Волновой тепломассоперенос при учете турбулентной вязкости и диффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 1 (2011), с. 112-124.

УДК УДК 551.466.8

А. А. Слепышев, А. В. Носова, В. О.ПодрыгА

ВОЛНОВОЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС ПРИ УЧЕТЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ

Асимптотическим методом многомасштабных разложений исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн при учёте турбулентной вязкости и диффузии. Определяется вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа, которая при учёте турбулентной вязкости и диффузии отлична от нуля. Определяются вертикальные волновые потоки тепла и соли. Показано, что вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа приводит к накапливающейся деформации профиля средней плотности, которая для высших мод может трактоваться, как необратимая тонкая структура, генерируемая волной.

Ключевые слова: внутренние волны, нелинейные эффекты, турбулентная вязкость, диффузия, стоксов дрейф

1. Введение

Механизмы перемешивания в морской среде пока ещё недостаточно изучены. Турбулентность в стратифицированной толще жидкости имеет перемежаемый характер и порождается преимущественно гидродинамической неустойчивостью течений и внутренних волн. Вертикальный обмен обычно связывают с такой перемежаемой или «фоновой» турбулентностью, вводя эффективные коэффициенты турбулентного обмена. Известно, что внутренние волны при учете турбулентной вязкости и диффузии затухают [1]. В данном случае «фоновая» турбулентность играет роль диссипативного фактора для внутренних волн. Отметим, что при этом появляется фазовый сдвиг между колебаниями вертикальной скорости и плотности (температуры, солености). За счет указанного фазового сдвига вертикальный поток тепла изТ отличен от нуля(здесь из — вертикальная скорость, Т — волновое возмущение температуры, черта сверху означает осреднение по периоду волны). Это же относится и к вертикальному волновому потоку соли. Ниже будет показано, что при

учете турбулентной вязкости и диффузии отлична от нуля вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа, которая тоже вносит свой вклад в волновой тепломассоперенос. При распространении пакета внутренних волн индуцируется среднее эйлерово течение за счет нелинейности [2, 3]. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из эйлеровой скорости индуцированного среднего течения и скорости стоксова дрейфа и, естественно, вносит свой вклад в волновой массоперенос. Представляет интерес сравнить волновые потоки с турбулентными потоками для типичных амплитуд внутренних волн на шельфе Черного моря.

2. Постановка задачи

Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений при учёте турбулентной вязкости и диффузии решаются асимптотическим методом многомасштабных разложений. В первом порядке малости по крутизне волны находится решение линейного приближения и дисперсионное соотношение при реальной стратификации и заданных коэффициентах турбулентной вязкости и диффузии. Находятся погранслойные волновые решения у дна и свободной поверхности и декремент затухания волны на турбулентности. Определятся вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа. Во втором порядке малости по крутизне волны находится среднее эйлерово течение, индуцированное волной за счет нелинейности. Определяются вертикальные волновые потоки тепла и соли и сравниваются с соответствующими турбулентными потоками. Принимая в качестве исходных уравнений для волновых возмущений, уравнение Навье-Стокса для неоднородной жидкости и вводя безразмерные переменные по формулам (чертой сверху обозначены размерные физические величины).

X = Ихг (г = 1,3), I = у1^^, Сэ = Н(з, Щ = /дИщ,

- к _ ш^дИ

Ро(хз) = Ро(0)ро(хз), k = — , ш = - ,

P = po(0)gHP, K = K\ß, K3 = K:iß,

_ _ 2 1

Ml = Miß, Мз = M:iß, е22 = v-^-s,

g 2 H 2

где g — ускорение силы тяжести, Ui (i = 1, 3) — соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты волновой скорости течения, H — глубина океана, р0(хз) — профиль средней плотности, (з — возвышение свободной поверхности, Ki, Mi — коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии, ß = Ki, k — горизонтальное волновое число, ш — частота волны, - — длина волны, получим систему уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска.

диг dui дР 2 дК-i ЛИ + 2 дК3 Ц

+ иг^— — —Ö--+ £2 -Ö--г £2 -^-;

dt dxi дх1 дх1 дх3

диз + диз дР + 2 дК1 Ш + 2 дК3 S

"ТТТ + Ui—— — ----+ £2 ----+ £2 --

дt дх-i дх3 дх1 дх3

дР + др 2 дК1 Z + 2 дК3 Z дро

<ж дх^ дхг дх3 дх3

Р — о.

дхг

Граничные условия на свободной поверхности — кинематическое и динамические условия [4]:

dCa

dt U3>

2Т, ди3

— P + Сэ + 2£22K3 dx3 = 0, (2)

кз ^ + K рэ = 0.

дхэ дх1

Первые два условия определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напряжений. На дне примем условие прилипания:

из(-1)=0, ui(-1) = 0. (3)

Граничные условия по плотности первого рода (постоянство плотности на границе):

при хз = (з :

Р = pK1(x1,t) = const,

(4)

при х3 = —1 :

Р = pK2(x1,t) = const. Указанные граничные условия сводятся к виду:

при х3 = 0 :

Р(0)+ Z3 ^ + С £ =0,

при х3 = —1 :

Р(—1) =0.

(5)

Следуя методу асимптотических многомасштабных разложений решение исходной системы уравнений (1) будем искать в виде асимптотического ряда [3]:

Ф = £ епФп(£,т,г,6),

П=1 (6)

Р = Е епРп(£,т,г,6), п= 1

где Ф(хьх3^) — функция тока, которая определяет поле волновых скоростей

/ЭФ ЭФ \

(ЭХз — горизонтальная скорость, — -г^ — вертикальная скорость), е — крутизна

волны (е ^ е22), т = e2t, £ = е(х — Cgt) (Cg — групповая скорость в линейном приближении). Здесь 6 — быстрая, £ и т — медленные переменные, 6 — фаза волны. Волновое число и частота определяются по формулам: к = -Ц, ш = — -Ц.

3. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Подставляя разложение (6) в исходную систему уравнений движения и приравняв члены при одинаковых степенях е, с точностью до е1 получим:

9Ф1 = JJpi + д — Ш д6 = кд6 + кд6

д

кд6 [Klk д62

2 д2ФЛ , д (т^ д2Ф1

+ дх3 \Кзк д6дх3

е22 +

+

д

дхз

к2К д3Ф1 + д / д2Ф1 д62дх3 дх3\ дх32

е2

(7)

дР1 ,д Л, ,дрЛ 2 д ( дрЛ 2 дро дФ1

— — кдв(М1кд} е2 — дХХ3 Г3 eXTJ е2 —

(8

Волновые возмущения функции тока Ф1 и плотности р1 представим в виде:

Ф1 = А^1е}в + к.с., р1 = Ап1в1в + к.с. (9)

Подставляя (9) в уравнения (7), (8) получим уравнения для ^1(х3) и п1(х3):

d

d

гш — к2М^2 + е2^— М3 — dx3 \ dx3

к2 (к2Кт — -d- (К3 )) + А- (—к2К1 ^ + -d-[K3 \ -х3 \ dx3 / / dx3 \ dх3 dх3

— ге22ш[ к2М1 — ( M3-d-

-х3

' -х3

-к2 + — -х3

2

= шЧ —к2 + d

d2^1 dх32

2J V1 =

2

е22-

-х3

dpo

П — к2-х.п. (10)

гш — к2М1е22 + е22-^ ( М3-f- ) ) n1 = —гк^Р0

dx3

d ' dx3

' dx3

х

Из граничных условий (2), (3) получим с точностью до £1:

на свободной поверхности х3 = 0 :

~Т- + гк-1£22 — - 2гв2гК3к

— к ах3 ах3 ах3 \ ах32

Кз 0 + К1к2^1 = 0,

на дне х3 = —1 :

= 0£1 = 0

ах3 '

Граничные условия для функции щ имеют вид: на свободной поверхности х3 = 0 :

(11)

П1(0) + ——^1(0) ^ = 0, ш01 ахз

(12)

на дне х3 = —1 :

щ(-1) = 0.

Первое уравнение (10) имеет малый параметр при старшей производной. Следуя [4, 5], это уравнение при малом £2 будем решать асимптотическим методом Люстерника - Вишика, разлагая п1, — в ряды:

= ^ Ри(х3 )£2г + £2^2 ^Л1в2г + £22^ £2гУ°, г=0 г=0 г=0

П1 = ^ П1г(х3)£2г + £2 ^ wг1е2г + £22 ^ £2^г0, (13)

г=0 г=0 г=0

2

— = —01 + £2—02 + £2 —03 +

где ^г1((1 + х3)/£2), адг1((1 + х3)/£2) —погранслойные решения в окрестности дна, Уг0(х3/£2), wг0(х3/£2) —погранслойные решения в окрестности свободной поверхности. В нулевом порядке малости по параметру £2 получим краевую задачу для ^ю

и связь между *10 и п10:

-01 I-к + дх?) *10 - *10 = 0' к2

*10

йхз -012

*10|жз=-1 = °

к йр0

П10 =--1—*10.

-01 ахз

= 0,

хз=0 (14)

Краевая задача для в (14) имеет счетный набор собственных значений к, соответствующих различным номерам мод при фиксированном —01- Входящие в разложение (13) погранслойные решения у1 и Уг0, быстро затухающие при удалении от границы, необходимы для удовлетворения граничных условий (11)- Погранслойные решения в окрестности дна, свободной поверхности, функция *12 и декремент затухания волны 5ш = 1т £22-03 получены в [6].

4. Нелинейные эффекты

Осредняя уравнения движения по периоду волны, получим во втором порядке

малости по крутизне волны уравнения для неосциллирующей поправки к функции тока С(£, т, хз):

£2

д 2

дх32

,Кз дх з2 )

кг

д

дхз

-к2 +

д2 дхз2

+ к-с-

ЧА1

(15)

где А1А1* = А1А1* ехр(-2|£—|т).

Из (15) следует, что функцию С(£,т, х3) следует искать в виде: С(£,т, х3) = е(х3)Л1Л1*, причём функция с(х3) удовлетворяют уравнению:

- Ш? 0) = ^ ( (-к2 + ^) + к.с. (16)

Уравнение (16) следует дополнить граничными условиями, вытекающими из (2), (3):

при х3 = 0 :

й2р1 2 й с12е

1кр1*-^- + к.с. = е22-— К

йх32 ' " °2 йх3\ 3йх32 при х3 = 0 :

й2с (17)

= 0,

йх3

при х3 = —1 :

йс йх3

Подставляя разложение (13) для функций р1 х3 в уравнения (16) и граничные условия (17), получим уравнение и граничные условия для решений с(х3) в основной толще жидкости (без учёта погранслойных решений у дна и свободной поверхности):

й2с\ й (( , 2 й2

йх32 \ йх32) йх33\\ йх3

К3р—2 ) = Р120-у— ( ( —к2 + ) р1о) -

- М (Г'к + ^х?) ( , (18)

здесь (120 = — действительная функция. Граничные условия для с(х3): при х3 = 0 :

й2р10 о; й2 Р120 й ( й2:

2к Р120—-,—о0 - 2к Р10 2 = -1— К

йх32 йх32 йх3\^3йх32

при х3 = 0 :

= о (19)

йх32

при х3 = -1 :

йс о

йх3

Краевая задача (18), (19) при постоянном К3 решалась аналитически, интегралы вычислялись численно. Горизонтальная и вертикальная и компоненты скорости

2

й

среднего течения, индуцированного волной за счёт нелинейности, определяются по формулам:

л л 2 йс 2 / ч д|Л112

и1инд = (М1|) ^ и3инд = с(х3)~ох^.

Индуцируемые пакетом течения и возмущения плотности присутствуют только в области пакета, т.к. С пропорциональна|Л1|2, после прохождения пакета невозмущенный профиль среднего течения и средней плотности восстанавливается- Величина бЛ.1 находилась по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений (тах ( = 0.5 м). Действительно, если функция тока Ф1 линейного приближения определяется по формуле (9), то можно найти вертикальное смещение £, используя соотношение | = 43:

( = еЛ1 ехр(гкх — г—01Ь) + к.с.

—01

Отсюда следует

max Z еЛ1 = s

2 max Ы zi

Необходимо заметить, что индуцируемые за счет волновых напряжений течения следует отличать от стоксова дрейфа частиц жидкости, который присутствует и в плоской волне. Средняя скорость стоксова дрейфа частиц жидкости за счет осциллирующей части волнового поля определяется по формуле [7]:

t

us = J u dt'Vu, (20)

0

где uS — поле волновых эйлеровых скоростей, черта сверху означает осреднение по периоду волны. Суммарная скорость дрейфа частиц жидкости складывается из эйлеровой скорости индуцированного среднего течения и скорости стоксова дрейфа. Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа с точностью до членов, квадратичных по крутизне волны, будет иметь вид:

uas = е2 k2 ^Ш/-(^1*) AiAi* (21)

ш ш* дх3

При отсутствии турбулентности, когда коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии равны нулю (Ki = Mi = 0), 5ш = 0 вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа равна 0. Профиль вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа для внутренних волн низшей моды с периодом 1 ч показан на рис. 1.

Расчёты делались при следующих коэффициентах турбулентной вязкости и диффузии Ki = 1 м2/с, K3 = 10-4 м2/с, Mi = 0.5 м2/с, M3 = 0.5 ■ 10-4 м2/с и профиле частоты Брента - Вяйсяля, показанном на рис. 2. На том же рисунке показаны профили средней температуры и солёности.

Рис. 1. Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа.

Рис. 2. Вертикальные профили солёности (а), частоты Брента-Вяйсяля и температуры (б).

Как отличалось ранее, эйлерово поле скорости индуцированного течения не приводит за время прохождения пакета к перемещению частиц жидкости по вертикали и не вызывает необратимой деформации профиля средней плотности, но учет

а

стоксова дрейфа по вертикали может привести к остаточной деформации профиля средней плотности. Таким образом, волны за счет отличия от нуля вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа приводит к необратимой деформации профиля средней плотности. Накапливающаяся деформация плотности будет иметь вид:

г

Р = - из.3 -— м =

.] —Х3

0

dP0 о 2] 2 2 w030 d

= ■ 2 £2k2£2

-X- (<P10 ■ P10*) J AA*dt (22)

dX3 Ш012 + £24 ■ Ш0302

0

После прохождения пакета в интеграле (22) необходимо поставить в верхнем пределе т.е.

р = - ■ 2 e2k2S22 ■ „Ш030-2 (^ю ■ ^ю*) ■ f A\Ai*dt' (23)

dx3 Ш0\2 + ^24 ■ Ш0302 dx3 J

0

Таким образом, внутренние волны при наличии турбулентности производят накапливающуюся со временем необратимую деформацию средней плотности, причём для высших мод такая деформация может интерпретироваться как тонкая структура, генерируемая волной. Сделаем оценку интеграла в (23), учитывая, что Ai ■ Ai* = Ai ■ Ai* ■ ехр(—2е2216ш031 ■ т), тогда в пределе слабонелинейной плоской волны (при A = A0 = const) (23) преобразуется к виду:

Р = - ^ ■ 2 +k\-2 (V10 ■ V10*) ■ C2A0 A0* (24)

dX3 Ш012 + £24 ■ Ш0302 dX3

На рис. 3 представлен профиль необратимой поправки к средней плотности у внутренних волн низшей моды с периодом 1 час. У второй моды волн с периодом 1 ч профиль вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа показан на рис. 4. У второй моды вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа выше, чем у первой при той же частоте и максимальной амплитуде волны. С уменьшением частоты волны вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа уменьшается при той же максимальной амплитуде волны, в частности, у двадцатиминутных внутренних волн второй моды вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа выше, чем у волн с периодом 1 ч второй моды (рис. 5а). У десятиминутных внутренних волн низшей моды вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа больше, чем у волн с периодом 1 ч и у второй моды двадцатиминутных внутренних волн (рис. 5б).

t

Рис. 3. Необратимая неосциллирующая поправка к средней плотности.

Рис. 4. Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа у волны второй моды.

Рис. 5. Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа у двадцатиминутных внутренних волн второй моды (а) и у десятиминутных внутренних волн первой моды (б).

Такие, казалось бы, маленькие скорости вертикального переноса обуславливают значимый поток массы. На рис. 6 представлены вертикальные потоки тепла и соли у пятнадцатиминутных внутренних волн низшей моды. На этом же рисунке показаны профили и турбулентных потоков тепла и соли.

а б

Рис. 6. Профили турбулентных и волновых (пунктирная линия) потоков а - тепла, б - соли.

Турбулентные потоки тепла и соли определялись по формулам:

+ л ж аТ0 л ж

= -М3-—, Sf = -Мз-—. ах3 ах3

Волновой поток тепла определялся по формуле дт = и3Т + Т0(х3)и3. (Т0(х3) — средний профиль температуры, из. — вертикальная составляющая скорости стоксо-ва дрейфа, Т — волновое возмущение температуры, черта сверху означает осреднение по периоду волны). Аналогичным образом определялся поток соли д.. Причём, определяющий вклад в вертикальный волновой перенос вносит вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа.

Выводы

1. Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа при учёте турбулентной вязкости и диффузии отлична от нуля и вносит определяющий вклад в волновой перенос.

2. С увеличением частоты волны или номера моды вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа возрастает при неизменной максимальной амплитуде волны.

3. За счёт вертикальной составляющей скорости стоксова дрейфа происходит накапливающаяся деформация профиля средней плотности, которая для высших мод может трактоваться, как необратимая тонкая структура. Это может быть объяснением наблюдаемой тонкой структуры в океане.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. — М.: Мир, 1981. — Ч. 1. — 478 с.

[2] Борисенко Ю. Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР ФАО. — 1976. — T. 12. — No. 3. — C. 293-301.

[3] Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion.// Stud. In Appl. Math. — 1977. — V. 56. — P. 241-266.

[4] Черкесов Л.В. Гидродинамика волн, Киев: Наукова Думка, 1980. — 259 с.

[5] Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования. — 1975. — No. 3. — C. 96-110.

[6] Слепышев А.А., Мартынова И.С. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учётом турбулентной вязкости и диффузии // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — No. 5. — C. 3-22.

[7] Longuet - Higgins M.S. On the transport of mass by time varying current // Deep Sea Res. — 1969. — V. 16. — No. 5. — P. 431-447.