Волны Кельвина в однородном море под ледяным покровом Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛИМАТА

УДК 551.466:551.467

С. В. Музылев, Т. Б. Цыбанева

ВОЛНЫ КЕЛЬВИНА В ОДНОРОДНОМ МОРЕ ПОД ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ

Приведены основы линейной теории волн Кельвина в однородном море под ледяным покровом. Найдены и проанализированы явные решения для волн Кельвина, а также соответствующие им дисперсионные уравнения. Задача рассмотрена без использования приближения гидростатики в рамках единой теории волн, распространяющихся под ледяным покровом.

E-mail: smuzylev@mail.ru; tbt47@mail.ru

Ключевые слова: волны Кельвина, ледяной покров, параметр Кориоли-

са, приближение длинных волн, приближение гидростатики.

Теоретическое описание волновых движений в океане с учетом рельефа дна, береговых границ, вращения Земли и стратификации вод является классической проблемой геофизической гидродинамики. Среди них важную роль в динамике атмосферы и океана играют волны Кельвина — крупномасштабные волновые движения. Специфика таких гравитационных волн состоит в том, что они возникают вследствие влияния вращения Земли на волны, захваченные береговой границей. Эти волны, распространяющиеся в одном направлении, в Северном полушарии обегают контур бассейна против хода часовой стрелки, нормальная к берегу составляющая скорости тождественно равна нулю, амплитуда волн максимальна на береговой границе и экспоненциально убывает в сторону открытого моря. Волны Кельвина подразделяют на поверхностные, или баротропные, и внутренние, или бароклинные. Поверхностные волны Кельвина охватывают всю толщу жидкости от свободной поверхности моря до дна, а внутренние волны Кельвина обычно наблюдаются в слоях жидкости с большими градиентами плотности (например, в окрестности океанического термоклина). В этой работе рассмотрены только баротропные волны Кельвина.

В большинстве широко известных монографий [1—4] нет даже упоминания о возможном влиянии ледяного покрова на волны в океане и, в частности, на волны Кельвина. Вероятно, это связано с тем, что для корректного учета ледяного покрова требуется привлечение не только гидродинамических подходов, но и методов теории упругости, что существенно затрудняет исследования.

Постановка задачи и основные уравнения теории. Сплошной ледяной покров в достаточно естественных условиях можно рассматривать как тонкую упругую пластину, плавающую на поверхности моря. Если не интересоваться процессами, происходящими внутри льда, основные уравнения и граничные условия с учетом ледяного покрова не должны отличаться от аналогичных уравнений и условий в случае отсутствия льда на поверхности моря. Исключением является динамическое условие на границе раздела вода — лед, в котором появляются дополнительные слагаемые, обусловленные упругими свойствами льда, сил инерции и сжатия-растяжения, действующих на ледяной покров.

Рассмотрим на вращающейся Земле заполненный однородной жидкостью канал шириной L, ограниченный прямолинейными берегами при y = 0, L . Пусть ось y направлена по нормали к берегу, ось х совпадает с линией берега, y = 0, ось z направлена вертикально вверх. Будем полагать, что канал имеет постоянную глубину H и сверху, т. е. при z = 0, ограничен ледяным покровом постоянной толщины h.

Исходная линеаризованная система уравнений движения в приближении идеальной жидкости имеет следующий вид [5]:

d-u-fv -=-P-d-P, (1)

дt р^ дх

a v , i д p

— + fu =--—, (2)

дt Pw дУ

.2aw=__iap, (3)

д t Pw д z

д u д v д w Л

— +-+-= 0, (4)

д х д y д z

где u, v — составляющие горизонтальной скорости вдоль осей х и y соответственно; w — вертикальная скорость; P — отклонение давления от гидростатического; pw — плотность морской воды,

pw = const; f — параметр Кориолиса, f = const. Параметр s введен для возможности изучения перехода от общего случая, когда этот параметр равен единице, к приближению гидростатики, когда он равен нулю. Как следует из полученных далее результатов, переход к пределу s ^ 0 эквивалентен приближению длинных волн.

Уравнения (1)—(4) стандартной процедурой [5] сводятся к одному уравнению для давления Р = Р(х, у, г, г) :

2 а2 ар

s2—^+ б t2

б"

л

+ f2 = 0, (5)

v6t2 у

б2 P

б z

где А = д 2/ д х 2 + 5 2/ 5 у 2 — лапласиан. Систему уравнений (1)—(4) дополним граничными условиями на берегах (которые будем полагать отвесными), дне канала и нижней поверхности льда. На берегах нормальная составляющая скорости равна нулю, т. е.

Чу=0,£ = 0. (6)

На дне выполняется условие непротекания жидкости, которое в рассматриваемом случае постоянства глубины океана имеет вид

Ч2=-Я = 0. (7)

На нижней кромке льда (г = 0) выполняются линеаризованные кинематические

^ = * (8) д г

и динамическое условия

P - gPw 1 = Pа, (9)

где g — ускорение свободного падения; т] = ](х, у, г) — прогиб ледяной поверхности; Ра = Ра (х, у, г) — давление непосредственно на

границе раздела вода — лед.

Согласно уравнению (3) и кинематическому условию (8), выражение для прогиба т](х, у, I) с учетом давления Р| г на нижней границе льда принимает вид

2 =-др бt2 pw бz

. (10)

z=0

Будем моделировать лед лежащей в горизонтальной плоскости тонкой упругой пластиной постоянной толщины И. Это предположение хорошо подтверждается экспериментальными данными [6, 7].

С помощью уравнений для свободных колебаний такой пластины найдем давление Pa на нижней границе льда [8, 9]:

— Pa = РЪ

Pw

где

Р = B А2 + QA+M д2/дt2, (11)

Eh3 Kh Pг h

B = 12(1E 2) . Q = M = . (12)

12(1 - S )Pw Pw Pw

Здесь E — модуль Юнга; K — коэффициент сжатия льда; Pj — плотность льда Pj = const; s — коэффициент Пуассона. Слагаемые,

пропорциональные B, M и Q, возникают соответственно вследствие упругих свойств льда, сил инерции и сжатия-растяжения, действующих на ледяной покров.

Отметим, что числовые значения механических характеристик морского льда — модуля упругости льда (модуля Юнга) E и коэффициента сжатия K — известны с очень небольшой точностью. Приведем характерные значения этих величин для льда. Так, среднее значение динамического модуля упругости для однолетнего льда средней толщины в Баренцевом море в декабре — апреле составляет около 8 ГПа [10]. Согласно работе [9], E = 6 • 109 Н/м2 = 6 ГПа; s = 0,3; K = 106 Н/м2 = 10-3 ГПа; Pw = 1 025 кг/м3; Pj = 0,9.Pw. При толщине льда h = 1 м для коэффициентов в выражениях (12) получаем: B « 5 -105 м5/с2; Q «103 м3/с2; M = 0,9 м.

Из уравнения (11) и динамического условия (9) имеем

Pz=0 =Pw (g + Р)л- (13)

Отсюда в силу выражения (10) находим единственное граничное условие на нижней поверхности льда

2 а2 p , p

—г+(g—

е t2 v ;е z

=0. (14)

z=0

* В дальнейшем под модулем упругости льда будем понимать его динамическое (а не статическое) значение, определяемое, например, по данным о скоростях продольных и поперечных изгибно-гравитационных волн в ледяном покрове. Динамический модуль упругости является фундаментальной физической характеристикой льда и используется для численной оценки механического поведения морского ледяного покрова при динамических нагрузках, время воздействия которых значительно меньше 1 с.

Граничные условия (6) и (7) выразим через отклонение Р давления от гидростатического в следующем виде:

(

д2 P

.д P

- f— д y д t д х

д P д z

Л

у y=0, L = 0.

= 0,

(15)

(16)

z =-H

Таким образом, необходимо решить уравнение (5) с граничными условиями (14)—(16). Будем искать решение задачи (5), (14)—(16) в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси х :

Р(х, у, 2,г) = ехр [ i^ х — с г)] p(y, 2),

где k — волновое число; с — частота. Тогда для амплитудного множителя р(у, г) получаем уравнение

К2 - f2)

д2 p д z 2

2

2 2 + s2a2

д y

2 - k 2 P

= 0

(17)

с граничными условиями

g+B

д y2

- к2

+ б

у

д y 2

Л

- к2

- Ma

д p 2 2 s a p

д z

= 0, (18)

z=0

д p ~z

= 0,

z=-H

Л

+ kfp

дy

= 0.

(19)

(20)

у y=0, L

Волны Кельвина в полуплоскости. Рассмотрим наиболее простой случай волн Кельвина в полуплоскости 0 < у <го, когда ширина канала Ь ^го. Разделяя переменные в уравнении (17) и учитывая условие (19), получаем

p(y, z) = a exp(-^y) ch [s Д (H + z)],

(21)

где a — амплитуда волны Кельвина, a = const. Постоянные /и> 0 и Я, согласно уравнению (17), связаны соотношением

(o2 - f2 )Л2 + o2 (^2 - к2 ) = 0.

(22)

Из условия (20) при у — 0 и соотношения (22) находим

/к

Л = к .

а

(23)

Следовательно, р( у, г) - а exp [-(/ к / т ) у ] ch к | (И + г) ]. Из

условия (18) находим дисперсионное уравнение для волн Кельвина в полуплоскости с учетом ледяного покрова:

so2 = gK(а, к)| к | th(^к\Н),

(24)

где

gK (а к) = g +

(„2 г2\

Бк'

С - f

v а у

(г г2\

- Ок-

С - f

С

- Mo

. (25)

Как следует из выражения (25), влияние ледяного покрова в дисперсионном уравнении (24) для волн Кельвина описывается тремя слагаемыми, стоящими в квадратных скобках.

Для длинных (| к |И « 1) низкочастотных (т « /, т«4ЛМ)

волн т 2 « с 2 к 2, где с — корень уравнения, имеем

(-Мт2)Ис4 -дИ/2с2 -БИ/4 - 0.

c - g-i

(26)

В силу теоремы Декарта о корнях многочленов [11] уравнение (26) имеет один положительный корень с2. Для реальных значений параметров с большой точностью

gH +

f 2 (Bf 2 + QgH ) g2 H - Qf2

gH,

поэтому в длинноволновом низкочастотном диапазоне ледяной покров практически не оказывает влияния на фазовую скорость волн Кельвина. Как показано на рисунке, при учете ледяного покрова волны Кельвина в низкочастотном диапазоне обладают дисперсией, хотя и весьма малой для реальных значений параметров. В этом заключается их отличие от волн Кельвина на открытой воде.

Дисперсионные кривые для волн Кельвина в случае ледяного покрова толщиной 1 м (1) и длинноволновом приближении для моря без льда (2)

Для высокочастотных волн Кельвина (а » /) ситуация коренным образом меняется: дисперсионное уравнение не зависит от параметра Кориолиса и с большой точностью описывается выражением

8(0

= (g + Bk4 -Qk2 -Ma 2)|k| thk\H).

Другими словами, дисперсионное уравнение для высокочастотных волн Кельвина практически совпадает с дисперсионным уравнением для изгибно-гравитационных волн (см. рисунок) [12, 13].

При 8 — 0 давление Р в силу соотношения (21) перестает зависеть от глубины и дисперсионное уравнение (24) принимает вид

а2 =

С 2 г2\

g + Bk4

а2 - f

v а J

(„2 r2\

- Qk2

а - f

v а J

- Ma£

Hk2

Такой же результат можно получить, если в выражениях (21) и (24) перейти к пределу малых волновых чисел к, поэтому переход к пределу 8 —> 0 и приближение длинных волн эквивалентны.

Отметим, что из выражений (21) и (23) следует равенство нулю нормальной к берегу составляющей скорости у(х, у, г, ^) всюду в рассматриваемой области. Этот результат совпадает с аналогичным выводом для классических волн Кельвина.

В приближении гидростатики (8 = 0 ) дисперсионное уравнение (24) для волн Кельвина принимает вид тривиального тождества. Из уравнения (3) следует, что давление Р не зависит от глубины, по-

этому из условия (13) на границе раздела вода — лед во всей жидкости выполняется соотношение

Р = (£ + Р]

Тогда уравнения движения (1) и (2) можно записать как

- " fv = -(g + P)V

dt v J dx

- + fu = -(g +

dt V ' dy

(27)

(28)

откуда следует, что в приближении гидростатики составляющие скорости и и V, как и давление Р, не зависят от глубины. Теперь проинтегрируем уравнение неразрывности (4) по глубине от -И до 0 с учетом условий для вертикальной составляющей скорости на дне (7) и нижней поверхности льда (8). Найдем

V H

dt

(

du dv — + —

dx dy

Л

= 0.

(29)

у

Уравнения (27)—(29) сводятся к единственному уравнению для прогиба г:

+f 2v-H

dt2

f d2 ^ g+BA2+QA +M

dt

Av = 0.

(30)

У

Полученное уравнение имеет шестой порядок по пространственным переменным, а в полной постановке задача сводится к решению уравнения (5), имеющего лишь второй порядок по пространственным переменным. Условие равенства нулю нормальной составляющей скорости на границе рассматриваемой здесь области, согласно выражению (15), в приближении гидростатики имеет вид

' d2

а

Л

- f—

dy dt dx

g + BA2 + Q A+M —r dt'

2

V

= 0.

(31)

y=0, L

Для решения уравнения (30), кроме граничного условия (31), необходимы дополнительные условия, в качестве которых можно использовать, например, условие того, что морской лед закреплен на береговой границе [14]. Однако при отказе от использования приближения гидростатики, как показано в настоящей работе, никаких дополнительных условий не требуется.

Таким образом, приближение гидростатики искусственно завышает порядок уравнений для задач, в которых учитывается влияние

ледяного покрова. Это утверждение справедливо и для теории капиллярных волн, в которой B = M = 0 и Q Ф 0. Исключениями являются классический для океанологии случай открытой воды (B = M = = Q = 0) и случай моря, покрытого битым льдом (B = Q = 0, M Ф 0), когда порядки уравнений по пространственным переменным как в приближении гидростатики, так и в полной задаче совпадают и равны двум.

Таким образом, ледяной покров существенно влияет на характеристики волн Кельвина в области коротких волн (десятки и первые сотни метров), для длинных же волн (тысяча и более метров) его роль незначительна. Приближение гидростатики искусственно завышает порядок уравнений по пространственным переменным в задачах, в которых учитывается влияние ледяного покрова.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 12-05-00889 и № 12-05-93086-Норв

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане: пер. с англ. М.: Мир, 1981.

2. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: пер. с англ. М.: Мир, 1986.

3. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях: пер. с англ. М.: Мир, 1981.

4. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: пер. с англ. М.: Мир, 1984.

5. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere. Springer, 2003.

6. Тимохов Л. А, Хейсин Д. Е. Динамика морских льдов (математические модели). Л.: Гидрометеоиздат, 1987.

7. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.

9. Liu A. K., Mollo-Christensen E. Wave propagation in a solid ice pack // J. Phys. Oceanogr. 1988. Vol. 18. № 11. P. 1702-1712.

10. Гаврило В. П., Ковалев С. М., Недошивин О. А. Расчетные средне-многолетние характеристики механических свойств однолетнего льда Баренцева и Карского морей. Справ. СПб.: Гидрометеоиздат, 1996.

11. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра). М.: Физма-тгиз, 1962.

12. Музылев С. В. Волны в океане под ледяным покровом: основы теории и модельные задачи // Современные проблемы динамики океана и атмосферы. М.: «Триада ЛТД». 2010. С. 315-345.

13. Марченко А. В. Изгибно-гравитационные волны // Тр. ИОФАН. 1999. Т. 56. С. 65-111.

14.Goldstein R. V., M a rchenko A. V. "Edge waves in the fluid beneath an elastic sheet with linear nonhomogeneity". In: Surface Waves in Anisotropic and Laminated Bodies and Defects Detection, 143-157. Kluwer, 2004.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.