CC BY
42Логические исследования 2019. Т. 25. № 2. С. 94-113 УДК 510.64
Logical Investigations 2019, Vol. 25, No. 2, pp. 94-113 DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-2-94-113
Философия и логика
Philosophy and logic
А.В. КоньковА
Воображаемая логика-2 Н.А. Васильева как силлогистическая теория
Антонина Викторовна Конькова МГУ им. М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. Институт философии РАН.
Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д. 12, стр. 1. E-mail: konkova@philos.msu.ru
Аннотация: Воображаемая (неаристотелева) логика Н.А. Васильева, одного из основоположников современной неклассической логики, является его самой известной логической системой. Дедуктивная система, предложенная им, представляет собой силлогистику особого типа, в языке которой вместе с формами утвердительных и отрицательных суждений содержатся формы противоречивых (индифферентных) суждений. Последние представляют собой суждения нового качества и содержат связку «есть и не есть одновременно». Статья посвящена изложению результатов исследования одного из вариантов Воображаемой логики Николая Александровича Васильева. Этот вариант Воображаемой логики отличается не только от традиционной силлогистики, но и от основной версии. Здесь с каждым термином категорического суждения связывается не множество индивидов, а совокупность признаков, а силлогистические константы рассматриваются как обозначающие интенсиональные отношения между понятиями. Исследование предполагало рассмотрение этого варианта Воображаемой логики как силлогистической теории и производилось на базе системы, построенной для данной логики В.И. Маркиным и Д.В. Зайцевым. В статье кратко изложена система Воображаемой логики-2, доказаны: законы тождества, законы противоположностей, законы подчинения, законы обращения и законы исключенного четвертого, принимаемые в этой логике. Далее последовательно рассмотрены все четыре фигуры силлогизмов. В каждой фигуре рассмотрены все возможные комбинации посылок (36 комбинаций, для каждой фигуры) со всеми возможными заключениями (шесть возможных заключений, для каждой комбинации посылок). Произведено доказательство правильных силлогизмов каждой фигуры, а также приведены примеры возможных контрмоделей для опровержения всех неправильных модусов. Результатом работы является выделение законов данной силлогистической теории, а также намечено дальнейшее направление исследования, ставится вопрос о возможности формулирования общих правил силлогизма данного варианта Воображаемой логики.
Ключевые слова: Воображаемая логика, логика Н.А. Васильева, неклассическая логика, многозначная логика
(¡5 Конькова А.В.
Для цитирования: Конькова А.В. Воображаемая логика-2 Н.А. Васильева как силлогистическая теория // Логические исследования / Logical Investigations. 2019. T. 25. № 2. С. 94-113. DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-2-94-113
Введение
В своих трудах [Васильев, 1989] после изложения основного варианта Воображаемой логики, реконструкция идей которой была произведена В.И. Маркиным и Т.П. Костюк [Костюк, Маркин, 1998], [Markin, 2013], ставит вопрос о возможности и других, альтернативных вариантов его логики. Одним из таких вариантов является Воображаемая логика-2 или логика «понятий», где с субъектами и предикатами атрибутивных высказываний можно связывать не множества объектов, а совокупности признаков, т.е. содержания понятий. В данной интерпретации, как и в основном варианте Воображаемой логики используются суждения трех качеств: утвердительные, с абсолютным отрицанием (отрицательные) и с обычным отрицанием (индифферентные). Сам Васильев интерпретирует следующим образом:
(1) «Все S есть P» — все признаки, составляющие предикат, утверждаются и в субъекте.
(2) «Все S не есть P» — все признаки, составляющие предикат, отрицаются в субъекте.
(3) «Все S есть и не есть P» — некоторые признаки, составляющие предикат, утверждаются в субъекте, а некоторые отрицаются.
Важным моментом является то, что Васильев при изложении наброска этого варианта Воображаемой логики пишет только об интерпретации общих суждений [Васильев, 1989], но ничего не говорит о частных. При этом в основном варианте логики он сам же использует частные суждения, так как без них невозможно построить развернутую силлогистику. Поэтому В.И. Маркин и Д.В. Зайцев [Зайцев, Маркин, 1999] при формулировке точной формальной семантики, эксплицирующей указанную трактовку атрибутивных суждений в альтернативном варианте Воображаемой логики и при построении ими исчисления IL2, предлагают ввести в язык не только общие, но и неопределенно-частные суждения. Все это позволяет в языке Воображаемой логики построить логическую теорию с иными законами, которые не имели место ни в Традиционной силлогистике, ни в основном варианте Воображаемой логики.
1. Семантика 1X2
В.И. Маркиным и Д.В. Зайцевым [Зайцев, Маркин, 1999], [Зайцев, 1998] предложена следующая семантика для 1X2:
Определение 1. X — множество литералов (положительных и отрицательных признаков): [р\, ~ р1,р2, ~ Р2,Р3, ~ Рз,...}.
Определение 2. Понятие есть подмножество а множества X, которое удовлетворяет условиям: а = 0; не существует рг такого, что рг € а и ~ рг € а.
Определение 3. М — множество всех понятий. На множестве М определена функция *, сопоставляющая каждому понятию а противоположное понятие а*: рг € а* ^^ ~ рг € а; и ~ рг € а* ^^ рг € а. Функция * удовлетворяет следующим условиям: а П а* = 0; а** = а; а С в ^ а* С в*.
Определение 4. Интерпретирующая функция й — функция приписывания значений терминам: ((Р) € М, т.е. она сопоставляет каждому термину некоторое понятие. Оценка формул связана с (.
Определение 5. Для обозначения общих суждений будем использовать букву А, для обозначения частных — букву I, утвердительные суждения обозначаются с использованием нижнего индекса 1, отрицательные — индекса 2, индифферентные — индекса 3.
Как уже отмечено, в данном варианте Воображаемой логики предложена интерпретация для общих табл. 1 и частных табл. 2 суждений.
Таблица 1
Интерпретация общих высказываний в 1Ь2
| А^Р |
| А3БР
<*= 1 ^ ((Р) с ((5) л= 1 ^ (1(Р)* с (1(Б)
<*=1 ^ ((Р) П ((Б) = 0 и ((Р)* П ((5) = 0;
Таблица 2
Интерпретация неопределенно-частных высказываний в 1Ь2
| Д&Р |<*=1 ^ ((Р)* П ((5) = 0
| /2^Р |<*= 1 ^ ((Р) П ((5) = 0
| /з^Р |<*= 1 ^ ((р)\((5) = 0 и ((Р)*\((5) = 0;
Для сложных формул условия истинности стандартные. Формула общезначима, если она истинна (принимает значение «1») при любой интерпретации й.
2. Аксиоматизация 1X2
Аксиоматизация исчисления табл. 3 представлена в духе Я. Лукасевича, на основе классического пропозиционального исчисления.
Таблица 3
Аксиоматизация 1X2
АО. Схемы аксиом Классического исчисления высказываний.
А1. (АгИР&АгБМ) э АЪБР А10. -(А1БР&12БР)
А2. (АХМР&А2БМ) э А2БР А11. -(А2БР&11БР)
А3. (.А2МР&А1 БМ) э А2БР А12. 11БР э НРБ
А4. (А2МР&А2БМ) э А1БР А13. ЬБР э ЬРБ
А5. (А1МРШ1БМ) э 11БР А14. А1БР э 11БР
А6. (А1МРШ2БМ) э 12БР А15. А2БР э 12БР
А7. (А2МРШ1БМ) э 12БР А16. А3БР = -ЬБР&-12БР
А8. (А2МРШ2БМ) э 11БР А17. 13БР = -А1БР&-А2БР
А9. А1ББ
Единственное правило вывода — - тойчв ропвпв.
Полнота и непротиворечивость системы доказана В.И. Маркиным и Д.В. Зайцевым [Зайцев, Маркин, 1999].
3. Законы 1X2
«При построении силлогистической теории как дедуктивной системы обычно выделяют следующие наиболее фундаментальные законы и принципы: законы тождества (или их ослабления), законы, основанные на логических отношениях между суждениями с одинаковыми субъектами и одинаковыми предикатами, принципы обращения суждений, правильные модусы четырех фигур простого категорического силлогизма» [Парфенова, 2019].
Следуя этой схеме, были выделены и доказаны следующие законы в 1X2:
1. Законы тождества.
А1ББ и ДББ. Закон тождества для общих высказываний постулируется аксиомой (А9), для частных же легко выводится из (А9) и (А14).
2. Законы подчинения.
Законы подчинения для утвердительных и отрицательных высказываний А^Р Э Д5Р; А25Р Э /25Р являются аксиомами (А14) и (А15). Закон подчинения для индифферентных высказываний А35Р Э /35Р был доказан нами, приведем доказательство.
Доказательство.
1. A3SP = —IiSP&—/2 SP (A16)
2. IiSP D —A3SP (1; ЛВ)
3. I2SP D —A3SP (1; ЛВ)
4. AiSP D IiSP (A14)
5. A2SP D /2SP (A15)
6. /3 SP = —AiSP&—A2SP (A17)
7. A3SP D —AiSP (2,4; ЛВ)
8. A3SP D —A2SP (3,5; ЛВ)
9. A3SP D /3SP (6,7,8; ЛВ
3. Законы противоположностей.
Законы противоположностей легко доказываются с помощью аксиом (А10), (А11), (А14), (А16) и (А17). Так, в IL2 доказуемы следующие законы противоположностей: AiSP D —/2SP; AiSP D — /3SP; A2SP D — IiSP; A2SP D — /3SP; A3SP D — IiSP; A3SP D —I2SP. Кроме того, законы противоположностей имеют место и для общих высказываний разных качеств: AiSP D —A2SP; AiSP D —A3SP и A2SP D —A3SP. Приведем здесь наши доказательства этих законов:
Доказательство.
1. —(Ai SP&/2SP) (A10)
2. A2SP D /2SP (A15)
3. —(AiSP&A2SP) (1,2; ЛВ)
4. Ai SP D —A2SP (3)
Доказательство.
1. Ai SP D IiSP (A14)
2. A3 SP = —IiSP&—/2SP (A16)
3. Ai SP D —A3SP (1,2; ЛВ)
Доказательство для А2БР э -А3БР аналогично доказательству А1БР э -А3БР.
4. Законы исключенного четвертого.
В данном варианте реконструкции Воображаемой логики-2 принимается закон исключенного четвертого в следующем виде: А1БР V А2БР V 1зБР. Он вытекает непосредственно из аксиомы (А17). В данном законе все три члена дизъюнкции попарно несовместимы.
Из аксиомы (А16) непосредственно выводится другой похожий по форме закон: 11БР V 12БР V А3БР. Но здесь первые два дизъюнкта совместимы по истинности.
Посредством законов подчинения из этих теорем выводятся более слабые утверждения: А1БР V 12БР V 13БР, 11БР V А2БР V 13БР и 11БР V 12БР V 1зБР. В них тоже имеются пары совместимых по истинности дизъюнктов.
5. Законы обращения.
Принимается обращение утвердительных и абсолютно отрицательных неопределенно-частных высказываний 11 БР э 11РБ и 12БР э 12РБ, они являются аксиомами (А12) и (А13) соответственно. Принимаются обращения с ограничением для утвердительных общих высказываний А1БР э 11РБ и абсолютно отрицательных общих высказываний А2БР э 12РБ.
Доказательство.
А1БР э 11Р Б
1. А1БР э 11БР (А14)
2. ЬБР э 11РБ (А11)
3. А1БР э 11РБ (1,2; ЛВ)
Доказательство для абсолютно отрицательных общих высказываний А2БР э 12РБ проводится аналогично с помощью аксиом (А15) и (А13). В данном варианте силлогистики принимается чистое обращение индифферентных общих высказываний А3БР э А3РБ.
Доказательство.
A3 SP р A3 PS
1. A3 SP = -I1SP&-I2SP (A16)
2. I1PS р I1SP (A12)
3. I2PS р I2SP (A13)
4. A3 PS = -I1PS&-I2PS (l,2,3; ЛВ)
5. A3 SP Р A3 PS (l,2,3,4; ЛВ)
Что касается частных индифферентных суждений, то здесь они не обращаются.
4. Силлогизмы IL2
В системе IL2 были рассмотрены все возможные 864 модуса силлогизмов для всех четырех фигур [Парфенова, 2019]. Сам Н.А. Васильев [Васильев, 1989, с. 72-76] следовал Аристотелю и выделял только три фигуры, но для построения полной силлогистической системы [Бочаров, Маркин, 2010, с. 13-61] необходимо рассматривать все четыре фигуры, поэтому IV фигура также была рассмотрена. В каждой фигуре было рассмотрено 36 возможных комбинаций посылок с шестью возможными заключениями для каждой комбинации посылок. В ходе проверки были выявлены и доказаны правильные модусы для каждой фигуры и приведены контрмодели для всех остальных модусов.
I Фигура
При рассмотрении первой фигуры были выявлены и доказаны следующие правильные силлогизмы: данные силлогизмы являются аксиомами (A1), (A2), (A3) и (A4) рассматриваемого исчисления: (A1MP&A1SM) р A1SP; (A1MP&A2SM) р A2SP; (A2MP&AiSM) р A2SP; (A2MP&A2SM) р A\SP. Интересным среди них является модус с двумя отрицательными посылками, который в данном варианте логики дает утвердительное заключение.
Кроме этих четырех модусов аксиомами исчисления являются и модусы с меньшей частной посылкой таких же качеств (A5), (A6), (A7) и (A8) соответственно. Кроме того, они являются правильными в силу законов подчинения для высказываний.
Также к ним добавляются еще четыре слабых правильных модуса с частным заключением. Интересно, что в данном исчислении правильными оказываются модусы с индифферентными посылками. Два из них
Н.А. Васильев [Васильев, 1989, с. 74] выделяет сам и дает им название Mindalin (A3MP&A1 SM) D A3SP и Kindirinp (A3MP&I1SM) D I3SP, в них большая посылка общеиндифферентная, а меньшая посылка обще-и частно- утвердительная.
Привлекают внимание силлогизмы с большей посылкой индифферентной, а меньшей — отрицательной (A3MP&A2SM) D A3SP и (A3MP&I2SM) D I3SP.
Таким образом, в данном варианте Воображаемой логики оказываются правильными некоторые модусы с обеими отрицательными посылками (сильным и слабым отрицанием). Представим доказательство:
Доказательство.
1. (A1SM&I1PS) D I1PM (A5)
2. (AiSM&I2PS) D I2PM (A6)
3. IiPM D IiMP (A12)
4. IlSP D I1PS (A12)
5. (IiSP&A1SM) D IiMP (1,3,4; ЛВ)
6. I2SP D I2PS (А13)
7. I2PM D I2MP (А13)
8. (I2SP&AiSM) D I2MP (2,6,7; ЛВ)
9. (-IiMP&A1SM) D -IiSP (5; ЛВ)
10. (-I2MP&AiSM) D -I2SP (8; ЛВ)
11. (-IiMP&—I2MP&AiSM) D (-IiSP&-I2SP) (9,10; ЛВ)
12. A3SP = (-IiSP&-I2SP) (А16)
13. A3MP = (-IiMP&-I2MP) (А16)
14. (A3MP&AiSM) D A3SP (11,12,13; ЛВ
азательство.
1. (AiSP&I2MS) D I2MP (A6)
2. I2SM D I2MS (A13)
3. (AiSP&I2SM) D I2MP (1,2; ЛВ)
4. (-I2MP&I2SM) D -AiSP (3; ЛВ)
5. (A2SP&I2MS) D IiMP (А8)
6. (A2SP&I2SM) D IiMP (5,2; ЛВ)
7. (-IiMP&I2SM) D -A2SP (6; ЛВ)
8. (-IiMP&-I2MP&I2SM) D (-AiSP&-A2SP) (4,7; ЛВ)
9. A3MP = (-IiMP&-I2MP) (А16)
10. I3SP = (-AiSP&-A2SP) (17)
11. (A3MP&I2SM) D I3SP (8,9,10; ЛВ)
Доказательство для (А3МР&/1БМ) э 1зБР и (А3МР&А2БМ) э А3БР проводится аналогичным образом, с помощью замены аксиом. Также к этим модусам добавляется еще два слабых с частным заключением.
Как мы уже отмечали выше, для всех возможных модусов, которые оказываются неправильными в данном варианте Воображаемой логики, нами подобраны контрмодели. Для комбинаций посылок А1МР&А3БМ и А1МР&/3БМ; А2МР &А3БМ и А2МР&/3БМ; А3МР&А3БМ и А3МР&/3БМ попарно можно подобрать общие контрмодели, в которых обе посылки истинны, а заключения 1пБР и АпБР ложны.
Контрмодели для А1МР&А3БМ и А1МР&/3БМ. Приведем сначала контрмодели, где посылки истинны, но ложны заключения 11БР и 12БР табл. 4, а затем контрмодель, где ложно заключение 13БР табл. 5.
Таблица 4
для 1\бр и /2бр
й(р) = {р1,р2}
й(р )* = vi, ~ р2}
й(м) = {Р1,Р2,Р3}
й(м )* = {^ р1, ~ р2, ~ р3}
й(б) = {РЪ ~ Р2}
Таблица 5
для /3бр
й(р) = {Р1,Р2}
й(р )* = р1, ~ Р2}
й(м) = {Р1,Р2,Р3}
й(м )* = {^ р1, ~ р2, ~ Рз}
й(б) = {Р1,Р2, ~ Рз}
Выполняем условия истинности посылок й(Р) С й(М) и (й(М) П й(Б) = 0 и й(М)*Пй(Б) = 0) и (й(М)\й(Б) = 0 и й(М)*\й(Б) = 0) табл. 4, но й(Р) П й(Б) = 0 и й(Р)* П й(Б) = 0, так как й(Р) П й(Б) = {Р1} и й(Р)* Пй(Б) = Р2}, значит, заключения 11БР и 12БР ложны. Ложным оказывается и заключение 13БР табл. 5, здесь при истинности посылок в заключении й(Р)\й(Б) = 0, а значит 113БР\л = 0.
Контрмодели для А3МР&А3БМ и А3МР&/3БМ. Аналогично первому случаю сначала укажем контрмодель, где ложны заключения 11БР и 12БР табл. 6, а затем контрмодель, где ложно заключение 13БР табл. 7.
Таблица 6
для /2бр и /3 бр
й(р) = {Р1,Р2}
й(р )* = р1, ~ Р2}
й(м) = {р1, ~ Р2,Рз}
й(м )* = р1, р2, ~ Р3}
й(б) = {р1,р2,р4}
Таблица 7
для /1бр
й(р ) = {Р1, ~ Р2}
й(р )* = р1,р2}
й(м) = {Р1,Р2,Р3}
й(м )* = {^ р1, ~ р2, ~ Рз}
й(б) = р1,р3}
В представленной контрмодели посылки истинны, а вот заключения, так как й(Р) П й(Б) = {р1,р2} и й(Р)*\й(Б) = 0, ложны. Ложным оказы-
вается и заключение 1\БР, так как при истинности посылок в заключении ¿(Р)* П ¿(Б) = рх}.
Контрмодели для А2МР&А3БМ и А2МР&13БМ подбираются аналогичным способом.
В I Фигуре нет ни одного правильного модуса, где большая посылка была бы частной, а меньшая — общей. Для силлогизмов с посылками 1хМР&АхБМ, 12МР&АхБМ, 13МР&АхБМ укажем общую контрмодель, в которой обе посылки истинны, но ложны формулы 1\БР и 12БР табл. 8, а затем 13БР табл. 9.
Таблица 8 Таблица 9
для 1\бр и 12бр для 1збр
¿(р) = {Р1,Р2> ¿(р) = {Р1,Р2>
¿(рГ = Р1, ~ Р2} ¿(р)* = Р1, ~ Р2}
¿(м) = {рз} ¿(м) = {рз}
¿(б) = {Р3,Р1, ~ Р2} ¿(б) = {Р3,Р1,Р2}
В этих моделях соблюдены условия истинности посылок, но так как ¿(Р) П ¿(Б) = {рх} и ¿(Р)* П ¿(Б) = р2}, то и заключения ЬБР и 12БР ложны. Заключение 13БР также оказывается ложным при истинных посылках.
Для оставшихся комбинаций посылок подбор контрмоделей проводится аналогичным образом.
Мы обосновали следующее метаутверждение: 1. 1кМР&АтБМ ¥ 1пБР, где к, т, п - произвольные индексы из {1,2,3}.
Рассуждая от противного, допустим, что для некоторых к, т, п верно:
+2. 1к МР&1тБМ = 1пБР. В 112 справедливы законы подчинения, поэтому:
3. АтБМ = 1тБМ.
Из (2) и (3), в силу свойств классического отношения следования, вытекает:
4. 1к МР&АтБМ = 1пБР. Утверждения (1) и (4) противоречат друг другу.
Итак, мы показали, что из двух частных посылок в силлогизмах I фигуры не следует никакое заключение вида 1пБР. А в силу законов подчинения из них не следует заключение вида АпБР.
II Фигура
При рассмотрении второй фигуры, аналогично первой фигуре, были выделены и доказаны правильные модусы и приведены контрмодели для неправильных.
К числу правильных модусов II фигуры относятся: (А\РМ&А3БМ) Э А3БР, (А2РМ&А3БМ) Э АзБР, (А3РМ&А1БМ) Э АзБР, (А3РМ&А2БМ) Э А3БР, к ним добавляются еще четыре модуса со слабым заключением, а также еще 4: (А\РМ&13БМ) Э 13БР, (А2РМ&13БМ) Э 13БР, (А3РМШ\БМ) Э 13БР, (А3МР&12БМ) Э 13БР, их доказательство проводится аналогичным образом с помощью закона подчинения для индифферентных высказываний А3БМ Э 13БР.
Доказательство.
(1) (А1РМ&А3БМ) Э А3БР
1. А3БМ = -ЬБМ&-12 БМ (Л1б)
2. 1\БМ Э -А3БМ (1; лв)
3. ЬБМ э -А3БМ (1; лв)
4. (А\РМШгБР) Э 1\БМ (Л5)
5. (А\РМ&А3БМ) Э -1\БР (4,2; ЛВ)
б. (А\РМ&12БР) Э 12БМ (Лб)
7. (А\РМ&А3БМ) Э -12БР (б,3; ЛВ)
8. А3БР = -11БР&-12БР (Л1б)
9. (А\РМ&А3БМ) Э А3БР (5,7,8; ЛВ
(2) (А2РМ&А3БМ) э А3БР доказывается аналогично; вместо аксиом (А5) и (Лб) используются (А7) и (А8).
Доказательство.
(3) (А3РМ&А1БМ) Э А3БР
1. (А1БМ&11РБ) Э 1\РМ (Л5)
2. (А\БМ&12РБ) Э 12РМ (Лб)
3. IIБ Р Э 1\РБ (Л12)
4. (1\БР&А1БМ) Э 1\РМ (1,3; ЛВ
5. 12РБ Э 12БР (А13)
б. (12БР&А1БМ) э 12РМ (2,5; ЛВ
7. (-11РМ&А1БМ) э -ЬБР (4; ЛВ)
8. (-12РМ&А1БМ) э -12БР (б; ЛВ)
9. (-11РМ&-12РМ&А1 БМ) э (-11БР&-12БР) (7,8; ЛВ
10. А3БР = (-11БР&-12БР) (А1б)
11. А3РМ = (-1хРМ&-12РМ) (А16)
12. (А3РМ&АхБМ) э А3БР (9,10,11; ЛВ)
(4) (А3РМ&А2БМ) э А3БР доказывается аналогично; вместо аксиом (А5) и (А6) используются (А7) и (А8).
Приведем попарно общие контрмодели для модусов с обеими общими посылками и модусов, где меньшая посылка частная.
Контрмодели для (АхРМ&АхБМ) и (АхРМБМ) табл. 10 и табл. 11. Контрмодели для (АхРМ&А2БМ) и (АхРМ&12БМ) табл. 12 и табл. 13.
Таблица 10 Таблица 11
для 11бр и 11бр для 1збр
¿(р) = {рър2,рз} ¿(р) = {р1,р2}
¿(р )* = {- р1, - р2, - рз} ¿(р )* = {- р1, - р2}
¿(м) = {р1,р2} ¿(м) = {р1,р2}
¿(м )* = {- р1, - р2} ¿(м )* = {- р1, - р2}
¿(б) = {р1,р2, - рз} ¿(б) = {р1,р2,рз}
Таблица 12 Таблица 13
для 11бр и 13бр для рбр
¿(р) = {р1,р2} ¿(р) = {р1,р2}
¿(р)* = {- р1, - р2} ¿(р)* = {- р1, - р2}
¿(м) = {р1} ¿(м) = {р1}
¿(м)* = {- р1} ¿(м)* = {-р1}
¿(б) = {- р1, - р2 } ¿(б) = {-гр1 ,тр2 }
Несложно подобрать контрмодели и для остальных комбинаций посылок: А2РМ&А\БМ и А2РМ&1\БМ; А2РМ&А2БМ и А2РМ&12БМ; А3РМ&А3БМ и А3РМ&13БМ.
Во второй фигуре, как и в первой, нет правильных силлогизмов с большей частной посылкой. В комбинациях посылок: 1\РМ&А\БМ, 1хРМ&А2БМ, 1хРМ&А3БМ, 12РМ&АхБМ, 12РМ&А2БМ и 12РМ&А3БМ большие посылки 1хРМ и 12РМ в силу законов обращения (А12) и (А13) эквивалентны в 112 формулам 1хМР и 12МР. Поэтому данные комбинации эквивалентны следующим: 12РМ&А1БМ, 12РМ&А2БМ, 12РМ&А3БМ, при рассмотрении первой фигуры мы показали, что правильные заключения из них невыводимы. Для комбинаций посылок легко привести контрмодели аналогично тому, как мы делали это раньше.
Обоснование тезиса 1кРМ&1тБМ ¥ 1пБР совершенно аналогично тому, которое было представлено выше для случая двух частных посылок в I фигуре. Таким образом, из двух частных посылок в силлогизмах II фигуры не следует никакое заключение вида 1пБР. А в силу законов подчинения из них не следует заключение вида АпБР.
III Фигура
При рассмотрении третьей фигуры как и в прошлых двух был проведен анализ всех возможных вариаций модусов, вследствие чего выявлены и доказаны правильные силлогизмы, и представлены опровержения для тех комбинаций посылок, что не дают правильного заключения.
Нами доказано, что в данной фигуре правильными оказываются следующие силлогизмы:
(AxMP&AxMS) D hSP; (AiMP&A2MS) D I2SP; (A2MP&A1MS) D I2SP; (A2MP&A2MS) D I1SP; (A3MP&A1MS) D I3SP; (A3MP&A1MS) D I1SP.
Доказательство.
(1) (AiMP&A1MS) P Ii SP
1. (AiMP&I1SM) p I1SP (A5)
2. Ii MS P IiSM (A12)
3. AiMS P Ii MS (A14)
4. (AiMP&AiMS) P Ii SP (1,2,3)
(2) (AiMP&A2MS) P I2SP
1. (AiMP&I2SM) P I2SP (A6)
2. I2MS P I2SM (A13)
3. A2MS P I2MS (A15)
4. (AiMP&A2MS) P I2SP (1,2,3)
Силлогизмы (3) (A2MP&A1MS) D I2SP и (4) (A2MP&A2MS) D I1SP легко доказать с использованием (А7) и (А8) соответственно.
Доказательство.
(5) (A3MP&AiMS) D I3SP
1. (AiSP&IiMS) D IiMP (A5)
2. (A2SP&IiMS) D I2MP (A7)
3. AiMS D Ii MS (A14)
4. (-IiMP&AiMS) D -AiSP (1,3; ЛВ)
5. (-I2MP&A1MS) D -A2SP (2,3; ЛВ)
6. (-I1MP&-I2MP&A1MS) D (-A1SP&-A2SP) (4,5; ЛВ)
7. A3MP = (-IiMP &-I2MP) (A16)
8. I3SP = (-A1SP&-A2SP) (A17)
9. (A3MP&A1MS) D I3SP (6,7,8; ЛВ
Силлогизм (6) (А3МРкА2МБ) э 13БР доказывается аналогичным образом с использованием (А6), (А8) и (А15).
К ним добавляются еще четыре силлогизма благодаря применению закона обращения для меньшей посылки в аксиомах (А5), (А6), (А7) и (А8): (А\МР&1\МБ) э 1\БР; (А1МР&12МБ) э 12БР; (А2МРШ1МБ) э ЬБР; (А2МР&12МБ) э 1хБР. А также еще два модуса благодаря применению сначала закона обращения, а затем закона подчинения для меньшей посылки: (А3МР&12МБ) э 13БР и (А3МРк^МБ) э ЬБР.
Кроме того, в III Фигуре появляется шесть правильных модусов с большей частной посылкой:
(1\МР&А\МБ) э 1\БР; (1хМРкА2МБ) э ЬБР; (ЬМРкАхМБ) э 12БР; (12МР&А2МБ) э 1\БР; (13МР&А1МБ) э 13БР и (13МР&А2МБ) э 13БР.
Доказательство.
(1) (11МР&А1МЯ) Э 1х ЯР
1. (А1 МБ&11 РМ) Э 11РЯ (А5)
2. 11 МР Э 11 РМ (А12)
3. 11РЯ Э Р ЯР (А12)
4. (11 МР&А1МЯ) Э 11 ЯР (1,2,3)
(2) (Р МР&А2МЯ) Э 12 ЯР
1. (А2МЯЫ1РМ) Э 12 Р Я (А7)
2. 11 МР Э 11 РМ (А12)
3. 12 РЯ Э 12 ЯР (А13)
4. (11 МР&А2МЯ) Э 12 ЯР (1,2,3)
(ЬМР&АгМБ) э 12БР и (12МР&А2МБ) э 1\БР доказываются по аналогии с использованием (А6) и (А8).
Из остальных трех комбинаций посылок АхМР&А3МБ, А2МР&А3МБ и А3МР&А3МБ нельзя вывести нужного заключения.
Чтобы обосновать это утверждение, отметим, что эти комбинации, в силу имеющегося в 112 закона обращения (А3БР = А3РБ), эквивалентны следующим: (АхМР&А3БМ), (А2МР&А3БМ) и (А3МР&А3БМ). А для последних трех комбинаций нужные контрмодели с истинными посылками и ложными заключениями вида 1пБР уже построены при рассмотрении I фигуры. В силу законов подчинения АпБР э 1пБР эти комбинации посылок тоже дают ложное заключение.
IV Фигура
Напомним, что рассмотрение IV фигуры является обязательным для построения полной силлогистической теории. Были выявлены восемь правильных силлогизмов с обеими общими посылками, два индифферентных модуса с меньшей частной посылкой: (А3РМ&11МБ) э 13БР и (А3РМ&12МБ) э 13БР, а также четыре модуса в большей частной посылкой:
Силлогизмы: (ЛгРМ&ЛгМБ) Э 1гБР; (ЛгРМ&Л2МБ) Э ЬБР; (А2РМ&ЛгМБ) э 12БР; (Л2РМ&Л2МБ) э 1гБР легко доказуемы из силлогизмов I фигуры с помощью аксиом (А12), (А13) и (А14). Из них, в свою очередь с помощью закона подчинения доказуемы силлогизмы с большей частной посылкой: (1гРМ&ЛгМБ) Э 1гБР; (12РМ&ЛгМБ) Э 12БР; (1гРМ&Л2МБ) Э 12БР; (12РМ&Л2МБ) Э 1гБР. Кроме того, в I фигуре доказуемы силлогизмы с двумя общими посылками, где меньшая является индифферентной: (ЛгРМ&Л3МБ) Э Л3БР; (Л2РМ&Л3МБ) Э Л3БР. Приведем доказательство:
Доказательство.
(5)(ЛгРМ&Л3МБ) Э Л3БР
1. (ЛгРМ&1гБР) Э 1\БМ (А5)
2. (ЛгРМ&12БР) Э 1гБМ (А6)
3. 11БМ Э 1гМБ (А12)
4. 12БМ э 12МБ (А12)
5. (ЛгРМ&1гБР) Э 1гМБ (1,3)
6. (ЛгРМ&12БР) Э 12МБ (2,4)
7. (ЛгРМ&-1гМБ) Э -1гБР (5; ЛВ)
8. (ЛгРМ&-12МБ) Э -12БР (б; ЛВ)
9. (ЛгРМ&-1гМБ&-12МБ) Э (-ЬБРк-ЬБР) (7,8; ЛВ)
10. Л3БР = (-ЬБРк-ЬБР) (А16)
11. Л3РМ = (-1гРМ &-12РМ) (А16)
12. (ЛгРМ&Л3МБ) Э Л3БР (9,10,11; ЛВ
Комбинация (Л2РМ&Л3МБ) Э Л3БР доказывается аналогично с помощью замены аксиом (А5) и (А6) на (А7) и (А8) и также дает заключение Л3БР.
Силлогизмы: (Л3РМ&ЛгМБ) Э 13БР; (Л3РМ&1\МБ) Э 13БР получаются из силлогизмов МтёаИп (Л3МР&ЛгБМ) Э Л3БР и Ктётпр (Л3МР&1гБМ) Э 13БР I Фигуры с помощью закона обращения для общих индифферентных высказываний, а также законов подчинения и обращения. Силлогизмы (Л3РМ&Л2МБ) Э 13БР и (Л3РМШ2МБ) Э 13БР доказываются аналогично.
Из комбинации посылок с двумя индифферентными суждениями нельзя получить правильный силлогизм. Ранее в I фигуре мы обосновали невозможность правильного модуса из комбинации посылок Л3МР&Л3БМ,
так как эта комбинация посылок в силу закона обращения для индифферентных высказываний эквивалента А3РМ&А3МБ, то и из этой комбинации посылок нельзя вывести правильное заключение. Комбинация посылок А3РМк13МБ в свою очередь эквивалентна А3МРк13БМ первой фигуры, а 13РМкА3МБ эквивалентна 13МРкА3БМ благодаря законам обращения и подчинения для индифферентных высказываний, а значит тоже не дают правильного заключения. Из комбинаций посылок АхРМк1хМБ, АхРМк12МБ, АхРМк13МБ, А2РМк1хМБ, А2РМк12МБ, А2РМк13МБ и А3РМк13МБ нельзя вывести заключение вида АпБР и 1пБР. Также не дают правильного заключения и комбинации посылок 1хРМкА3МБ, 12РМкА3МБ, 13РМкАхМБ, 13РМкА2МБ.
5. Заключение
В статье мы воспроизвели наше доказательство законов, принимаемых в данном варианте Воображаемой логики, показали, как опровергаются неправильные силлогизмы и доказали следующие правильные [Парфенова, 2019]:
В I фигуре 12 правильных силлогизмов.
1. (АхМРкАхБМ) э АхБР 7.
2. (АхМР&А2БМ) э А2БР 8.
3. (А3МРкАхБМ) э А3БР 9.
4. (АхМР&1хБМ) э 1хБР 10.
5. (АхМРШ2БМ) э 12БР 11.
6. (А2МР&1хБМ) э 12БР 12.
(А2МР&А2БМ) э Ах БР (А2МРкАхБМ) э А2БР (А3МР&А2БМ) э А3БР (А2МРкЬБМ) э 12БР (А3МР&1хБМ) э 13БР (А3МРкЬБМ) э 13БР
Во II фигуре 12 правильных силлогизмов.
1. (АхРМ&А3БМ) э А3БР 7.
2. (А3РМкАхБМ) э А3БР 8.
3. (АхРМ&А3БМ) э 13БР 9.
4. (А3РМкАхБМ) э 13БР 10.
5. (АхРМШ3БМ) э 13БР 11.
6. (А3РМ&1хБМ) э 13БР 12.
(А2РМ&А3БМ) э А3БР (А3РМ&А2БМ) э А3БР (А2РМ&А3БМ) э 13БР (А3РМ&А2БМ) э 13БР (А2РМШ3БМ) э 13БР (А3РМШ2БМ) э 13БР
В III фигуре 18 правильных силлогизмов.
1. (АхМРкАхМБ) э 1хБР 10.
2. (АхМР&А2МБ) э 12БР 11.
3. (А2МРкАхМБ) э 12БР 12.
4. (АхМР&1хМБ) э 1хБР 13.
(А2МР&А2МБ) э 1хБР (А3МРкАхМБ) э 13БР (А3МР&А2МБ) э 13БР (А2МРкЬМБ) э 1хБР
5. (AxMP&I2MS) D I2SP 14. (A3MP&hMS) D I3SP
6. (A2MPkIiMS) D I2SP 15. (A3MP&I2MS) D I3SP
7. (hMPkAiMS) D I1SP 16. (I2MP&A2MS) D I1SP
8. (hMP&A2MS) D I2SP 17. (I3MPkAiMS) D I3SP
9. (I2MPkAiMS) D I2SP 18. (I3MP&A2MS) D I3SP
В IV фигуре 14 правильных силлогизмов.
1. (AxPMkAiMS) D IiSP 5. (A2PM&A2MS) D I1SP
2. (AiPM&A2MS) D I2SP 6. (A2PMkAiMS) D I2SP
3. (A3PMkAiMS) D I3SP 7. (A3PM&A2MS) D I3SP
4. (A2PM&A3MS) D A3SP 8. (AiPM&A3MS) D A3SP 9. (A3PMkIiMS) D I3SP 10. (A3PM&I2MS) D I3SP
11. (IiPM kAiMS) D Ii SP 12. (I2PM&A2MS) D Ii SP 13. (IiPM&A2MS) D I2SP 14. (I2PMkAiMS) D I2SP
В дальнейшем предполагается сформулировать по аналогии с традиционной силлогистикой такую систему правил, которой бы удовлетворял каждый правильный силлогизм Воображаемой логики-2, а любой неправильный в этой теории силлогизм не удовлетворял бы по крайней мере одному из этих правил.
Литература
Бочаров, Маркин, 2010 - Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
Васильев, 1989 - Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989. 264 с.
Зайцев, 1998 - Зайцев Д.В. Интерпретация воображаемой логики: реконструкция идей Н.А. Васильева // Современная логика, проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы V Общероссийской научной конференции. СПб., 1998. C. 113-117.
Зайцев, Маркин, 1999 - Зайцев Д.В., Маркин В.И. Незамеченная логическая система Н.А. Васильева: Воображаемая логика-2 или Логика понятий // Смирновские чтения. 2 Международная конференция. М.: ИФ РАН, 1999. C. 107109.
Костюк, Маркин, 1998 - Костюк Т.П., Маркин В.И. Формальная реконструкция воображаемой логики Н.А. Васильева // Современная логика: теория, история и приложения в науке, труды V Всероссийской науч. конф. Санкт-Петербург: Публикация Дом Санкт-Петербургского государственного университета, 1998. C. 154-159.
Парфенова, 2019 - Парфенова А.В. Альтернативный вариант воображаемой логики Н.А. Васильева как особая силлогистика // Одиннадцатые Смирновские
чтения по логике: материалы Междунар. науч. конф. Москва, 19-21 июня 2019. М.: Современные тетради, 2019. C. 82-84. Markin, 2013 - Markin V.I. What trends in non-classical logic were anticipated by Nikolai Vasiliev // Логические исследования. 2013. Вып. 19. C. 122-135.
Antonina V. Konkova
Imaginary Logic-2 N.A. Vasiliev as a syllogistic theory
Antonina V. Konkova
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. Institute of Philosophy of Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya Str., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: konkova@philos.msu.ru
Abstract: Known logical system N.A. Vasiliev, who is one of the founders of modern non-classical logic, is Imaginary (non-Aristotelian) logic. The deductive system proposed by him is a special type of syllogistic, the language of which, along with the forms of affirmative and negative judgments, contain the forms of contradictory (indifferent) judgments. The latter are the judgments of a new quality and contain a bundle of "is and is not at the same time". The article is devoted to the presentation of the results of the study of one of the alternative "Imaginary logic" Nikolai Alexandrovich Vasiliev. This alternative "Imaginary Logos" differs not only from the traditional syllogistic, but also from the basic version. Here, each term of a categorical statement is associated not with a set of individuals, but with a set of symbols, and syllogistic constants are considered as denoting intentional relations between concepts. The study assumed the consideration of this version of imaginary logic as a syllogistic theory, and was carried out on the basis of a system built for this logic V.I.Markin and D.V. Zaitsev. The article briefly outlines the system of Imaginary Logic-2, proved the laws: the laws of identity, the laws of opposites, the laws of subordination, the laws of inversion and the laws of the excluded fourth, adopted in this logic. Further, all four figures of syllogisms are considered sequentially. In each figure, all possible combinations of parcel (36 combinations, for each figure) with all possible conclusions (six possible conclusions, for each combination of packages) are considered. Proof of the correct syllogisms of each figure was made, as well as examples of possible counterfors to refute all the wrong modes.
The result of the work are proven laws and all possible, proven modes in this system, as well as a further direction of research is outlined, the question is raised of the possibility of formulating general rules of syllogistics for all four figures in this version of "Imaginary Logic".
Keywords: Imaginary logic, logic N.A. Vasiliev, non-classical logic, multi-valued logic
For citation: Konkova A.V. "Voobrazhaemaya logik-2 N.A. Vasil'eva kak sillogisticheskaya teoriya" [Imaginary Logic-2 N.A. Vasiliev as a syllogistic theory], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2019, Vol. 25, No. 2, pp. 94-113. DOI: 10.21146/2074-1472-2019-252-94-113 (In Russian)
References
Bocharov, Markin, 2010 - Bocharov, V.A., Markin, V.I. Sillogisticheskie teorii. [Syllogistic theories] Moscow: Progress-Tradition, 2010. 336 pp. (In Russian)
Vasilyev, 1989 - Vasilyev, N.A. Voobrazhaemaya logika. Izbrannye trudy. [Imaginary
logic. Selected Works.] Moscow: Nauka, 1989. 264 pp. (In Russian) Zaitsev, 1998 - Zaitsev, D.V. "Interpretatsiya voobrazhaemoi logiki: rekonstruktsiya idei N.A. Vasil'eva" [Interpretation of imaginary logic: reconstruction of N.A. Va-siliev's ideas] in: Sovremennaya logika, problemy teorii, istorii i primeneniya v nauke. Materialy V Obshcherossiiskoi nauchnoi konferentsii. [Modern logic, problems of theory, history and application in science. Materials in the All-Russian Scientific Conference.] St. Petersburg: Publication House of St. Petersburg State University, 1998, pp. 113-117. (In Russian) Zaitsev, Markin, 1999 - Zaitsev, D.V., Markin, V.I. "Nezamechennaya logicheskaya sistema N.A. Vasil'eva: Voobrazhaemaya logika-2 ili Logika ponyatii" [Unnoticed logical system of N.A. Vasiliev: Imaginary Logic-2 or Logic of Concepts] in: Smirnovskie chteniya. 2 Mezhdunarodnaya konferentsiya. [Smirnov readings. 2 International Conference.] Moscow: IF RAN, 1999, pp. 107-109. (In Russian) Kostyuk, Markin, 1998 - Kostyuk, T.P., Markin, V.I. "Formal'naya rekonstruktsiya voobrazhaemoi logiki N.A. Vasil'eva" [Formal reconstruction of imaginary logic of N.A. Vasiliev] in: Sovremennaya logika: Problemy teorii, istorii i primeneniya v nauke. Materialy V Obshcherossiiskoi nauchnoi konferentsii, 18-20 iyunya 1998 g, seriya Sovremennaya logika [Modern logic: Problems of theory, history and application in science. Materials of the V All-Russian Scientific Conference, June 18-20, 1998, a series of Modern Logic] St. Petersburg: Publication House of St. Petersburg State University, 1998, pp. 154-159. (In Russian) Markin, 2013 - Markin, V.I. "What trends in non-classical logic were anticipated by Nikolai Vasiliev", Logical Investigations, Vol. 19. Moscow: Nauka, 2013, pp. 122135.
Parfenova, 2019 - Parfenova, A.V. "Al'ternativnyi variant voobrazhaemoi logiki N.A. Vasil'eva kak osobaya sillogistika" [An alternative version of N.A. Vasiliev's imaginary logic as a special syllogistic] in: Odinnadtsatye Smirnovskie chteniya po logike: materialy Mezhdunar. nauch. konf., Moskva, 19-21 iyunya 2019. [Eleventh Smirnov Readings on Logic: Materials of the Intern. scientific conf.Moscow, June 19-21, 2019]. Moscow: Sovremennye tetradi, 2019, pp. 82-84. (In Russian)
