. с. для обмотки управления Л и для одной из фаз обмоток й, С и Д считая, что обмотки выполнены симметрично. В самом общем виде они запишутся следующими выражениями: Для обмотки А
Г Г • , г А . йт,\АВ , сИ| . (Н2
и А ^ЬаГа + Ь а —- + г,-—--^ т\Ав ~ + т2АВ —
сИ а1 аЬ М
, . йтчАВ , Шя , . йт^Ав
-Г Н-г--Ь тАВ -гг 4- н
йЬ (И " сИ
Для первой фазы обмоток Б и С
л . , , ч , , (И{ (ИА . . с1гп\Ав
О = (ге + Г с) + + и —ГГ + 1П\АВ— + 1А
(И йЬ (И йЬ
лл (Но .. й1-\ .. йи сИз . сИт ,
_Мв-~ Мс—г -Мс ~~~ +тХСхо—г +
си аг аЬ аг сИ
, . (1т\ст . й1о2 , . <1т\ст , 1о\ ----н т\С2В —;--г
Учитывая, что
и принимая по [7]
(10)
01)
сИ йЬ сИ
I <11 , , йт\ст_ + ГП\С2>й —---Г ¿£>3-Г"- .
аъ аЬ
Для первой фазы обмотки О
аЬ аЬ сИ
О-т ^ , ■ йтхрхс , й12 йтлтс пох
+ -т:--V *П\о2с-г--V 12-—--Ь (12/
т М М М
(Нъ йт\тс + с — + гз ——— • М йЬ
¡1 + Н + Н = О, ¿т Н- 4~ ¿оз ~ О
(13)
— Мв = 0,5 ¿в,
— = 0,5 1с,
— = 0,5
можно соответственно преобразовать (10), (11), (12). Обозначения в формулах:
'¿л, 11, ¿з, ¿оз, ¿ш - мгновенные значения токов в обмотках А, В, С и Ь;
г>1, Гв, г с, Г/) и ¿л, ¿-в, ¿с, /-л —активные сопротивления, индуктивности обмоток А, С и О, причем в гв входит сопротивление нагрузки.
Мв\ Мс\ Мо — взаимоиндуктивности между фазами обмоток В, С и О.
Буквой ш с соответствующими индексами обозначены переменные взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора в первом и втором каскадах.
и а — постоянное напряжение, приложенное к обмотке управления; иог —мгновенное значение фазного напряжения О обмотки.
Уравнения (10), (11), (12) написаны для мгновенных значений всех величин и действительны для любого установившегося или переходного режима.
Рассмотрим пока лишь установившийся режим и будем учитывать только основные гармонические. В схеме рис. 1 для ротрра примем встречное вращение полей и ротора \в обоих каскадах, в статоре — согласное с ротором.
В этом случае изменения токов и взаимоиндуктивностей будут определяться уравнениями:
и = /тЯСЗШ (<0\( + Я|); ГТ1\АВ= МлявШО)^;
¿2 = hnBC SÍn [ ЩЬ + ai + ^
П1-2АВ = Мль Sin| <ú\t + J ;
(15)
h=fmBC sin ( -]- aj — — ) ; m:imB= N[Ab Siní <ú\t— —
V з / \ з
kn — IrnD Sin (oj2t + a2); im — ImD Sin (Ú.¿t a2 — ;
Id3 = ImD sin ( (ü2t + a, + ;
V 3 )
rfl\c\D = MCD Sin (iOMt); ГП2СЮ = MCD Sin ^ +
m\c2D = Me/) Sin ^ 0>Л£ — yj ; m2c¿D = Meo sin (co,Mí); /ÍÍIC3D == McoSin ( <»Mt+ — ]; rrt'2C3D — McoSin f — ^
\ з У \ ' з
'Лзсш = Mcd sin — ;
^3C2D = MCD Sin ^ COAl¿ + ~ W;íC3D= Meo sin (u).
//bd, Млб, Mcd— соответствующие амплитудные значения токов и взаимоиндуктивностей. В этих уравнениях
«1 = а>рР\;
V 2,
<»2=<Op(P2-Plh,
где lo* — угловая скорость, с которой происходит изменение взаимоиндуктивности во втором каскаде. Для установившегося режима уравнение (10) примет вид:
UA = lArA и 1А = — . (17)
гА
Уравнения (11) и (12) с учетом (13), (16) после некоторых преобразований запишутся в следующем виде: ■
0 = ImBc [sinK* + ai) (rB f Г с) + (15 Lb + 1,5IC) o>icos(ü>i¿ + ai)] -f
+ COS W\t +ImnMcD[sín <0Mt-ü)2-COS(íti2t -f a,) +
+ Sin (u)2¿ + a2) Шуи eos {uímÍ) +
+ Sin ( — ~ j w2 COS í CO2t + a2 — ~ ] +
+ sin [ t + a2 — íüm cos f wM¿ — ^ ) +
+ Sin [ 0)Mt + j ÜJ2C0S ( u>2¿ + a2 +
(18)
+ sin ( o)J + a2 + — ) wM eos ( o>:At
2тг
3 1" \ 3
UmD sin Сü2t — ImD [sin(to2í + a2) rD + 1,5 Ld (I)2C0S (^2t + a2)] +
+ ImBcW.CD [sÍn(cü^í)üJi COS (u)t t + a¡) + Sin (ü>i£ + at)coAICOS (iúMt) -f
2ти\ ' 2~
-f sin ( <3>Mt + -7Ч CO] COS í tOlí + ai + , ,
2-
Sin 0)ií + ai+ — Шж cos u>Mt-\--+
2-
, - f / 2тг\ 1 / i + Sin I — j «M COS ^ ©lí + ai---
2тг
(19)
+ sin ^ m\t + ai — — j toncos y (üMt -
После преобразований (18) и (19) принимают вид: о- 1твс [sin «ht + a!) (Гв + Г с) + (1,5 ¿B + 1,5 Le) щ COS (a)^ -J- ai)] +
+ /л Млв«1 eos (wi¿) — у /mZ)Mc/)Wi sin (íDií — a2); VmD Sin (ü2t = ImD [sin (ü>.¿¿ + a2) rD + 1,5 Ld^2 COS (a)2í + a2)]
— — /твсМсош2 sin ai)]. 2
(20)
(21)
При изменении чередования фаз в роторе второго каскада, т. е, при изменении направления вращения поля, когда
«>2 = ^(^2 + А),
уравнения (20) и (21) запишутся в виде
0 = ImBc [sin (o>ií + ai) (г в + г с) + (1,5 LB+ 1,5/. с) «icos (т t + «i)l +
(23)
3
+ ¡A Млл Ü)1 COS(O)IÍ) + — Z/tídMcd^i sin ((últ + a2);
2
UmD Sin iú2t = /mD [sin (<o2¿ + a2) rD -f 1,5 Ld ü)2COS (üj2¿ + a2)] +
(24)
3
4--ImBC Meo Sin (ü>2¿ +
2
Уравнения (20)—(24) позволяют провести некоторый анализ составляющих и определить амплитудные значения токов 1твс и ímo при холостом ходе, коротком замыкании и любой нагрузке. Затем можно переходить к определению мощностей и моментов.
Необходимые э. д. с. соответственно для обмоток В, С и D
€вх = мАВ COS tiht;
_ 3 _
= "f 7r^wz)Mci)t01 sin +
(25)
__ 3 _
+ — /mfíüMcD sin + 2
Знаки (+) в (25) соответствуют ш2 = шр
Электрические мощности обмотки Á и одной фазы обмоток В, С и D: Рэл. А = Iа2ГА;
Рэл. вt = ¿i = /твс sin (w 11 -f- ос])IA(úiMab cos Щt;
(26)
Г ^ 1
Яэл.С, = ¿1^ = /mßC sin(wií + ai)
2
Ал. Dx = i\eDl = /то sin (ü)2í + a2)
+ Z^dMcdWi sin (<t>i¿ 4- a2) j ;
Электромеханические мощности I и II каскадов на фазу по (1) Рэм АВ\ =--¡А^тВС Sin (u>it -f ai)tüj Ь\Ав COS iúxt; (27)
Li
P 1 1 . . dni\c<2D *эмС\В — — —- ¿ci ¿DI -г---¿C1¿D2
1 í/miC3D 1 , 7
— ¿C1 ¿D3--- =---— l tnВС*tnD
2 di 2
2 dt 2 dt
sin (coi t +ai)-McD-
_3 _
+ —Sin(toií+a2) ¿d
Вращающие моменты для I и II каскадов по (8)
МЭмлВ1 = — — Iа ¡твс МАВ sin (íüjí + ai) cos o>i t\ 2
МЭмС1/) ~
1тВС + Л])
+ — зтМ + а2) £
(28)
Таким образом, на основании общих уравнений Лагранжа — Максвелла определяются все необходимые данные совмещенной электрической машины типа БЭМУ. По ним может быть сделан необходимый анализ всех режимов работы усилителя.
В усилителе, как правило, для компенсации реакции якоря имеются обмотки обратной связи. Создаваемые ими токи, мощности и моменты учитываются аналогичным образом.
Если поле обмотки управления вращается (БЭМУ с регулируемой частотой), то общие уравнения для усилителя остаются такими же, как и рассмотренные выше, только изменятся соответственно значения угловых скоростей с учетом направления вращения полей и ротора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б. Адкинс. Общая теория электрических машин. ГЭИ, 1960.
2. Д. Уайт и Г. В уде он. Электромеханическое преобразование энергии. Издательство Энергия, 1964.
3. М. И. Алябьев. Общая теория судовых электрических машин. Издательство Судостроение, 1965.
4. А. Г. К а п л я н с к и й. Введение в общую теорию электрических машин, ГЭИ, 1941.
5. В. В. Б а з и л е в и ч. К вопросу общей теории электрических машин. Электричество, № 21, 1930.
6. И. М. Садовский. Электродинамика коллекторных электрических машин. Электричество, № 4, 1949.
7. Г. Н. Петров. Электрические машины. ГЭИ, 1963.
