Внутренние оснащения гиперполосного распределения в пространстве конформной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764.5

ВНУТРЕННИЕ ОСНАЩЕНИЯ ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ

INTRINSIC FRAMING OF HYPER-BAND DISTRIBUTION IN CONFORMAL CONNECTION

Н. Ю. Никитина

N. Y. Nikitina

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В данной статье изучается гиперполосное распределение, вложенное в пространство конформной связности Cnn. В первой и второй дифференциальной окрестности построены инвариантные полные оснащения гиперполосного распределения, определяемые внутренним образом.

Abstract. This article studies the hyper-band distribution in conformal connection Cn,n . The invariant full intrinsic framings of hyper-band distribution are constructed in the first and second differential neighborhoods.

Ключевые слова: пространство конформной связности, гиперполосное распределение, оснащение.

Keywords: conformal connection, hyper-band distribution, framing.

Актуальность исследуемой проблемы. Внутренняя геометрия гиперполосного распределения в пространстве конформной связности Cn,n практически не разработана. Построенные оснащения применяются при изучении линейных связностей, индуцируемых при различных нормализациях гиперполосного распределения в C .

Материал и методика исследований. В работе применяются инвариантные методы дифференциальной геометрии: метод продолжений и охватов Лаптева [3] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [9].

Результаты исследований и их обсуждение. На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

X, и, р = 0,n +1; I, J, K, L,M,P, Q = 1,n ; a, ¡3, у = m +1,n;

i, j, k, s, t = 1,m; a, b, c = 1,n -1; u, v, w, z = m +1,n -1.

Рассмотрим пространство конформной связности Сп,п [6], [7], базой которого служит многообразие Вп, слоями - конформные пространства Сп размерности п . Структурные формы пространства Спп подчинены структурным уравнениям [6], [7].

D< = < л < +1 Х^а? л о1, <Р = 0, (1)

где ЯК - тензор кривизны-кручения пространства Сп,п. Отнесем пространство Сп,п к полю полуизотропных реперов Я = {Ля } [2]. Система дифференциальных уравнений бесконечно малого перемещения репера Я в слое имеет вид

Л = я>Лр . (2)

Согласно работе [7] при таком выборе репера формы Пфаффа пространства Сп п удовлетворяют соотношениям:

(а) оТ1 = <0+1 = <00 + <1 = 0,

(б) а,++ + ё,к<К = 0, < + ё,к<К+1 = о, (3)

(в) ¿ёи - ё,к< - ёки < = 0 где ёи - метрический тензор пространства Сп,п .

В каждой точке Л0 слоя Сп возьмем п линейно независимых гиперсфер Рк :

р = Л + Хг Л0 + Хг^Лр + Хг Лп+1, Ра = Ла + Ха Л0 + х1аЛ] + Ха Лп+1.

Пусть гиперсферы Рг и Ра проходят через точку Л0: (РгЛ0) = хг"+1 = 0, (РаЛ0) = х^1 = 0; следовательно, имеем:

р = Л + xi Л0 + Х1 Лр, Ра = Ла + хаЛ + ХаЛ] . (4)

Согласно [6] т-мерным линейным элементом (Л),Ьт) называется совокупность точки А0 и т-параметрической связки Ьт гиперсфер Р = + Л0, натянутых на А0 и базисные гиперсферы р ; аналогично, (п - т)-мерным линейным элементом (Л0, Ьп-т) называется совокупность точки А0 и связки Ьп-т гиперсфер Q = г]аРа + гц°Л0.

В силу (3), (4) структурные формы полей связок Ьт и Ьп-т , то есть полей объектов Х" , х'а , имеют соответственно вид

Дх" = йХа + х]< - ха а/ + <аа - х'х" а',

г г 1 ! ] 1 1 1 ] ! (5)

ДХа = ¿Х'а + Хка<к - Х'р< + а" - х'аХ],<.

По аналогии с работой [6] распределениями т-мерных (Л),^) и (п-т)-мерных элементов (Л0,^-т) в пространстве конформной связности Спп назовем п-мерные погруженные многообразия К и Л в пространствах представления {Дх™ ,<0 } и {Дх^ ,<0 }, определяемые системами дифференциальных уравнений соответственно

Дх™ =Аа<, дха =КкоК. (6)

(7)

(8)

(9)

В специализированном репере R (то есть выполняются соотношения (8)) гиперсферы р, Ра (см. (4)) имеют следующие разложения:

Геометрически это означает, что текущие элементы Lm и Ln_m распределений К и Л в каждом центре Д ортогональны. Распределения К и Л называются взаимно ортогональными [6], если выполняются равенства (11). По аналогии с [6] частично канонизированный репер R, определяемый равенствами (8), (9), назовем полуортогональным репером 0-го порядка, адаптированным к взаимно ортогональным распределениям К и Л.

Согласно (3), (11) тензоры gjj и gap удовлетворяют уравнениям:

Из уравнений (3) для равенств (11) следует gijЮJa + gap®i = 0, из чего в силу уравнений (9) найдем связь между компонентами полей фундаментальных объектов первого порядка на распределниях К и Л:

g,J Л'аК + gа[ Лгф =

Пусть в некоторой области и базы Вп для любой точки А0 е Вп имеет место Lm сДп-1, т < п -1. Здесь Дп-1 есть совокупность гиперсфер Р = %'Р, + + Л0, натянутых на гиперсферы р, р и точку Д, то есть Дп-1 =

[арр ], где р, = Х° До + д. По аналогии с работой [5] пару распределений К т-мерных линейных элементов (Д, Дт) и М гиперплоскостных элементов (Д, Дп-1) с таким отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре Д обозначим Т и назовем гиперполосным распределением т-мерных линейных элементов (Д, Дт ), т < п -1. Распределение К т-мерных

р = Х,Л0 + Д , Ра = Ха А + Д

(10)

Пусть выполняются равенства

(РРРа) - (ДД) = = 0.

(11)

^у - gkj-®г - g,k®kJ = 0 , ^аф - gy[®a - gay®l = 0, gl | * 0 ,

g2 ^аф * 0, d 1п gl - 2® = 0, d 1п g2 - 2®;: = 0, gIkgkj = 3/ , (12)

gayg?ф = 3ф, dgj + glk®k + = 0, dga[ + + gar®ф = 0 .

линейных элементов (Л0, Ьт) назовем базисным, а распределение М гиперплоскостных элементов (Л0,Ьп-1) - оснащающим.

В силу соотношений (2), (10) условие инвариантности элемента Ьп-1

(ЗЛ0 с Ьп-1, ЗРг с Ьп-1, ЗР0 с Ьп-1) выполняется при ж^ = 0, следовательно, формы а^ должны быть главными:

а"п =А1<К . (13)

Из уравнений (122), учитывая (13), имеем:

¿ёоп - ёуиРп - ё<п - ёип< = ёупК<0 , ётк<а = ёпп< = ёппКк< . (14)

Из последних уравнений в силу леммы Остиану [4] в случае \ёт \ * 0 возможна частичная канонизация репера Я, при которой

ёоп = 0. (15)

При такой специализации репера Я распределения © и Нявляются взаимно ортогональными, то есть текущие элементы Ьп-т-1 = \_Л0Р0 ] и Ь1 =\Л0Рп ] распределений (п - т - 1)-мерных линейных элементов © и одномерных линейных элементов Нвзаимно ортогональны. Из уравнений (14) в силу (15) следует

о"и =Аипк<к. (16)

Из (14)-(16) получим

Апк + ёпп Ак =

в силу \ёкь\ * 0, |ёгу| * 0, |ёа^ * 0, |ёте| * 0 справедливо ёпп * 0. Совокупность

функций ёт является невырожденным симметричным тензором, а функция ёпп - невырожденным относительным инвариантом:

- ёт<: - =0, ¿ёпп - 2ёпп0"п = 0, ё™ёта = зи, ёппёпп=1, (17)

¿ё" + ё™о1 + ё™ < = 0, ¿ёпп + 2 ёппапп = 0. Тогда в полуизотропном [2] полуортогональном [6], [8] репере Я дифференциальные уравнения гиперполосного распределения Т в пространстве Спп примут вид

<а = Ак<к , о'а =Ак<к , <п =Апк<к , <п =А1к<к . (18)

Продолжая уравнения (18), имеем:

¿АО +А< - - А]< + Аи<: - ё<+1 =К<, йА0ш +Аи< - А< - АС + АшО1 - з<0 = АК ,

0 \о \ог^п \и о IV Ь

0 -Акпаг -Агпап + Агп<и = АгпЬ<0 ,

п к к > _ Ь

йАп +Ап<0 - К< - А-ок + Апап - ё?"^ = А^ , ¿А1 + Ко0 - Ап< - К? + АК = А1Ь<Ь , ¿Ат + Ап1па0 - А^а - а* = АтЬаЬ,

л л г I л г 0 л г и а г к . \ к г о г 0 л г Ь

+\а0 -Ащаи Аvkа] +К]ак - 3]а0 =\ь<0 ,

¿Ки + Киа0 - Ки° - А^аи + А0иак - ёоиа'п+1 = АоиЬаЬ ,

dAvn + KnA - KnA - Kn< + = KnL®0 ,

dRn] + j - Rn]< - + j - = jL , (19)

0 - KvK - ^nwA + = KvlA :

0 /-) \i ^^n . \k -A -A \i --L

dAnn + - 2Ann< + Kn< - gnnAn+1 = AnnLA0> ,

dK, + К A - AA - KA + = KaP% ,

dAnm + KA - AnwuA - KwA + AlA - gA+1 = KULA , dKVn + aiA - AWA - A = KaL, dAvm + kA - ka - kA + KmAu = AvnA

dAVnu + KuA - KuA - KwA + AWnuAw - SA = AIlA ,

dAVnn + AVnnA - 2AVnnA + AWnnA - gmA+i = КпА.

Отсюда следует, что каждая из шести систем функций [К^}, {AVn}, {Av}, {Avn},

}, {Avn,} образует тензор первого порядка [3].

Из последних уравнений системы (3) для равенств (11) и (15) имеем:

gy KvK + guv Kk = 0 , gy KnK + gnn AnK = 0 , gvu Kk + g nn Kk = 0 .

Обозначим через \_Pa ] пересечение n - m гиперсфер Pa, представляющее собой (n -m) -параметрическую связку m-сфер, проходящих через точку Д . Так как в каждом центре Д е Kраспределения K и Л ортогональны, то все m-сферы \Pa] касаются образующего элемента Lm распределения K в его центре Д. Аналогично, \Pj ] есть пересечение m гиперсфер P, представляющее собой m-параметричекую связку (n - m) -мерных сфер, проходящих через точку Д. Все (n - m) -сферы \_Pi ] касаются образующего элемента Ln-m распределения Л. Тогда полем касательных m-сфер распределения K назовем поле \р], а полем нормальных (n-m)-сфер - поле \Pj] [6], [8].

Полное оснащение распределений K и Л эквивалентно тому, что в пространстве Cn,n задается дифференцируемое точечное соответствие Д ^ Xn+1, Xn+1 ФA0, где точка

Xn+1 оснащающего поля в полуортогональном полуизотропном конформном репере R имеет разложение [6] Xn+1 = -2[g^OXQ + gaBxQХ°Н - g'xQA, - gaBx°pAa + А+1.

В выражениях гиперсфер P и Pa (см. (10)) функции x0, x° подчинены дифференциальным уравнениям:

>0,00 0 J' 0 0 K 7 0 , 0 0 0 В . 0 0 K

dxi + xi A0 - xyA, + A, = x,K A0 , dxa + xaAo - xp&a + Aa = xaK Ao , (20)

следовательно, задавая поля функций x0, x° , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (20), имеем полное оснащение распределений K и Л [6], [8].

Под полным оснащением гиперполосного распределения F в пространстве Cn n будем понимать полное оснащение его базисного распределения K, определяемого полями квазитензоров x0, x° .

Нормальным оснащением гиперполосного распределения F в пространстве Cnn называется частичное оснащение базисного распределения К определяемое полем квазитензора x0, то есть полем нормальных (n - m) -сфер р ] [6], [8]. При этом для разложений (10) выполняется первая группа уравнений системы (20).

Касательным оснащением гиперполосного распределения F в пространстве Cn n называется частичное оснащение базисного распределения К определяемое полем квазитензора x° , то есть полем касательных m -сфер \_Ра] [6], [8]. При этом для разложений (10) выполняется вторая группа уравнений системы (20).

В силу (18) вторую группу дифференциальных уравнений (20) запишем в виде

, 0,0 0 0Л,И ,0 0 к 0,0/0 n\, 0 _ „О K on

dXv + Xv®0 - Xu(v + (v - XvK (00 , dXn + Xn (Й0-0n) + 0n - XnK ®0 , (21)

то есть, чтобы задать касательное оснащение гиперполосного распределения F, нужно задать поля квазитензоров (x°), (x°°) .

Рассмотрим функции

-gj^Kn, Kd---ЦК-—ЦgjguvKv. (22)

n - m -1 n - m -1

Согласно (19), (17), (12) функции Л0 и Л0 образуют квазитензор:

dA0 + Л0000 - Л>/ + о( - Л0к®0к , (23)

dk] + Л0(0 - Л>/ + о( - Л]ко0К . (24)

В силу (20), (23), (24) нормальное оснащение базисного распределения К в первой дифференциальной окрестности внутренним образом определяется полями квазитензоров (22).

Рассмотрим функции

Л0 --1Л -_!_ g gstЛи Л0 d--Лп - g чтЛ (25) m m

Л0 d-- — Л - — g gstЛп Л0 d---1_Ли -_1_g е^Л"

m m n - m -1 n - m -1

В силу (19), (17), (18) каждая из функций (25) образует квазитензор:

dл° + Л>0 - л( + (0 - ЛК ; ¿Л0 + Л>0 - ЛО + ( - ЛК, (26)

¿Л" +Л°П(О-() + (-Л0коК ; ¿Л" +Л0(О0 -() +(-Л0„коК. (27) В силу (20), (26), (27) касательное оснащение базисного распределения К в первой дифференциальной окрестности внутренним образом определяется полями четырех пар квазитензоров (Л0, Л0И ), (Л0, Л ), (Л, Л ), (Л, Л ).

Таким образом, доказана Теорема 1. Различные попарные сочетания нормальных и касательных оснащений базисного распределения К гиперполосного распределения F в пространстве конформной

связности Cnn, определяемые полями квазитензоров Л0, Л0 и Л,^, ЛЛ0^, Л0п, Л0п, в первой дифференциальной окрестности индуцируют восемь инвариантных полных оснащений базисного распределения К гиперполосного распределения F.

Рассмотрим совокупность функций [1]

а- = лп -1 £1]£Ь ЛЦ. (28)

т

На распределении Т функции (28) в силу (19) образуют тензор первого порядка:

йа^ + ап (®0 + ®1) - а® - а® = а^К ■ (29)

В случае невырожденности тензора ап , то есть а1 =а* 0 , рассмотрим обратный

ему тензор аЩ , компоненты которого определяются соотношениями аЩа^ = 3/ .

Продифференцируем последние соотношения и свернем полученные уравнения с тензором а1п , тогда с использованием (29) имеем

- 4 (®0 + ®пп) + а^к + а*® = а1®К . (30)

Согласно работе [3] справедливо уравнение d 1п а1 = аЩйап; имеем

d 1п а1 + т(®0 + ®1) - 2®- = аК®0 , аК = а-а^ . (31)

а

Уравнение (31) в силу (12) запишем в виде: d 1п — + т(®0 + ®п) = аК®0 , откуда получим

gl

й 1п т/— + ®0 + = аК®К, ~К =— аК . (32)

а1 0 п ~ к ~ 1

I— + ®0 + ®п = аК®0 , аК = — g1 т

Продолжая уравнение (32), с использованием (1), (18) имеем

й~к + ака0 - а,®'к + ®к = акД®0 , йаа + аа®0 - араф + ® 0а = ~аД®0 ; (33)

здесь

~к -ак , ~а *== -аа ; (34)

т т

2а[к1 ] - 2ааЛ [кг] - аМ^к1 + R0kг = 0 , 2а[а(] - 2а-Л[а[] - аМ^а[ + R0а[ = 0 ,

~к( - ~(к + ~Лфк - ааЛк[ + Ккр - "мКкр = 0 . (35)

Согласно (33), (20) поля квазитензоров второго порядка ак и аа определяют полное оснащение гиперполосного распределения Т в пространстве Сп,п . С учетом уравнений (19), (17) совокупность функций

Ьпй= Л п--1-£ р™ л п

иу ¿ъ-т , Ьто ¿^г

п - т -1

при т<п-2 образует тензор:

йЪ"т+Ъ"т (®0 + ) - Ь1®: - ъиа = ъ"тК®К,

при т=п-2 тензор будет нулевой.

В случае невырожденности этого тензора, то есть Ъ ^|ъиу| * 0 , имеем

й 1пЪ + (п - т - 1)(®0 + а"п) - 2®и = ЪК®К ;

здесь каждая из систем функций

~ -Цbk , ~ -Чb (36)

n - m -1 n - m -1

(37)

по аналогии с (34) образует квазитензор второго порядка:

dbk + ~k®0 - ~®k + К = bkL®0 ,

+ ~- Р + К0 = boLa0 ;

причем справедливы соотношения:

2b[kl] - 2Ьа А[kl] - bMR0kl + R0kl = 0 , 2b[ар] - 2b ар] - bMR0ар + R0ар = 0 ,

bkP - bpk + ~ j - ЬаAakp + R00kp - bMRMkp = 0. (38)

Итак, доказана

Теорема 2. Инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения F, погруженного в пространство конформной связности Cnn, во второй дифференциальной окрестности внутренним образом определяется:

а) полями квазитензоров второго порядка ak и аа ;

б) полями квазитензоров второго порядка bk и bа при m < n - 2 .

Резюме. Доказано, что в первой и второй дифференциальных окрестностях инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения внутренним образом определяется полями квазитензоров первого порядка (22), (25) и полями квазитензоров второго порядка (34), (36) соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис, М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Математический сборник. - М., 1952. - Т. 31. - № 1. - С. 43-75.

2. Бушманова, Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. - Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. - 178 с.

3. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

4. Остиану, Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / Н. М. Остиану // Rev. math. pures et appl. (RPR). - 1962. - Т. 7. - № 2. - С. 231-240.

5. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.

6. Столяров, А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. - 180 с.

7. Столяров, А. В. Пространство конформной связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. - 2006. - № 11. - С. 42-54.

8. Столяров, А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2002. - 204 с.

9. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.