Волны деформации при образовании локального дефекта в пластинах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция акустических и медицинских приборов

УДК 621.791.052.08

В.Б. Дгодин, В.Н. Зуев

ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ ЛОКАЛЬНОГО ДЕФЕКТА В ПЛАСТИНАХ

В настоящее время накоплено много экспериментальных данных, доказывающих, что в большинстве случаев акустическая эмиссия из металла, подвергаемого напряжению, может быть связана с движением дислокаций и изломами. Это доказательство приводит к допущению, что первоначальный “упруго-пластичный” импульс является дискретным явлением и может приближенно рассматриваться с точки зрения обнаружения сигналов как точечный источник со спектром в начале мегагер-цового диапазона.

В этой связи актуальной является задача о возбуждении волн деформации при образовании в пластине локального дефекта.

В работе [1] частично эта задача решена для волн деформации, возбужденных развивающимся точечным дефектом сварки для полубеско-нечной среды.

На основании этого решения установлено, что на поверхности пластины полу бесконечной толщины возможно образование только одного типа волн, а именно поверхностной волны Рэлея.

В работе [2] решается задача возбуждения волн деформации дефектом сварки в пластине конечной толщины, но из-за сложности расчета поля в пластине конечной толщины рассматривается только возможность использовать результаты работы [1] для расчета волн Рэлея в тонких листах.

В предлагаемой работе сделана попытка решить эту задачу в общем случае.

Рассмотрим пластину толщиной h, в которой на глубине Го возник сигнал акустической эмиссии вследствие микровзрыва с симметричным во всех направлениях движением акустоэмиссионной волны (рис.1).

В этом случае распределение внезапно изменившегося на глубине

от поверхности пластины объема &) по осям координат и времени может быть представлен в виде дельта-функции Дирака [1]:

Здесь рассматривается только распространение энергии от места возникновения источника АЭ, в описании деформации принята дельтафункция 5(/), характеризующая всплеск энергии (сама деформация остается).

(1)

2

о

г

1 приемник акустических сигналов; 2 - деформированная бегущей волной пластина; 3 - распространяющаяся по пластине упругая волна.

Рис. 1. Схематическое изображение элемента пластины с внезапно образовавшимся на глубине го дефектом є

В задачах, связанных с распространением звуковых волн в пластинах, обычно выбирают цилиндрическую систему координат. При этом ось г располагают перпендикулярно поверхности пластины, а начало координат помещают на одной из плоскостей пластины или на расстоянии /?/2, где И толщина пластины. Вектор перемещения в данном случае будет иметь ВИД и = ( иг, ип, и г).

Для симметричных задач вектор смещения не зависит от 9 {/= (IIг, 0, (/г), а компоненты вектора смещения можно представить в виде

где скалярный (р и векторный потенциалы V)/ найдены из уравнения

І/ д(Р дУ

' дг дгаг

0 = grad (ф) + rot (vf/). (3)

Напряжения через потенциалы выразятся при помощи формул:

О =Ц

г 52ф д д\\> Л

2——---------------------Д\|/ + 2—-Ч

дгдг дг дгдг' у

Подставим значения (/г и (/. в волновые уравнения, при этом помня, что решается плоская задача. Для нашего случая волновые уравнения примут вид:

Э:ф 1 Эф Э2ф 1 52ф

дг2 г дг дг2 с2, а/2

1 дц/ а2ф 1 а2м/

[дг2 г дг &2 С2з Э*2

50т—5(г-20)6(/); 2кг

= 0,

(4)

где

.2. (Я.+ 2 Ц)

С, -

• продольная упругая волна;

С,' =----сдвиговая (ппоперечня) волна;

Р

р — плотность среды.

Дифференциальные уравнения (4) при граничных О.(г,0,/) = СУ0,/) = 0 и начальных условиях

ф(г,г,0) = эгй£« = ч<(г,2, о) = *££°>=о ,5,

5/

могут быть решены методом интегральных преобразований.

Применив к (5) интегральное преобразование Фурье по / и Ханкеля по г, получим:

£_

&

-I _ у2|ф = /^5(2 - *0);

!?■ 2тс V я

(К)

(7)

СО"

0)"

с* I

С~2

Уравнения (6) и (7) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Их решения имеют вид:

ф(а,г,(о) = А]е'’': +А2е +<р(г)-, (8)

(¡/(а,г, со) = В^-1 + В2е^:, (9)

где А1 , А-,, В,, В: - константы, а ф(г) - какое-либо частное решение

уравнения (6).

Это решение можно предоставить в виде ряда Фурье:

^ |р Ф1(а,2,со) = 2(атсо8Лга2+Лт81пЛт2)бш =т~. (10)

я!=0 "

Если выражение (10) подставить в уравнение (6) и воспользоваться представлением дельта-функции в виде ряда Фурье, то получим

Ф,(а.г,<о) = Д +

471У,/7 V Я 27П'/? V я^г;

С05 Ьт2 + -Т ^¿0 зт Ьт21 (11)

чу,2+Ьт2 " у?+ья2 т)

Применяя к уравнениям (8) и (9) обратное преобразование Ханкеля, получим

со

(р{г,2,со) = ]*[,4|£г''|Г +Аге~у': +ф(г)\а.10(аг)с1а. (12)

о

цг(г,г,(о) = +В{'г':\с.10(аг)с1а. (13)

о

Выражения (12) и (13) это трансформанты Фурье (преобразования Фурье) для потенциалов ф(/',2,ш) и Ц/(г,г,0)). Так как граничные условия не зависят от времени, то их можно заменить трансформантами Фурье:

а. (г,0, со) = дг (г, И, со) = 0, (14)

ап (г,0, со) = ап (г, А, <о) = 0. (15)

Аналогично можно поступить и с перемещениями:

9» я»

дг2 г дг

(Т>й+-Ё£_

дг дгдг, * &

(16)

Подставим выражения (12) и (13) в уравнение (16) и получим

00

иг(г.г,со) = -]\а[/11еУ|‘* + А2е~'1,: +^,)+аУ2(В,е4’!Г -В2е~'’1:)}гУ1(аг)с/а? (17) о

и:(г,г,со) = \ - А2е^ + ^ + а2(б1^' +В2е'^)

а./0(аг)с/а. (18)

Трансформанты Фурье для напряжений запишутся следующим образом:

>» ди-^1 ст. = 2//——=- +А

сг

=И

77 А

£/г диг ди.

г дг дг

[ Мг + ».

1 & аг

(19)

(20)

Подставим в полученные уравнения для сг. и д’п значения перемещений иГ и 1/.:

= /[2^у2,(^ +А2е-*)+^ + а\{р/‘ -Вге-")у

+ я!"(у,3-аг)(4|еу,г+Л2е~У|1)+^—^-а2^ ]aJ0(ar)cJa, (21)

= -/|| 2^ук4,е’к* +^- + (а2 +v22){вle'1I +Вге'’1,)|

сГ./,(ш-у/а • (22)

Для дальнейшего решения воспользуемся граничными условиями (14), (15). Для этого положим в выражениях (21) и (22) 2 = 0 и г = И.

Полученные результаты приравняем к нулю и получим систему уравнений относительно коэффициентов Ап А2, 5,, В2:

а,Д +а12А2 + а|3Я, +аиЯ2 = А, а*)\А^ 4" С1-,-,А 1 4" С!у\В\ 4“ а2^В2 — Ат ¿^1^1 а^А^ ■4' а^^В^ а^^В^ — А^

о4,^| + Ап 4 о^^В\ + о44Я2 — А4

(23)

Выражения для коэффициентов системы (23) определяются по формулам

аи = 2//у,2 + я(у,2 -а2\а]2 = аи,аи =2ца\,а^ = -а|3,

А, = ЯаГр, (0) - (Я + 2//)^|^;

йг"

°21 — ^11^ ' ’а22 ~ а\2е ' >°23 — ’°24 ~ °\Ае " >

Ат = Астр, (л) - (я - 2//)^^;

аг\ = 2у„о32 =-о3|»°зз =°2 +У2%°34 = °зз> _ ^,(0).

А, = —

йг ’

°4| — °3|е ' >°42 ~°}2е ' >°43 — °33е * ’°44 ~ °Ие ‘ •

_ ду,(А)

Ь.=-

дг

После найденного решения системы (23) относительно величин А, ,

и подстановки их значений в выражения (18) и (17), сделав

обратное преобразование Фурье и положив 2 = 0, получим окончательные формулы по расчету смещений от точечного взрывного источника в

пластине:

иг(г.0,0 = ]-}}[-44, +А2 -й(0))+ оу2 (Д, - В2)] • сое ам ■ а •./, (аг)с1ох1а. »*00

и.(г,0,г)=^1 -А2 + ^р^+а2(/?, + В2) сова* а^п(аг)с1ах1а.

Входящие в эти уравнения коэффициенты могут быть представле-

ны:

й(о) = _£°_ I* , £о /Ту 005Ь^о

^У) 2щИ V я- у,2 + А..2

дг 2лу,А

Й

Ь„^пЬтг0

V » Л т=| у|

2 .2 у, +А_

А, +А, = —

Д

А,-А, = —

' - д

в.+в, = — д

й,-в, = — * /7

(а2 + X21 А, + К

л/?(у2/|) л/|(у, + у2 )Л

-2с,гр«\

А,с/Л(у, + у2)Л + Ь,

5й(у, + у, )Л

(а2 +12/-Ьс1Ь(у + у,)/(+ А —сЦу^И) Л _2с:ра?у ГЛ’МУ:^)

1 \ 1 ^,а(ч+ч.К) Г 'Чч+'ъУ

2у,[ А,с/Л(у, + v1)h-Ьг -■-^|/|). 1 + (с,2ру2 + /.а: (б,-Ь4

^ + у2)А \ л% +у2)Л |

_ (с.’-ру,2 + Ха2 (¿,С/Л(у, + У2 )Л - Л4 ¡у'^А \ .5Я(У, + У2 у/

2у, -¿ц + 6,

,гА(у, + у2)А

2 2 I 2 2 2 I 2

у, = а ;у2 =а -лг2 Д = {а2 + Л'Чрс,2^2 + Ла^-Лрс^а2*^.

При решении конкретных задач коэффициенты значительно упрощаются. Так, для пластин малых толщин лЛ(у/»)« У Л, сН{\>И) ~ 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Недосека А.Я. Волны деформации при развитии дефектов сварки. //Автоматическая сварка. 1984. С. 12 - 15.

2. Недосека АЛ., Корж В.П. Волны деформаций при возникновении дефектов сварки в пластинах. //Диагностика и прогнозирование разрушения сварных конструкций. 1986. Вып.З. С. 33-37.

3. Новацких В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

УДК 534.222

Г.Г. Пашков, В.А. Воронин

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДАХ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА

Распространение акустических волн в однородной среде достаточно хорошо описывается однородным волновым уравнением. Скорость звука в среде рассматривается в этом уравнении как постоянная величина. Однако в реальных условиях скорость звука - величина меняющаяся при распространении волн. Это изменение скорости звука может зависеть от разных причин: флуктуации температуры, плотности, солености и т.д. Поэтому необходимо учитывать, что при прохождении волн в жидкой среде скорость звука может меняться уже на длине волны, поскольку масштабы изменений скорости звука могут быть сравнимы с длиной волны.

В представленной работе рассматривается, как меняются характеристики акустических волн распространяющихся в среде с изменяющейся скоростью звука, причем мы предполагаем, что скорость звука меняется плавно на интервале, равном длине волны.