Волны в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

В.И. Ерофеев*, О.А. Шешенина**

Нижегородский филиал института машиноведения РАН *,

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского **.

ВОЛНЫ В ГРАДИЕНТНО-УПРУГОЙ СРЕДЕ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Abstract

Wave propagation in homogeneous gradient-elastic media with surface energy is studied. Dispersion properties of longitudinal and shear waves, Reyleigh surface waves and SH surface waves were analized in linear approximation.

В последние два десятилетия в физике твердого тела, главным образом в материаловедении, получила признание концепция структурных уровней деформации [1,2]. Согласно этой концепции, каждая точка твердого тела представляет собой сложную систему взаимодействующих структур более низкого структурного уровня.

Но значительно раньше идея о структурных уровнях была сформулирована в механике сплошных сред при рассмотрении твердых тел с внутренними степенями свободы и восходит к работам В. Фойхта (1887,[3]), Е. и Ф. Коссера (1909,[4]), Леру (1911, [5]).

Теория континуумов с микроструктурой по своим гипотезам занимает промежуточное положение между классической теорией упругости и физикой твердого тела, стоящей на позиции существования структурных уровней. Материальная точка в континууме с микроструктурой имеет “разумную” степень сложности, что позволяет описывать и структуру материала (это недоступно для теории упругости), и волны деформации (это недоступно для материаловедения).

В модели микроморфной среды Миндлина [6] предполагается, что для достаточно малого макроэлемента его движения состоят из параллельного переноса, вращения около центра масс и афинной деформации.

Один из вариантов среды Миндлина был рассмотрен Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом [7]. Данная теория предполагает в выражении для плотности энергии деформации, помимо классических компонент, содержание дополнительных слагаемых: градиента деформации (Леру) и поверхностную энергию. Такая модель получила название градиентно-упругой среды с поверхностной энергией.

В настоящей работе рассмотрены особенности распространения различных типов упругих волн в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией (объемных, поверхностных, SH поверхностных волн и SH волн в слое).

Основные уравнения

Рассматривается однородное пространство с микроструктурой. Положение каждого структурного элемента в этой среде определяет радиус вектор в декартовой

системе координат х1з хг, *з-Предполагаем, что микросреда сливается с макросредой, р ~ масса микроматериала на единицу макрообъёма, микросреда является кубом с ребром длиной 2h.

Для решения задачи используем следующий постулат для функции плотности энергии деформации, предложенный в [7]:

w =• 2 +\хгдггщ +цс(35еДэ^)+,и£А(е?геД (!)

где X и [X - стандартные константы Ламе, с- градиентный коэффициент (имеющий размерность [длина]2), bs s bvS} vsvs= 1 и где b есть длина материала, относящаяся к поверхностной энергии, Zqr = 1 /2 fdjUq+дциг) - тензор деформации.

Последний член (I) относится к поверхностной энергии, поскольку в силу теоремы Гаусса - Остроградского, он может быть записан в форме

Jas [bszqrzrq )dV = b j(eqrer!/ )dS,

И (S)

где f обозначает интегрирование по объёму V9 | - интегрирование по поверхности

(у) {$)

S, охватывающей объем V, и ns - компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности.

Заметим, что положительная определённость плотности потенциальной энергии исходит из следующих ограничений на константы материала:

(ЗХ+2ц)>0, |1 > 0, о 0, -1<{ь/си2)<1. (2)

Коэффициент с зависит от размеров структурных элементов и находится как

с = (0,25й)2. (3)

Уравнения движения в напряжениях в отсутствии объёмной силы в случае гладкой границы записываются следующим образом:

дД% +а<р-] = Р(Э//мЛ. (4)

^qmqrs+at, =^-рй2(3„уга), (5)

где Zqn aqn mqr- тензор напряжений Коши, тензор относительных напряжений и тензор

двойных напряжений, \|V ~ несимметричный тензор микросмещений.

Используя (2),(3) можно получить уравнение движения в перемещениях

pU = IV2V + (А, + 2ji)V2U + (я, + ц - jieV2)rotrotU - 2цг V4U . (6)

Продольные и поперечные волны

Рассматриваются продольные волны, распространяющиеся в направлении х\. Описывающее их уравнение можно получить из (6) при подстановке U = {и(х} ,0Д0).

(А, + 2]X)iix^ 2^1 сих^х^ + ph uXlX]tt рutt 0. (7)

Решение (7) будем искать в виде бегущей гармонической волны

и = Ае,(кХ!‘ш)+к.с., (8)

где /г-волновое число, очастота.

Подставив (8) в уравнение (7), получим дисперсионное уравнение

(А,+ 2,и)А:2 — 2\1ск4 - [/к2 + р]сй2 = 0, (9)

где 1 - 1/Зр/г2 -момент инерции частицы вещества.

Из дисперсионного уравнения можно найти явную зависимость частоты от волнового

числа:

с,2+2сс2*2

где Су =

(0 = кл1^------------------------------------------------рг* (]°)

V 1+1/зл2*2

А. + 2и „ [и

/ _----------скорость продольной волны, с х -----------скорость сдвиговой волны в

V Р \Р

классической теории упругости.

На рис. 1 приведена зависимость частоты от волнового числа. При малых значениях

волнового числа, когда размер зерна не важен, дисперсия отсутствует. В этом случае

фазовая скорость — — с1 совпадает со скоростью продольной волны в классической к

упругой среде. При со —»оо дисперсия также отсутствует и асимптотическое значение фазовой скорости

со л/3

к 2л/2

с~ ~0,61ст.

Рис. 1. Закон дисперсии продольных волн Рис. 2. Закон дисперсии поперечных волн

Уравнение, описывающее распространение поперечных волн, также получается из (6) при подстановке II = (0, \'(х{ ,/),0).

1

+ 3рЛ V,, ~ру„ =0. (11)

Аналогично, как и для продольных волн, находим дисперсионную зависимость частоты от волнового числа:

(0^^1 1 + Ск2 . (12) У 1 +1/ЗА &

График закона дисперсии приведен на рис.2. Совпадение данной кривой с дисперсионной зависимостью, построенной по классической теории упругости,

наблюдается так же, как и для продольных волн, при малых значениях к и со. В этом

случае дисперсия отсутствует и фазовая скорость — = ст. При стремлении со к

к

бесконечности фазовая скорость уменьшается и в пределе со <*> имеет значение:

=0,43с,.

к 4

Заметим, что в уравнении движения в перемещениях (6) нет слагаемых с параметром Ь. Скорости продольных и поперечных волн также не зависят от данного параметра. Поэтому дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающее за поверхностную энергию, не влияет на распространение объемных волн в данной исследуемой модели среды.

Поверхностные волны Релея

Пусть полупространство занимает область Х2 £ 0, а оси декартовых координат х/ направлены по поверхности.

Рассматривается плоская гармоническая волна, распространяющаяся в направлении оси х/, амплитуда которой экспоненциально уменьшается с расстоянием ОТ свободной поверхности Х2. От нуля отличны две компоненты вектора перемещения

их1~и\(Х},Х2), 11x2~и2(х!,Х2)■ Принимаем, ЧТО Ьх1=Ьхз=0, ЬХ2=Ь?Ю.

Условия на границе будут следующими:

а21 (Х] ,х2 = 0) = 0 при -со < х1 < оо;

®22 (*1 >х2 ~ ~ 0; т22](х\,х2 = 0) = 0; .

т2гг(х\ух2 = 0) = 0.

Разложим вектор смещений на потенциальную и соленой дал ьную

составляющие:

II = ^ас1ф4-гоХу, йтр = 0. (14)

Поскольку волна плоская и движение не зависит от я3, у векторного потенциала будет отлична от нуля только компонента по оси х3: = (0,0, \|/3).

Применим сначала к уравнению (6) операцию сИу, а потом операцию го!. В результате получим следующую систему уравнений:

рф = 7У2ф + (А,+ 2|х)У2ф-2цсУ4ф? (15)

р\|>3 = /У2\р3 + |лУ2\|/3-|ХсУ4\|/3. (16)

Решение как (15), так и (16) будет состоять из двух убывающих от свободной поверхности компонент:

(? = {Ае~ау + Ве-^)е,{1а-ш}, (17)

¥з * (с* , (18)

где к - волновое число, со-частота, Л, В, С, £>- амплитудные функции, и

а = л]к - г~ , р = ^к2'-г2 . (19)

Величины 2\,2 являются корнями следующего уравнения:

2 \1сг2 + (>,+ 2р. - /со2 )г - рсо2 =0,

(13)

£>ія = (X + 2ц - /со2)2 + 8|ісрсо,

X - 2|і + /со2 ±л/р

*1,2

4{1С

А также для \|/з:

р = л]к2 -о2 >д = л1к2 + т2 ,а~л1^~-

2 с

ё Х ^ = ^Х2+4с^-со2 ,зс = ]-~ш2.

(20)

(21)

(22)

2с у ц ц

Граничные условия, выраженные через компоненты вектора перемещения, будут следующими:

а21(Х1 >Х2 = 0) = /^1,2 +й(^2,1 + ^1,2 ) “ЦСУ2 (£/2>! + С/]>2 ), При -оо < х] < со,

С>22 (*1 ,*2 -0)~ 1&2,2 + ^ (^1,1 + ^2,2 ) + 2д£/2,2 “ 2ЦсУ2£/2 2,

Ш221 (Л'19Х2 = 0) = \ЬЬ2 (^2,1 "** ^{>2 ) + № (^2,12 + ^},22 ) >

^222 5 *^2 ~ ~ 2р.^2^У2 2 2\X-dJ2 22 *

Подставляя (17), (18) в (14), а затем (14) в (22), получаем однородную линейную систему из четырех уравнений с неизвестными амплитудными функциями А, Ву С и £>. Как известно, такая система имеет решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Данное условие и будет дисперсионным соотношением для волны Релея. Введем нормированные величины, с которыми в дальнейшем удобно оперировать:

Ь = кус, (о,«*со-р^, V = л/3 V

Гс

(23)

О),

где -нормированная фазовая скорость. Тогда

V 2

£

X

я-х

<1 2<іг »

4/1,2

\2

-2 + со^ +

+ 2-со"

со.

(24)

Дисперсионное соотношение в нормированных координатах будет выглядеть следующим образом:

2^2 -

С5-

~2*т ~16С<*' ■2~2г

А/0+*)

з

16

с2

~Ы

-2рД^-М

Ча^~ё)

>-*-ТбсК

(*2 + ра2

-каяАЬ* ~Ча) + У Л Х^г/ - ^ ,

= 0.

\bj~Pj)

Дисперсионные кривые были построены для среды с упругими постоянными: А,=8-109, |Х=2,1*109. Параметр принимал значения: 0,1; 0,5; 0,75. Оказалось, что значения нормированной частоты и нормированной фазовой скорости для данной упругой среды при различных значениях Ьа близки друг к другу соответственно так, что дисперсионные кривые, приведенные на рис. 3 и рис.4 , сливаются в одну. Поэтому можно предположить, что введение дополнительного слагаемого в выражение плотности потенциальной энергии, отвечающего за поверхностную энергию, незначительно влияет на характер распространения плоской поверхностной волны Релея. На рис. 3, 4 приведены дисперсионные зависимости нормированной частоты и нормированной фазовой скорости от нормированного волнового числа при значении Ьл =0,5.

ка

кб

Рис.З. Дисперсионная зависимость нормированной частоты от нормированного волнового числа поверхностной волны Релея

Рис.4. Дисперсионная зависимость нормированной фазовой скорости от нормированного волнового числа поверхностной волны Релея

По дисперсионным кривым можно сделать вывод, что скорость волны Релея зависит от частоты, т.е. имеет место дисперсия. Для материала с приведенными выше упругими постоянными при <о=0 значение фазовой скорости Сцо совпадает со значением фазовой скорости Сякл поверхностной волны Релея в классической теории упругости:

С

не

^-2,1746

4

0,9416,

С

ККя

С,

0,9416.

■2 "*■ '-"2 Асимптотическое значение фазовой скорости при со для данного материала

^ = 2^0,73 = 0,32.

Сдвиговая анти-плоская поверхностная волна

Будем рассматривать неплоские сдвиговые (т.е. горизонтально поляризованные или 8Н) движения в градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. Этот тип волн уже рассматривался в [7]. Пусть в декартовой системе координат 0хух.гхз полупространство занимает область (-<*>< ^соо, х2>0) и оно достаточно толстое в направлении оси х3, чтобы допустить неплоское сдвиговое состояние. В этом случае задача двухмерная и зависимость есть только от (х{,х2).

Также примем, что Ъх = Ь2, = 0, Ъу 0. Для настоящего случая 8Н~ движений

в полупространстве х2 >0 мы имеем 0, £/3 з ы(х}, х2, *) * 0.

Уравнение, описывающее 8Н волны, имеет следующий вид:

(^у2н?-|0.сУ4н' + 7У2>у-руй = 0. (25)

Заметим, что уравнение (25) совпадает с уравнением для роторной составляющей

поверхностной волны Релея.

Граничные условия в перемещениях:

023 (*! , Х2 = 0) = ЦИЧ - ЦСМ',,, - ЦСИ>222 + Щ = 0,

(26)

т1гъ (х1, х2 = 0) = \\cwj2 ~ 2 “ ^

Решение (25) состоит из двух убывающих компонент:

*•4А-е-р'х^В е^\е{кх^Л+к.с, (27)

где к - волновое число, а>частота, А и В * амплитудные функции, рад удовлетворяют

соотношениям (20) и (21).

Также в работе

7] получено дисперсионное соотношение

а2(к2 -а2)1/2 + т2(&2 +х2][2 -ь{о2 + т2)- 0. (28)

к

В нормированных координатах (23) из дисперсионного соотношения можно выразить волновое число через частоту

Заметим, что (29) выполняется не при любых (Осі. Начало диапазона действительных частот определяет частоту среза, которую можно найти из условия:

$-<?„= о.

На рис. 5 отображена зависимость нормированного волнового числа от нормированной частоты, на рис.6 - зависимость нормированной фазовой скорости Са = со л ! ка от нормированной частоты.

о

2

3

0.5

1

1.6

2.5

Рис.5. Дисперсионная зависимость нормированного волнового числа от нормированной частоты БН поверхностной волны

Рис.6. Дисперсионная зависимость нормированной фазовой скорости от нормированной частоты БН поверхностной волны

Для данной задачи дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии позволяет теоретически доказать существование 8Н поверхностных волн в полупространстве однородного материала. Экспериментально этот тип волн можно наблюдать, однако в рамках классической теории упругости они неопределяемы. Рассматриваемый случай является подтверждением эффективности слагаемого в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающего за поверхностную энергию.

* БН поверхностные волны в полупространстве однородного материала обладают дисперсией. Дисперсионное соотношение в нормированных координатах не зависит от материала, поэтому для всех материалов дисперсионные кривые будут подобны кривым, построенным выше. При асимптотическое значение фазовой скорости

С8И равно:

Будем рассматривать анти-плоские волновые движения в слое, распространяющиеся в направлении оси хх. Слой ограничен плоскостями х2 = 0 и х2 = с1. Задача двухмерная, и зависимость есть только от (х19х2).

Также примем, что Ьх = Ь2 ~ 0,Ьу г Ъ & 0. Для настоящего случая БН- движений

в слое мы имеем: их =1/2 =0, 1/ъ г \у(х1,х2,() * 0.

Уравнение движения будет тем же самым, что и в предыдущем разделе

Число граничных условий по сравнению с предыдущим случаем будет в два раза больше, поскольку появляется вторая граница х2 =

Распространение 8Н-волн в слое

цУ2^-ргУ4н,+ /У2н'-рн? = 0.

(30)

023 (х, , х2 = 0) = - ца*;2|- - Цси/222 + #%

т223 (*1 >Х2 = 0) = |1С^22 ~ МАм/ 2 = 0,

023 (Л',, Х2 = СІ) = -*ІЄ%}, - ЦС^222 + /#г

о.

о,

(31)

т

223

(Х{ ^ - С?) -|ДСМ’22 —\lb\V2 = 0.

Решение уравнения (30) будет состоять уже из четырех компонент:

= [А ■ ьт(Ру) + Бсо8(Ру) + Сяк^у) + 1)с/г(^у)]• ег^1_а>^ +к.с., (32)

где £ - волновое число, со-частота, А, В, С и О- амплитудные функции, # удовлетворяет соотношениям (20) и (21), а

Р = л[а^-к2 . (33)

Подставляя (32) в (31), получим линейную однородную систему четырех уравнений, решение которой существует при условии обращения в нуль определителя матрицы, составленной из коэффициентов в полученной системе при амплитудных функциях А, В, С и В. Раскрывая определитель и вводя нормированные величины (23), (24), получим следующее дисперсионное уравнение:

3 .2

8

СО\Рл94 (1 - С08 )) + *МРЛ)*Ь(<1Л)

X

X

39

16

1 +------------03

39 ,Л , „16 , Г 2 „2

— В)а +№а + ЪJgd

(34)

= 0,

где р^р4с, Уа =~=.

ЛІС

Дисперсионное соотношение в нормированных координатах так же, как и в предыдущей задаче не зависит от свойств материала. На рис.7 и рис.8 изображены зависимости нормированной фазовой скорости от нормированного волнового числа для параметров: Ьа- 0,5; сі - 10/г; = 0,5; сі ~ 20/г .

Рис.7. Дисперсионная зависимость нормированной фазовой скорости от нормированного волнового числа БН- волн в слое при значениях параметров = 0,Ь\<Л = Ш

Рис.8. Дисперсионная зависимость нормированной фазовой скорости от нормированного волнового числа БН- волн в слое при значениях параметров Ъд =0,5; ^ = 20/*

В заключение приведем таблицу, в которой отображены асимптотические значения фазовых скоростей для различных типов волн.

Асимптотические значения фазовых скоростей для различных типов волн

Тип волн Классическая теория упругости Теория градиентной упругости, учитывающая поверхностную энергию

Продольные волны с, 0,61сх

Поперечные волны От 0,43ст

Поверхностные плоские волны /-чКЛ lr 0,32ct (1=8-109, а=2,1-109)

Сдвиговые анти-плоские поверхностные волны Не существуют 0,43сх

Сдвиговые анти-плоские волны в слое Ci 0,43сс

Работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 00-02-17337).

Библиографический список

1. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, Сибирская изд. фирма РАН. - 1995.

3. Voigt W. Theoretische studient uber die elasticitatsverhalhnisse der Krystalle // Abn. Gess. Wess. Gottingen. 1887. - Vol. 37.

4. Cosserat E. and F. Theorie des corps deformables. Librarie Scientifique A. Hermann et Fils.-Paris, 1909.-226 p.

5. Le Roux. Etude geometrique de la torsion et de la flexion// Ann. L’Ecole Norm. Sup. Paris, 28.1911.

6. Mindlin R.D. Microstructure in Linear Elasticity//Arch. Rat. Mech. Anal., 1964. Vol. 16 -P. 51-78.

7. Vardoulakis I.G., Georgiadis H.G. SH Surfase Waves In a Homogeneous Gradient-Elastic Half-Space with Surfase Energy // J.Elasticity, 1997. ~ Vol. 47. - P. 147-165.

Получено 16.07.2002