Вопросы моделирования динамики ротора на электомагнитном подвесе на макетах Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, №5, с. 137-141

УДК 534.01

ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ РОТОРА НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОДВЕСЕ НА МАКЕТАХ

© 2009 г. В.В. Знышев, А.А. Кирюшин, М.Я. Николаев, В.Ф. Овчинников

НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

znyshev@mech.unn.ru

Постусила в редакцию 05.06.2009

Рассмотрена задача создания в уменьшенном масштабе макета вертикального гибкого неоднородного ротора на электромагнитных подшипниках. Представлены рекомендации и соотношения, выполнение которых даёт возможность моделирования на макете основных динамических свойств ротора.

Ключевые слова: динамика, верификация, ротор, макет, моделирование, параметр, управление, по-

добие, электромагнитный подшипник.

Любая новая техническая система большой сложности и стоимости изготовления, исследования и эксплуатации проходит этап предварительного исследования с помощью математических моделей и на макетах меньшего масштаба разной степени приближения к объекту исследования. Цель этого этапа - проверка правомерности конструкторских решений, на которых строится система и обеспечивается её работоспособность в заданных условиях.

В данном случае обсуждается проблема моделирования на макетах меньшего масштаба динамики гибкого неоднородного ротора, в качестве опор которого используются электромагнитные подшипники (ЭМП) [1]. Каждый ЭМП имеет свою систему управления, которая должна удерживать вращающийся ротор в заданных пространственных границах без касания статора во всём диапазоне частот вращения в различных эксплуатационных динамических режимах при ряде других ограничительных условий. На выполнение этого требования направлено решение стандартных задач этапа предварительного исследования динамики ротора с помощью математических моделей и макетов:

1. Разработка математических моделей ротора в целом и отдельных его элементов.

2. Проверка адекватности математических моделей (верификация моделей).

3. Моделирование динамики ротора в различных эксплуатационных ситуациях.

4. Поиск оптимальных алгоритмов управления системой в рабочих режимах.

5. Разработка и отработка элементов технологии электромагнитного подвеса.

Очевидно, что на каждом шаге исследований результаты решения каждой из этих взаимосвязанных задач могут влиять на процесс и результаты решения остальных и проблемы в целом.

Сложный ротор может быть соединением роторов разных роторных машин в различных комбинациях: турбин, компрессоров, электродвигателей, электрогенераторов, насосов, центрифуг, детандеров и пр. Описание математической модели, пригодной для расчётного исследования динамики подобного ротора на ЭМП, представлено в [2]. Проверку её адекватности для конкретного ротора имеет смысл проводить на его макете уменьшенного масштаба в виде гибкой механической конструкции, на которую действуют различные силы и моменты, аналогичные действующим на ротор в реальных условиях. Это радиальные силы от дисбаланса ротора, вертикальные и радиальные газодинамические силы, электромагнитные силы, гироскопические силы и др., движущие моменты и моменты сопротивления.

Практически выполнимой для создания макета ротора меньшего масштаба представляется задача подбора электрогенератора и электродвигателя меньших масштаба и мощности. Прямое же использование в макете маломасштабных турбины и компрессоров вместе с условиями их работы является сложным, дорогостоящим и неудобным для экспериментального исследования динамики ротора.

Принимая во внимание это обстоятельство, в качестве моделей элементов турбомашин в макете ротора можно использовать электромашины, в частности для турбины - электродвигатель, а для компрессоров - электрогенераторы.

Сравнивая электромагнитные характеристики электромашин с газодинамическими характеристиками турбомашин, можно найти ряд необходимых для моделирования аналогий [3-7]. Так, аналогами перепада давлений и расхода газа в турбомашинах являются напряжение и ток в электромашинах. Аналогичен в соответствующих терминах характер зависимости мощности от частоты оборотов.

На динамику роторных машин наряду с периодическими нагрузками, обусловленными, например, дисбалансом ротора, существенное влияние могут оказать неконсервативные силы циркуляционного типа, связанные с вектором радиального смещения ротора [3]. К таким силам в турбомашинах и компрессорах относятся газодинамические силы, в электромашинах -силы Ампера в магнитном поле обмоток. Движущие силы в электродвигателе и силы сопротивления вращению в электрогенераторах на противоположных концах диаметра ротора будут разными и зависящими от радиального смещения ротора и от разности скоростей вращения магнитного поля электромашины и ротора. Результирующий вектор этих сил перпендикулярен вектору смещения [3, 4]. Аналогично будут действовать газодинамические силы в турбомашинах [8, 9].

На макете ротора на ЭМП при исследовании динамических режимов можно моделировать:

- заданное распределение дисбаланса ротора - установкой на роторе специальных грузов;

- осевую газодинамическую силу в турбине и компрессоре - заданием рабочего тока в обмотке магнита осевого ЭМП в соответствии с законом изменения осевой силы;

- периодическую силу в местах расположения ЭМП - подачей синусоидального сигнала в систему управления ЭМП;

- сейсмические нагрузки - подачей на вход системы управления ЭМП дополнительной к сигналу датчика положения ротора составляющей с одновременными изменениями тока в обмотках ЭМП в соответствии с динамическими характеристиками моделируемых нагрузок.

Таким образом, основные качественные особенности динамики сложного ротора на электромагнитном подвесе могут быть отражены в макете ротора, построенном на основе электромашин. Очевидно, что такой макет удобен для моделирования динамических режимов из-за относительной простоты задания различных силовых возмущений с помощью электрических величин и, соответственно, из-за относительной простоты сопряжения макета с расчетной моделью процессов в роторной машине, которое

может потребоваться для исследования динамики ротора в различных эксплуатационных ситуациях.

Степень приближения динамических характеристик макета к характеристикам штатной конструкции ротора зависит от технических возможностей выполнения ряда соотношений подобия, связывающих параметры модели и штатной конструкции. Условия подобия для макета ротора на ЭМП будем рассматривать при реально правомерных предположениях, что конструкция ротора осесимметрична, материал ротора и его макета одинаков, длины соответствующих участков ротора и макета пропорциональны. Решение главной задачи моделирования - обеспечение прохождения критических частот без касания ротором статора - в основном зависит от параметров, которые оказывают существенное влияние на изгибные колебания одномерной конструкции: I - линейный размер, характеризующий длину ротора, ЕІ - изгибная жесткость (Е — модуль упругости, I — геометрический момент инерции сечения ротора), т -погонная масса [3, 9]. Для цилиндрического элемента с наружным радиусом R1, внутренним R2 и плотностью материала р

I = 4(Д14 - Д24), т = рп(Д12 - Д22).

Если через Т обозначить характерное время изгибных колебаний, то в соответствии с теорией размерностей [10] между параметрами конструкции І, ЕІ, т и характеристикой процесса движения Т должно существовать соотношение (п-теорема):

ТиГ (ЕІ) ытг = пх. (1)

Здесь п1 - безразмерный параметр.

В (1) размерности величин, стоящих в правой и левой частях, должны совпадать, что дает возможность составить уравнение для размерностей:

и V / 3 -2\Ы / -Кг і /л\

с •м -(кг-м •с ) -(кг-м )=1. (2)

В этом выражении учтены размерности входящих в (1) параметров:

(Т, с); (І, м); (ЕІ, кг-м3-с-2); (т, кг-м-1).

После приведения подобных слагаемых в (2)

и-2ы v+3w-z ы+г л

с - м - кг =1 для четырех неизвестных величин и, V, ы, г можно записать систему трех линейных уравнений

и-2ы = 0, V + 3ы - г = 0, ы +г = 0, (3)

которые могут быть решены с точностью до одной произвольной величины. Зададим и = 1, тогда можно найти решение системы из (3): и =1^ = -2, ы = 1/2, г = -1/2 - и связь (1) принимает вид:

/Та/ — =”1- (4)

/2 V т

Соотношение (4) дает связь между линейными (/), жесткостными (£/), массовыми (т) и частотными (1/Т) характеристиками конструкции. При макетировании это соотношение должно быть сохранено для всех участков ротора, то есть

=Тк/^. (5)

/2 V т Ц \ ті

Здесь индекс «м» соответствует макету. Для масштабного макета ротора характеристики материала соответствуют характеристикам основной конструкции, то есть Ем = Е, 1м =1.

Из требования совпадения собственных частот следует, что Тм = Т.

Если через k обозначить линейный масштабный коэффициент для длин участков k • /м= /, а через - линейный масштабный коэффициент для поперечных размеров макета, то Rl =

= Я1і ■ , Я2 = Я2і ■ , а из (5) следует

связь между этими коэффициентами:

Ьс = Ь2. (6)

Таким образом, для сохранения спектра из-гибных колебаний уменьшение длины участков макета по сравнению с длиной участков ротора в Ь раз должно сопровождаться уменьшением диаметра в Ь2 раз. Заметим, что соотношение (6) дает лучшее, но не полное совпадение частот ротора и макета. У макета, по сравнению с моделируемым ротором, другие частоты продольных и крутильных колебаний, больше отношение длин участков к их диаметру и, как следствие, меньше эффект влияния сдвиговых деформаций и инерции поворота нормальных сечений. Это приводит к различию собственных частот моделируемой конструкции ротора и её макета в высокочастотной области.

Кроме самого ротора, существенными элементами системы электромагнитного подвеса ротора являются электромагнитные подшипники с системой управления ими. Рассмотрим, как связано уменьшение масштабов ротора с параметрами ЭМП и системы управления при условии сохранения для макета частотных характеристик ротора и величины заданного номинального зазора 5 между статором и ротором в ЭМП.

Уравнение, связывающее смещение ротора по одной из координат (например, х) с зазором 5 между ротором и полюсом электромагнита ЭМП, индуктивностью L и током і в обмотке магнита, имеет вид [1]:

М

С 2 х

= F(х,і,Ь, 5)!

Ь • 5

2

2 (5 - х)2

0 Г ~ Nа Ы2/5. При

где М - приведенная масса ротора. Индуктивность Ь пропорциональна произведению N •А, N - число витков обмотки электромагнита ЭМП, А = ah - площадь сечения полюса электромагнита, имеющего вид прямоугольника со сторонами h вдоль оси ротора и а поперек.

Таким образом, при х условии сохранения частотного спектра ротора (5) М уменьшается в Ь5 раз (/ ~ Ь, Я~ к2, М ~ ~ /Я2). При этом условии для макета с 5м = 5 левая и правая части уравнения (7) делятся на Ь5, т.е. в Ь5 раз уменьшается (№а Ы2). Для макета ^ = МЬ, ам = а/її. С учетом этого и изменений вертикального и радиального масштабов получается формула, связывающая отношение числа витков электромагнита ЭМП и токов для масштабного и штатного роторов:

NN =і/(ім Ь), (8)

где №м ,ім - значения для масштабного ротора.

Для подобия динамических характеристик систем управления ЭМП необходимо сохранить постоянные времени (т) обмоток магнитов ЭМП (так как Тм = Т). Для выбранного варианта системы управления расчетное изменение определяется из формул:

т = -

Я,

= Ь, я

Я

1

+ а) N,

С

(9)

Яі ~~2(Ь + аі)№і с2

где R - сопротивление обмотки, ё - диаметр провода обмотки. Из (9) с учетом (8) получается:

№і Ь (hk + а)

' I

N

h + а

і /

(10)

h + а

Л,

і

Изменение длины и диаметра провода обмотки может повлиять на тепловыделение в обмотке, допустимый уровень которого может быть ограничен реальными возможностями те-плосъёма. Потери электрической мощности в единице объема провода обмотки макета, от которых зависит её разогрев, оцениваются соотношением:

Яі і;

2

V,

(ИІ + аі ) №і і2 2

С, Ь а, Н;

2

(h + а) №і2 Яі

2

(11)

(7)

где V, Vм - объем провода обмотки ротора и макета.

2

В этой оценке учтены соотношения (8)—(10), а также принято, что для продольного размера магнитов ротора (Н) и его макета (Нм) справедлива связь Нм = Н/Ь.

Таким образом, получены соотношения, выполнение которых даёт возможность верификации математической модели, разработки способов управления и предварительного исследования на макете основных динамических характеристик гибкого ротора на электромагнитном подвесе. Очевидно, что для макета сложного ротора меньшего масштаба практически невозможен идеальный случай, когда соблюдены количественно критерии подобия по всем параметрам конструкции и условиям эксплуатации. В реальности из-за объективной противоречивости различных критериев подобия часть их остается количественно несогласованной. Поэтому, выполнив согласованные критерии, необходимо отразить с минимальными затратами и потерями в макете те эффекты, которые могут заметно повлиять на динамику моделируемой конструкции.

Определенной проблемой может стать размещение необходимого числа витков обмотки магнитов ЭМП уменьшенного масштаба и обеспечение её требуемой инерционности. Требуемого уменьшения эффективной постоянной времени обмотки (как для натурного ЭМП, так и для макетного ЭМП) можно достигнуть применением усилителя мощности, создающего необходимый для управления ток в обмотке ЭМП [1]. Из соотношения (11) следует, что тепловыделение в обмотке макета при Ь > 1 ниже, чем у штатного ротора, и температурные режимы работы магнитов неидентичны, но это не является серьёзным препятствием для достижения целей макетирования. Неидентичность температурного режима работы ЭМП может быть устранена за счёт подбора теплоизоляции магнитов.

Для ротора с существенно меньшими, чем у штатного, длиной и весом гироскопические силы становятся пренебрежимо малыми, а спектр частот продольных колебаний уходит из рабочего диапазона частот вращения в сторону более высоких частот.

Если отдельными элементами макета будут электромашины, то при выполнении некоторых соотношений подобия могут не выполниться условия точного совпадения значений собственных частот макетного и штатного роторов из-за объективных отличий конструкции ротора электромашины, используемой в макете, и элемента моделируемого ротора. Однако при моделировании динамических режимов выполне-

ние этих условий представляется не строго обязательным для верификации расчётной модели и для разработки и отработки способов управления ЭМП при прохождении зон резонанса (в режимах разгона, выбега, при изменении мощностей, внешних нагрузок и пр.). Для этих целей более важным является сохранение количества критических частот в рабочем диапазоне частот оборотов ротора, успешное прохождение которых - необходимое условие работоспособности роторной машины. Оценку влияния на динамику более слабых эффектов можно проводить с помощью математических моделей.

Главный практически полезный выход исследований на макетах ротора - это верифицированные расчётные коды, элементы технологии и рекомендации по оптимизации конкретной конструкции, а также общие для подобных систем программы экспериментального исследования динамики, принципы построения моделей, методы верификации моделей и идентификации параметров, методы исследования устойчивости вращения, способы управления.

Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-97034-р_поволжье_а).

Список литературы

1. Schweitzer G., Bleuler H., Traxler A. Active magnetic bearings. Basics, Properties and Applications. Vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zurich, 1994. 244 p.

2. Знышев В.В., Кирюшина Е.В., Николаев М.Я. и др. Моделирование динамики вертикального неоднородного гибкого ротора на электромагнитном подвесе // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. 2006. Вып. 1(7). С. 14-19.

3. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. М.: Машиностроение, 1960. 544 с.

4. Шуйский В.П. Расчёт электрических машин: Пер. с нем. Энергия. Ленинградское отделение, 1968. 731 с.

5. Кириллов И.И. Теория турбомашин. Л.: Машиностроение, 1972. 536 с.

6. Трояновский Б.М., Филиппов Г.А., Булкин А.Е. Паровые и газовые турбины атомных электростанций. М.: Энергоатомиздат, 1985. 256 с.

7. Давыдов А.Б., Кобулашвили А.Ш., Шер-стюк А.Н. Расчёт и конструирование турбодетандеров. М.: Машиностроение, 1987. 231 с.

8. Капица П.Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстровращающихся роторов при наличии трения // Журнал технической физики. 1939. Т. IX. Вып. 2. С. 124-147.

9. Брановский М.А., Лисицын И.С., Сивков А.П. Исследование и устранение вибрации турбоагрегатов. М.: Энергия, 1969. 232 c.

10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 10-е изд. М.: Наука, 1987. 430 с.

ROTORDYNAMIC MODELLING OF AN ELECTROMAGNETICALLY SUSPENDED ROTOR USING SCALED-DOWN PROTOTYPES

V. V. Znyshev, A.A. Kiryushin, M. Ya. Nikolaev, V.F. Ovchinnikov

The problem of creating a scaled-down prototype of a vertical nonuniform flexible rotor with active magnetic bearings is considered. Recommendations and relations are given which make it possible to use the prototype for modelling basic rotor dynamic parameters.

Keywords: active magnetic bearings, control, similarity relation, dynamics, verification, rotor, mathematical model, prototype.