Волноводные моды резонатора, заполненного слоистым материалом с чередующимся знаком показателя преломления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 2

Физико-математические пауки

2008

УДК 535.1^535.4

ВОЛНОВОДНЫЕ МОДЫ РЕЗОНАТОРА, ЗАПОЛНЕННОГО СЛОИСТЫМ МАТЕРИАЛОМ С ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ЗНАКОМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Д. О. Сапарипа, А.П. Сухорукое

Аннотация

Рассматривается распространение волновых пучков в открытом резонаторе, заполненном слоистой структурой, содержащей метаматериал с отрицательным показателем преломления. Аналитически получены соотношения между параметрами резонатора (толщинами слоев, их показателями преломления и радиусами кривизны зеркал), при которых возможно возбуждение локализованных пространственных волповодпых мод в виде гауссовых пучков. Показано, что в отличие от обычных резонаторов, такие моды могут существовать в резонаторе с плоскими зеркалами (резонаторе Фабри Перо). Более того, возможно возбуждение волповодпых пучков с произвольных поперечным распределением амплитуды.

Ключевые слова: резонатор, волповодпые моды, метаматериал.

Введение

Если диэлектрическая и магнитная проницаемость среды одновременно отрицательны. то показатель преломления среды п = ^JeJi также отрицателен [1]. В таких средах направления распространения волны и потока энергии противоположны, а вектора напряженностей электрического и магнитного поля E и H и волновой вектор k составляют не правую, а левую тройку, поэтому часто такие среды называют «левыми» средами (left-handed materials). При наклонном падении волны из воздуха возникает отрицательная рефракция, вследствие чего плоскопараллельная пластина, изготовленная из «левого» метаматериала, может фокусировать расходящийся пучок лучей подобно линзе. В последнее время интерес к материалам с отрицательным показателем преломления сильно возрастает. Это обусловлено созданием таких материалов в микроволновом и оптическом диапазонах частот [2 4].

Метаматериалы с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемо-стями представляют собой искусственные периодические структуры, составленные из резонансных элементов, размеры которых меньше длины волны. В настоящее время получены метаматериалы с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями, обладающие сравнительно низким поглощением. Изменение знака показателя преломления дает возможность создания принципиально новых микроволновых и оптических устройств. Например, в слоистых структурах за счет периодической фокусировки, происходящей на границах раздела сред с разными знаками показателями преломления, возможно волноводное распространение пучков, как в линзовой линии [5]. Слой метаматериала с отрицательным показателем преломления может существенно изменить свойства открытого резонатора [6].

В данной работе исследуются свойства пространственно локализованных волповодпых мод в резонаторе, содержащем слои метаматериала с отрицательным показателем преломления.

1. Распространение гауссова пучка в резонаторе, заполненном двумя слоями среды с положительным и отрицательным показателем преломления

Рассмотрим открытый резонатор, между зеркалами которого находятся два слоя различных сред длины 1+ и 1_, обладающих показателями преломления п+ > 0и п_ < 0. Граница раздела сред - плоская и проходит перпендикулярно оси резонатора (см. рис. 1). Будем считать, что френелевского отражения на границе раздела сред нет (волновые сопротивления сред одинаковы), а также будем пренебрегать поглощением в обеих средах.

п>0

Рис. 1. Резонатор, содержащий два слоя с разными по знаку показателями преломления

В одномерном случае уравнение для огибающей пучка имеет вид

дА д2А

Коэффициент дифракции Б меняет знак в зависимости от показателя преломления среды: Б = В0/п, где Б0 = 1/(2к0) - коэффициент дифракции в среде с показателем преломления, равным единице. Рассмотрим дифракцию пучка с гауссовым начальным распределением амплитуды на левом вогнутом зеркале с радиусом кривизны Е\:

А = А0 ехр - ^ = А0 ехр(-х2%),

2 1 .к0'п+ где 76 = —

а2 ¿К\

После одного прохода резонатора амплитуда пучка равна

А = АоСсус ■ ехр(-ж271ус),

где коэффициенты имеют вид:

1

(1 - 4Ш„Д,)(1 - +

7о , ■ коп_

+ г-

2 =_1 - 4гД070А; Д2__Л'оп+

'Усу С I----/? '

п+ |п_|

С

1.00

X 0.00

-1.00

0.00

1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

2.00

Рис. 2. Распространение пучка в симметричном двухслойном резонаторе Фабри Перо

Из условия периодичности (начальная амплитуда Ао должна быть равна амплитуде после одного прохода Асус) получим, что:

_ 1 2 _ 2 Ссус — 1 7о — 7 сус,

откуда следует, что параметры резонатора должны удовлетворять соотношениям:

(1 - 4Шо7оДг) 1 - 4г^оДи

7о

1 - 4г^о7оА;

+ г

. коп_

По

1 - 4г^о7оА;

коп_

1 - 4г^оАн

7о

В случае А;— 0 (то есть

1 - 4г^о7оА; /+ /_

,коп+

,коп+

: 7о-

п+

I формирование пространственно локали-п+ |п_|

зованной моды происходит при выполнении условия: —- = ———

П1 П2

Выполнение условия повторяемости было проверено численно для гауссова пучка. На рис. 2 представлены результаты численного моделирования распространения гауссова пучка в резонаторе с толщиной слоев /+ — 1, /_ — 1 и показателями преломления п+ — 1, п_ — -1. На представленном графике продольная координата г нормирована та дифракционную длину, поперечная координата х - на ширину пучка.

2. Условия существования волноводных мод произвольного профиля

2.1. Резонатор Фабри —Перо. Пусть на выходе первого зеркала резонатора Фабри Перо пучок имеет произвольное поперечное распределение амплитуды

1

1

и плоский волновой фронт. Тогда из уравнения распространения пучка (1) для каждой из его Фурье-компонент получим уравнение:

дАк

дх

Его решением является функция:

- 1В(х)\1кАк = 0. (2)

Ак(х) = Ак(х = 0) ■ ехр ^¿Ак ^ Б(х) ¿г^ .

(3)

Таким образом, на входе второго зеркала комплексная амплитуда пучка равна

А(х = 1+ + 1_)=^2 Ак(х = 0) ■ ехр (¿БАкД,). (4)

Непосредственно из выражения (4) следует, что при выполнении условия

дг = — - "Г—г = 0 О)

п+ | п_ |

распределение амплитуды на втором зеркале повторяет начальное распределение амплитуды, и пучок имеет плоский волновой фронт. После отражения пучок идет в обратном направлении, так что в каждом сечении амплитудные профили встречных волн совпадают друг с другом, в том числе и на первом зеркале. Кроме того, из-за смены знака показателя преломления будет скомпенсирован и фазовый набег, приобретаемый в результате дифракции. Для компенсации суммарного фазового набега необходимо, чтобы оптическая длина проходимого пучком пути была кратна целому числу длин волн, то есть:

2(1+ ■ п+ - 1_ ■ |п_ |) = тА, (6)

где т - любое целое число. Объединяя условия (5) и (6), получим, что длины слоев должны быть связаны соотношением

п _ тА

Рассмотрим резонатор, заполненный слоистым метаматериалом с произвольным числом слоев с положительным и отрицательным показателями преломления. Из вида решения (3) следует, что в плоском резонаторе порядок слоев и длина каждого из них могут быть любыми. Если суммарные длины отрицательных и положительных слоев и ^1_г удовлетворяют условию, аналогичному (5):

г г

----Т—Г=°> (8)

п+ | п_ |

то в резонаторе формируется стационарная волноводная мода.

Нами было проведено численное моделирование распространения пучка с начальным поперечным распределением амплитуды Ао(х) = вееЬ(ж) в четырехслой-ном несимметричном резонаторе, параметры которого удовлетворяют условию (8). Результаты численного эксперимента представлены на рис. 3.

2.00

0.00

-2.00

I

I

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

т.

1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

Рис. 3. Распространение пучка в четырехслойпом резонаторе Фабри Перо (вертикальными лилиями обозначены границы раздела сред)

2.2. Резонатор с зеркалами произвольной кривизны. Рассмотрим распространение пучка, имеющего на выходе первого зеркала произвольное поперечное распределение амплитуды и кривизну волнового фронта, совпадающую с кривизной первого зеркала. Если резонатор заполнен слоистым метаматериалом. суммарные длины слоев которого удовлетворяют соотношению (8). то. как было показано выше, распределение амплитуды на входе второго зеркала в точности

повторяет распределение амплитуды на выходе первого, а радиус кривизны пучка

п

вследствие изменения знака показателя преломления равен Дьеат= — Дьеат1 •

п+

После отражения от зеркала пучок в точности повторяет свою траекторию в том случае, если его радиус кривизны совпадает с радиусом кривизны зеркала. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы радиусы кривизны зеркал резонатора были связаны между собой соотношением:

И± П1

|По|

0.

(9)

Таким образом, в резонаторе с вогнутыми зеркалами также возможно возбуждение локализованной пространственной моды произвольного профиля при выполнении условий (8). (9).

Заключение

Если открытый резонатор заполнить слоистой структурой с чередующимися знаками показателя преломления, то свойства его мод существенно трансформируются. Изменение знака показателя преломления дает возможность управления дифракцией.

Отметим некоторые принципиально новые свойства, которыми обладает такой резонатор. В резонаторе с плоскими зеркалами становится возможным возбуждение локализованных пространственных мод (в отличие от обычного резонатора Фабри Перо). Нами получены условия, при которых возможно возбуждение мод с произвольным поперечным распределением амплитуды в резонаторах как с плоскими. так н выпуклыми зеркалами. Полученные условия можно обобщить на резонатор с произвольным числом слоев в заполняющей его структуре. В этом случае условия накладываются на суммарные длины слоев: их количество, взаимное расположение и длина каждого слоя могут быть произвольными. Полученные результаты были подтверждены численным моделированием. В дальнейшем планируется

исследовать устойчивость волноводных мод в открытом резонаторе, содержащем слои из метаматериала.

Работа выполнена при поддержке проектов РФФИ (проекты Х- 06-02-16801, 08-02-00717), гранта президента РФ НШ-671.2008.2 и Фонда «Династия».

Summary

D.O. Saparina, А.P. Sukhurukuv. Waveguide Modes in Cavity Containing Layered Structure with Alternating Sign of Refractive Index.

The article regards beam propagation in open cavity containing a layered structure with left-handed metamaterial. Formation conditions for the gaussian eigenmodes are obtained analytically. In contrast to ordinary cavities, such modes can exist in Fabri Perrot. cavities. The possibility of waveguide eigenmodes with an arbitrary transverse field distribution is investigated, which is also a particular feature of such a cavity.

Key words: cavity, eigenmodes, metamaterial.

Литература

1. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями ей ^ // Усп. физ. наук. - 1967. - Т. 92, № 3. - С. 517-526.

2. Parimi P.V., Lu W.T., Vudu P. et al. Negative Refraction and Left-Handed Elect.romagnet.ism in Microwave Photonic Crystals // Pliys. Rev. Lett. 2004. V. 92, No 12. P. 127401-1 127401-4.

3. Parazzuli C.G., Greeyur R.B., Li K. et al. Experimental Verification and Simulation of Negative Index of Refraction Using Snell's Law // Pliys. Rev. Lett. 2003. V. 90, No 10. P. 107401-1 107401-4.

4. Shalaev V.M. Optical negative-index metamaterials // Nature Photonics. 2007. V. 1. P. 41 48.

5. Панфилова И.О., Самарина Д.О., Сухорукое А. П. Распространение волновых пучков в структурах, составленных из слоев с положительными и отрицательными показателями преломления // Изв. РАН. Сер. физ. 2006. Т. 70, Л® 10. Р. 1722 1725.

6. Engheta N. An Idea for Thin Subwavelengt.il Cavity Resonators Using Metamaterials With Negative Permittivity and Permeability // IEEE, Antennas and Wireless Propagation Letters. 2002. V. 1. P. 9 13.

Поступила в редакцию 20.03.08

Сапарина Дарья Олеговна студент кафедры фотопики и физики микроволн Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Е-шаП: арагтавтай. ги

Сухорукое Анатолий Петрович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой фотопики и физики микроволн Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Е-таП: apsmsuOgmail.com