Волноводная модель слоистой среды с учетом ее представления в виде параметрического контура Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.67

ВОЛНОВОДНАЯ МОДЕЛЬ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ С УЧЕТОМ ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ВИДЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНТУРА

Р.Н. Андреев, А.Б. Антиликаторов, С.Ю. Белецкая

На основе волноводного моделирования получены математические выражения для расчета импеданса слоистых сред различной структуры

Ключевые слова: волноводное моделирование, слоистая среда, импеданс, тензорная функция

Волноводное моделирование слоистой среды с учетом ее представления в виде параметрического контура рассмотрим с точки зрения концепции парциальных волн и использования их коэффициентов отражения в представлениях элементов тензора Грина. Так можно моделировать распространение парциальных волн, по оси г распространением Е- и Н-волн в эквивалентной линии передачи с неоднородностями в виде емкости, индуктивности и сопротивления, которые определяются параметрами среды. На основе вышеуказанного волноводного моделирования может быть разработана наглядная процедура построения элементов тензорной функции Грина для многослойной среды.

Сопоставим в многослойной среде (рис. 1) волноводную линию для Е- и Н-волн со слоистым поперечным заполнением (рис. 2).

< v Z zo N

n-й слой у > к , H

n+1

Рис. 1. Многослойная среда

Wn

Пі

Пп

Zl zn Hn z

Рис. 2. Волноводная линия многослойной среды со слоистым заполнением

Андреев Роман Николаевич - ВИ ФСИН РФ, канд. техн. наук, тел. 8-909-210-27-66

Антиликаторов Александр Борисович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, E-mail: antilikatorov@mail.ru Белецкая Светлана Юрьевна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(4732) 43-77-04

На п-м отрезке линии распространение Е- и Н-волн можно характеризовать постоянной распро-

Пп =УІЛ - К (кп = а^єпМ0) и

опротивлениями Wn = in„ /®єп, WH = -іац0/ц соответст-

странения характеристическими

венно

Определим импеданс в сечении линии г = гп+х по формуле, представляющей рекуррентное соотношение, позволяющее пересчитать импеданс от одного сечения линии к другому [1]

(1)

7E, H = WE, H 7E, H + WnE,Hth (VnHn )

n+1 n WnE,H + 7E,Hth(nnHn)

n n v I n n S

7E,H „ „

где 7 - импеданс в сечении линии z = z Ип -

толщина n-го слоя.

Начальное значение импеданса в сечении

линии z = Zj

7 E , H 7 1

W 1 E , H

Импеданс линии в сечении г = гп связан с коэффициентами отражения для Е- и Н-волн как

2Е,Н - №пЕ,н . (2)

RE,h

Выражения (1-2) позволяют реализовать простую процедуру вычисления функции

/с (л г0 ), У! (л г0 ), /2 (Л г0 ) для многослойной среды.

Для случая слоистой среды, представленной на рис. 3, рассмотрим различные варианты размещения точек электрического источника г0 и наблюдения г при построении элементов тензорной функции Грина.

Рис. 3. Размещение источника в точке г0 в слоистой среде

Построение указанных элементов для этого случая можно назвать актуальной задачей, из которой следуют интересные для практики микропо-лосковых структур приложения. Именно предпола-

n

l

R

Z

гая границу г = 0 условной, приходим к задаче о поле дипольного источника в диэлектрическом слое. Исключая верхнюю или в нижнюю границы слоистой среды приходим соответственно к задачам о поле диполя, расположенного на диэлектрическом слое или под ним. Более того, верхнее и нижнее полупространства (рис. 3) могут быть дополнены границами раздела, формирующими произвольную слоистую среду (рис. 2), в состав которой входят элементы емкости, индуктивности и сопротивления, составляющие параметрический контур.

В этом случае необходимо рассмотреть несколько вариантов построения тензорной функции Грина для многослойных сред.

Вариант 1. Определим элементы тензора при 0 < г с < г < Н 2

^(Ц,) =+^)е-2ПН2(1+^)П(г"г))

Л

Ь(—р—

дg (М, М 0) = І £о дх 2 ^2 дх о

П (2-20 )

І - К{1'кН)е-гтн2 '(0)е~п2 (-20 )+ р(1)е-2п2Н

ЯЕ^е

+ Я^е^"2" 2(1 + ЛГ)е

(0))еП2 (-2о )

СЛ;

■В,Н = -ЩВ,Н ; щН = - щЕ = іП , (6)

по

(ОЄ,

а для коэффициентов ЯЕ Н в (3) с учетом (6)

7е,н - ЩЕ,Н Я о = _1_________2____• щЕН =- щЕН (7)

Е,Н ^е,Н + ЩтЕ,Н ’ 2 2 ' (7)

Таким образом элементы тензора (3) полностью определены.

Вариант 2. Найдем элементы тензора при

2 > Н2 и 0 < г 0 < Н 2:

да

М0 )=/

і- я(1)

І+ЯН

І- ЯН)ЯН0)е-2^1Н2

,-Пг(2-20)

Л

^іЄє _д‘

де 2є2 дх

'Я0)(і-я®)Я0) Ца+Ц)

і-Ця®^ і-Я1)яЕ)е-2П2

п

■пМ

ь0(яр—

У—

—

1- Ц0)

С1(М,М0 >=Єє { (і+ке,,)і-?Я

,-П(-20)

—Ь0(Лр—(8)

где используются те же обозначения, что и в (3).

Вариант 3. Определим элементы тензора при Н1 < г < г0 < 0 :

в0 (М,М0) = / [(1 + [[ )е[(г-г" > + Я1-1 е-2пН' (1 + Я® )еп (г-г" > ]х 0

-J0 (ХррИ;

' 1 - Я(Н) Я(н1} е-2пН

п

а1(и,и0)=Є|[і-я{0)([1 -яЕ1>е-2п‘Н‘(1 -яЕ0))еП2(-2°>]х (3) Є2 0

-Ь (Лр)СЛ

□ (!) о(°)е_2п2Н2

где П =у——-кП, кп =^Є„М0 , К’ > 0,

Я^^^Н, ЯЕ'Н - коэффициенты отражения от границ

(0) и (1) слоя, в котором расположен источник.

Вычислим импеданс на границе слоя (0) как результат пересчета «вверх» импеданса на границе (-1) нижнего слоя.

Учитывая, что Z-1’Н = Щ0Е’Н , получим:

7Н = . 0 Щ 0 1 П 0 + (Щ 0 / П 1 (п 1Н 1 ) ,

где

п 1 Щ 0 1 п 1 + ( 0 1 п 0 ( 1Н 1 )

Пі п 0 1 Є 0 + (п 1 (1 ( іН 1 ) , (4)

аЄ 1 Пі 1 є 1 + ( 0 ( 0 ( іН 1 )

’ = '\— к0 , к0 = ^ёЩ0 ,

п = Л—Г-к1Г, кі = єці„ , Кп,кп >0-

Тогда для коэффициентов Я

(0)

в (3) с

учетом (4) имеем:

2Е,н -ЩЕ,"

2_____• ЩН = і аЩ0 • ЩЕ = і П2 (5)

Е,Н тЕ,Я т,тЛЕ,Н ; і ; Щ2 і ■ У >

(0^ ^0

Р(0) —

ЯЕ,Н =

20Е,Н +ЩЕ

П2

ає.

'яН>е-1,1[г-г0) + Я(-1)е~2П1Н1 (1 + яН0))е?1|2-20)

?(м ■ М0) = .1 £0 — 1 - ^Н^Н^1 1 1 .... /0—р)с—

ах = 2Є2 Эх0 Я^»e-nl|г-г0)-я1-Г>е-2п1Н1(1 -яЕ°))е_п1(г-20) ХХ Л

- 1 - яЕ^Е0^2’!"! _

а1 (м,М0) = ^/[ - Я[)еп(г-г") - Я^е-щН (1 - Я<0))е^п(г-г")х е2 0

х 1 - Я{0Я-1)е-2пН' п 30(Лр)Л

Рассмотренные варианты построения тензорной функции Грина позволяют ее получить для слоистых сред, представляющих интерес при исследовании микрополосковых структур. Например, для среды в виде диэлектрического слоя (рис. 4) элементы тензора при г > г 0 > 0 имеют вид:

4п

' е-ік0ЯМЩ да — ^

Я _ + | янеп (г-г°

Цим, 0 ’0

аgMM) =|}( -ЯЮ>)-’0(г+20)2—0(ЛррС—;

іМми

Є 4п

(0) (0)

-|яЕо)е-Пі(2+20) ь—р’—

(10)

0 ’0

где Я"1, ЯЕ1 - коэффициенты отражения от границы слоя.

Импеданс на границе (1) верхнего слоя (рис. 3) получим как результат пересчета импеданса «вниз»

е

—

1

—

Єо ( і Z > Z и И ? ^

є, У > k, И f

Єо

<-

Рис. 4. Микрополосковая среда в виде диэлектрического слоя Импеданс на границе слоя (0) (рис. 4) из (4) имеет вид

. т/л 0 Щ IП0 + (Мр 1П (П1Н ) ;

Пі Мо IПі + (Мо /По )th (Пін 1 . Пі По i єо + (Пі I єі )th (Пін 1 .

«є і Пі 1 єі + (По 1 єо )th (Пін 1 Для коэффициентов Reh из (З) получим:

R

+W

«М 0 По

W E — і

По

Двухслойная среда (рис. 4) может быть модернизирована введением дополнительных границ раздела сред или дополнительными емкостными, индуктивными и резистивными элементами, что даст возможность получить новую математическую модель с учетом резонансных явлений в контуре.

В таком случае интегральные представления элементов тензорной функции Грина определяются при помощи изложенного выше алгоритма на основе рекуррентных выражений для расчета поверхностного импеданса на границах раздела сред с последующим вычислением коэффициентов отражения парциальных волн на этих границах. Рассмотрим несколько таких случаев.

Случай 1. Рассмотрим слоистую среду, которая в качестве дополнительной границы раздела содержит абсолютный проводник (рис. 5).

Єо

Є?

є,

(1)

у H, (0)

(-1)

Ho

Рис. 5. Многослойная среда с экраном Импеданс эквивалентной волноводной линии для Е- и ^-волн в сечении г = -(Н1 + Н0)

соответствует режиму холостого хода и короткого замыкания в эквивалентной волноводной линии. Соответственно импеданс, пересчитанный в сечении г = -Н, линии

— - і

1

«М о

th (n 3 H 0 ), 7 E1 — і —3— Cth (n 3 H 0 )

где n3 — ^Л2 - k32, k3 — «м0є3 .

Импеданс в сечении линии (0) при г=0 вычисляется как

2н = тл0 (тщ п3)^(пН0)+(тщ п1 ЖпН1)

0 П тЛ0 п1 + (тл0 п3 ЖпН0 ЖпН1)

п (п 1 те3)Сгк(пъН0 ) + (п | ЖпН1) ,(11)

те1 п1 ®е\ + (3 I ®е3 Н 0 )г^(п1 Н1)

а коэффициенты Я<Н°'>Е для слоя (0) вычисляются из

(2).

Аналогично находятся импеданс в сечении линии (1) при г=Н2 и коэффициенты ЯНрЕ, подстановка которых в (3) полностью определяет элементы тензорной функции Грина для данной слоистой среды.

Случай 2. Рассмотрим случай слоистой среды (рис. 5), для которой экран в сечении г = -(Н1 + Н 0) характеризуется поверхностным импедансом Zs. Тогда импеданс, пересчитанный в сечении г = - Н1, будет равен:

Н = . ощ 0 Z , ощ 0 I п 3 - (й>щ 0 I п 3 У& (п 3 Н 0 ) ;

-1 п 3 тл 0 1 п 3 + Z , ( 0 1 п 3 Уё (п 1 Н 1 )

Z Е = - . У3 (У3/ Z О 3) + (^3 1 те 3 )& (^3Н 0 ) ,

1 те 3 п 3 I те 3 - (п 3 I Z г те 3 ) & (^3Н 0 )

где п3 = 7^3 -^2, к3 = .

Импеданс вычисляется в сечении линии г = 0 и равен

, «М о 7-н - і«Мо IПіtg (niH і ) ,

Пі «М о/Пі - і7 -1 tg (n 1 H 1)

Пі <- 7 -in 1 «є 3) + (іПі 1 «є 1 )g (Пі н 11 ;

«є 1

(Пі H 1 1

а коэффициенты для слоя (0) можно полу-

чить из (2)

R "" 7

<0)

н

W

(2)

W

7 0 + w,S2) П 2

■; R\

7 E - w

(2)

і ■

W

«є

7E + wE!2)

«М о

П 2

Далее в соответствии с выражением (1) можно вычислить импеданс в сечении (1) при г=Н2

и коэффициенты Я(Н)Е по формуле (2), полностью

определяющие как в (3), элементы тензорной функции Грина.

Литература

1. Лось, В.Ф. Микрополосковые и диэлектрические резонаторные антенны. САПР-модели: методы математического моделирования I В. Ф. Лось, под ред. чл.-корр. РАН Л. Д. Бахраха. - М.: ИПРЖМ, 2002. - 96 с.: ил.

Воронежский институт Федеральной службы исполнения и наказания Российской Федерации Воронежский государственный технический университет

WAVEGUIDE MODEL OF THE LAYERED ENVIRONMENT TAKING INTO ACCOUNT ITS

REPRESENTATION

R.N. Andreev, A.B. Antilikatorov, S.Ju. Beletskaja

E

7

0

E, H

E , H

«є

E

7

Z

(0) _

є 3

(2)

(2)

— -1

2

л

СОП

On a basis waveguide modelling mathematical expressions for calculation of an impedance of layered environments of various structure are received

Key words: waveguide modelling, the layered environment, an impedance, function