«Волновое» решение задачи изоэлектрического фокусирования в «Аномальных» режимах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

«ВОЛНОВОЕ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФОКУСИРОВАНИЯ В

«АНОМАЛЬНЫХ» РЕЖИМАХ

Л.В. Сахарова

Статья посвящена асимптотическому анализу математической модели многокомпонентных электрохимически активных смесей на примере изоэлектического фокусирования (ИЭФ) в «аномальных» режимах. Методом перевала построено асимптотическое решение данной задачи, имеющее форму экспоненциальной функции с так называемым «волновым» рядом в показателе и являющееся обобщением гауссовской функции.

Ключевые слова: интегро-дифференциальная задача; гауссовская функция; «волновой» ряд Введение

Изоэлектрическое фокусирование (ИЭФ) - один из наиболее употребительных методов фракционирования и анализа биохимических смесей. При одномерном ИЭФ в естественных градиентах pH в электролитическую камеру (ЭК), цилиндр длиной I и радиусом г, помещается раствор амфолитов (амфотерных аминокислот). Для каждого амфолита известны его коэффициенты миграции /лк, константы диссоциации Кк), К 2к) , а также общие количества тк, к = 1,2,..., N. Под действием электрического тока плотности J в ЭК формируется неоднородная по pH среда. Разделяемые компоненты при некоторых значениях pH имеют нулевую скорость миграции и фокусируются в соответствующих областях ЭК. Картина при этом неизменна в любом осевом сечении ЭК. Таким образом, все рассматриваемые величины являются функциями одной переменной х, ось которой параллельна оси цилиндра. Сответствующие точки х = хк называются изоэлектрическими точками.

Для математического описания системы ИЭФ используются следующие функции [1, с.8], [2, с.25], [3, с.31]: концентрация ионов водорода Н(х) ; концентрация гидроксил-ионов ОН, связанная

с Н стандартным уравнением ОН = к'^/Н , где к^ =10 14 константа автодиссоциации воды; аналитические концентрации амфолитов £к (х), к = 1,2,., N. Указанные функции являются

решениями одномерной задачи, громоздкой и достаточно сложной для исследования как аналитическими, так и численными методами. Поэтому автором задача ИЭФ приведена к более удобному для исследования виду [4, с.139]. Установлено, что указанные функции могут быть найдены из формул:

4 (х) = ск (х)Ук (¥), (1)

Н = кк вхр(щ). (2)

где ск, ¥ , (рк (¥) - вспомогательные функции,

У к ¥) = 5к + сК¥~¥к X (3)

являющиеся решением интегро-дифференциальной задачи, включающей N дифференциальных, одно алгебраическое и N интегральных уравнений:

с^к _1 = кк (¥) £ (4)

^ ск Ук(¥) с'

с = ¿ИА (к'к(¥)- (Ук¥ ) + 2Ки^(¥-¥0X (5)

к=1 У к (¥)

¿ск Ук (¥) + 2кЛ ¥ = 0 (6)

к=1

т

0 ск(х)Ук (¥) ^=мк, мк =2“^; (7)

•’0 2т

здесь 8 = RT/F - стандартный электрохимический параметр (величины R, Т и ¥ -соответственно универсальная газовая постоянная, температура и число Фарадея); ¥к, 5к, ¥о, И -

константы, связанные с константами диссоциации амфолитов К1( , К2 , а также подвижностями ионов водорода и гидроксил ионов Мн , мон посредством формул:

/ =2 /»(С >К» ) 5„ = ^Кк '/К «' >, /„ = 2 /»^Мон Ын), М ЧУн Мон ■

Основоположниками математической теории ИЭФ [7, р.26] была построена базовая модель, согласно которой распределение концентрации амфолитов определяется стандартной функцией плотности гауссовского распределения. Гауссовские кривые для концентраций амфолитов получены при компьютерном моделировании ИЭФ многими авторами [6, р.1806], [9, р.972] . Однако, ими же в ряде случаев было получено искажение гауссовского распределения, получившее название "аномальных" режимов ИЭФ [6, р.1806], [9, р.978], [10, р.3740]. В "аномальных" режимах, наблюдаемых, как правило, при высоких плотностях тока, профили концентраций амфолитов утрачивают гауссовский вид, и на вершинах профилей появляются "плато", расширяющиеся при увеличении плотности тока. Автором настоящей статьи также были зафиксированы "аномальные" режимы при численном решении соответствующей интегро- дифференциальной задачи [3, с.34], [8, р.5], (Рис.1).

ТП

ТПП

г

Рис. 1. Трансформации классических гауссовских кривых в "платообразные" в "аномальных"

режимах ИЭФ

Математический аспект наблюдаемого феномена остался за рамками работ [6], [9], [10], являющихся прикладными электрохимическими исследованиями. Какая формула выражает аналитически "аномальные" режимы? Данный вопрос, на который и отвечает настоящая статья, представляет серьезный научный интерес, поскольку гауссовский закон распределения относится к наиболее употребимым не только в теории электрофореза, но и в математической физике в целом. Методом перевала в настоящей работе построена так называемая "волновая" асимптотика решения, являющаяся обобщением гауссовской функции для задачи ИЭФ при высоких плотностях тока. Преобразование интегро-дифференциальной задачи

Для преобразования задачи ИЭФ была введена в рассмотрение новая функция:

ак = сФк (/), (8)

формально совпадающая с функцией концентрации ^к . Этим символом будем обозначать

асимптотическое решение задачи, обладающее условием непрерывности на отрезке, ак е С[/, у/м ]

, к = 1,2,...,N, и бесконечной дифференцируемости в окрестности изоэлектрической точки. Утверждение 1. Система (4) - (7) путем введения новой функции

вк = Фк/Ф = - /кХА + ск(/ - /к'Г1

может быть приведена к виду:

^к 1 = М п + ^ п ----------пк +~ТПк,

dx а,

к

а

dx

dп,

а = 2Мкак~гк + 2кМ сК/ - /0 X d/

к=1

2акпк + 2К^/ = °-

к=1

d/ _ М |

dx

а

.к=1

dп,

= — I I 2ак (п1 +~т->+2к*ск /

\ к=1

d/'

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

где М = 1/е = F/RT.

Доказательство реализуется с помощью алгебраических и диференциальных преобразований системы дифференциальных уравнений (4) - (7).

Представление решения в виде экспоненты

Утверждение 1. Функция ак, являющаяся решением дифференциального уравнения (10), может быть представлена в интегральной форме:

ак (х) = ак (0) Фк (/) ехрМ/ Г —ёх). (14)

кУ ’ кУ ’фк(/(0)) ^ а ’

Доказательство осуществляется непосредственным интегрированием уравнения (10).

Поскольку М = F/RT * 38.9105, то при больших значениях плотности тока решение (14) может

рассматриваться как экспонента с большим параметром М/ в показателе. При подстановке

формулы (14) в интегральное условие (7), с учетом формулы (8), получим уравнение:

ак(0) Г (рк(х)ехр(МГ —йХ)ёх = тк. (15)

ф(/(0)У0^кК ' ^ ^ а к

Утверждение 3. Функция ак е Сш [0, /], являющаяся асимптотическим решением дифференциального уравнения (10), в окрестности изоэлектрической точки / =/к может быть представима в форме:

ак (х) = ак (хк) Фк/ ехр[/к (х)], (16)

Фк (/к )

Як(х) = Г —ёх- Г к — ёх (17)

•,0 а ^ а

Доказательство. Метод перевала [5] применим к интегралу в левой части уравнения (15) в случае переобозначений:

сх П

sk (х) = I —ёх. (18)

•,0 а

Как следует из (3), (11), (18), если ак(/) е Сш[0,/] , то /(х), sk(х) е Сш[0,/], то есть функции удовлетворяют условиям гладкости, допускающим применение к ним метода перевала.

п

Найдем критическую точку функции (18), используя соотношения (3) и (9): 5 'к (х) = 0, = 0,

а

следовательно, 5к//-/к) = 0, /-/к =0, а значит, экстремум достигается в изоэлектрической точке х = хк . Кроме того,

да=-/х-Пк—. <( х,. )=х). (19)

а а а( хк)

Ясно, что я’к(хк ) * 0, К,( хк )< 0, а это означает, что х = хк является точкой максимума.

Применение метода перевала к уравнению (15) дает формулу:

ак (х) = ткФк (х)(Фк (хк )

2^ + о((М)-1))-1 ехр[М(Г^ск - Гк^ёх), (20)

*0 /г •'0 /г

*к"(хк)М/ Л) а А) а

откуда и вытекает формула (16). Утверждение доказано.

Получение асимптотики /Ч хк )

Рассмотрим формулу (13) в окрестности изоэлектрической точки. Оценим вклад отдельных сомножителей уравнения. Примем два допущения, вытекающих из поведения профилей в "аномальных" режимах (Рис. 1).

Допущение 1. Вклад слагаемых с сомножителями а1, I ^ к, в суммы уравнений (10) - (13)

пренебрежимо мал по сравнению со вкладом слагаемых, содержащих сомножители ак-1, ак+1, то есть

2акПк * ак-А + ак+1Пк2+1 • (21)

к=1

^ а (х )

Допущение 2. Так _1 + —Т~) + 2к^ ~ ак (хк_(К) = і к ;

*=і dк і + ^

< х, <.

Очевидно, что поскольку хк-1 < хк < хк+1, то

ак-і(хк) = ак-і(хк-і) (рк-іКк)) ехР[/-і(хк)], (22)

Фк-і(К-і)

Sk-і(хк) = Г к __~^dx - [ к-і ¿х = ГХк Ж± ^х; (23)

•Ю /т «Ю /т *х, і /*г

к-і к)

'" а -,0 а ■1хк-і а

ак+і(хк) = ак+і(хк+і) (Рк+(Кк)) ехР[/+і(хк)], (24)

Фк+і(Кк+і)

хк —к+і , схк+1 _+, , гхк+і _

-10 а -10 а -х а

Sk+і(хк) = | к —к±ІdХ-|к+і ——dХ = к+^—к+іdХ. (25)

х — х / — /

Преобразуем интеграл (23). Выполним замены: -----------—— = t, ---------—— = и

хк - хк-1 /к -/к-1

V (х ) = -(х -х )Г нЬ((/к-1 -/)и)_____________ё

°к-1\лк) \ к к-\) Г с 7 ,, ч ч * // ч. ч "

* 5к-1 + сИ((/к-1 - /к)и) а((хк - хк-1У + хк-1)

Аналогично преобразуем интеграл (25):

V (х ) = -(х -х )Ґ *Ь((Кк -Ук+»

Sk+і(хк) (хк+і хк)Г0 . + ,(, -к .

^ А А 'к Гк+ц^______________________±_________

-и ч-ч+і Ч)Г0 5к+і + сЬ((^к -¥к+і)у) а(хк+і - (хк+і + хк )у)

(26)

(27)

к

В соответствии с (23), (25) введем обозначения:

^к-1(хк ) = -рк-1> ^к+1( хк ) = -^к+1. (28)

Как следует из (26), (27), Рк-1 > 0, Рк+1 > 0 . Тогда, с учетом (22), (24), (28), соотношение (21) может быть переписано в виде:

ак-1( хк )Пк2-1 (/к ) + ак+1(хк )Пк2+1 (/к ) =

= ак-1(хк-1 )Пк2-1 (/к )ак-1 ехр(-Мрк-1) + ак+1(хк+1 )Пк2+1 (/к )ак+1 ехр(-Мрк+1X (29)

„ = Фк-1(/к) „ = Фк+1(/к)

Фк-1(/к-1) Фк+1(/к + 1)

Следовательно,

ак-1(хк )Пк2-1 (/к) + ак+1(хк )Пк2+1 (/к) = о(ехр(-Мр)), р = т1п(^к-1. Рк+1). (31)

Формула (13) в точке х = хк приобретает вид:

К

Х/(і + Зк) ак-і(хк )п2 , V , .то ч , ак+і(хк )п2

( ) _А:-і(КкК-і ехР(-Х/Рк-і) + +( ) _к+і(Кк)«к+і ехр(-А/^к+і)

ак(хк) ак(хк)

а( хк)

.(32)

В случае, если достигнут аномальный режим, ак (хк ) = а0 ([16]), и оценка (32) в точке приобретает форму:

К'х *-М/

0( хк)

_к-і (Кк )ак-і ехР(-М/Рк-і) + —_к+і (Кк )ак+і ехР(-М/^к+і)

V ак ак

. (33)

К'х (хк ) = 0(М/ • еХР(-М/Р)). (34)

Отсюда, на основании формул (і9), (33), в аномальном режиме

XI

хк) ~ 2/ \ а (хк )

а а

V"(хк) - _к-іКк)«к-і ехр(-Х/Рк-і) + —к2+і(Кк)«к+і ехр(-Х/Рк+і)

V ак ак

к

С учетом (35) оценим производную /(хк ) :

\2

.(35)

к"( хк) = - ^X/^1)'f<f( \ Так(хк)—_ (Кк). (36)

ак(хк)а (хк) к=і

С учетом (36), применением метода математической индукции получим следующую оценку в точке

(37)

х = хк ■

(„) (X/(і + 8к))п п+1, \

К*(хк) = - , ч п , Так (хк)_к і (Кк).

/ N п, , / /аАк;

ак (хк )а (хк ) к=і

или, в аномальном режиме:

КхП)

(X/)п (і + 8к)

0

ап (хк)

а

к-і п п+і

а

Л

V а°°

—п+ (Кк )кк-і ехР(-Х/рк-і) + —Г Сі (Кк К+і ехР(-Х/рк+і)

а

(38)

К)(хк) = 0((Х/)п ехр(-Х/р)).

.х ,„и„. (39)

Получение асимптотического решения задачи в общем случае

Утверждение 4. В "аномальном" режиме в окрестности изоэлектрической точки / = /к решение задачи (10) - (13) имеет вид:

/ ч 0 Фк (К) ак (х) = ак , ч ехР

Фк (Кк )

-2

п=2

(X/ )п (х - хк)п

Л

ап (хк )

п!

Ак (X/)

(40)

аа Ак(X/) = —ТіЧхкК-і ехр(-А/Рк-і) + ^ —;++/(хкК+і ехр(-А/Рк+і).

-0

к+і п п+і ,

а

а

а

Доказательство: На первом этапе на основе формулы Лейбница и равенства (9) получена

общая формула для производной функции 5,")(хк )

(—

,(п-і)

= (—к )хп-і)а-' +Сі-і(—к )хп-2)(а-')' +........+ Сі-і(—к )х (а-')( п-і)

(4і)

На втором этапе , с учетом (11), (34) получена оценка для значения а (хк): а'(хк ) = о(Х] ехр(-Х/Р)); затем, применением метода математической индукции, с учетом (39), получена следующая оценка:

а(п)(х,) = о((Х/)" ехр(-Х/р)). (42)

На третьем этапе, на основании этапов 1 - 3 был сделан вывод, что 5,")(хк) в окрестности

изоэлектрической точки имеет порядок старшей производной / основании формулы (37) справедлива оценка:

кк

("-1) по М. Следовательно, на

І'П х, ) = - ^}

-і 0

ап ( х, )

аа

к-і —П(хкК- exp(-XIРk-і) + —п++іі(х,К+і ехрМк+і)

V ак0

а

. (43)

На четвертом этапе функция 8к (х) была представлена в виде стандартного ряда Тейлора,

коэффициенты которого были рассчитаны с использованием формулы (43). После подстановки ряда в (16) была получена требуемая формулировка (40). Доказательство окончено.

"Волновая" асимптотика для случая равномерного распределения Случай так называемого равномерного распределения характеризуется равномерным шагом по константам диссоциации и изоэлектрическим точкам. В этом случае, как следует из (3):

-1 -/к =/, -/к+1 = A/, хк- хк-1 = хк+1- хк = А*, 5к-1 = 5к = 5,+1. На основании ф°рмул (26Х

(27), (28) Рк-1 = Рк+1, ак-1 = ак+1. Кроме того, а¡^ = а, = а10+1 = а0. Равномерное распределение

характеризуется отсутствием асимметрии профилей концентрации и их "классическим" гауссовским видом в обычных режимах. Как следует из формул (9) и (34), для равномерного распределения /,

Пк-1 = -Пк+1, а значит,

42п-і)( хк) = 0, *Г(хк ) = -(X/)

(2п),

-і 2ак-і—к-і (хк )

а2п (хк)

ехР(-Х]Рк-і).

0

х=х

к

х=х

к

п

2п

г Л 0 Фк (У) ak(X) = a ( л exp

Фк (Ук)

(

n=2

(AJ ynexp(-AJpk-і) a2n (Xk )(2n)!

(x - Xk)2nC(Xk)

(44)

Ведем в рассмотрение обозначение ряда в показателе экспоненты (44):

Un (X, Ao) = A ,,°XP>A-і) (X - Xk )2n Ci (Xk), G (Xk)(2n)!

A0 = AJ.

Применением стандартной теории числовых и функциональных рядов доказываются следующие свойства данного ряда, который далее будем называть "волновым".

1. Ряд сходится абсолютно при любых конечных значениях X и Л0.

2. Функция ип(х,Л0) по параметру Л0 представляет собой асиммет- ричную "волну" (Рис. 2), наибольшее значение которой равно:

п

\2п

un (X,Ar ) = un (X,

) _ (2n) e-2n

------) _------;-----Є

Pki

(X - Xk Г Сі(у)

®2n (Xk )(2n)!

Рис. 2. Схематический чертеж взаимного расположения графиков функций

3. Для любого значения параметра Лп, существует конечное число "волн" 1/к(х,Ап), таких, что | ик(х,Лп) |> 8, где £ —любое сколь угодно малое число.

Выводы

Функция ак, являющаяся асимптотическим решением задачи (10) - (13), для равномерного распределения представима в виде экспоненты с "волновым" рядом в показателе. Исследование свойств "волновых" рядов показало, что для каждого значения плотности тока J имеется конечное

число членов ряда ("волн") содержащих сомножители вида(х — хк)~ и обладающих существенным вкладом в сумму ряда; величины / увеличиваются при возрастании плотности тока J . Между тем, "плато" на вершине профиля функции ехр(—х21) тем шире, чем больше значение / в показателе функции (Рис. 3). Проведенный анализ объясняет поведение профилей концентраций в "аномальных" режимах и указывает формулу, являющуюся обобщением гауссовского решения для жесткой интегро-дифференциальной задачи ИЭФ.

/(=10

ONX A =5 \\ Vi ^*=2 M •

[(//

A

/1 '

A2 4S 01 08 M A2

Рис. 3. Графики функций exp(-x2к ) , полученные с помощью программы Math Graph

The article is devoted to asymptotic analysis of mathematic model by multicomponent electrochemical active mixtures on example Isoelectric Focusing (IEF) in ''anomalous'' regimen. By means of saddle-point method the asymptotic solution of this problemwas constructed, which has form of the exponential with 'wave'' series in exponent; it is generalization of gaussian function.

The key words: integro-differential problem; gaussian function; ''wave'' series

Список литературы

1. Бабский В. Г., Жуков М. Ю. Биофизические методы: Теоретические основы электрофореза. М.: Изд-во МГУ, Учебно-метод. Пособие для студентов биол. ф-тов университетов. 1990.

2. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Ростов н/Д: Изд-во Рост. Ун-та, 2005.216 с.

3. Сахарова Л.В. Исследование механизма трансформации гауссовского распределения концентраций при аномальных режимах изоэлектрического фокусирования // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2012 / Ростов-на-Дону: 2012 г. с. 30 - 36.

4. Сахарова Л. В. Численный анализ интегро-дифференциальной задачи изоэлектрического фокусирования в «гипергаусcовских» режимах // Вестник Тюменского Государственого Университета, 2012, № 4, Физико-математичесие науки. Информатика / Тюмень: Издательство Тюменьского Государственного университета: 2012 г. с. 137 - 144.

5. Федорюк М.В. Метод перевала. М: Наука, 1977. 268 с.

6. Mosher R. A., Thormann W. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoelectric focusing using carrier ampholytes: The post-separation stabilizing phase revisited // Electrophoresis. 2002, № 23. P.1803-1814.

7. Righetti P.G. Isoelectric focusing: Theory, Methodology and Application. Elsevier Biomedical Press, New York-Oxford: Elsevier, 1983. 386 p.

8. Sakharova L.V., Vladimirov V.A., Zhukov M.Yu. Anomalous pH-gradient in Ampholyte Solution. - arXiv: 0902.3758vl [physics.chem-ph] 21 Feb 2009.

9. Thormann W., Mosher R A. High-resolution computer simulation of the dynamics of isoe-lectric focusing using carrier ampholytes: Focusing with concurrent electrophoretic mo-bilization is an isotachophoretic process. Research Article // Electrophoresis. 2006, № 27. P. 968-983.

10.Zilberstein G.V., Baskin E.M., Bukshpan Sh. Parallel processing in the isoelectric focusing chip // Electrophoresis. 2003, № 24. P. 3735-3744.

Об авторе

Сахарова Л. В.- кандидат технических наук , доцент Филиал ФГОУ ВПО «Морская Государственная Академия имени адмирала Ф.Ф.Ушакова» в г. Ростове-на-Дону, e-mail: L Sakharova@mail.ru

Sakharova L. V.

«WAVE» SOLUTION BY THE PROBLEM OF ISOELECTRIC FOCUSING IN “ANOMALOUS” REGIMEN

e-mail: L Sakharova@mail.ru

Тел. сот. 8-918-513-50-42.