Влияние закона распределения длительности обслуживания в условиях самоподобного трафика на параметры QoS Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.395

Для оценки параметров качества обслуживания самоподобного трафика можно использовать методы расчета известных распределений, энтропия которых наиболее близка к энтропии самоподобного трафика. Однако на эти параметры существенное влияние оказывает закон распределения длительности обслуживания, что требует соответствующего учета. В работе исследовано влияние этих законов на параметры QoS в условиях самоподобного трафика.

ВЛИЯНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ОБСЛУЖИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ САМОПОДОБНОГО ТРАФИКА НА ПАРАМЕТРЫ QOS

А.Г.Ложковский Р. А. Ган ифае в

Одесская Национальная академия связи им. А.С. Попова,

Контактный тел. (048) 731-73-55

1 Введение

Модели трафика в сетях NGN существенно отличаются от традиционных моделей, например пуассонов-ских, применяемых, в телефонии. В мультисервисных пакетных сетях, базирующихся на технологии коммутации пакетов, трафик или распределение количества пакетов в единицу времени хорошо описывается самоподобным (self-similarity) случайным процессом с параметром Херста около 0,65-0,8 [1]. Основной причиной самоподобия трафика является интегральный характер сети NGN (мультисервисность), используемой для передачи речи, цифровых данных, видео и других данных, представляемых в форме стандартных пакетов. Использование неадекватных математических моделей трафика приводит к неправильной оценке характеристик качества обслуживания (QoS) сети.

Сведения о характере потоков пакетов и длительности обслуживания важны для обоснования нормативов качества обслуживания. Прежде, как правило, поступающий на обслуживание поток требований, считался простейшим и для систем массового обслуживания (СМО) с потерями и очередями получены все аналитические выражения для расчета основных характеристик качества обслуживания. Например, для расчета полнодоступной многоканальной системы при экспоненциальном времени обслуживания используются B- и C-формула Эрланга соответственно, а для расчета одноканальной системы с ожиданием при произвольном времени обслуживания - формула Поллачека-Хинчина. Для случая самоподобного трафика аналогичных методов расчета характеристик

качества обслуживания неизвестно. Причиной этому является слабая формализуемость модели самоподобных потоков, вследствие чего и невозможно получить аналитически обоснованные результаты для характеристик СМО, в которых обслуживаются данные потоки. Несмотря на популярность модели самоподобного трафика до сих пор ряд задач оценки качества функционирования СМО остается нерешенными. В частности, из-за отсутствия строгой теоретической базы, способной дополнить классическую теорию массового обслуживания при проектировании СМО с самоподобным трафиком, не существует достоверной и признанной методики расчета параметров и показателей качества систем распределения информации в условиях эффекта самоподобия.

Очевиден и тот факт, что на характеристики качества обслуживания влияют и вероятностные законы распределения длительности обслуживания.

Целью работы является исследование влияния закона распределения длительности обслуживания пакетов в условиях самоподобного трафика на параметры QoS на основе анализа энтропии распределения состояний однолинейной системы с очередью.

2.Числовые характеристики трафика сети

Случайный процесс (СП) прихода пакетов в систему на обслуживание, образующий поток пакетов (трафик), характеризуется законом распределения, устанавливающим связь между значением случайной величины (количеством пакетов) и вероятностью по-

явления этого значения. В большинстве случаев для расчета параметров QoS достаточно знать о законе распределения только некоторые его числовые характеристики.

Общими числовыми характеристиками являются моменты распределения различных порядков. Например, для расчета в условиях пуассоновского распределения достаточно математического ожидания М, а для нормального распределения - необходимо иметь значения М и дисперсии D. При этом если по заданным законам распределения моменты распределения можно определить однозначно, то обратная задача решаема не всегда.

Основные характеристики случайного процесса М и D, являясь весьма важными, в то же время не являются исчерпывающими, а иногда и бесполезными для прогнозирования значения случайной величины.

Возможны варианты, когда СП характеризуются одинаковыми значениями математического ожидания и дисперсии, но внутренняя структура этих процессов различна.

Одни могут иметь плавно меняющиеся реализации, а иные - ярко выраженную колебательную структуру при скачкообразном изменении отдельных значений случайной величины (например, резкое возрастание количества пакетов в сети, приводящее к «пачечности - Ьи^пезз» трафика).

Для «плавных» процессов характерна большая предсказуемость реализаций, а для «пачечных» - очень малая вероятностная зависимость между двумя случайными величинами СП.

В таких случаях говорят, что закон распределения, характеризующий СП, несет в себе некоторую неопределенность и позволяет с большей или меньшей надежностью предсказать значение случайной величины. Например, при равномерном распределении все значения случайной величины равновероятны, а при экспоненциальном - наименьшие значения имеют наибольшую вероятность.

Числовой характеристикой распределения, которая может служить его мерой неопределенности является энтропия закона распределения, определяемая для дискретного распределения как

m

H(m) = - х p.logp., i=1 1 1

m

где при полной группе событий X p • = 1.

i=1

1

случайные реализации фрактального броуновского движения fBM.

При генерировании самодобного трафика критерием его самоподобности является так называемая долгосрочная зависимость (long range dependent). Для обнаружения этой зависимости используется определение функции корреляции. Для самоподобного процесса корреляционные свойства процесса, усредненного на различных временных интервалах, остаются неизменными. При этом сам процесс носит пачечный (bursty) характер.

Пачечный характер генерированного трафика способствует его адекватности реальному характеру трафика в мультисервисных сетях.

Здесь при широком диапазоне скоростей передачи нагрузка является разнородной, поскольку передачу потоков разных приложений и служб обеспечивает одна и та же сеть с едиными протоколами и законами управления. Источники определённой службы характеризуются максимальной и средней скоростями передачи, т.е. коэффициентом пачкования (burstness) и средней длительностью пика нагрузки. Например, пачкование для речевых служб возможно из-за пауз в разговоре.

Наиболее известным методом формировании самоподобного потока является метод Мандельброта [2]. Он основан на суперпозиции нескольких (строго чередующихся) независимых и имеющих одинаковое распределение ON/OFF источников, интервалы между ON и OFF периодами которого обладают эффектом Ноа (Noah effect). Причем, именно эффект Ноа в распределении длительностей ON/OFF периодов является базовым при моделировании самоподобного трафика.

Эффект Ноа является синонимом синдрома бесконечной дисперсии. Математически для достижения эффекта Ноа можно использовать распределение Парэто, которое часто называют «распределением с длинным хвостом».

Плотность распределения Парэто задается функцией:

t a+1

, (2)

f(x) =

(1)

b

x

Энтропия не зависит от значений, принимаемой случайной величиной, а только от их вероятностей. Обычно представляет интерес не абсолютное значение энтропии, а сравнение энтропий различных законов. Кроме того, основание логарифма может быть взято любым.

3. Моделирование самоподобного трафика

В условиях отсутствия точных аналитических методов расчета параметров QoS при самоподобном трафике наилучшим способом оценки параметров функционирования системы является имитационное моделирование. Для этого необходимо генерировать

где а - параметр формы, Ь - мода распределения (минимальное значение случайной величины х). Причем, при а < 2 дисперсия бесконечна (что и требуется в качестве одного из условий самоподопобности, см. выше).

Наличие в распределении так называемого «длинного хвоста» обеспечивает свойство пачечности трафика, поскольку в распределении существенно возрастают вероятности длинных интервалов между событиями (например, отсутствие пакетов на интервале) и для «поддержания» заданного среднего значения количества событий необходима их концентрация (увеличение) на других интервалах времени.

Параметр формы а распределения Парето и параметр Херста Н находятся в такой зависимости:

H

3-a

(3)

2

4/3 ( 34 ) 2008

В практическом моделировании распределение Парето получается путем перехода от равномерного распределения методом обратной функции:

ь

Z =

1 au.

(4)

где Zi - i-й интервал между событиями, и - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1]. Алгоритм имитационной модели СМО приведен в [3].

Для доказательства самоподобности генерируемого трафика используется метод абсолютных моментов. В качестве значений случайного процесса рассматривается количество пакетов, поступающее в СМО в единицу времени. Исходная последовательность количества пакетов длиной N разделяется на блоки длиной т (отдельные агрегированные процессы размером т). На непересекающихся временных интервалах, т.е. на границах каждого блока к последовательность имеет среднее значение:

1

X(m) = —Y X

Xk = m Li X(k-1)m+1 m j-1

, k = 1, 2, 3 ..., [N / m]

(5)

Рассчитав среднее значение X для всей последовательности, затем для каждого блока к рассчитывается дисперсия Dk:

1 1 (хкт) - X)2.

(6)

Dkm) -

N/m j-1

Для самоподобного процесса дисперсия агрегированных процессов должна убывать медленнее, чем величина, обратная размеру выборки т [1]. Для выявления этого свойства необходимо построить дисперсионно-временной график зависимости дисперсий агрегированных процессов от степени агрегирования т. Поскольку Херстом было показано, что:

' maxD - mmDЛ

« НЮЙ1 — I ,

(7)

Dkm)

s Hlog I N

то график этой зависимости строится в логарифмическом масштабе. Выражение в левой части уравнения (7)

max D - min D

D(km) называется R/S статистикой или нормированным размахом. Из полученного графика определяется коэффициент ß, как тангенс угла наклона аппроксимирующей кривой к построенной зависимости. Данная аппроксимация производится методом минимального среднеквадратического отклонения от экспериментальных данных.

Коэффициент ß (0<ß<1), задающий асимптотические свойства характеристик самоподобного случайного процесса связан с параметром Херста следующим соотношением:

н=i-ß

2. (8)

Для процессов, не обладающих свойством самоподобия, H = 0,5, а для самоподобных процессов с долгосрочной зависимостью этот параметр изменяется в пределах 0,65-0,8 (процесс обладает длительной памятью).

В сериях опытов имитационного моделирования при задании в распределении Парето параметре а в пределах 1,2-1,9 (параметр Херста Н = 0,9-0,55 соответственно) усредняющий коэффициент т изменялся от 1 до 10 000. Для каждой из реализаций на графике дисперсионно-временной зависимости (7) генерированного трафика строилась аппроксимирующая прямая и для неё определялся тангенс угла наклона р. Далее по (8) определялся полученный реально параметр Херста, который в итоге не более, чем на 1-2%, отличался от задаваемого (3) при моделировании через параметр а распределения Парето (2).

Следовательно, трафик, генерируемый с использованием распределения Парето, позволяет исследовать СМО в условиях, когда входящий поток имеет самоподобный характер.

4.Анализ результатов моделирования

Результаты моделирования одноканальной СМО с очередью, выполненные согласно имитационной модели [3] при обслуживании самоподобного трафика с распределением (4) приведены в табл. 1. Для регулярного, экспоненциального и логарифмически нормального законов распределения длительности обслуживания коэффициент Херста изменяется в пределах Н = 0,55 ^ 0,9, а загрузка системы (интенсивность нагрузки) - в пределах р = 0,1 ^ 0,9. Для заданных условий рассчитывается энтропия распределения состояний системы (1) (Таблица 1).

Более наглядно результаты моделирования представлены на рис. 1, 2 и 3.

Рисунок 1 — Зависимость энтропии распределения от р модели fBM/D/1

' ¡Е&

Н=С.б5 Н=С.75 Н=С.85

/V

Рисунок 2

— Зависимость энтропии распределения от р модели fBM/M/1

Рисунок 3 — Зависимость энтропии распределения от р для модели fBM/LogN/1

--- \т/п/:

М/Н/1 -.

---- тамг

¿ШЩ1В ЙЙ®® гг^1-

В работе [4] установлено, что в тех точках, где совпадает энтропия распределения состояний системы, совпадают и исследуемые параметры качества обслуживания, такие как средняя длина очереди Q и средняя длительность ожидания всех пакетов W (ожидающих и обслуживаемых без ожидания). Например, для моделей М/М/1 и fBM/D/1 (Н = 0,8) при р = 0,6 энтропии распределений весьма близки и равны 1,683 и 1,719 соответственно. При этом для модели fBM/D/1 средняя длина очереди Q = 0,982 и средняя длительность ожидания всех пакетов W = 1,611, что превышает соответствующие значения для модели М/М/1 всего на 3% (на столько же отличие и значений

Таблица 1

Результаты моделирования

Загрузка системы, Энтропия, Н

модель ШМ/О/1

Р Н=0.55 Н=0.6 Н=0.65 Н=0.7 Н=0.75 Н=0.8 Н=0.85 Н=0.9

0.1 0.324 0.324 0.324 0.325 0.326 0.328 0.333 0.333

0.2 0.500 0.500 0.500 0.501 0.501 0.504 0.509 0.543

0.3 0.611 0.611 0.611 0.612 0.610 0.617 0.659 0.900

0.4 0.673 0.673 0.673 0.683 0.731 0.829 1.027 1.454

0.5 0.703 0.732 0.783 0.861 0.982 1.184 1.514 2.024

0.6 0.847 0.925 1.031 1.182 1.393 1.719 2.188 3.000

0.7 1.147 1.287 1.467 1.705 2.019 2.466 3.180 4.540

0.8 1.714 1.928 2.184 2.513 2.929 3.539 4.603 6.588

0.9 2.787 3.081 3.435 3.888 4.511 5.381 6.391 6.700

модель fBM/M/1

Н=0.55 Н=0.6 Н=0.65 Н=0.7 Н=0.75 Н=0.8 Н=0.85 Н=0.9

0.1 0.326 0.328 0.328 0.325 0.329 0.337 0.349 0.368

0.2 0.536 0.542 0.547 0.557 0.569 0.591 0.628 0.711

0.3 0.744 0.756 0.774 0.795 0.825 0.872 0.964 1.142

0.4 0.972 0.995 1.02 1.064 1.118 1.199 1.353 1.611

0.5 1.237 1.271 1.321 1.379 1.469 1.570 1.782 2.281

0.6 1.557 1.605 1.678 1.765 1.883 2.105 2.444 3.261

0.7 1.957 2.035 2.136 2.269 2.461 2.789 3.352 4.584

0.8 2.526 2.636 2.781 2.992 3.291 3.759 4.678 5.882

0.9 3.465 3.634 3.899 4.201 4.693 5.491 6.439 6.882

модель fBM/LogN/1

Н=0.55 Н=0.6 Н=0.65 Н=0.7 Н=0.75 Н=0.8 Н=0.85 Н=0.9

0.1 0.395 0.397 0.399 0.401 0.409 0.418 0.437 0.472

0.2 0.743 0.746 0.758 0.765 0.782 0.805 0.846 0.931

0.3 1.100 1.110 1.131 1.167 1.179 1.209 1.293 1.376

0.4 1.494 1.509 1.533 1.563 1.605 1.671 1.797 2.096

0.5 1.921 1.941 1.973 2.024 2.075 2.182 2.349 2.644

0.6 2.402 2.438 2.471 2.531 2.618 2.746 3.024 3.708

0.7 2.961 3.000 3.085 3.170 3.280 3.413 3.878 4.605

0.8 3.681 3.748 3.818 3.923 4.059 4.252 4.992 6.142

0.9 4.785 4.807 4.898 5.103 5.391 5.872 6.488 6.922

энтропии). Такое же совпадение основных параметров качества обслуживания СМО с ожиданием ^ - среднее количество пакетов в системе, Т - средняя длительность нахождения пакетов в системе, Q - средняя длина очереди и W - длительность ожидания всех пакетов) наблюдается во всех остальных точках, для которых имеет равенство значений энтропии распределения состояний системы.

5. Заключение

Таким образом, для расчета характеристик QoS одноканальной системы массового обслуживания с очередью для случая обслуживания трафика, обладающего эффектом самоподобия, в точках, где близки значения энтропии распределения состояний системы [4], можно применять формулу Поллачека-Хинчина, справедливой для модели М^/1.

Л

N = р+р

2 1+V2 2(1-р)

(9)

где N - среднее количество пакетов в системе, V - коэффициент вариации длительности обслуживания. Определив этот параметр, остальные характеристики рассчитываются через известные соотношения:

(( = N-р, Т = W = Т-1 р

Из рис. 1, 2 и 3 видно, что, варьируя при моделировании параметром коэффициента вариации длительности обслуживания V от 0 до 5 (например, кривые модели М/Н/1 при V = 2 и 3) построенные графики энтропии «накрывают» практически всю область возможных значений энтропии распределений состояний системы в моделях fBM/D/1, fBM/M/1 и fBM/LogN/1 при изменении коэффициента Херста в диапазоне от Н = 0,55 до Н = 0,9. Таким образом, расчет характери-

(10)

стик QoS в модели СМО с самоподобным трафиком при любом законе распределения длительности обслуживания допустим по формуле (9). Необходимым условием такого расчета является определение энтропии распределения состояний системы. Для учета вида закона распределения длительности обслуживания можно напомнить, что в модели fBM/D/1 для постоянной длительности обслуживания V = 0, в модели fBM/Е/1 - 0 < V < 1, в модели fBM/М/1 - V = 1, в модели fBM/H/1 для длительности обслуживания с гипреэкспоненциальным распределением V > 1.

Из приведенных результатов имитационного моделирования можно заметить, что при наименьшем для самоподобного трафика значении коэффициента Хер-ста Н = 0,55 (при Н = 0,5 трафик не обладает эффектом самоподобия) графики энтропии реальной модели и энтропии «аппроксимирующей» модели при одинаковых значениях коэффициента вариации длительности обслуживания достаточно хорошо совпадают. Например, реальная модель fBM/М/1 и аппроксимирующая модель М/М/1 (рис. 2), где для обеих V = 1, или реальная модель fBM/ LogN /1 и аппроксимирующая модель М/Н/1 (рис. 3), где для обеих V = 3. Следовательно, будут совпадать и рассчитываемые параметры качества обслуживания QoS.

Литература

1. Крылов В.В., Самохвалов С.С. Теория телетрафика и её приложения. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.: ил.

2. Mandelbrot B.B., Long-Run Linearity, Locally Gaussian Processes, H-Spectra and Infinite Variances, International Economic Review, Vol.10, pp. 82-113, 1969.

3. Ложковский А.Г., Салманов Н.С., Вербанов О.В. Моделирование многоканальной системы обслуживания с организацией очереди. - Восточно-европейский журнал передовых технологий №3/б(27), 2007, С.72-76.

4. Ложковский А.Г., Ганифаев Р.А., Оценка параметров качества обслуживания самоподобного трафика энтропийным методом // Науюж пращ ОНАЗ iм. О.С. Попова №1, 2008, С.79-86