Влияние законов распределения доходностей рисковых активов на оптимальные портфельные решения Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ВЛИЯНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДНОСТЕЙ РИСКОВЫХ АКТИВОВ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ ПОРТФЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

ДЖАНГИРОВ А.П.,

кандидат технических наук, доцент, Кисловодский институт экономики и права, e-mail: kiep_asy@mail.ru

Предложена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные портфельные стратегии в стохастической инвестиционной среде с учетом скачков цен активов большой амплитуды.

Ключевые слова: моделирование; оптимизация; стохастическая инвестиционная среда.

The paper proposes the model of financial investment, allowing to analyze optimal portfolio strategies in stochastic investment opportunities taking account of jumps of risky assets prices of large amplitude.

Keywords: modeling; optimization; stochastic investment opportunities.

Коды классификатора JEL: G11, G32.

Фундаментальное значение в портфельной теории имеет проблема анализа ситуации, когда распределение доходности финансовых инструментов существенно отклоняется от нормального. Как правило, распределение доходности рисковых активов на фондовых рынках в условиях стохастического и скачкообразного изменения цен активов характеризуется значительными асимметрией и эксцессом (так называемые «жирные» хвосты распределений, когда на концах хвостов, т.е. в области очень больших и очень малых доходностей, имеет место повышенная плотность распределения по сравнению с нормальным, а также «лептоэксцесс» — островершинность и «платоэксцесс» — плосковершинность) [1-3]. Поскольку модель оценки финансовых активов и большая часть методов эконометрического анализа предполагают, что ожидаемые доходности подчиняются нормальному или логнормальному распределению, возникает проблема распространения этих теорий и методов на ситуации, когда доходности активов не распределены нормально.

Имеются многочисленные свидетельства того, что доходности финансовых активов не являются нормально распределенными. В качестве иллюстрации этого утверждения используем анализ доходности по индексу S&P 500. Таблица 1 показывает статистические свойства доходности по индексу S&P 500 при различных временных агрегатах. Из таблицы 1 видно, что дневные доходы демонстрируют значительную отрицательную асимметрию (-1,31) и очень большой эксцесс (34,70); обе эти величины должны равняться нулю при нормальном распределении. Агрегация по времени уменьшает величины отклонений от нормального распределения, но со скоростью, значительно более низкой, чем предсказываемые центральной

, I

предельной теоремой значения 1 /чп для асимметрии и эксцесса, где п — число дней в агрегате.

п

Будем описывать динамику цены рискового актива Pt следующим стохастическим дифференциальным уравнением

—= (ц, - \S)dl +o,dz, + (е* -1)c/V(к)f (1)

t

где zt — стандартное броуновское движение, — тенденция, at — волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены актива, а dV(X) определяет случайный процесс Пуассона с интенсивностью скачков X (вероятность появления одного скачка за малый промежуток времени dt равна Pr(dV = 1) = Xdt. Вероятность осуществления n скачков на инвестиционном горизонте т определяется вероятностью Пуассона

© А.П. Джангиров, 2011

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 1 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 1 Часть 2

ni

Член S = E(eg — 1) (E — оператор математического ожидания) описывает средний вклад скачков в цену актива в расчете на один скачок, а и — нормально распределенная случайная величина с N fog, og).

Скачки цен рисковых активов (и, соответственно, скачки доходности активов) являются источником отклонений распределения доходности от нормального распределения. Если тенденция ц и волатильность о постоянны, математическое ожидание доходности

(2)

(натуральный логарифм относительной цены актива представляет собой непрерывно начисляемую доходность финансового титула за период времени т) на временном горизонте длиной т составляет цт -а "X / 2 - X(S - це )г . Используя лемму Ито, из уравнения (1) нетрудно получить обратное уравнение Колмогорова [2] для характеристической функции доходности (2), определяющее дисперсию и высшие моменты доходности (2):

К2 =[CT2+Mng2+CJg2)]C; £3=tye[H*+3a*)]C;

КА = А.(д* + 6ц;о; + За* )Jr,

где Kj — j-ый кумулянт доходности. Кумулянты связаны с центральными моментами mj следующим образом m1 = K; m3 = K; m4 = K4 + 3m22. Асимметрия и эксцесс определяются, соответственно, как нормированные третий и четвертый кумулянты

Таблица 1

Характеристики доходности по индексу S&P 500

Число дней в агрегате Математическое ожидание, % Стандартное отклонение, % Асимметрия У, Эксцесс У,

1 день 12,64 13,66 -1,31 34,70

6 дней 12,71 14,70 -0,49 7,16

11 дней 12,69 14,52 -0,56 6,09

16 дней 12,73 14,46 -0,53 4,37

21 день 12,76 14,54 -0,42 3,29

26 дней 12,76 14,51 -0,40 2,91

31 день 12,76 14,45 -0,45 2,44

36 дней 12,76 14,51 -0,46 2,43

41 день 12,77 14,56 -0,42 2,56

46 дней 12,77 14,60 -0,38 2,49

51 день 12,79 14,63 -0,34 2,34

56 дней 12,80 14,64 -0,28 2,14

Из соотношений (3) видно, что появление скачков цен активов приводит к возникновению ненулевых асимметрии и эксцесса, которые равны нулю для нормального распределения. Скачки также увеличивают дисперсию доходности активов. Дисперсия доходности по активам, как нетрудно видеть, увеличивается с ростом частоты скачков X, абсолютным значением математического ожидания величины скачка |ц^| и условной дисперсии величины скачка а2. Коэффициент асимметрии зависит от математического ожидания величины скачка с учетом направления скачка. Еще одной интересной чертой стохастического процесса с учетом скачкообразных изменений цен активов является то, что коэффициенты асимметрии и эксцесса стремятся к нулю при увеличении инвестиционного горизонта. Коэффициент асимметрии уменьшается пропорционально квадратному корню из длины Vт горизонта, а коэффициент эксцесса убывает пропорционально длине горизонта т.

Из таблицы 1 нетрудно видеть, что отклонение от нормального распределения в доходности по активам уменьшается при увеличении агрегатов по количеству дней. В этой связи может возникнуть представление, что если инвестиционный горизонт велик, то финансовым менеджерам необходимо лишь перио-

дически (например, ежеквартально) реструктурировать свои инвестиционные портфели в соответствии с конъюнктурой фондового рынка, а влияние асимметрии и эксцесса на больших инвестиционных горизонтах становится незначительным в силу их малых величин. На самом деле этот аргумент неправилен, поскольку, как показано ниже, влияние асимметрии увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии. Поэтому для независимо и идентично распределенных динамических рядов доходности по активам, в то время как асимметрия и эксцесс убывают с ростом инвестиционного горизонта пропорционально Vn и n соответственно , их влияние также увеличивается пропорционально Vn и n. В результате такой взаимной компенсации получается, что влияние отклонений распределения доходности активов от нормального не меняется с ростом инвестиционного горизонта пропорционально n.

Простой калибровочный пример, результаты которого иллюстрируются в таблице 2, показывает относительное влияние отклонений распределения доходов по активам от нормального на характер инвестиционных решений. В этом примере инвестор имеет коэффициент относительного неприятия риска Y=4 и делает портфельный выбор между 5% безрисковым активом и акциями инвестиционного фонда, имитирующего индекс S&P 500. В таблице 2 представлены оптимальные размещения (в процентах) в индекс S&P 500 при различных инвестиционных горизонтах (в бизнес-днях). 0; есть вес размещения рискового актива в портфеле в предположении о нормальности распределения доходностей у = у2 = 0; 02 соответствует нулевому эксцессу; 03 соответствует нулевой асимметрии; вес размещения 04 учитывает все четыре первые момента. В последнем столбце таблицы 2 приведено процентное изменение в весе размещения капитала инвестора в рисковый актив с учетом и без учета отклонений от нормального распределения:

— = 100%^—^-.

0 0,

Таблица 2

Инвестиционное решение по индексу S&P 500

п О, в. в3 в4 АО/О

1 день 102,35 99,55 101,01 98,40 -3,84

6 дней 89,23 87,21 88,06 86,10 -3,51

11 дней 91,30 88,21 89,48 86,55 -5,20

16 дней 92,41 88,92 90,54 87,21 -5,63

21 день 91,83 88,76 90,07 87,06 -5,19

26 дней 92,20 89,02 90,34 87,18 -5,44

31 день 92,96 89,17 91,16 87,37 -6,01

36 дней 92,12 88,10 90,13 86,13 -6,51

41 день 91,54 87,73 89,23 85,42 -6,96

46 дней 91,09 87,65 88,66 85,15 -6,52

51 день 90,96 87,80 88,52 85,19 -6,35

56 дней 91,07 88,50 88,70 85,82 -5,76

Построенный пример показывает, что как отрицательная асимметрия, так и положительный эксцесс сокращают инвестиционный спрос на акции инвестиционного фонда. Под влиянием обоих этих факторов инвестор сокращает спрос на акции фонда приблизительно на 6%. Кроме того, как показал предшествующий анализ, влияние отклонений распределения доходности по активам от нормального не уменьшается с увеличением горизонта инвестирования. Таким образом, отклонение распределения доходности по активам от нормального является источником риска, который не может быть описан в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Увеличение инвестиционного горизонта, хотя и уменьшает величину асимметрии и эксцесса, в целом не снижает их влияние на размещение капитала в рисковые активы.

Получим приближенное аналитическое выражение, определяющее портфельный выбор инвестора как функцию математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения сверхдоходности рисковых активов и исследовано влияние скачков цен активов на оптимальное портфельное решение. Предполагаем, что инвестор максимизирует свою ожидаемую полезность в следующем периоде тахЕ,и(Гм) - инвестируя средства в безрисковый актив (банковский счет) и один рисковый актив, так что для капитала инвестора можно записать следующее уравнение +1 = №[01 (К, 1+1—К) + К]. Здесь и +1 — начальный и конечный капитал инвестора, К, ++, — доходность рискового актива, К/ — доходность безрискового актива, 0( — вес рискового актива в портфеле инвестора. Запишем условие первого порядка, которому должно удовлетворять оптимальное решение

£,[»/(^+1)(Л,,+1-Л/)] = 0. «>

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 1 Часть 2

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 1 Часть 2

Решение этой статической (однопериодической) задачи определяет спекулятивный спрос инвестора на рисковый актив, соответствующий игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Разложим предельную функцию полезности инвестора и'(Ж+1). в ряд Тейлора в окрестности ожидаемого капитала в следующем периоде Е[№ ,]. Подставляя полученное разложение в условие (4), получаем уравнение

где х1 = Е1Я1 м — Я/ — ожидаемая сверхдоходность, шм — и-й центральный момент распределения доходности рискового актива , а и(и) (■) — и-я производная функции полезности.

Заметим, что традиционный результат портфельной теории, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии распределения, следует из уравнения (5) в первом приближении:

ит(Е^))х, = х,

' И(2>(^[^+1])^«2, Т»2,'

где у = -и(2>Ж / ы(1> — коэффициент относительного неприятия риска. Дальнейший анализ показывает, что:

1) оптимальный вес рискового актива в портфеле возрастает при положительной асимметрии и уменьшается при положительном эксцессе;

2) влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального распределения увеличивается с ростом относительного неприятия риска инвестором;

3) влияние асимметрии на оптимальный вес рискового актива в портфеле увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.

Далее изучим вопрос о влиянии скачков цен активов на оптимальный портфельный выбор. Инвестор максимизирует свой конечный капитал на инвестиционном горизонте Т, инвестируя средства в безрисковый актив с постоянной непрерывно начисляемой ставкой г и один рисковый актив (который может представлять индекс акций), динамика цены которого Р1 описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением (1). Рисковая премия по активу с ожидаемой сверхдоходностью описывается случайным процессом Орнштейна — Уленбека с релаксацией к своему долгосрочному значению

-о </_-

где — волатильность рисковой премии, г — стандартное броуновское движение, коррелированное с процессом 2 ] = р(Л' Р — коэффициент корреляции. Динамика капитала инвестора эво-

люционирует следующим образом

ЛУ, = Яг\у,ж +е,И/,[ад\с// + аА + (?* -1)с/Г(Л)]'

где 0{ — доля капитала, размещаемого в рисковый актив. Неявная функция полезности инвестора, соответствующая максимизации его конечного капитала на инвестиционном горизонте, имеет вид

* )= шах Е,[еК/1и{\Ут )], т = Т -1. (7)

Анализ уравнения Беллмана, соответствующего задаче максимизации (7), приводит к следующему выражению для оптимальной инвестиционной стратегии

( Л, Ї V. | Г ^ 1 ст,,р

( ¿„г,) о,

(8)

Оптимальное решение (8) есть сумма трех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля, второй член показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Последняя часть портфеля индуцирована случайным процессом Пуассона в динамике изменения цены актива.

Анализ показывает, что для умеренно не принимающих риск инвесторов (у > 1) спрос на хеджирование положителен и возрастает с ростом инвестиционного горизонта тогда и только тогда, когда риско-

вая премия отрицательно коррелированна с процессом, определяющим доходность рискового актива. По существу, отрицательная корреляция между рисковой премией и доходностью обеспечивает страховой механизм для инвестора, который поэтому рассматривает рисковый актив как «менее» рисковый и решает инвестировать в него больше. Если корреляция положительна, наблюдается противоположная ситуация. Установлено, что для не принимающих риск инвесторов (у > 0) вероятность скачка цены рискового актива, независимо от направления скачка, сокращает спекулятивный спрос инвестора (короткую или длинную позицию) на этот актив. Этот эффект усиливается с ростом неприятия риска инвестора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции / Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2003.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Наука, 1998.

3. Сampbett J.Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time-varying // Quarterly Journal of Economics. 1999. Vol. 114. № 2. pp. 433-495.

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 1 Часть 2