Влияние временного запаздывания при имитационном моделировании динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.73.08

А. М. Данилов, Э. В. Лапшин, И. А. Гарькина

ВЛИЯНИЕ ВРЕМЕННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПРИ ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Предлагается аналитический метод оценки влияния запаздывания на выходные координаты при имитационном моделировании управляемых динамических систем и точный метод решения задач для рассматриваемых систем. Для решения задачи предлагается метод совершенных операторов.

Приближенные методы оценки влияния временного запаздывания на вектор выходных координат для рассматриваемых систем приводятся в [1]. Там же дается точный метод решения задачи для динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений:

а (г ) = апа(г) + а12ю(г) + Ь^и (();

ш (г) = а21а(г) + а22»(г) + ¿2м (г);

си (г) = Р1а(г-Т1) + Р2ю(г-Т2) + Рз0(г-Т2)-м(г); ►

0'(г ) = ю(г);

(г > 0)

где Т1, Т2 > 0 при условиях

а(г) = 51 (г), г < 0; ю(г) = ^2(г), г<0; а(+0 ) = ¿1 (0); ю(+0 ) = ¿2 (0); и(+0) = М0;

0

0(+0)= | ¿2 (П>/П

-Т2

а(г), ю(г) - выходные координаты; и (г) - управляющее воздействие.

Для решения задачи воспользуемся методом совершенных операторов

[2, 3].

Произведение двух функций (обращается в нуль каждая левее

некоторой точки, причем одна из функций, ^ , локально абсолютно непрерывна) будем понимать в смысле продифференцированной свертки

ф*¥= — | ф(г-пМп)6^ — (фху) =

—^

= | ф(г-n)¥,(n)dn = (фxV).

Введем ((г ))+={ф(г), г > 0; 0, г < 0} , у = [у(г)] - оператор типа функции у(г).

Численные операторы у+, т.е. операторы типа функций

у+ = {у, г > 0; 0, г < 0} , будем здесь обозначать как числа у . Значение опе-

ратора над функцией и произведение двух операторов также обозначается *. Б - оператор дифференцирования: ф' = Б *( —ф(+0)), где ф = |^(ф(г))+ ^.

Тт - оператор сдвига: Гт*^ = ^(г-т) (( =1+).

В операторной форме задача после исключения последнего уравнения запишется так:

Б *( — 5і (0 )) = Аца + а^ю + Ь^и;

Б * — $2 (0)) = «21« + «22® + Ь2и;

сБ *( — и0) = р{Тт1 *(( + а) + Р2Тт2 *($2 +Ю) +

+ Р3Тт3 *Б* 1 *(^2 +Ю) — u,

где

« = [(«(г))+ ] , ю = [(ю(г))+ ] , и = [(и(г))+ ],

$1 = [0, г<—т; >$• (г), —т <г<0; 0,г>0] (і = 1, 2).

Из третьего уравнения найдем

и = (сБ +1+ 1 *

*(си0Б + Р( *($1 + а) + Р2Тт2 *($2 +Ю)+ РзТт2 * Б* 1 *(2 +Ю+ и подставим в первое и второе уравнения:

Б *^а — (0)) = аца + а^2ю + (сБ +1+ *

*(и0Б + ЬР1Тт1 *($1 + а) + Ь1 Р2Тт2 *($2 +Ю) + ЬР3Тт2 *Б*_1 *($2 +Ю);

>

Б * ^Ю — $2 (0)) = &21а + «22® + (сБ + 1) *

*(сЬ2и0Б + Ь2Р1ТТ! *($1 + а) + Ь2Р2Тт2 *($2 + Ю) + Ь2Р3Тт2 *Б 1 *($2 +Ю)), или

(сБ*3 + Б*2) * (а — 5Х (0)) = (сБ*2 + Б)апа + а12ю) + сЬ1и0Б*2 +

+Ь1 Р1ТТі *Б *( 1+а) + Ь1 Р2Тт2 *Б*($2 +Ю) + Ь1 Р3Тт2 *((2 +Ю);

>

(сБ*3 + Б*2) *(ю— $2 (0)) = (сБ*2 + Б)а 21а + а22ю) + сЬ2и0 Б*2 +

+Ь2 РіТТі*Б *(1 +а) + Ь2 Р2Тт2 * Б *(52 +Ю) + Ь2 Р3Тт2 *($2 +Ю),

или

(сО*3 + О*2 - сацО*2 - ацО - \ Р\ТТ1 * О )а + + (-са12°°2 - а12В -¿1 Р2Тт2 * О -¿1 Р3Тт2 ) =

*2

= с51 (0 )О*3 + ( (0) + сЬ1и0 )

+Б *( ( * ( + ¿1 Р2Тт2 * ¿2) + ¿1 Р3Тт2 * ¿2;

(-са21°*2 - а21О - ¿2Р1Тт1 * О) * а +

+ (с° 3 + ° 2 -са22( 2 -а22О -¿2Р2Тт2 *О -¿2Р3Тт2 )м = = с$2 (°)° 3 +(¿2 (0) + ^2и0 )

*2

+О * (¿2 * ¿1 + ¿2 Р2Тт2 * ¿2 ) + ¿2 Р3Тт2 * ¿2-

Перейдем к матрично-векторной записи. Имеем:

сО*3 + О*2 - сацО*2 - ацО - ¿1 Р1Тт * О -са^О*2 - а12О - ¿1 Р2ТХг * О - ¿1Р3ТТ1 -са^О*2 - а210 - ¿2цТ^ * О сО*3 + О*2 - са22О*2 - а22О - ¿2 Р2^ * О - ¿2 Р3^2

или

с?1 (0) О*3 + (51 (0) + сЪ^м0)) + О * (¿1 ( * ( + ¿1Р2ТТ2 * 52) + )) * 52 с?2 (0) О*3 + ((2 (0) + cЬ2U0 )) + О * (¿2( * (1 + ¿2Р2ТЪ * Я2 ) + ¿2)2 * Я2

сО*3 1 0" + О*2 г 1 0" - с а11 а12

V 0 1 V 0 1 _а21 а22_

хО *

а11 а12 а21 а22

= сО

¿1Р1 ¿1Р2 ¿2 Р1 ¿2 Р2

*3

*1 (0)

(0)

*2

+О *

¿1Р1 ¿1Р2 ¿2 Р1 ¿2 Р2

+ О

Тт 0 Т1

0 Тт

Тт 0

Т1

0 Тт

¿1(0)' ¿2 (0)

$2

Р3Тт

0

0 ¿2,

а

*

м

/

+ см0

+ Р3Тт2 * ^2

Обозначим Е =

1 0' - единичная матрица, А = а11 а12 ¿1"

0 1 , Ь =

_а21 а22_ .¿2 _

2 =

¿1Р1 ¿1Р2 ¿1

¿2 Р1 ¿2 Р2 _ .¿2 _

чающая вектор-столбцу р = тель |2 = 0),

[р Р2] = Ьр, где р = [р Р2] - вектор-строка, отве-(2 - вырожденная матрица, ее определи-

Р1

Р2

т =

т1" Т- = ’ 1 т 1 т 0 1 а " 51' ■51(0)"

_т2 _ 0 тт _ т2 _ , х = ю 5 5 = _ 52 _ , 50 = _ 52 (0)_

Получим

сО*3E + О*2 (Е - сА)- О *( + 2Тт)- Р3ТТгВ [0 1]*-1 * X =

= сО*3 * + О*2 ( + cu0Ь) + О * 2Тт * Я + Р3ТТг * З^.

Определитель матрицы, стоящей множителем при X, в общем случае есть квазиполином шестой степени.

Отсюда решение задачи получится в виде

(сБ*3Е + Я*2 (Е - сА)-Б *(А + А + ОТТ)-р3Т%2 Ь [0 і] 1 ) = 3 * 50 + (2 ( + сиЬ) + Б * 2Т? * 5 + р3ГТ2 * 52Ь'

х =

Далее ограничимся рассмотрением случая с = 0, Р3 = 0. Тогда

X = (Е - А - 2Тт ) * (0 + 2ТХ * £).

В частности в случае отсутствия запаздывания, т.е. при = Т2 = 0 ,

X |т=0 =(Е - А - 2 ) * О^.

Так как в этом случае Тт = Е, Б есть оператор типа вектор-функции, которая может быть отлична от нуля лишь в точке г = 0, то

(Е - А - 2)1 * 2Тт* С = ((Е - А - 2)-1 * 2)* С = 0.

Для реализации полученного решения нужно обратить матрицу вида кп ^12

БЕ - К , где К = Имеем

^21 к22

{БЕ - К ) 1 = (2-( + к22 )*Б + |К|) ^ (е - К),

где |к| - определитель матрицы К ; К = рица.

Тогда

к22 -к12 -к21 к11

присоединенная мат-

(\ *—1 _ _ Б*2 - (к11 + к22) * Б + |К|) * (Е - К) * (50 + йТТ * 5),

или

х = (2-(ки + к22)*Б + |К|) *(250 + Б*(*5 -^0) + )т*5),

где К =

к11 к12 к21 к22

где К0 =

К=

х |т=0 =1 О -

ки к]°2

7 0 ,0

к21 к22

= А + 2Т т;

(к1°1 + к22

= А+2;

* о +

*-1

*(*2 £0 - оК80

а11 + ¿1 Р1Тт1 а12 + ¿1 Р2Тт2 а11 а12 ¿1а12

а21 + ¿2 Р1Тт1 а22 + ¿2 р2Т52 а21 а22 + Р1 ¿2а22 Тхх + р2 a21Ь2

Т

Т2 ,

так как коэффициент при Тт * ТТг оказался равен |2| =

¿1Р1 ¿1Р2 ¿2 Р1 ¿2 Р2

= 0.

Аналогично

ап + ¿1Р! аи + ¿1Р2 а21 + ¿2 Р1 а22 + ¿2 Р2 Обозначим

а11 а12 а21 а22

+ Р1

¿1а12

¿2а22

+ Р2

а11Ь1

a21Ь2

а11 а12 , Дх = а12 , Д 2 = а11 ¿1

а21 а22 ¿2 а22 а21 ¿2

, а = аи + а22 .

-Д+ Р1Д1 + р2Д2 ,

Д=1 А=

Тогда

|К| = Д+ Р1Д1Тт1 + Р2 Д2Тт2 , к11 + к22 = ° + 1 Р1Тт1 + ¿2 Р2Тт2 , к11 + к22 = ° + 1Р1 + ¿2 Р2

К = А + Тт2, К:0 = А + 2.

Справедливо:

х = ( 2 - ( + ¿1 Р1Тт1 + ¿2Р2Тт2 ) * 0 + Д + Р1Д1ТТ1 + Р2Д2Тт

* (о*2( + О * (т * Л) - А^0 - Тт2Sо) - )) * )),

х к=0 = ( 2-( + ¿1Р1 + ¿2Р2)*° + Д + Р1Д1 + Р2Д2) *( 20 -0( + 2) ^0). Вычислим

и = [и(г)] = 2Тт* ^ - Тт2^^^0 и ю = [ю(г)] = -А2Tт*S ;

*-1

и =

¿1Р1 ¿1Р2 "Тт 0 ' * ' ^1 ' "Тт 01 т1 ¿2 Р2 -к Р2 ■51 (о)-

¿2 Р2 ¿2 Р2 _ _0 Тт2 _ _ 52 _ 0 Тт _ т2 _ -^ Р1 ¿1Р1 _ . х2 (0).

¿1 Р1Тт1 * ^ + ¿1 Р2Тт2 * 5 2 ¿2 Р1Тт1 * ^1 + ¿2 Р2Тт2 * ^ 2

¿2Р2Тт2^ (0) -Ъ_1Р2ТТ2^ (0)' -¿2Р1ТХ1 ^ (0) ¿1 Р\Г%1 ^ (0)

Итак,

и =

¿1Р1Тъ * + ¿1 Р2Тт2 * $ 2+Р2 ($2 (0)- Ь2(О))

¿2 р1Тт1 * $1 + ¿2 р2Тт2 * $ 2 + р1 (¿2 ( (0)-¿1$2 (0))Тт1

Ю =

- а22а12 £ -5Ґ і 1 Гтт 0 1 т1 * Г $1 '

і - М 53 ¿2 Р1 0 тт _ т2 _ _ $2 _

-а22Ь1 р1 + а12Ь2 р1 а22Ь1 р2 + а12Ь2 р2 0^1*1 Р1 - а21Ь2 Р1 а21*1Р2 - а11Ь2 Р2

тХ1 * $1

Тт. *

- Р1А1 - Р2А1 Т * $1 ' Г Р1А1ТТ1 * $1 + Р2А1Тт2 * $ 2

_-р1А2 -р2А2 _ \ * $2 _ _ Р1А2Тт1 і со * А + *

Здесь

ТТ1 * $ = [0, г <0; $ (( -т), 0 <г <х:; 0, г >Ч ],

Т2 *$2 = [0, г<0; ^2(г-Т2), 0<г<т2; 0, г>Т2].

При тг- = 0 ( = 1,2) Тт * $1 = 5; есть оператор типа функции, которая может быть отличной от нуля лишь в точке г = 0. Далее и, ю встретятся лишь в выражениях вида ^*и, ^* ю, поэтому в случае тг- = 0 в выражениях и, ю члены, содержащие Б; множителем, можно опустить.

При Т1 = Т2 = т > 0 получим

ь ( р1 $1 + р2 $2 )+ р2 ($2 (0)-Ь2 $1 (0))

Ь2 ($1 + р2$2)+ р1 ($1 (0)- ^1$2 (0))

и = Тт*

ю = -Тт о

Р1А1$1 + Р2 ^2 Р1А 2 $1 + Р2А 2 $2

Из изложенного следует

х = ( 2 - ( + ^р1тТ1 + ь2р2Тт2 ) * Б + А + р1Д1Тт1 + р2А2Тт-

*(2 ( + Б *(-) + ю) .

*-1

При %Ф 0 возможны случаи:

1. т1 > 0, т2 > 0.

Тогда

х = (Б*2 -аБ + А) *

*-1

■(

1 -(*2-оБ + А) *( *( ( - Р1А1) + Тт2 *(¿2 Р2 Б - Р2А2 )

*(“2( + Б *(- А50 ) + ю).

Отсюда

х = (2 -стР + А

^ к

: I

т

) ^(Р*2Х0 + Р*(-ЛЬ,)ю) +

+ЕЕ

к=1 т=0

к ^Ттт1+(к-т)т2 * ( - СТР + А) к * (Р1Р - р 1А1 Г” *

V

\*к-т

*(2 -СТО + а)* 1 *(2$0 + Р*(-А$0) + ю).

(2р2Р - р2А2)

2. Тх > 0, Т2 = 0

х = ( 2 - (СТ + ¿2 Р2 )Р + А+ р2А 2)

*-1

1 -

(2 -(СТ + ¿2Р2 )Р + А + р2А2 ) *^ *(¿1 Р1Р - р1А1 )

*-1

*(2$0 + Р *(- А$0 ) +ю).

Отсюда

х = (р - (р + ¿2Р2)Р + А + р2А 2 | * |Р $0 + Р * (и - А$01 + ю) +

^ , ,*-к к

+ X Грт! *(Р*2-(СТ + Ь2 Р2 )Р + А+ р2А 2 ) ) 1 р) - р1А1 ) *

к =1

*(2-(ст + ¿2р2 )р + а + р2а2) **(2Р0 + р* (и-АЁ0) + ю).

3. тг = 0, Т2 > 0.

Аналогично предыдущему получим:

х*-1

х = (2-(ст + р Р1)Р + А + р1А1) * (2 $0 + Р* (и-А$0 ) + ю) +

^ *-к + X Тк т2 *(Р*2 -(р + ¿1Р1 )Р + А + Р1А1) ) Р2Р - Р2А2 ) *

к =1

*(2-(ст + (Р1)Р + А + р1А1) **(2$0+Р*(и-Л$о) + ю).

Если же т = 0, т.е. т1 = Т2 = 0 , то, как было показано,

=0 = ( 2 “(СТ + ¿1 р1 + ¿2р2)Р + А + р1А1 + р2А2) *( 2$0 -Р( + 2)$0) Далее воспользуемся известными формулами операционного исчисления:

(Р- у)* т 1 *Р =

^ ,т Л

— в^г

т!

V у+

(т = 0, 1, 2,...).

\ *- 1

((D - у)*2-X2) *D *(D -у) = (e ^ ch (Xt)) ,

((D-у)*2-X) *XD = (Ytsh(Xt)) ,

\ *-1

((D-у)*2 + Ц2) *D*(D-y) = (eYt cos(|xt)) ,

\ *-1

((D-у)*2 + Ц2) +^D = (Yt sin (jxt))+ ;

если ф() локально абсолютно непрерывна, то

ф*^ = (D*ф)х^, ф*ф*^ = (*ф)х(D*ф)х^,..., ф*ф*...*ф*^=(d*ф)х(*ф)х--- x(D*ф)*^ ;

Tr*v = v(-т).

*2

Пусть F = D + ü\D + Ü2.

f 2 1 / 2 1 r \ *2 f 21

Тогда F = D*2 + 2 * D + + «2 «1 = f D + «L 1 + a a2 ——

2 V 4 v 2 ) 4 2

(Б-у)*2, А2 =0

(Б-у)*2 -А2, А2 > 0

(Б-у)*2 + ц2, А2 = -ц2 <0 ,

2 2 й1 ,2 ол 2 а

где у = —-, А ——-о2, ц =о2 ——.

2 4 2 2 4

Пусть £, ^ - численные операторы, скалярные или векторные. Тогда

F *_1 *(*2^ + б^) = (б -у)*-2 *( б*2£ + б^) = = (Б-у)*-2 *(*(-у)С + Б(С + £)) = = ( ( + *(С+ £)))+ , А2 = 0;

^ *- *(*2^ + б^) =

= ((Б-у)*2-А2 )* 1 *(2С + Б^) =

= ((D-Y)*2-А2

*-1

d *(d-y)+ad íA-Z + A ^11 =

/" /-

eAt

V v

ch (At )Z + ^sh (At )(yZ + ^)]) , А2 >0;

m

m

Б *-! *(2 ^ + О%) =

= (( -А)2 + —2 )*1 *( 2С + О%) =

*—1 ( С л \

■-((о-у)*2 + —2) * О*(О-у) + —О -С + -% I

V V Ц Ц у

еУ (о8( —)) +

-—-8ІП(—г)(у£ + %)1 , А2 =-Ц2 <0.

Ц У+

Отсюда

F*_1 * О*2 = (о - у)-2 * О*2 = ( + уг)

.у?

при А = 0;

Б* 1 * О*2 =((О-у)2-А2) * О*2 = еуг еЬ (Аг ) + А^Ь (Аг )| при А2 > 0;

F*_1 * О*2 =((О -у)*2 + —2) 1

* О*2 =

ґ г

дг

еos

V

(—г) + — sin (—г)

лл

V V

—

при

'/+

А2 = -ц2 < 0;

Б*1 * О = (О-у)* 2 * О = (геуг) при А2

= 0;

Б*1 * О = ((О-у)*2-А2) * О = А е^г sh (Аг )| при А2 > 0;

*-1

Б*~1 * О = ((О-у)*2 + —2 ) * О =

1 „Аг

Л

—е'" sin(—г) при А = -— <0.

V Ц )+

Используя приведенные формулы:

*2

- к оператору Б = О - стО + А при Т1 > 0, Т2 > 0 получим

2

ст Л, 2 ст 2

у = -, А = -—А = -— ; 2 4

- к оператору Б = О -( + ¿2Р2) + А+ Р2А2 при Т1 >0, Т2 = 0 по-

2

ст + ¿2 Р2 . 2 ( + ¿2 Р2) * * 2

лучим у =---------------------------------------^ 2 , А = ---—-—А-Р2А2 =-— ;

- к оператору Б = О*2 - ( + ¿1Р1 )О + А + Р1А1 при Т1 = 0, Т2 > 0 полу-

2

ст + Ь р1 л2 (ст + Ь1Р1) 2

чим у =------------------------------------------^-1, А = ---—А- р1А1 =-— .

2 4 И1 1

Во всех трех случаях

7 = Б*_1 * (о*2( + О * ( - А$0) + ю) =

= Б*_1 * (О*2( - ОАБ0) + )*_1 * О * и + Б*_1 * ю =

= Б *

-1 *(250 - ОА50) + (*_1 * О*2) + (*_1 * О)хю =

I

(еуг^Е + г (е - А))) + )(1 + ^(г-п))еу(г п^и(п)^П'

0

г

+ |(г-п)еА(г-Г|)ю(п)^п+, (А2 = 0).

с г е *

V V

еЬ (Аг )Е + ^Ь (Аг )(е - А)) 50

0

( Г

г уг

V V

г

,у(г-п)

|еу(г п) еЬ((г-п)) + — sh(А(г-п)))и(п)^п 0 V А 1 1г

+ — р(г п^Ь((г-п))ю(п)^П

А0 Ґ /■

(— г)е + — sin(— г)(е - А)

—

з (—(г — п)) +—— sin(—(г - п))) и(п)^п п (—(г -п))ю(п)^ п

(А2 > 0).

So +

+ Iе

0

г

+ |11е Г(г-п) —0

(А2 = -—2 < 0).

/+

Для і = 1,2 также справедливо

,*-1

7 = Б * *{ЬіРіО - Рі Аі )* О =

(ріеУг (( + (уЬ -Аі)г))+ , А2 = 0,

Ріеуг (^іеЬ (Аг ) + А (¿1 -Аі (Аг

V

г г

Р1еуг

V V

, А > 0,

1

/+

ЛЛ

Ьеos(—г) + —(уЬг--Аі)іп(—г) , А =-— <0.

— ))+

Окончательно получим:

1. При Т1 > 0, Т2 > 0:

к =1 т=0 “ к ^ к ^

н(к -

+(к-т І)-!

71 х ...х 71 х 72 х... х 72 х 7

т

к-т

22

т

к=1 т=0 ^

г-тТ1-(к-т )т2

| 71 (г - тт1 -(У - т )Т2 -%т ) )й

0

+

О

«2

... \¡1 (2 -5л)«1 I/2 (л Пк-от )пк-от...

0 0

Л2 _

... |¡2 (2 -Пл)/(плМП1, г- ОТТ1 -(к - от)Т2 > 0; 0

0, г - ОТТл -( - ОТ)т2 < 0 }.

2. При Тл > 0, Т2 = 0:

х = / + X Гkт1 * к =1

/+х

к=1

ДХ... ХД X /

V к у

П2

■*4 '12

| ¡л(г-ктл-Пк)Пк.... I¡л (2-Пл)7(пл)Пь

г - кТл > 0; 0, г - кТл < 0}.

3. При Тл = 0, Т2 > 0:

х =

кт2

к =1

¡2 X....X /2 X /

/+Е к =1

г-к т2

к У

П2

| ¡2 (г-кт2-Пк) Пк... | ¡2 (2-Пл ) (Пл) Пь

0

г - кТ2 > 0; 0, г - кТ2 < 0}.

4. При т = 0 :

Р = Б 2 -(( + ¿лрл+ь2р2 ) + А + р1А1 + р2А2 ,

у = О + Ь, р1 + ¿2 р2 а 2 = (£+ьй+ь2Р2) _ д _ plДl _ р2Д 2 = _ц 2;

х =

(в* (е + г(уЕ-(А + 2)))) , А2

= 0,

( г гуг V V

с Г

.уг

V V

еЬ

(Аг)Е + А-8Ь(Аг)(уЕ-(/А + (?))) .

, А > 0,

СОВ

(цг )е + —вш (цг )(е-( + 2 ) ц

50+, А2 =-ц2 < 0.

уу

Получили точное аналитическое решение поставленной задачи (при с = 0, рз = 0). При т = 0 решение представляется в конечном виде. При Т Ф 0

оо

оо

бесконечный ряд, входящий в решение, есть ряд сдвигов (т.е. в каждой ограниченной области переменной t содержит лишь конечное число членов). В частности в области 0 < t < т , где

min(tj,Т2) приTj >0, Т2 > 0,

Т = i Т 1 при Tj >0, Т2 = 0,

Т2 при Tj = 0, Т2 > 0,

ряд содержит лишь начальный член.

По численным значениям у и А2 (2), соответствующим случаям

т = 0 и Т* 0, легко установить характер процесса в каждом из этих случаев и различие между ними.

Для иллюстрации рассмотрим случай короткопериодического продольного движения летательного аппарата, описываемого системой дифференциальных уравнений:

а'(г) = (-аа )(г) + ю(г)+(-аЩ )и(г), ю'(г) = (-ат ) + (-аЮ )) + (-а^ )(г) + )Щ (г),

и (г) = Р1а(г -X!) + Р2»(г -т)

(г * 0)

где Т1, Х2 > 0, при условиях:

а(г) = 51 (г), г<0; ю(г) = ^2 (г), г <0; а(+0 ) = ¿1 (0); ш(+0 ) = ¿2 (0); и(+0) = Щ)-; (ю = юг).

Подставляя во второе выражение а (г) из первого уравнения, при тех же условиях придем к системе:

а'(г ) = (-аа )(г ) + ю(г ) + (-аЩ )и (г);

*mz^y ™mz

u (t ) = p¡a(t -Т1)+ P 2 ra(í-Т2), (t > 0).

Таким образом, c = 0, p3 = 0 ;

А =

a au - au

mz y mz

ay amz )(t);

a11 a12 -aa 1

_ a21 2 2 a aa aa - aa -aa - ffiz u mzuy umz umz umz

b1 1 1 К 1 P1

= , p =

_b2 _ aa — au _ mz mz _ _ P2 _

b =

Как видим, задача полностью укладывается в рассмотренную схему. Изучим влияние запаздывания для случая горизонтального полета при автоматизированном управлении:

a (t ) = —0,0117a( t) + ro(t) + 0,000502м (t); o>'(t ) = 0,0076a (t)- 0,589ro(t)- 0,0332м (t);

и (l ) = a(í-т,) + -П- rn(í-т2);

Введем

b =

А =

b1

b2_

a11 a12 a21 a22

-0,0117 1

0,0076 -0,589

0,000502

-0,0332

, P =

P1

P2.

1

n

360.

51 (t) = 1, 52(t) = 0; g = an + a22 = _0,6007 ;

A = ana22 — a21a12 = -0,0007087 ; A1 = ba22 — b2a12 = 0,032904322 ; A2 = anb2 — a21¿1 = 0,0003846248 ;

А =

1 2 — 2 2 a 1 "—0,589 —1 '

_—a21 a11 _ —0,0076 —0,0117

b1 P1 b1 P2 b2 P1 b2 P2

Q =

1. T1 = T2 = 0 .

b2 P2 —b1 P2 —b2 P1 b1 P1

0,000502 0,0000043 —0,0332 —0,0002897

—0,0002897 —0,0000043 0,0332 0,000502

y = a + b1 P1 +b2 P2 =-0,30024;

A2 = y2 — A — p1A1 — p2A2 = 0,0589475 > 0 ; A = 0,2406;

Б (0) = [0, г < 0; 1, г > 0], ] (0) = 0, 5о = у£ -(.А + й)

Б1 (0)' *2 (0)

а11 + а22 + *1Р + *2 Р2 1 0'

2 0 1

а22 + *2 Р2 -а12 - Ь Р2 - а21 - Ь2 Р1 а11 + *1Р1 .

а11 - а22 + Ь1Р1 - *2 Р2

а21 + Ьг р1 а22 - а11 + *2 р2 - *1 й , г > 0

X =

(-( + й ))

0, г < 0; е уг еЬ (Хг)

0, г < 0; а11 - а22 + *1 р1 - *2 р2 , , > 0

2

0, г < 0; а21 + *2Р1, г > 0

а11 - а22 + *1Р1 - *2 Р2

+1 еуг (Хг) Х

а21 + *2 Р1

, г > 0

^Х(а11 - а22 + *1Р1 - *2Р2 ) = 1,202354 ,

Х (а21 + *2 Р1) = -0,10631.

Г -| 0, г < 0;

X = а ш = е_0,30024г еЬ (0,2406г) "1' _0_ + е~0,30024г 5Ь (0,2406г) "1,202354' _-0,10631_ , г>0

2. Т1 =Т2 =т> 0, т = 0,15 .

а

у = у = -0,3035 ;

Х2 =у2 -Д = 0,090902 >0;

Х = 0,3015;

Б (0) = [о, г < 0; 1, г > 0], ] (0) = 0, Б0 =

Б1 (0 )■ *2 (0)

Б1 =[0, г <-0,15; 1, -0,15<г <0; 0, г >0], ] = 0, Б =

ГТі * ^1 = [0, г < 0; 1,0, 0 < г < 0,15; 0, г > 0,15]; ТТ2 * ^ = 0;

V

*2

и = Гт*

ЬР^1 - Ь2Р251 (0) Ь2 р1^1 + Ь2 Р$1 (0)_

— А1

“ = -т * Р1^1

уЕ - А = -

а11 - а22 „

а11 + а22 1 0' 1 2 1 2 2 а 1 2 а12

2 0 1 а21 ац _ а22 - а11

^ 2 _

еуг еЬ (Хг)

1 еуг зЬ (Хг)

Х

/ ={0, г<0; аи - а22

а21

+ |еуг| еЬ(Хп) + -Х-зЬ(Хц) |ёц

, г

— [еуп5Й (Хц)ё ц-Х

Р1

, 0 < г <т;

Р1

Ь2_

—еуг зЬ (Хг)

Х

вуг еЬ (Хг)

Ь— р— | еуп еЬ(Хц) + —зЬ(Хц) |ёц-¿2Р2 | еуп еЬ(Хц) + — зЬ(Хц) |ёц

г-т г

а11 - а22 2

а21

г-т А

0

V

¿2Р1 {еУц еЬ(Хц) + -Х-зЬ(Хц) |ёц

■— | еу^Ь (Хц)ёц-

Р1

г-т

, г > т};

'2

| вуц (еЬ (Хц) + ВзЬ (Хц)) ц =

-1

^-2 еул((ХВ -уА)еЬ (Хц)+(ХА -уВ (Хц)))2

Х2 -у2

Х2 - у2 = -Д. / = {0, г < 0;

1 + Рг

Рг

Л т >- + “И -“22 + Ь1 р1 -т Д1 , Д2 - Р Д 'Дх" д 2

а21 + Ь2 Р1 -УР1^ . Д . 2

, 0 < г < т;

+1 е ^ (Хг)

еуг еЬ (Хг) 1 + (ь рі + ¿2 Р2 )5Ь (Хт) + ц -А

Й11 2 Й22 + ¿1Р1 - (¿1Р1 + ¿2Р2 ) (Хт) - УР^"“1

, А 2

а21 + ¿2 Р1 -УР^“Г А

- Р ~ А1'

А _А 2 _

; г >т}.

т = 0,15, Хт = 0,045225, еЬ(Хт) = 1,0010226, (Хт) = 0,0454523735;

7 = {0, г < 0;

' -0,45429518“

+е

еЬ(0,3015г) -0,30035г (0,3015г)

-0,54271878 +

46,429518 0,54271878

+

-0,30035г

-45,29965 -0,62552262 0 < г < 0,15 ;

-47,429527 -0,54271878

еЬ(0,3015г)

+

+е

-0,30035г

(0,3015г)

-45,295688

-0,62552262

г > 0,15};

46,429518

0,5427878

71 = | 0, г<0; Ріе^гг реИ(Хг) + 1 (Ь-Ах(Хг), г>0| =

:{0, г<0; е_0’30035г (0,000502еЬ(0,3015г)-0,10963258Ь(0,3015г)), г >0};

реЬ(Хг) + Х ( -А2(Хг), г > 0| =

72 = |0, г < 0; Р2е

= {0, г<0; е-0,30035г(-0,002897еЬ(0,3015г) + 0,03401678Ь(0,3015г)), г>0};

— “ к ( к \

= 7 + XX [-]{°, г - 0,15 к < 0};

к =1 т=0 ^ т '

0,15к

| 71 ( - 0,15к-^т )т".

X =

а ю_,

г-0,15 к

П2 _

... 172 (2 -П1)/К )^тц, г - 0,15к > 0}. 0

0

Справедливо

-45,292955 Т -0,62552262^

+

46,429518

+

0,54271878 ’

0 < г < 0,5. Список литературы

1. Данилов, А. М. Методологические принципы проектирования сложных управляемых в пространстве динамических систем в приложении к разработке авиационных тренажеров / А. М. Данилов, А. Н. Анисимов, И. А. Гарькина, Б. В. Клюев, Э. В. Лапшин // Идентификация систем и задачи управления : труды III Международной конференции. 81СРИ0'04. - М. : Институт проблем управления им. В. А.Трапезникова РАН, 2004.

2. Рябцев, И. И. Об операционном исчислении в терминах совершенных операторов / И. И. Рябцев // Известия вузов. - 1978. - № 5. - (Математика).

3. Рябцев, И. И. К общей теории совершенных операторов / И. И. Рябцев // Известия вузов. - 1985. - № 3. - (Математика).