Волны неустойчивости пространственного типа в пограничном слое при больших числах Рейнольдса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИЦАГИ

Том XVIII

1987

№ 5

УДК 532.526.3

ВОЛНЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТИПА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Изучаются характеристики волн Толлмина—Шлихтинга пространственного типа в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине при больших числах Рейнольдса Ц. В пределе К-»-оо в рамках трехслойной и пятислойной асимптотических схем (для окрестностей нижней и соответственно верхней ветвей нейтральной кривой) построено решение задачи на собственные значения для уравнения Орра—Зоммерфельда. Проведено сравнение асимптотического решения с точным численным решением задачи для больших, но конечных чисел И.

1. В настоящей статье изучаются двумерные волны Толлмина^— Шлихтинга «пространственного» типа, т. е. малые собственные колебания пограничного слоя, при которых возмущения функции тока имеют вид ф(г/)ехр (г'йд; — г'оз/), где со — действительная частота; £ — комплексное волновое число; / — время; х и у— координаты вдоль и поперек потока. Волны такого вида возникают в пограничном слое вниз по течению от вибратора [1] (узкой полоски обтекаемой поверхности, совершающей гармонические колебания), а также под воздействием двумерного акустического поля [2] и во многих других случаях. На расчете характеристик пространственного роста волн неустойчивости основаны многие методы определения точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный [3].

Ниже изложены результаты аналитического и численного исследования «пространственной» устойчивости течения несжимаемой жидкости вдоль плоской пластины при больших числах Рейнольдса И. В приближении параллельности основного течения задача сводится к нахождению собственных значений £ (XIV Я) уравнения типа Орра—Зоммерфельда [4] с однородными граничными условиями

С. В. Мануйлович

<р (0) = ^ (0) = ср (оо) =0.

(1)

Здесь с = (o/k — комплексная фазовая скорость, a U (у)—профиль скорости основного течения. Масштабы длин и скоростей выбраны таким образом, что при г/->-оо а при у->0 U = y—аук+.... По срав-

нению с классическим уравнением Орра—Зоммерфельда в уравнении (1) оставлен лишь старший из «вязких» членов; два других опущены, поскольку при больших R они малы по сравнению с отброшенными ранее членами, учитывающими непараллельность основного потока.

2. Исследование задачи (1) начнем с предельного случая R-»-oo. Для построения асимптотического решения воспользуемся многослойными схемами, рассмотренными в [4, 5] при изучении вопроса об устойчивости пограничного слоя на пластине в классической — «временной»— постановке (k — действительное, со — комплексное).

Будем предполагать, что при R -> оо для неустойчивой моды выполнены соотношения w->-О, |&|-*-0, |с|->0, Re k > 0. Рассмотрим область /, в которой у.—1&|—1. В этой области можно положить U=\ и пренебречь влиянием вязкости, поэтому затухающее при у -*■ оо решение уравнения (1) с точностью до мультипликативной постоянной имеет вид

<р = ехр( — ky). (2)

На нижней границе области / (т. е. при 1<Q/<|&|-1) решение (2) приобретает вид

<р = 1 — ky + .... (3)

Область II (у~ 1) занимает основную толщу пограничного слоя;

здесь также можно пренебречь диссипативным членом уравнения (1). Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию сращивания (3) с областью I, дается выражением

jWr2- l]^j. V■ (4)

Вязкие члены уравнения (1) становятся одного порядка с конвективными в области критического слоя III, где | у — с | — | /zR | _1/3. Вблизи этой области решение (4) ведет себя следующим образом:

? = У — с -)- k— 12 akc2{y — с) In (у — с) + ... . (5)

Дальнейший ход рассуждений существенно зависит от того, какие значения принимает параметр со. Предположим сначала, что точка to, R расположена в окрестности нижней ветви нейтральной кривой. В этом случае критический слой прилегает к поверхности пластины (|с 1 ~ |AR|-1/3), и, следовательно, решение задачи (1) имеет трехслойную структуру. В области III это решение может быть выражено через функцию Эйри [6]

СО 00

j j Ai (С") d(." dV

ср=у_<7 + k+ ——---------------------

СО

(IkR)1/3f Ai(q dC

^w

С = (ikRYVy + с., C. = — (ikRyi3 c.

Решение (6) удовлетворяет условию сращивания (5) с областью II и второму из краевых условий (1). Потребовав, чтобы это решение

удовлетворяло и первому из условий (1), получим искомое дисперсионное соотношение в окрестности нижней ветви нейтральной кривой

со

(ияурк [ А1 (С)йХ. -(С.) =0. (7)

Из (7) непосредственно следует, что Ие^ и 1т & имеют одинаковый порядок И-174, а Результаты расчета зависимостей

Ие£ и 1т & от со для неустойчивой моды отмечены на рис. 1 сплошной линией.

Пусть теперь точка со, К расположена в окрестности верхней ветви нейтральной кривой. В этом случае решение задачи (1) имеет пятислойную структуру, поскольку толщина критического слоя становится много меньше расстояния до пластины, и под областью III формируются невязкая область IV и вязкий подслой V. Подробный анализ структуры решения задачи (1) в областях III и IV для действительного к содержится в [5] и может быть непосредственно перенесен на случай волн «пространственного» типа. Для дальнейшего необходимо привести лишь вид решения на нижней границе области IV:

?=у — с + А — \21шк.съ + .... (8)

Заметим, что формула (8) формально следует из (5) при у-*-0,

если приращение мнимой части логарифма положить равным — гя [7].

Для того чтобы удовлетворить условиям прилипания, необходимо рассмотреть область вязкого подслоя V у — (©И) ~1/2. В этой области решение, удовлетворяющее условию сращивания (8) и второму граничному условию (1), имеет вид

<р = у — с-\- к.— \2ivakc3—— р Мг(ДЮ—У] ^

г (гю!?)1'2

Первое условие (1), наложенное на решение (9), дает дисперсионное соотношение для окрестности верхней ветви нейтральной кривой

Л — с — 12 шакс3 -\- г (гшК)~1/2 = 0. (10)

Из формулы (10) видно, что Ией и 1тк имеют разные порядки по числу Я. В первом приближении имеем

Не^ = ш1/2. (11)

Мнимая часть неустойчивой моды находится из рассмотрения следующего приближения:

Как это следует из (11), (12), в окрестности верхней ветви нейтральной кривой Ией — И-1'10, 1т& — И-2/5, ш — К_1/5. Графики зависимостей Йе& и 1т£ от со, задаваемых формулами (11), (12), приведены на рис. 2 (сплошные линии).

Отметим, что в промежуточной области Н~1/2 ш И-1'5 асимптотические выражения неустойчивой моды для дисперсионных соотношений (7) и (10) совпадают:

поэтому соотношения (7), (10), (13) определяют главные члены асимптотики неустойчивой моды при К-»-оо, равномерно пригодные во всей области неустойчивости. Этот результат был впервые получен для случая волн «временного» типа [5].

3. Рассмотрим теперь вопрос о связи характеристик устойчивости «пространственного» и «временного» типов. Пусть при некотором фиксированном I? имеется «пространственная» волна Толлмина — Шлих-тинга с частотой со и комплексным волновым числом к(со, Я) = кг + И1г. Если теперь рассмотреть волну неустойчивости «временного» типа с волновым числом, равным £г, то комплексная частота определится из соотношения &г = &(сйг+1с0г, И).

Простая приближенная связь, основанная на малости величин со; и ki по сравнению с сог и &г, была предложена в [8]:

Таким образом, для вычисления инкремента нарастания волны «пространственного» типа в точке со можно воспользоваться характеристиками «временной» устойчивости сог(&), сог(/г) (/г — действительное), вычисленными в точке &, такой, что сог(&) = со.

Проверим справедливость формулы (14) при 1^—>-оо. Прежде всего отметим, что в окрестности верхней ветви нейтральной кривой она при-

1ш /г = 6ттасо2----------И_1/2-

4

(12)

-1,0

Рис. 2

(13)

(14)

обретает ВИД &г = —С0г/2й и является точной, поскольку ки как указы-валось выше, имеет меньший порядок по И, чем кг. В окрестности нижней ветви порядки ki и /гг совпадают, поэтому применимость формулы

(14) может быть проверена здесь лишь непосредственным вычислением.

Проведенные расчеты (рис. 3) показали близость точного значения инкремента (сплошная линия) вычисленному по формуле (14) (штриховая).

О 5 Ю

-0,1 Шк-Я1^4

Рис. 3

4. Асимптотические схемы [4, 5] широко применяются для расчетов устойчивости и вынужденных колебаний [1, 2] пограничного слоя при больших числах И, поэтому представляет интерес выяснить, насколько точно главные члены асимптотического решения при приближают

решение задачи (1) при больших, но конечных И. Отчасти ответ на этот вопрос дает работа [4], где найдены вторые члены асимптотических разложений формы нейтральных кривых при И-^оо, однако окончательный ответ может дать лишь сравнение асимптотических соотношений с точным решением задачи (1). Основной целью настоящей работы являлось такое сравнение.

Для построения точного решения задачи на собственные значения (1) использовался известный метод ортогонализации [9]. Интегрирование уравнения (1) методом Рунге—Кутта с достаточно мелким шагом позволило производить вычисления значений неустойчивой моды при большйх числах И.

Сравнение точного решения задачи (1) с асимптотическим начнем со случая И = 5000 (числа Рейнольдса, соответствующего переходу к турбулентному режиму течения). Вычисления показывают, что главный член асимптотического решения дает в 1,4 раза меньшее значение нейтральной частоты для нижней ветви и в 1,7 раза большее значение максимального инкремента нарастания, чем точное решение задачи (1) при таком значении И.

На рис. 1 приведены результаты расчетов волновых чисел и инкрементов нарастания для окрестности нижней ветви нейтральной кривой при И= 104, 106. Сплошные линии соответствуют главному члену асимптотического разложения при конечных И и точному решению при И = оо. Из рисунка видно, что при И = 104 поведение Ие & и 1т к удовлетворительно описывается одночленной асимптотической формулой в диапазоне частот, превышающих нейтральную не более чем в пять раз. Для больших значений со расхождение с точным решением значительное; особенно велико оно для 1т/г, в частности, отсутствует второй макси-мум инкремента нарастания. Как показывает расчет, этот максимум формируется при Р~3,7-105. При К>106 асимптотика нижней ветви хорошо описывает количественные характеристики устойчивости течения в окрестности первого максимума инкремента и качественно верно передает их поведение для больших значений м.

На рис. 2 нанесены результаты вычисления волновых чисел и инкрементов при R=106, 108 для окрестности верхней ветви нейтральной кривой. В пятислойной асимптотической схеме малым параметром является величина R-|/10, убывающая при R->-oo значительно медленнее, чем малый параметр R-1/4 трехслойной схемы, поэтому количественное сходство с одночленной асимптотикой (сплошные линии) наступает позднее (R ^ 108).

Проведенные расчеты показывают, что применение асимптотических схем для чисел R, меньших числа перехода, может дать лишь качественную картину возмущенного течения.

- Автор^благодарит В. В. Михайлова за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

\

1. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое. — ПММ, 1981, т. 45, вып. 6.

2. Р у б а н А. И. О генерации волн Толлмина—Шлихтинга звуком. —

Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 5.

3. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. — Новосибирск: Наука, 1982.

4. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. —• Изв. АН СССР,

МЖГ, 1981, № 5.

5. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра—Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса. — ДАН СССР, 1983, т. 268, № 6.

6. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/Под. ред. Абрамович М. и Стиган И. — М.:

Наука, 1979.

7. L i п С. С. On the stability of two-dimensional parallel flows. Pt. 3. Stability in a viscous fluid. — Quart. Appl. Miath., 1946, vol. 3, No 4.

8. Gaster M. A note on the relation between temporally increasing and spatially increasing disturbances in hydrodynamic stability. — J. Fluid Mech., 1962, vol. 14.

9. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — УМН, 1961, т. 16, вып. 3.

Рукопись поступила 7/VII 1986 г.