CC BY
7
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. №4. C. 141-149. ISSN 2079-6641
УДК 533.9
Научная статья
Волновая неустойчивость поверхности магнитной жидкости на границе с водой в электрическом поле
1 Северо-Кавказский Федеральный Университет, 355017, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, Россия
2 МИРЭА — Российский Технологический Университет, 355027, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 8, Россия
E-mail: oranjejam@mail.ru, candaur18@yandex.ru
Свойства межфазной поверхности магнитной жидкости на границе с водой в электрическом поле изучались во многих работах. Были обнаружено изменение отражательной способности межфазной поверхности вода - магнитная жидкость в электрическом поле, что авторами связывается с образованием на межфазной границе слоя плотноупакованных частиц. По оптическим и электрическим измерениям оценена толщина d этого слоя. Интерес к этим эффектам, помимо чисто академического, связан с возможностью управления поведением межфазной границы раздела магнитного коллоида и гомогенной жидкости внешним электрическим полем, что представляет практический интерес, поскольку слой частиц магнетита на межфазной поверхности может быть интерпретирован как жидкая мембрана с особыми свойствами. Задача настоящего исследования - теоретически показать, что образование слоя частиц дисперсной фазы магнитной жидкости в электрическом поле и связанное с этим уменьшение межфазного натяжения является определяющим фактором для развития волновой неустойчивости.
Ключевые слова: магнитная гидродинамика, волновая неустойчивость, дисперсионное уравнение, длинноволновое приближение
Для цитирования. Чеканов В. С., Кандаурова Н.В., Винокурский Д. Л. Волновая неустойчивость поверхности магнитной жидкости на границе с водой в электрическом поле // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 37. № 4. C. 141-149. DOI: 10.26117/20796641-2021-37-4-141-149
Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Чеканов В. С., Кандаурова Н.В., Винокурский Д. Л., 2021
Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.
В. С. Чеканов1, Н. В. Кандаурова2, Д. Л. Винокурский
1
DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-141-149
Поступила в редакцию: 08.11.2021
В окончательном варианте: 13.12.2021
Введение
Неустойчивость свободной поверхности магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях ранее исследовалась в работах [1, 2, 3] Теоретическое исследование характера перехода от плоской поверхности к волнистой было сделано Зайцевым и Шлиомисом [4].
Свойства межфазной поверхности магнитной жидкости на границе с водой в электрическом поле изучались в работах [5, 6].
В работе [5] обнаружено изменение отражательной способности межфазной поверхности вода - магнитная жидкость в электрическом поле, что авторами связывается с образованием на межфазной границе слоя плотноупакованных частиц. По оптическим и электрическим измерениям оценена толщина ( этого слоя. Установлено, что при критическом напряжении V поверхность становится неустойчивой, по ней распространяются волны.
В работе [6] экспериментально исследована неустойчивость на межфазной границе магнитная жидкость - вода при совместном действии электрического и магнитного полей. Показано, что пороговое значение напряженности внешнего магнитного поля, при котором развивается неустойчивость плоской поверхности магнитной жидкости, уменьшается с включением ортогонального электрического поля. Рассчитано изменение межфазного натяжения на границе вода-магнитная жидкость в электрическом поле. Межфазное натяжение уменьшается на ~ 70%, что обусловлено образованием слоя плотноупакованных частиц вблизи межфазной поверхности. Полученные данные об уменьшении межфазного натяжения согласуются с результатами работ [7, 8].
В работе [9] образование слоя наночастиц на межфазной границе гомогенная жидкость - магнитная жидкость в электрическом поле обосновано с применением термодинамического подхода.
Образование слоя частиц на межфазной границе в электрическом поле является причиной уменьшения поверхностного натяжения и, как следствия, возникновения волновой неустойчивости.
Интерес к этим эффектам, помимо чисто академического, связан с возможностью управления поведением межфазной границы раздела магнитного коллоида и гомогенной жидкости внешним электрическим полем, что представляет практический интерес, поскольку слой частиц магнетита на межфазной поверхности может быть интерпретирован как жидкая мембрана с особыми свойствами.
Задача настоящего исследования - теоретически показать, что образование слоя частиц дисперсной фазы магнитной жидкости в электрическом поле и связанное с этим уменьшение межфазного натяжения является определяющим фактором для развития волновой неустойчивости.
Эксперимент
Для изучения неустойчивости границы вода - магнитная жидкость (рис. 1) в стеклянный сосуд (прямоугольная призма) с водой помещена чашка Петри диаметром 10 см, на дне которой находится квадратная медная пластина (электрод) 70x70x0,5 мм, см, соединённая с источником постоянного и переменного напряжения. В чашку Петри налита магнитная жидкость («магнетит в керосине»)
слоем в 3 мм. Плотность жидкости р = 1.1 ■ 103 кг/м3, объёмная концентрация частиц в жидкости (измеренная по намагниченности насыщения) с = 3.1об. %. В сосуд налита вода, как показано на рис. 1. Проводимость магнитной жидкости 02 = 10-7 (Ом-м)-1. Вода в данном случае является электродом.
а) б)
Рис. 1. а) изменение отражательной способности поверхности магнитная жидкость-вода в электрическом поле. Напряжение на электродах V = 100; б) волновая неустойчивость межфазной границе магнитная жидкость-вода. Напряжение на электродах V = 150
В электрическом поле (разность потенциалов между электродами V! = 100 В) в результате электрофореза на межфазной границе магнитная жидкость-вода образуется слой плотноупакованных частиц, коэффициент отражения межфазной поверхности вода-магнитная жидкость изменяется (рис. 1а). При напряжении на электродах V2 = 150 В на межфазной поверхности наблюдалась волновая неустойчивость (рис. 1б).
Воспользуемся экспериментальными данными, полученными в работе [6] и рассчитаем зависимость межфазного натяжения а от приложенного внешнего напряжения V. Методом наименьших квадратов после преобразований получим:
а (V)= 4.3 ■ 10-2 ■ ехр (-0.0^). (1)
Это выражение, описывает зависимость поверхностного натяжения от приложенного внешнего напряжения, для описанного выше эксперимента. Коэффициент детерминации Я2 = 0.9958.
Формулировка краевой задачи
Рассмотрим две несмешивающиеся несжимаемые жидкости, одна из которых -магнитная жидкость, вторая - вода (рис. 2). Введем декартову систему координат, плоскость хОу которой совпадает с невозмущенной горизонтальной поверхностью жидкости, а ось г направлена вертикально вверх (рис. 2). Жидкости находятся в поле тяжести и в электрическом поле, направленном перпендикулярно межфазной границе —0 = Е0г^.
Рис. 2. Схема расположения магнитной жидкости и воды
1) Уравнение движения магнитной жидкости имеет вид (здесь и далее все коэффициенты с индексом 1 относятся к МЖ, со знаком 2 - к воде):
д щх 1 д р\ (д 2щх д 2щх + у1 ^ 2 +
дt pi dx \ dx2 dz2
duiz i dpi (d2uiz d2uiz\
iz + v + - g+qsE, (2)
д г р1 дт V дх2 дт2
дмц + дЫ1х _ о
д т дх
где ых, ыт - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости; V -кинематическая вязкость магнитной жидкости; р - плотность магнитной жидкости
Для простоты движение жидкости считается не зависящим от координаты у. Линеаризуя задачу, вводим потенциал скорости у, такой, что
ыт _ — ду/дх, ых _ ду/дт _ д^/дг.
2) Граничные условия.
Для удобства преобразований будем использовать систему СГС
2.1 Механическое напряжение на поверхности равно нулю:
((-ш+ды?) _ о- (3)
2.2 Баланс давлений на поверхности раздела:
г „ д2щ (е2 — £1) Е0 дФ1 д2В дш2
Р1— +2р^ -Ш — чи—д; + _ р2-дГ+, (4)
где £1 _ 2 и £2 _ 81 -диэлектрические проницаемости МЖ и воды, а -коэффициент межфазного натяжения.
2.3 Электрические потенциалы на поверхности:
d Ф1 d Ф2
--= qs. (5)
д z dz
2.4 Условие равенства скоростей
Ulz = dt '
Ulx = dz '
Ulx = Ulz.
dl d t
дЩ (6)
2.5 Условия на глубине:
Ф2 = 0 при z = h2
Ф1 = V0, у = ^ = 0 при z = -hi. (7)
о z
Решение уравнений (2) запишем в виде [10, 11]:
У(z)= + ) expС(kx- -1)),
У(z)= ) exp(i(kx--t)), (8)
p = P— C cosh (k (z + h2)) exp (i (kx — — t)) — p gz. k
Здесь в 2 = k2 - i—/v.
Подставляя выражения (8) в условия (3) - (7) получим:
(2 - i—/v1k2)(1 + tanh(eh1) - i—/v1k2)i—/v1k2+
/ak2 - (e2 - e1)2E2/4ne12 ■ k■ coth(kh1) + (p1 -p2)g p2 —2 tanh(kh1)\ + V pv2k3 p1 v2k4 tanh(kh2 J X (9)
x ^i—/v1k2 - 1 + «1) = 2i—/v1 k2(1 + tanh(khOV1 - i—/v1k2.
Для дальнейшего анализа используем длинноволновое приближение v1k2/—2 ^ 1.
Запишем уравнение (9) для случая малой вязкости для этого правые и левые части выражения (9) умножим на v3 получим:
(2 - i—/v1 k2)(1 + tanh(eЙ1) - i—/v1k2)i—/v1k2 ■ v3+
ak2 - (e2 - e1)2E^nef ■ k ■ coth(kh1) + (p - p')g p2 —2 tanh(kh1)\ + l p1v2k3 p1 v2k4 tanh(kh2)) X (10)
x 1 i—/v1k2 - 1 + tanh(e) ■ v3 = v3 ■ 2i—/v1k2(1 + tanh(kh1)W 1 - i—/v1k2. tanh(kh2) / 1 1
Внесем вязкость в скобки и под знак корня для упрощения выражений: (2vi - ia/k2)(vi + tanh(eh2) ■ v - ia/k2)ia/k2+
/ ak2 - (e2 - e1)2E(2/4n£j2 ■ k ■ coth(kh1) + (p1 - p2)g p2 a2tanh(kh1)\ + V p1k p114tanh(kh2V X (11)
ia/k2 - v1 + ^h1) ■ v1 j = v1 ■ 2ia/k2(1 + tanh(kh1)) ^vf - ia ■ v1 /k2.
Х " 1 tanh(kh2)
В пределе малой вязкости получим следующее уравнение: (irn/k2)3+
+ / «k2 - (£2 - £i)2E02/4n£2 ■ k ■ coth(khi) + (pi - p2)g p2 tanh (khi )\ (12)
+ V pik3 pi k4 tanh (kh2)J Х ( )
xi«/k2 = 0.
После сокращения множителя ia/k2 получим:
(iœ/k2)2 + a k2 - (£2 - £i)2 Eo2/4n£2 ■ coth(khi) + (pi - p2)g p2 «2 tanh(khi) = 0 (i3) (i ' ) pik3 pi k4 tanh(kh2) . ( )
Сгруппируем и умножим выражение на k4:
_ Л + p2 tanh (khi )\ « 2 + a k2 - (£2 - £i )2 E02/4n£i2^k ■ coth (khi ) + (pi - p2) g k = 0 v pi tanh (kh2)J pi .
(14)
Умножим уравнение (14) на (-1) и окончательно получим приближение малой вязкости:
^ + p2 tanh (khi )\ « 2 + a k2 - (£2 - £i)2 E^n^k ■ coth (khi) + (pi - p2) g k = 0 pi tanh (kh2)J pi
(15)
или
« 2 = a k2 - (£2 - £i)2E02/4n£2-k ■ coth (khi) + (pi - p2) g k (i6)
x p2 tanh(kh i И . ( )
Р 1 ' 1 + р 1 ' 1аиИ (кН2) у'
Проанализируем выражение (16). Неустойчивость возникает при а2 < 0 [12].
Так как знаменатель дроби (16) всегда положительный, для анализа используем числитель, и рассмотрим функцию от волнового вектора и поверхностного натяжения.
Б (а, к) = а к3 - (е2 - £1)2 Е^л^-к2 ■ соШ (кй1) + (р1 - р2) ■ £ ■ к. (17)
Очевидно, что в отсутствии электрического поля Б (а, к) > 0, то есть гидродинамическая неустойчивость не возникает. Построим график функции (17) при различных значениях приложенного внешнего напряжения (рис. 3).
По графику (рис. 3) видно, что внешнее электрическое поле выступает дестабилизирующим фактором, при некотором критическом напряжении (график 3 на рис. 3) параметр Б, а значит и а2 становится отрицательным, что соответствует неустойчивому состоянию.
Рис. 3. Зависимость S(a, k) от волнового вектора при различных значениях внешнего напряжения 1 - 0 В, 2 - 100 В, 3 - 200 В
Заключение
В приведенной работе исследовались условия возникновения волновой неустойчивости на заряженной границе раздела в двухфазной системе магнитная жидкость - вода. В работе методом наименьших квадратов определена зависимость поверхностного натяжения от величины приложенного напряжения. Выявлены условия возникновения волновой неустойчивости, возникающей на границе заряженной поверхности раздела. Выявлен дестабилизирующий характер приложенного внешнего электрического поля приводящий к увеличению области неустойчивости. Полученные теоретические результаты соответствуют экспериментальным данным, что свидетельствует об адекватности модели.
Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответсвенность. Все авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Список литературы/References
1. Диканский Ю.И., Закинян А. Р., Мкртчян Л. С. Неустойчивость тонкого слоя магнитной жидкости в перпендикулярном магнитном поле//Журнал технической физики, 2010. Т. 80, №9, С. 38-42. [Dikansky Y. I., Zakinyan A. R., Mkrtchyan L. S. Instability of a thin layer of a magnetic fluid in a perpendicular magnetic field// Technical Physics,2010. vol.55, no.9, pp. 1270-1274].
2. Коровин В. М. Неустойчивость Розенцвейга в тонком слое магнитной жидкости//Журнал технической физики, 2013. Т. 83, № 12, С. 17-25. [Korovin V. M. Rosenzweig instability in a thin layer of a magnetic fluid// Technical Physics, 2013. vol.58, no. 12, pp. 1721-1729].
3. Зыбин С. В., Чеканов В. В., Чеканова Н. В. Неустойчивость плоской поверхности магнитной жидкости при воздействии ультразвука//Магнитная гидродинамика, 1986. №1, С. 48-52. [Zybin S.V., Chekanov V. V., Chekanova N. V. Instability of the flat surface of the magnetic fluid under the influence of ultrasound//Magnetohydrodynamics, 1986. no. 1, pp. 48-52].
4. Зайцев В.М., Шлиомис М.И. Характер неустойчивости поверхности раздела двух жидкостей в постоянном поле//Докл. АН СССР, 1969. Т. 188, №6, С. 1261-1262. [Zaytsev V.M., Shliomis
M.I. Kharakter neustoychivosti poverkhnosti razdela dvukh zhidkostey v postoyannom pole//Dokl. AN SSSR, 1969. vol.188, no. 6, pp. 1261-1262 (In Russian)].
5. Чеканов В. В., Кандаурова Н. В., Чеканов В. С. Экспериментальное наблюдение изменения коэффициента отражения света от поверхности раздела сред «вода-магнитная жидкость» в электрическом поле, волновое движение, неустойчивость поверхности //Журнал технической физики, 2014. Т. 84, №9, С. 26-31. [Chekanov V.V., Kandaurova N.V., Chekanov V. S. Experimental measurement of variations in the optical reflection coefficient of water-magnetic liquid interface in an electric field, wave motion, and surface instability// Technical Physics, 2014. vol.59, no. 9, pp. 12861290].
6. Chekanov V.V., Kandaurova N.V., Chekanov V.S. Interface of a horizontal layer of magnetic fluid with water in vertical electric and magnetic fields// Magnetohydrodynamics, 2016. vol.52, no.3, pp. 345-355.
7. Жакин А.И. Электрогидродинамика// Успехи физических наук, 2012. Т. 182, №5, С. 495-520. [Zhakin A. I. Electrohydrodynamics// Physics-Uspekhi, 2012. vol.55, no. 5, pp. 465-488].
8. Zhakin A.I. Stability of a horizontal free surface of a weakly conducting fluid in a tangential alternating electric rield//Magnetohydrodyn, 1981. vol.270, no. 17, pp. 345-355.
9. Чеканов В.В., Рахманина Ю.А., Кандаурова Н.В., Чеканов В.С. Термодинамика образования слоя наночастиц на межфазной границе «гомогенная жидкость-магнитная жидкость» в электрическом поле//Вестник СевКавГТУ, 2012. №3, С. 16-22. [Chekanov V.V., Rakhmanina YU.A., Kandaurova N.V., Chekanov V.S. Termodinamika obrazovaniya sloya nanochastits na mezhfaznoy granitse «gomogennaya zhidkost'-magnitnaya zhidkost'» v elektricheskom pole// Vestnik SevKavGTU, 2012. no.3, pp. 16-22 (In Russian)].
10. Жакин А.И. Электрогидродинамика заряженных поверхностей// Успехи физических наук, 2013. Т. 183, №2, С. 153-177. [Zhakin A. I. Electrohydrodynamics of charged surfaces//Physics-Uspekhi, 2013. vol.56, no.2, pp. 141-163].
11. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Курочкина С.А., Санасарян С.А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//Электронная обработка материалов, 2003. № 2, С. 27-31. [Belonozhko D. F., Grigor'ev A. I. Nonlinear Periodic Waves at the Charged Surface of an Electrically Conducting Viscous Liquid// Technical Physics, 2003. vol.48, no. 11, pp. 1396-1406].
12. Алиев И. Н., Юрченко С. О., Назарова Е.В.К вопросу о неустойчивости границы раздела двух сред конечной толщины//Инженерно-физический журнал, 2007. Т. 80, №6, С. 127-133. [Aliyev I.N., Yurchenko S.O., Nazarova E. V. On the problem of instability of the boundary of two media of finite thickness// Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2007. vol.80, no. 6, pp. 11991205].
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2021. vol. 37. no. 4. P. 141-149. TSSN 2079-6641
MSC 76E17 Research Article
Wave instability of a magnetic fluid surface at the boundary with
water in an electric field
V. S. Chekanov1, N. V. Kandaurova2, D. V. Vinokursky1
1 North-Caucasian Federal University, 1 Pushkin str., 355017 Stavropol, Russia
2 MTREA - Russian Technological University, 18 Kulakov pr., 355029 Stavropol, Russia
E-mail: oranjejam@mail.ru, candaur18@yandex.ru
A layer of close-packed particles of a dispersed phase (magnetite) with a protective shell of oleic acid is formed on the interface of a weakly conducting magnetic colloid (magnetic fluid) and water in a perpendicular electric field. The formation of a layer leads to a decrease in the interfacial tension. When the magnetic particles come into contact with the electrode surface, the electrochemical interaction of oleic acid molecules surrounding the particle with water occurs. As a result of the reaction, released ions charge the surface layer. After some time, the particles in the layer get recharged and repelled from the interface. This leads to wave instability. This paper considers the mathematical modeling of instability in the form of a boundary value problem - a dispersion equation. The determining factor in the development of wave instability is the action of the electric field, the formation of the near-electrode layer and, as a consequence, a decrease in the interfacial tension.
Key words: Magnetic hydrodynamic, wave instability, dispersion equation, longwave approximation
DOT: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-141-149
Original article submitted: 08.11.2021 Revision submitted: 13.12.2021
For citation. Chekanov V. S., Kandaurova N. V., Vinokursky D. V. Wave instability of a magnetic fluid surface at the boundary with water in an electric field. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021,37: 4,141-149. DOT: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-141-149
Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
© Chekanov V.S., Kandaurova N. V., Vinokursky D. V., 2021
Funding. The study was carried out without financial support from foundations.
