Влияние вязкости на отход ударной волны при обтекании цилиндра гиперзвуковым потоком Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

№ 6

УДК 533.6.011.55.011.6

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА ОТХОД УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПРИ ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ

Ю. Н. Ермак, В. Я■ Иейланд

Исследуется влияние вязкости и теплопроводности на отход ударной волны от поверхности кругового цилиндра, обтекаемого гиперзвуковым потоком вязкого газа, при вихревом взаимодействии пограничного слоя с невязким ударным слоем. Показано, что в отличие от случая вихревого взаимодействия на сфере вязкость и теплопроводность в данном случае оказывают сильное влияние на отход ударной волны, так как большую часть толщины ударного слоя составляет область медленного вязкого течения, лежащая около поверхности тела.

1. В статьях [1] и [2] исследовался случай вихревого взаимодействия на сфере в гиперзвуковом потоке вязкого газа в рамках ньютоновской теории. Там было показано, что при ньютоновском предельном переходе (М0 -* оо, Ие -» оо, е->0, где Ие = р0«0г/(Ао> е = Ро/Рь индексом „0“ отмечены значения величин в набегающем потоке, а индексом „1“ — значения величин за ударной волной) возможны различные режимы течений, рассмотрение которых является законным в рамках теории течения сплошной среды. (Толщина ударного слоя гг, где г —радиус кривизны тела, значительно больше длины свободного пробега молекул.) При

А = 1 /Иех е5/2 -»0, где = РоЩг1\11, течение распадается на три характерные области с различным поведением решения в них.

Внешняя область, прилегающая к ударной волне, характеризуется тем, что в продольном уравнении импульсов вследствие сильного сжатия газа в ударной волне член, содержащий градиент давления, пренебрежимо мал по сравнению с инерционными членами. Толщина этой области — гг. Вблизи поверхности тела вследствие торможения потока инерционные члены в продольном уравнении импульсов становятся одного порядка с градиентом давления. Толщина этой области течения имеет порядок примерно е3/2г. Между этой областью невязкого течения и поверхностью тела располагается обычный вязкий пограничный слой. Режим вихревого взаимодействия соот-

ветствует А = О (1), когда силы вязкости имеют такой же порядок по величине, как силы инерции и градиент давления во всей области медленного течения.

Плоское течение на цилиндре имеет существенное качественное отличие от течения на сфере, которое состоит в том, что пристеночный слой медленного течения имеет толщину, по порядку величины равную ег1п ]/3 [3], что объясняется отсутствием пространственного эффекта растекания. Толщина внешней области течения, прилегающей к ударной волне, составляет примерно гг. Поэтому следует ожидать, что в режиме вихревого взаимодействия, когда в пристеночном слое медленного течения инерционные силы и градиент давления имеют одинаковый порядок с вязкими силами, вязкость и теплопроводность окажут существенное влияние на расстояние от ударной волны до тела и другие параметры течения.

Несмотря на то, что толщина этого слоя в 1п— раз больше, чем

€

толщина внешней прилегающей к ударной волне области невязкого течения, построение асимптотической теории пограничного слоя возможно, так как основной расход газа в ударном слое приходится на внешнюю область течения, а расход газа в области медленного течения мал.

2. Рассмотрим окрестность критической линии тока на цилиндре с тем, чтобы выяснить структуру течения в этой области. Введем безразмерные координаты

х = гх\ у = гуъ, (1а)

где г — радиус кривизны контура тела, а х, у— ортогональная криволинейная система координат, связанная с ударной волной и направлением нормали к ней. Разложение для функций течения в окрестности критической линии вблизи ударной волны можно представить в виде

и = и0 [и(у) лГ+ ■ • V = и0 8 [V (у) + ...]; р=р0е-1[р 60+ •••]; = Ро“о [1 +Рх &)х2-

А = (во/2) [7(30 + . • •]•

(16)

Тогда из уравнений Навье — Стокса при е 0, 1^ -» оо, М0 оо

в первом приближении получим

, ^ п 2 , Ли (1р1 сЦ п ...

“+-35г=0; -37=“'; -зу-° <2>

(черточки над безразмерными величинами отброшены).

Учитывая граничные условия на скачке уплотнения, можно получить:

u = — v■, /?1 = ; *'“1; ^ = 1п (— -г;). (3)

Во втором уравнении (2) величина продольного градиента давления пренебрежимо мала по сравнению с инерционными

членами. Поэтому вблизи поверхности, где инерционные члены становятся малыми, следует ввести новые безразмерные выражения

для скоростей и, V, связанные следующим образом с выражениями для скоростей во внешней области:

и V

и-

V--

(4)

VI ’ у*

Введем независимую переменную у, связанную с переменной у соотношением у =у—у3, где у3— неизвестное расстояние от тела до ударной волны. Эту константу необходимо определить при склеивании внешнего решения (3) с внутренним. Масштабы остальных функций течения остаются прежними. Если теперь вновь подставить в уравнение Навье — Стокса выражения (4) и (1), пе

рейти к пределу при М0

ос.

в —>0 и Ив! -* оо, так чтобы величина

д = (г3/2 Ив!)-1 оставалась ограниченной, можно получить:

Р и-

й( рЮ

йу

:0-

йу /

рУ-^г = Д йу

й

йу

0;

2 А + Д

р. <а \

Рг йу I йу

/р = 1.

-йи

йу

йу

(5>

Здесь [а = р/^1; Ь — вязкость за ударной волной; Рг — число Прайд-тля. Последнее соотношение в системе (5) получено с помощью уравнения состояния. Величина рх и внешние краевые условия системы определяются при склейке с внешними решениями (3):

/?! = — 3/2; I -* 1; и — V при — V ■

--V

ОО.

= Нш

—У->00

Г

(б>

Краевые условия на поверхности тела имеют обычный вид:

и= 1/ = 0; I = гда при у = 0. (7)

В случае, когда Д=0, выполнения условия прилипания на поверхности тела требовать не следует. Нетрудно получить для Д = 0 следующие решения уравнений (5):

и = У3 + V2-, у= — 1п [1Л +31/2 + У31/]; *-=1.

Если теперь воспользоваться последним выражением (6), можно получить известное соотношение для отхода ударной волны на цилиндре [3]:

<8>

В этом случае (Д = 0) для выполнения условий прилипания следует рассматривать еще более узкую область, в которой главные вязкие и инерционные члены уравнений Навье—Стокса равны, т. е. обычный пограничный слой.

В общем случае, когда А ф 0, система (5) решалась на электронной вычислительной машине для различных значений Д. Результаты расчета величины _у5-|-1п -Ц- е при гш= 1 представлены на

графике фиг. 1 кривой с 6 = 0. На этой фигуре представлены также результаты расчета композитной системы приз^О, гда = 1. Пунктирными прямыми отмечены соответствующие невязкие пределы [см. второе уравнение (11)], в частности, кривой е = 0 соответствует согласно выражению (8) у5 4- 1п — е = 1п (2 Vт) ' Ив-

тересным результатом является уменьшение величины отхода ударной волны от тела при наличии сил вязкости в пристеночной области медленного течения при очень малых $. Это объясняется увеличением потока импульса из внешней невязкой области течения через внешнюю границу пристеночного слоя за счет действия сил вязкости. С другой стороны, этот эффект имеет чисто „ньютонов-ский“ характер, т. е. проявляется при очень малых, нереальных значениях е. Действительно, расчет композитной системы, о которой речь пойдет ниже, при различных значениях а показывает, что силы вязкости начинают способствовать уменьшению толщины ударного слоя лишь при е =5= 0,01.

3. Основная часть расчетов проведена с помощью композитной системы уравнений, т. е. такой системы, которая содержит все члены, необходимые для решения задачи во всех рассматриваемых областях течения. В данном случае это удобно, так как исключает необходимость сращивания решений в областях, отличающихся по масштабу всего в 1пе раз, что обычно приводит к большим погрешностям в вычислениях. Эта система имеет вид

■ й №) ( ъйи\ 0 . ,/~ М (рйу/йу)

Р» + -^-=0; р . '

^d[(^^/Pr)(di/dy)\ . . - .

Рг'фГ = т/е—-■ -ау — ; Рг=1= ^~

(9)

(Ю)

(Рг = 0,74; о = 0,76; рх = — 3/2).

Здесь независимые переменные л, у связаны с поверхностью тела и нормалью к ней, обезразмерены и отнормированы в соответствии с формулой (1а), а зависимые переменные —в соответствии с (16). Краевые условия для системы (9) можно записать в следующем виде:

г' = и — — г> = 1 при у — у/, и = V = 0; 1^=1^ при у = 0.

В случаях, когда А=0,необходимости в выполнении условия прилипания на поверхности тела и = 0 и условия г = 1т нет, и решение краевой задачи (9), (10) можно выписать в квадратурах:

«=УЗе + (]-Зе)*2; у, = — (1 - Щч1/21п(1~35 ) ■ (П)

В общем случае А ф0 расчет краевой задачи (9), (10) проводился для значений *да=1; 0,1; 10~2 и е = 1/12; 1/24; 1/120. [На фиг. 1 пунктирные прямые соответствуют, как это указывалось выше, отходу ударной волны от тела при А = 0 согласно второму соотношению (11).]

Фиг. 1

Фиг. 2

На фиг. 2 представлены результаты расчета отхода ударной волны от тела у$ = у8 (г, Д, г^). Пунктирными прямыми отмечены соответствующие невязкие пределы согласно второму выражению (11). Видно, что при Д -> 0 величины отхода ударной волны у3 приближаются к соответствующим невязким решениям (11), а при Д>1 также стремятся к некоторым постоянным значениям, находящимся в соответствии уже не с величиной е, а с величиной

\ \ -- V?" &

\

а

\\

V 2, п

\ \

\

Л

V

с

У У

Л

/ / у // /

К /

/

і / / \/

та Ч N У

о,

Фиг. 3

-/

температурного фактора іт. Следует отметить, что этот параметр радикально влияет на отход ударной волны от тела. Если, например, в случае є =1/24 при = 1 и Дя^1 (при этих значениях Д, собственно, и справедливо исследование здесь вихревого взаимодействия) величина у3 приблизительно на 10% больше всего невязкого предела, то при = 0,01 величина у3 на 20% меньше.

На фиг. 3 представлены расчеты приведенного соотношения Ві Рг

для теплопередачи -—=-=/(&, Д, іт), где число Стантона

у е А

2 о -

----Щ- ; — — тепловой поток к телу. Видно, что это

Ро«о

соотношение слабо зависит от є, при малых значениях Д оно практически зависит от Д и от температурного фактора, а при больших значениях Д — только от температурного фактора іт. На фиг. 4 представлены результаты расчета приведенного

соотношения для коэффициента поверхностного трения —---------------,

у 1,2 Агх

где С; = —-с^ — сила поверхностного трения. Характерным Ро Ко

для приведенного коэффициента поверхностного трения является более сильная зависимость этого параметра от величины е, особенно при больших значениях Д. При малых значениях А приведенный коэффициент поверхностного трения практически зависит только от Д и температурного фактора іт. Следует отметить, что система (9) инвариантна относительно преобразования рх^=-аР\\ 8 = є/а;

Д — }/аД, а система (5) инвариантна относительно преобразования

рх = ар{, Д = уЛаД. Эти преобразования позволяют просто пересчитать полученные результаты для других величин градиента давления рх, при этом, конечно, изменяются и значения е и Д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bush W. В. On the viscous hypersonic blunt body problem.

J. Fluid Mech., vol. 20, part 3, 1964.

2. Ермак Ю. H., Нейланд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзву-ковом потоке. Изв. АН СССР — МЖГ, 1967, № 6.

3. Фримен Н. К теории гиперзвукового потока, обтекающего плоские и аксиальносимметричные тупые тела. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. М., Изд. иностр. лит., 1959.

Рукопись поступила 6jVII 1971 г.