CC BY
47ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ НА ВИБРАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ
А. А. Иванова, А.Ф. Кузаев
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально изучается взаимодействие тяжелых сферических тел (стальные шарики) одинакового размера в жидкости при вращательных колебаниях полости (коаксиальный зазор с перегородкой). При сравнительно высоких безразмерных частотах, когда вязкость жидкости несущественна, под действием вибраций тела отталкиваются друг от друга в азимутальном направлении, с увеличением расстояния безразмерная сила отталкивания монотонно понижается, что согласуется с результатами [1], полученными для воды.
При повышении вязкости жидкости, при понижении безразмерной частоты вибраций, появляется неоднозначность в зависимости силы взаимодействия тел от расстояния. Показано, что эта неоднозначность проявляется на расстоянии вязкого взаимодействия тел, сравнимого с толщиной слоя Стокса.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Взаимодействие сферических тел в заполненной жидкостью кювете (рис. 1) изучается в постановке [1]. Кювета в виде короткого коаксиального слоя (Яг = 34 и Я2 = 58.5 мм, Ь = 33 мм) с перегородкой совершает вращательные колебания вокруг оси симметрии п, наклоненной под углом а к вертикальной оси у. В качестве сферических тел используются стальные (р = 7.8 г/см3) шарики одинакового размера ё = 6 мм.
Исследование динамики тел в зависимости от параметров вибраций проводится в жидкостях различной вязкости (у = 4.8 - 53 сСт).
© Иванова А.А., Кузаев А.Ф., 2005
При постоянном значении угла наклона полости а» 0.08 рад и постоянной амплитуде вибраций j0 (j0 = 0 - 0.3 рад) плавно изменяется частота в диапазоне f = 0 - 30 Гц. Опыты повторяются при различных значениях j0. Измерения проводятся методом видеорегистрации с помощью CCD камеры в стробоскопическом освещении с последующей обработкой на компьютере.
Рис. 1. Схема слоя: 1 - жесткая непроницаемая перегородка, п - ось вибраций (колебания совершаются по закону ю=^0Осоз(0?)п, I и 2в - линейное и угловое расстояния между взаимодействующими телами
Угол а и амплитуда (р0 измеряются при помощи оптического катетометра с точностью 0.001 рад, частота - цифровым тахометром с точностью 0.01 Гц (нестабильность частоты не превышает
0.2 Гц). Сила взаимодействия рассчитывается по углу отклонения шариков Ь (рис. 1, б). Угол Ь измеряется в условиях квазиравно-весного состояния тел, когда между ними имеется устойчивый зазор I (измерение I проводится при компьютерной обработке видеоизображения).
Напомним суть происходящего. В отсутствие вибраций шарики опираются на торец и внешнюю границу слоя и под действием силы тяжести прижимаются друг к другу (рис. 1, а; рис. 2, а). При небольшой интенсивности вибраций оба тела, соприкасаясь, совершают колебания относительно полости. По достижении критической интенсивности вибраций тела расходятся и занимают устойчивые положения на наклонных участках боковой стенки (рис. 1, б; рис. 2, б).
Рис. 2. Квазистационарное положение стальных шариков диаметром d = 6 мм в воде при вибрациях полости с амплитудой ф0 = 0.065 рад, частотой f = 3.5 (а) и 11.9 Гц (б); угол а = 0.046 рад; h/R0 = 0.35, d/h = 0.26 (h и R0 - толщина и средний радиус слоя)
При заданной вязкости жидкости расстояние между телами зависит от параметров вибраций. Сила осредненного вибрационного взаимодействия (сила азимутального отталкивания тел) определяется положением кюветы и взаимным расположением тел и рассчитывается по формуле
F = (Рт ~Рж )Vm S sin a sin b
В безразмерном виде сила взаимодействия характеризуется вибрационным параметром
F =------F----
V pjftfd1
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
В маловязких жидкостях на плоскости l / d , FV кривые вибрационного взаимодействия тел в зависимости от амплитуды вибраций расслаиваются на расстояниях l / d < 2 (рис. 3) и выходят на зависимость FV ~ (l / d)-1/3 при l / d > 2 . Здесь l - зазор между телами, связанный с расстоянием L между их центрами соотношением l = L - d .
При повышении вязкости жидкости, что соответствует понижению безразмерной частоты, а, значит - повышению относительной толщины вязких пограничных слоев вокруг тел, кривые взаимодействия трансформируются. На рис. 4 показана зависимость силы FV
от относительного расстояния между центрами тел Ь / ё в различных жидкостях.
Рис. 3. Зависимость силы Fv вибрационного взаимодействия тел (d = 6 мм, а = 0.084 рад) от относительного расстояния l/d между ними при вязкости v = 4.8 сСт и амплитуде вибраций ф0 = 0.048, 0.081 и 0.141 рад (1-3); штриховая кривая отмечает высокочастотный предел
Видно, что по мере понижения частоты вибраций (или: по мере повышения амплитуды) при постоянной вязкости жидкости вибрационная сила отталкивания понижается, что особенно проявляется на малых расстояниях. Пороговое значение силы, при которой тела расходятся, значительно снижается, на кривых зависимости FV от L /d появляется экстремум (рис. 4, б). На расстояниях L / d > 2.5 независимо от вязкости жидкости кривые взаимодействия согласуются с высокочастотным случаем, FV = 0.15(L / d)-3 (штриховая кривая).
При большей вязкости, v> 20 сСт, на кривых FV (L / d) при малых амплитудах вибраций виден четко выраженный экстремум, с повышением амплитуды кривые замыкаются на ось FV (рис. 4, в, г). В экспериментах это проявляется в том, что по мере повышения
интенсивности вибраций (частоты при заданной амплитуде) в вязкой жидкости тела сначала отталкиваются и расходятся, а затем сближаются. Иными словами, зазор между телами сначала увеличивается, затем понижается, и при дальнейшем повышении частоты исчезает (два тела совершают колебания вместе).
0.04
V
0.02
0
V, ікД\ >ч\а Д 1 О 2 X 3 V 4
\
3 Ь/а
з ь/а
0.02
Л \ □ 1 А 2 X 3 0 4
• 5
з ь/а
з ь/а
Рис. 4. Зависимость силы взаимодействия ^ от относительного расстояния между центрами тел: угол а = 0.080 (в) и 0.084 рад (а, б, г); V = 4.8, 12, 20 и 37 сСт (соответственно, а-г); а - ф0 = 0.048, 0.081, 0.141 и 0.219 рад (1-4), б - ф0 = 0.027, 0.063, 0.133 и 0.224 рад (1-4), в - ф0 = 0.034, 0.105, 0.156, 0.193 и 0.224 рад (1-5), г - ф0 = 0.046, 0.087, 0.147, 0.181 и 0.222 рад (1-5); штриховая кривая - высокочастотный предел
1
1
б
а
V
0
1
1
в
г
Таким образом, при низких частотах (при больших амплитудах вибраций) кривая Е1, (Ь / а) представляет собой петлю (см. точки 5 на рис. 4, в и точки 4, 5 на рис. 4, г), которая с повышением частоты
разрывается (соответственно точки 4 и 3). При этом неоднозначность силы взаимодействия между телами сохраняется.
Трансформация кривых связана с вязким взаимодействием тел, которое в вибрационной механике характеризуется безразмерной частотой О ° Оё2 / V, определяющей отношение размера тела ё к толщине вязкого пограничного слоя вокруг него д = у/2п / О . На рис. 5 приведены зависимости Е и Ь / ё от О, построенные при различных амплитудах вибраций и попарно соответствующие разным V . На графиках прослеживается постепенная трансформация кривых. При малой вязкости, п = 4.8 - 6.0 сСт, кривые Е и Ь /ё изменяются с частотой О монотонно, при этом с увеличением амплитуды вибраций Е понижается, Ь / ё повышается. Уже при п = 12 сСт с повышением амплитуды вибраций на кривых Еу (О) монотонность исчезает, а кривые Ь / ё от О испытывают излом.
300 О 600
б
4
Ь/ё 3
а'
Л 1 Ф 0 2 у у 3 у V 4 4
\ Ч
гк и/
300
б'
о 600
2
1
0
0
в в'
г г
Рис. 5. Зависимость Fv и Lid от безразмерной частоты а = InfcPlv; v = 4.8 (а-а'), 12 (б-б'), 20 (в-в') и 37 сСт (г-г'); обозначения точек соответствуют рис. 4
В жидкостях с V = 20 - 53 сСт монотонность пропадает даже при меньших, чем на рис. 5, а, амплитудах вибраций. При более высоких значениях амплитуды кривые FV (w) не имеют продолжения
вдоль оси частот (тела не расходятся), на плоскости w, L i d зависимости имеют вид замкнутых кривых (рис. 5, в и г).
3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Как видно на рис. 5, закон вибрационного взаимодействия тел существенно определяется безразмерной частотой, при понижении которой кривые трансформируются, а сила отталкивания понижается. В то же время на значительном расстоянии между телами зависимость от безразмерной частоты не проявляется (рис. 4), кри-
вые, полученные в опытах с разными жидкостями, удовлетворительно согласуются между собой, что указывает на определяющую роль расстояния между телами.
а б
в г
Рис. 6. Зависимость вибрационной силы взаимодействия тел ¥у от относительного расстояния 1/8 (3 - толщина пограничного слоя вблизи тела); обозначения соответствуют рис. 4
На рис. 6 кривые взаимодействия тел, соответствующие рис. 4, представлены в зависимости от расстояния между телами, в качестве единицы измерения которого выбрана толщина слоя Стокса 3. Видно, что в случае высоких безразмерных частот сила взаимодействия монотонно уменьшается с расстоянием (рис. 6, а). При понижении безразмерной частоты монотонность нарушается, на малых расстояниях, I / 3 < 10 , сила взаимодействия нарастает с увеличением расстояния (рис. 6, б). Замкнутые кривые взаимодействия,
появляющиеся при дальнейшем понижении частоты, локализованы в той же области, I / 3 < 10 (рис. 6, в, г).
Полученные экспериментальные результаты позволяют судить о закономерностях вибрационного взаимодействия тел в зависимости от определяющих параметров. В пределе высоких безразмерных частот, о>> 1, определяющим является относительное расстояние I / ё : в области I / ё > 2 сила взаимодействия меняется с расстоянием по закону Еу ~ (I / ё)-3. Это согласуется с результатами теоретического анализа, выполненного в пределе больших относительных расстояний [2].
0 0.01 Е 0.02
V
Рис. 7. Зависимость относительного зазора 1/6 от силы (ё = 6 мм, а ~ 0.08 рад, ф0 = 0.22 рад) для V = 4.8, 6.0, 12, 20, 37 и 53 сСт (1-6)
В области умеренных безразмерных частот проявляется вязкое взаимодействие тел с окружающей жидкостью и друг с другом. В этом случае динамика тел, особенно на малых расстояниях, зависит от двух параметров, безразмерной частоты (О и расстояния между телами, измеренного в толщинах пограничного слоя, I / 3. Взаимо-
действие тел качественно меняется на расстояниях, сравнимых с толщиной вязких пограничных слоев. Это согласуется с заключением работ [3-6], в которых показано, что в пределе низких безразмерных частот знак вибрационного взаимодействия тел сменяется на противоположный. Ответственным за смену знака является вязкое вибрационное взаимодействие.
Сравнение кривых на плоскости , I/3, построенных при постоянном значении амплитуды вибраций и различных V (рис. 7), показывает, что уже при вязкости V = 6 сСт тела «чувствуют» область взаимодействия (точки 2), соответствующая большей вязкости кривая 3 вплотную подходит к «опасной» области.
В случае большей вязкости кривые начинаются и заканчиваются на оси , при этом наибольшее расстояние между телами, которые разошлись, не превышает (10 -12) 3 .
Заключение. Экспериментально изучено взаимодействие двух стальных шариков в заполненном жидкостью коаксиальном зазоре с перегородкой, совершающем вращательные вибрации. Показано, что в области умеренных безразмерных частот на больших относительных расстояниях I / ё > 2 характер взаимодействия тел мало отличается от случая предельно высоких частот - тела отталкиваются друг от друга в азимутальном направлении, сила отталкивания монотонно понижается с расстоянием. При (О< 100 обнаружено качественное изменение характера взаимодействия на расстояниях, сравнимых с толщиной слоя Стокса, I / 3 < 10 , на кривых взаимодействия появляется неоднозначность, в области низких частот кривая трансформируется в замкнутую петлю. Сделан вывод, что изменение характера взаимодействия связано с вязким ос-редненным взаимодействием колеблющихся тел.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал 04-01-96055).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Иванова А А., Кузаев А.Ф. Взаимодействие сферических тел в жидкости при вращательных вибрациях полости // Конвективные течения... Пермь: Перм. пед. ун-т, 2003. С. 185-198.
2. Черепанов А А. Влияние вибраций на гидродинамические системы: резонансы и осредненные эффекты // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Пермь: ПГУ, 2000. 379 с.
3. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. I. Axisymmetrical case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33. P. 344-357.
4. Tabakova S.S., Zapruanov Z.D. On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. II. Three dimensional case // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1982. V. 33. P. 487-502.
5. Иванова А А., Козлов В.Г., Кузаев А.Ф. Вибрационная подъемная сила, действующая на тело в жидкости вблизи твердой поверхности // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 4. С. 1-4.
6. Козлов В.Г. О вязком гидродинамическом взаимодействии частиц сыпучей среды в вибрационных полях // Конвективные течения... Пермь: Перм. пед. ун-т, 2005. С. 111-122.
THE INFLUENCE OF LIQUID VISCOSITY ON THE VIBRATIONAL INTERACTION OF SPHERICAL BODIES
A.A. Ivanova, A.F. Kuzaev
Abstract. Interaction of heavy spherical bodies of identical size in viscous liquid at rotary vibration of cavity (an annulus with a partition) is experimentally studied. It is shown that in the area of high dimensionless frequencies (in viscid liquids) the bodies repulse each other in azimuthal direction under the action of vibrations, with increase of the distance the dimensionless force of interaction monotonously decreases that is in agreement with results in case of water [1]. With increase of viscosity, decrease of dimensionless frequency, an ambiguity appears in the dependence of force on distance. It is shown that the ambiguity manifests itself at the distances of viscous interaction of bodies, comparable with the thickness of Stokes layer.
