ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО УПРУГОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ НА РАСЧЕТ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

parameters of spatial executive mechanisms are stated. Is established that at account Kinematics parameters of the centre cxBaia of the robot - manipulator it is necessary to use spherical and angular systems of coordinates.

УДК 539.3

влияние внешнего упругого заполнителя на расчет деформации и напряжений в цилиндрической оболочке

Т.В. Никонова

Рассматривается задача о расчете напряженно-деформированного состояния тонкостенной цилиндрической трубы (оболочки) кругового сечения длины 1-, залегающей в грунте (рис. 1). Воздействие внешнего упругого заполнителя (грунта) принимаем в предположении гидростатического характера его давления на оболочку. Реакция грунта при деформации трубы учитывается в рамках классической постановки закона Гука. при этом принимается одномерная модель Фусса-Винклера [1,2].

Рисунок 1 - Цилиндрическая оболочка

С учетом сделанных догущений уравнения равновесия безмоментной теории цилиндрических оболочек будут иметь вид [3]

дТ\ dS * dS дТ-, . . ♦ »

—г +—r + <7i —г +—v + T2=q„R-ow,

дх ds дх ds

(1)

где у, , ГГа — мембранные осевое кольцевое и сдвигающее усилия,

*

соответственно 0<х — продольная координата, з — длина дуги на

* *

поверхности оболочки, отсчитываемая в окружном направлении, щ = су =0,

*

цп - -у{//0 +/?(Д - соБср)}— компоненты поверхностной нагрузки по

направлениям х, 5* и нормали, соответственно Н — радиус оболочки, а— коэффициент постели грунта, м— нормальное перемещение точек срединной поверхности у— удельный вес грунта, Н0 — глубина залегания оболочки (расстояние от поверхности земли до верхней образующей оболочки), <р — угловая координата.

Принимаем граничные услоьия при которых реализуется безмоментное

напряженно-деформируемое состояние оболочки

* * —

Г =у 0 при ; =0 (2)

где V—перемещение в окружном направлении. Связи деформации с усилиями имеют вид [3]:

ди 1 * ♦ dv w* 1 * * ди*

—Г = —гСП - )' —* + — = —(Т> - vT] ), —г к Eh э/ R Eh ' as

dv 2(1 + v) *

s , (3)

* Eh

где и— перемещение в осевом направлении, £ — модуль Юнга материала оболочки, h — толщина цилиндрической оболочки v— коэффициент Пуассона материала ооолочки.

Перейдем к безразмерным величинам, используя следующие соотношения:

х' = Rx,s = Rip. (z/,v J.') ±'R(u,v,w), (ГИГ- ,S*) = Eh{T{.T£S), L = 7?/. (4) С учетом (3) (4) из (1) получим систему уравнений в пеоемещениях

1

1-у2

ди

V---1- + W

дх rbр

Т

1

9 и

] — V " 1

V

f V -

дх

л

áBfcp

4

о и

J

4

ft

2(l + v)

f -.2 J2 A

о и M*V " -

йгЭф ¿y

4 ■

у

1 — V

2(1 +у) >5(р2

(7W

эф

"2

о и ш V

V- 4 — 4

= 0,

0.

(5)

схслр ^сд"1

(6) (7)

где а0=аМ{ЕЬ).

Решение системы (5) будем искать в виде

тт 1^с(х)+и/с(х)со5(^, и=и0(х)+ис(х)СОЭф, \/=\/о(х)+1/3(х)з1пф Граничные условия (2) с учетом (3) и (6^ имеют вид

у0(0) = у,(0/- у0(/)№ v,(/) 4о, и'0(0)4 у>у0(0) = 0.

и(,(/) + уи>0(/) = 0, и'сЩ-юпф) = 0, и'с(!) + \>пс{1) о.

Подставляя (6) в (5), получим систему уравиений

И'о(Р+ ^о 00 - [ч„<д - - "и(л") *) = О» v -00 = 0 (8)

уг^(х) + т|(х) 4 \ус(лО = (1 - V2 - а0^Нг)], 2[<(х) 4 уу^ЭД 1В(17* (. 1 - V)!-ис(х) 4 у' Щ = О, (1 - \')[-и'с(# + К(л-) - уу (х) - пде] - 0.

Решая уравнения (8) с учетом граничных условий (7), находим

(9) (10) (11)

vv0 (х) =

ЯпО

14 а

и0(х) = -

0

\ „ 1 >*й

х4г/00, Щ (х) = О,

(12)

где иоо— некоторая константа. Из уравнения (11) получим

l+ v > t а^ 1 ~v "Л-л /Л (л*) + ----- У v (>") - v»(x)

Г с (áf )

и, подставив СЗ) в (9), находим

,, , 1 + Р0(1-у ) „. , 2(14 v)a0 "5(1-Vky

и.(х ---у,(х)----v,s.(x)----

1 + (14 у) а0 l+(l + v)_a0 l4(l4v)~a0

Подставив (13),(14) в (10), приходим к уравнению относитепьно vs(x)

пе

(Т) + a2vs ffl + «ОК С"0 = .Г,

/i

(13)

(14)

(15)

где

о4 = 1 -г ал, а2--~ 2а0, а0=а0' / = -~Япс-Общее решение уравнения (15) имеет вид

v (1 = c,ÍW cos(3¡x 4 c2ia¡x sin p,x 4 cos jL 4 СщйЦ** sin b,x 4 /Иа0, (16)

У

где

а, =

р iv

I I ,2 , 2 Nd +с -1

2а

с =

1 + а,

а,

с,— неизвестные константы ( / = 1..4).

С учетом (16),(13) (14) и граничных условий (7) для wf(x), i/c(x) vs(x) получим

систему четырех линейных уравнений относительно с, (/ = 1..4), для решения которой использована математическая среда MAPLE.

С учетом (12)-(14) (16) соотношения для возникающих мембранных усилий имеют вид

Eh

—--[it" (х) ■ V'-'. (х) + (x)Jsin ср,

S =

\

7, щ Eh\и'с(х) + \>{tjnc'~ a0wc(х))]cosф, 4>гй

(17)

7- = Eh

+ а,

По формулам (17) определены значения усилий, возникающих в срединной поверхности оболочки, залегающей в грунте на глубине Н0=4 м На рис 2-4 приведены для различных углов ср графики распределения усилий по длине оболочки х при Е=2'1011 Н/м2 /7=0.04946 м и=0.25, у=1,8-104 Н/м3 а0=3 107 Н/м2, №=1.5 м

г;, н/м 150000-

л,.ф=л/4

У

Ф=я/2

60

\ // \ Ч .

ч.

Рисунок 2 - Распределение усилия (\ по длине оболочки х при различных

значениях угла ф

500000

-50000

-100000-1'

40

60

00

Рисунок 3 - Распределение усилия 5 по длине оболочки х при оазличных значениях угла ф (обозначения как иа рис. 2)

И, Н/м

-120000

140000

-160000

I80000

//

I: 11

. \ \ \

О 20 60 100

Рисунок 4 - Распределение усилия Т2 по длине оболочки х при различных значениях угла ■» (обозначения как на рис. 2)

ВЫВОДЫ

1.

2.

Установлено что при принятых выше граничных условиях, усилия Ту и

5" являются значителоными лишь у краев оболочки

*

Наибольшее по величине сжимающее усилие 7т возникает у краев на

*

нижней образующей оболочки (при ф=л). Вдали от краев совпадает с усилием полученным в [4] для бесконечно длинной оболочки. Зависимость мембранных усилий , Т-± . 5 на краях оболочки от угла ф является одинаковой для любой величины Нй.

3

4. При расчете напряженно-деформируемого состояния длинных труб и

труб, залегающих на большой глубине можно принять 7) =S Ю а усилие *

То рассчитывать по теории бесконечно длинных оболочек.

Список использованных источников

1. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упоугом основании. М Госстрой-издат, 1954 232 с.

2. Кообут Б.А, Нагооный Ю.Н. Об одной модели заполнителя в задачах устойчивости цилиндрических оболочек Изз-во вузов; "Машиностроение", 1971, №6, С 16-21

3. Новожилов В В. Теория тонких оболочек. Ленинград: Гос. союзное изд-во судостроительной промышленности, 1962, 431с

4. Никонова Т В, Михасев Г.И. Оценка усилий в тонкостенной трубе с упругим внешним заполнителем с учетом собственного веса. // Вестник ВГУ 2003г., №2, С. 105-108.

SUMMARY

The problem on calculation of the strain-stress state of a thin cylindrical shell wuh elastic external filler is considered. The reaction of externally filling during deformation :s considering in limits Hook's law. The one-dimensional Fuss-Winkler's model of the shell-ground deformation is accepted The substitution of the generai solutions into the boundary conditions leads to the system of algebraic equations wh;ch are solved by using the MAPLE software.

УДК 621.01 : 621.9.015

новое поколение компактных мехатронных

обрабатывающих систем с параллельной

кинематикой д Н. Свирский, Ф.А. Ким

Объемная механообработка по-прежнему остается одним из самых популярных технопогических методов «сканирующего» формокопирсзания [1, 2] нерегулярных технических поверхностей. Типовая компоновка современного стайка с ЧПУ (рис. 1) для объемного фрезеоования подобных сверхсложных (скульптурных) поверхностей обеспечивает управляемые перемещения го девяти координатам [3, 4]. Станок включает плиту 8, на которой распопожены станины 7 и 9. По станине 7 перемещаются салазки 6 с планшайбой 5 на которой установлена стойка 1. По стойке двигаются салазки 2 с планшайбой 3 и с укрепленным на ней хсботом 4. На оси этого хобота крепится веотпюг 15, около которого поворачивается бабка 14 со шпинделем 13 и фрезой По станине 9 перемещаются салазки 10, а по ним стоп 11 с ппаншайбой 12. Такой станок обеспечивает одно перемещение вдоль оси х, два перемещения (у1 , у2) вдопь оси у одно перемещение вдопь оси г один поворот вокруг оси а, один поворот вокруг оси (3 и три поворота (у1, у&уз) вокруг оси у

В последнее время в этой области машиностроения расширяется применение станков манипуляционного типа, построенных на механизмах параллельной структуры [5 6], в частности, типа «гексапод». Типичный гексапод (рис. 2) выполнен на базе шести мехатронных телескопических устройств 2 поступатепьного перемещения представляющих собой шариковые винтовые передачи (ШВП) Их длины изменяются регулируемыми электроприводами. Величина перемещения контролируется датчиками положения. Одним концом телескопическое устройство шарнирно соединено с основанием 1 (нижней платформой) а другим (также шарнирно) — с подвижной верхней платформой 3, на которой расположен исполнительный орган (ИО), например инструмент ипи измерительная головка