CC BY
14
Преобразовательная техника
УДК 621.341.572 DOI: 10.14529/power190414
ВЛИЯНИЕ УРОВНЕЙ НАПРЯЖЕНИЯ И УГЛОВ ИХ ВКЛЮЧЕНИЯ В МНОГОУРОВНЕВОМ ИНВЕРТОРЕ НА СТРУКТУРУ СПЕКТРА ЕГО ВЫХОДНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Е.Е. Миргородская, Н.П. Митяшин, Ю.Б. Томашевский, А.Ю. Мирошниченко
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия
В настоящее время широкое распространение в электроэнергетических системах различного назначения получают многоуровневые инверторы напряжения, являясь эффективным методом формирования гармонического состава выходного напряжения. Реализация многоуровневой концепции позволяет управлять составом и величиной гармоник на их выходе, что является актуальным для систем электроснабжения технологических процессов, качество которых зависит от спектра питающего напряжения. Предложен подход к определению влияния изменения параметров в многоуровневом инверторе на спектр его выходного напряжения, обеспечивающий возможность решать задачу синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом. Получены формулы для расчета чувствительности коэффициентов гармонических составляющих напряжения и суммарного коэффициента гармонических составляющих напряжения к изменению уровней входного напряжения и электрических углов их включения в инверторе. Разработан алгоритм синтеза многоуровневой кривой выходного напряжения с задаваемым гармоническим составом, наиболее соответствующим реализуемому технологическому процессу. Результаты компьютерного моделирования синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом за счет изменения напряжений уровней при различных величинах выбранных гармоник показывают его универсальность, наглядность и информативность. Представленный подход к проектированию рассматриваемого класса преобразовательных устройств заметно расширяет функциональные возможности многоуровневых инверторов напряжения, что способствует росту их применения в современных промышленных технологиях, качество которых в значительной степени определяется спектром питающего напряжения, например, в системах многочастотного индукционного нагрева.
Ключевые слова: многоуровневый инвертор напряжения, коэффициент гармонических составляющих напряжения, уровень напряжения, угол включения уровня, градиент, чувствительность.
Введение
В настоящее время все большее распространение в области управления параметрами электрической энергии и ее потребления получают многоуровневые инверторы напряжения (МИН). При этом они являются эффективным инструментом формирования гармонического состава выходного напряжения по сравнению с традиционными двухуровневыми преобразовательными схемами [1-3]. Реализация многоуровневой концепции позволяет управлять составом и величиной гармоник на выходе МИН, используемых для электроснабжения технологических процессов, качество которых зависит от спектра питающего напряжения. Особую значимость рассматриваемый класс преобразовательных устройств приобретает в связи с бурным развитием распределенных систем интеллектуальной электроэнергетики [4, 5].
Гармонический состав выходной кривой МИН при заданном числе уровней напряжения зависит от параметров многоуровневой кривой, а именно от их величин и электрических углов переключения. Поэтому первоначально значитель-
ное число работ по теории и практике МИН было посвящено нахождению для инверторов с различным числом уровней сочетаний величин уровней и углов их переключений, оптимальных с точки зрения приближения формы выходной кривой к синусоиде [6]. В соответствии с существующими требованиями [7] это сводится к минимизации таких показателей качества выходной кривой, как суммарный коэффициент гармоник ^ и отдельные гармонические составляющие
Однако кроме задачи нахождения оптимальных параметров кривой практическое значение имеет проблема их реализации в силовой схеме инвертора. В частности, целесообразно поставить вопрос, какова чувствительность значений показателей качества выходной кривой к точности реализации ее параметров. Актуальность этой проблемы следует из того факта, что в отличие от традиционных инверторов напряжения в МИН стабилизации и регулированию подлежит не одно напряжение источника питания, а несколько напряжений уровней.
С ответом на этот вопрос связана более общая задача синтеза многоуровневой кривой с заданным
управляемым гармоническим составом, решение которой позволит значительно расширить применение промышленных технологий, качество которых в значительной степени определяется спектром питающего напряжения.
Решение этой задачи важно при синтезе многочастотных преобразователей, которые активно применяются в индукционном нагреве, например, при термообработке деталей сложной формы, обеспечивающей равномерный их нагрев по сечению. Кроме того, двухчастотный нагрев применяется при индукционной плавке металлов, при котором необходимо перемешивание с помощью электромагнитного поля расплава для получения его однородных химических свойств. При этом оптимальные значения частот тока индуктора, требуемые для эффективного нагрева и эффективного перемешивания, значительно отличаются [8].
В литературе основное внимание уделяется синтезу двухчастотных преобразователей. В частности, рассматриваются двухчастотные преобразователи на основе одного инвертора и двухчастотно-го резонансного контура, а также построенные по принципу сложения выходных параметров двух автономных инверторов, работающих на разных частотах, и с использованием многофункционального трансформатора [8-11]. Однако они имеют невысокие энергетические и большие массогаба-ритные показатели. Тем более применяемые принципы их построения нецелесообразны при синтезе инверторов с числом гармоник, больше двух.
Для получения многочастотного источника также могут быть применены модульные преобразовательные системы, состоящие из нескольких инверторов на базе ЮВТ-модулей с управлением на основе широтно-импульсной модуляции. В этом случае помимо заметного усложнения системы управления существует проблема объединения отдельных модулей с применением высокочастотных трансформаторов, предназначенных для согласования нагрузки и гальванической развязки источников высокочастотного питания.
В связи с этим наиболее перспективным подходом к синтезу многочастотных источников представляется применение многоуровневых инверторов.
Ниже приводятся теория и методика, позволяющие осуществить подобный синтез.
Методика исследования
Для решения поставленной задачи воспользуемся методикой анализа выходных кривых многоуровневых инверторов, предложенной в [12].
Суть ее рассмотрим на примере многоуровневой кривой м(6), период которой показан на рис. 1.
Исследованию подлежит влияние параметров кривой, а именно значений уровней напряжения Xк (к = 1,24) и углов их включения 6к (к = 2,24), на ее показатели качества, т. е. гармонические составляющие напряжения Код и суммарный коэффициент гармонических составляющих напряжения Ки.
В случае равноотстающих углов включения п
9к = (к " 1)12 и величинах уровней напряжения, определяемых по формуле
0к +0к+1
Xk =sin
2
(k = 1,24),
мы имели бы шестиуровневую кривую, для которой только шесть первых уровней являются независимыми, так как
Х1 3—2 =Х , ' = 1,6
X
j+12
= -X j, j = 1,12.
В дальнейшем, однако, будут использоваться все 24 значения напряжений уровней и углов включения этих уровней, поскольку в данной работе проводится исследование влияния всех параметров кривой на показатели качества выходного напряжения.
в\ &i Ol ft| 9<s в(, &] в% dg вю 0\\ вц ви д\4 #15 в\(, ву] в\д Bjü &l\ &I1 &1Ъ &24 2/Г Рис. 1. Кривая и(8) выходного напряжения МИН
Рис. 2. Графики носителя S5(0) уровня Х5 и носителя S12(0) уровня Х12
Определим следующие вспомогательные функции на периоде [0, 2 л]:
^ (0) = |1,если $к - 0<0к+1,к=Ш (1)
[0 для других значений 0.
На рис. 2 приведены графики двух таких функций 55 (0) и 512 (0) . Функции (0) можно назвать носителями соответствующих уровней [5], так как они равны 1 в те и только те моменты, в которые выходная кривая равна Хк , и нулю в моменты, когда кривая принимает другие значения.
С помощью носителя (0) многоуровневую кривую и (0) можно представить следующим образом:
24
u(0) = • Sk (9).
k=1
Разложим носитель Sk (0) в ряд Фурье
ад
Sk (0) = bk,(0) + Z ak,(n) • Sin(n0) +
n=1
ад
+ Z bk,(n) • cos(n0)
(2)
(3)
где
bk,(0) = (0k+1 -0k )/2*;
k,(n)
= (cos(n0k) - cos(n0k+1))1 пл; (к = 1,24) (4)
Ьк,(п) = (sin(n0k+1) - «п(п0к »/ПЛ.
Из формул (2)-(4) следует, что многоуровневая кривая и(0) может быть представлена в виде следующего ряда Фурье
ад ад
"(0) = v(0) +Х"(п) • ят(п0) + ^v(n) • cos(n0), (5)
п=1 п=1
где коэффициенты имеют вид
1 24
У(0) = к (0к+1 -0к);
k=1
24
U(n) = S^k • ak,(n);
k=1 24
V(n) =Z^k • bk,(n).
k=1
(6)
С помощью приведенных выше формул оказывается возможным исследование чувствительности показателей качества выходного напряжения МИН к отклонениям величин его параметров от оптимальных значений.
Чувствительность показателей качества кривой напряжения к погрешностям реализации ее параметров
Понятие чувствительности введено в теории автоматического управления для оценки изменения параметров системы от их номинальных значений на показатели качества ее функционирования [13]. В частности, известна формула коэффициентов чувствительности с использованием логарифмической производной
НУ = d 1п(у) = Су/у0 = у'(х) х0 х d 1п( х) Сх/х0 у0
Здесь у - некоторый показатель качества функционирования системы; х - влияющий на его значение параметр; у0 и х0 - их номинальные значения; Ну - чувствительность показателя у к отклонению параметра х от номинального значения. Преимущество этой формулы заключается в том, что она сравнивает не сами отклонения Сх и Су, а их относительные значения Сх/х0 и Су/у0 . Это
возможно только в том случае, если номинальные значения у0 и х0 отличны от нуля. В нашем случае показателями качества являются гармонические составляющие Код. Поскольку для некоторых из них оптимальные значения для многоуровневой кривой равны нулю, то приведенная форма оказывается неприменимой.
В связи с этим в качестве коэффициентов чувствительности в данной работе будем использовать не логарифмическую, а обычную частную производную. Практическое значение нахождения коэффициентов чувствительности состоит в следующем. Пусть у - некоторый показатель качества кривой выходного напряжения, а ут - его максимально допустимое значение, у0 и ду/дх - оптимальное значение и частная производная показателя у по параметру х, рассчитанные при оптимальных значениях всех параметров. В этом слу-
чае максимально допустимое отклонение Ах параметра х от его оптимального значения можно найти по приближенной формуле
Ах = (ут - у)/
'ду дх
(7)
Таким образом, для оценки допустимых отклонений параметров многоуровневой кривой необходимо иметь значения частных производных суммарного коэффициента гармоник Ки и всех значимых гармонических составляющих Ки(п) по всем параметрам Хк и 0к к = 1,24.
Формулы (2), (5)-(6) позволяют рассчитать производные амплитуд гармоник по всем уровням и
углам их включения {00}. Поскольку коэффициенты Кщ и КЩ(п) являются функциями этих величин, то ниже мы получим аналитические выражения для их частных производных по всем уровням и углам их включения для применения формулы (7).
Производные коэффициентов Фурье и(п) и У(п) кривой (2) по величинам уровней напряжения \к имеют вид
ди,
(п)
ду,
дХ,
= а
к,(п)'
(п)
дХ,
= Ьк,(п) (п > 0, к = 1,24). (8)
Для постоянной составляющей получим следующее выражение
ду(0) 1 (0) =—(0к+1 -0к).
дХ
2л
Полная гармоника Я(п) равна
— ¡2.2 "(п) = >/ и(п) + у(п)
и поэтому
^(п)
24
дХг-
= Х (а.
1,(п) ак,(п) + Ь],(п)Ьк,(п)
+ Ь,,(п)Ьк,(п)) М
(п)
(9)
(10)
к 1=1 / Далее найдем производные от коэффициентов ак(п) и Ьк(п) по углам коммутации 0к .
Из формулы (7) следует, что при данном к коэффициенты ак (п) и Ьк (п) зависят только от углов
0, и 0
к+1
и значит, производные от этих функций по другим углам равны нулю. Для отличных от нуля производных получим следующие выражения:
дУ(0) 1
= — (Хк-1 -Хк);
д0
2л
да
к,(п)
д0
да
к,(п)
д0
к+1
дЬ,
к,(п)
д0
дЬ
к,(п)
д0
= - -^ш(п0к); л
= ^п^к+1); л
= - 1соБ(п0к); л
= 1^(п0к+1).
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
Здесь к > 1 и к < 25, так как углы 01 и 025 имеют
фиксированные значения 0 и 2л соответственно.
Найдем производные от коэффициентов разложения в ряд Фурье и(п) и У(п) многоуровневой кривой и (0) по углам 0к .
Исходя из формул (12)-(15), можно сделать вывод, что при дифференцировании формул (6) по углам коммутации 0к в результирующей сумме окажутся только два слагаемых, отличных от нуля:
ди(п) = дак-1,(п) д0,
д0
да
к,(п)
к-1"
д0
Хк.
Учитывая формулы (12) и (13), получим
ди(п) 1
-¿Т = "(Хк-1 -Хк )^п(п0к).
д0 л
(16)
(17)
Аналогичным образом с учетом формул (14) и (15) находим
ду(п) 1
-¿Г = "(Хк-1 -Хк )cos(n0k).
д0 л
(18)
В формулах (16)-(18) параметр к изменяется в пределах от 2 до 24.
Найдем производные от результирующей гармоники ^(п) по углам коммутации 0к, используя формулы (17) и (18):
дw,
(п)
( дм
д0
(п)
ду,
чд0к
и(п) +
(п)
д0
(п)
т
(п)
Введем угол ап, равный
(п)
ап = агС^-
и(п)
Затем, применяя формулы (17) и (18), получим
дя(п) 1
-¿Г = -(Хк-1 -Хк )sin(n0k +ап). (19)
д0к л
Рассчитав значения производных и по формулам (10) и (19) соответственно, можно найти производные от коэффициента гармонических составляющих напряжения КЩ(п) и суммарного коэффициента гармонических составляющих напряжения Кщ по величинам уровней Хк и углам коммутации 0к . Эти коэффициенты определяются следующими формулами:
V- _ п . Ки (п) = я ,
Кщ =
N
1=2
(20)
(21)
В последней формуле в соответствии с требованиями [7] следует принять N = 40.
С учетом формул (20) и (21) получаем произ-
дКи (п) дКи (п)
водные —г-, ——— и
дКщ дК,
и
к+1
дХ
д0
д0
дХ
к
к
я
dw(n) w dw(1) w дки w W(1)"^7 W(n)
dXk w,
2
(1)
dW(n) w 9W(1) w
dKu w_ W(1) "^7 W(n)
(22)
деъ
w
2
(1)
W :--— " K
J
" dw
дки_h"J dek
de
dw,
•-•
de,
k
dK,
J _2
" dw. h w. "K,
J ^2 dw1
(23)
U _ J_2
J d^ "U dXk
w1
h
J _2
wj
Синтез многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом за счет изменения напряжений уровней
Формулы (22) и (23) для расчёта чувствительности показателей качества Ки и Код к изменению параметров Хк и 6к дают возможность решать задачу синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом, поставленную в начале статьи. Число уровней М считаем фиксированным, так что ниже индекс к у параметров Хк и 6к меняется от 1 до М. В связи с особенностью решаемой задачи понятие числа уровней здесь отличается от общепринятого. Так, на рис. 1 число уровней равно 24.
Ограничимся изменением только величин напряжений уровней, считая углы их включения фиксированными. Для определенности будем считать их равноудаленными, т. е. положим
ек = (к—1)—, к = 1М.
к М
Требуемые напряжения уровней, рекомендуемые в синтезируемых вариантах кривых, могут быть реализованы при использовании в схемах преобразователей универсального источника пи-
тания многоуровневого инвертора, предложенного в [14]. Структурная схема преобразователя на основе такого источника напряжений уровней показана на рис. 3.
Способ функционирования рассмотрим на примере четырехуровневого преобразователя, положительный полупериод кривой выходного напряжения которого показан на рис. 4.
Формирование входного напряжения инвертора происходит на каждом полупериоде (0, Т/2) попеременно ИНИН и ИППН2, способными воспринимать обратный ток инвертора при резистив-но-индуктивном характере нагрузки. Коммутатор подает напряжение щ с выхода ИИИН на вход инвертора в интервалы времени (0, (t6, t7], обеспечивая последовательные уровни иь и3, и3, иь и напряжение и2 с выхода ИППН2 на вход инвертора в интервалы t2], (t3, t4], (t5, t6], обеспечивающие уровни и2, П4, П2.
В подготовительные интервалы времени, в которые ИНИН отключены от входа инвертора, они изменяют напряжение на своих выходах в соответствии с кривыми щ и щ2 рис. 4. Для ИИИН это интервалы (tl, t2], (t3, t4], t6], а для ИННН2 это интервалы времени (0, (t2, t3], (t4, t5], (t6, Затененные участки графиков соответствуют рабочим интервалам, в которые соответствующие ИННН подключены к входу инвертора. Нунктир-ные линии обозначают переходные процессы изменения выходных напряжений ИННН в подготовительные промежутки времени.
На рис. 5 показан упрощенный вариант реализации силовой схемы, соответствующей структурной схеме рис. 3.
На рис. 5 через V обозначены полностью управляемые ключи, проводящие ток в направлении, указанном стрелками. Нунктиром выделены модули, соответствующие изображенным на рис. 3.
Напряжения щ и и2 формируются на конденсаторах С и С2 соответствующих ИНИН, получающих энергию от индуктивных накопителей L1 и L2.
Особенностью применяемых здесь схем ИННН является то, что накопление энергии в индуктивности Ll ^2) происходит не только от источника постоянного напряжения и0 при включенном V1 (V2), но и от конденсаторов С1 (С2) в
Рис. 3. Структурная схема преобразователя: Сеть 50 Гц - входная сеть переменного тока; В - выпрямитель; СУ - система управления преобразователем; ИППН1 и ИППН2 - импульсные преобразователи постоянного напряжения; К - коммутатор; АИН - однофазный мостовой инвертор напряжения; Н - нагрузка
Рис. 4. Метод формирования выходной кривой
ИППН
Рис. 5. Упрощенная схема многоуровневого преобразователя
те интервалы времени, в которые происходит возврат реактивной мощности нагрузки через обратные диоды инвертора и ключи У2к (У4к) коммутатора. При этом У11 (У12) выключены, а У2: и У\ (У22 и У32) включены, образуя цепь тока индуктивности L- ^2), разряжающего для конденсатора С (С2). Тем самым компенсируется неуправляемый заряд этого конденсатора обратным током
инвертора, протекающим через ключи У2к (У4к) коммутатора.
Кроме того, накопление энергии в индуктивности Ll (£2) происходит также при разряде конденсаторов С (С2) в те подготовительные интервалы, когда осуществляется переход напряжения от более высокого уровня к более низкому.
Для отрицательной полуволны функционирование преобразователя происходит аналогич-
но и реализуется за счет силовых ключей инвертора V]—К4.
Для решения поставленной задачи на множестве М-уровневых кривых ГМ построим положительно определенную функцию параметров Хк и ек, минимизация которой одним из стандартных методов позволит определить их значения для искомой кривой.
Пусть N — число первых значимых для данной задачи гармоник. Желаемые величины этих гармонических составляющих кривой напряжения
обозначим через Кщу = 0,2,3,..., N. При решении стандартной задачи получения кривой, наиболее приближенной к синусоиде, эти значения принимают нулевые значения, однако в рассматриваемой общей задаче они могут принимать любые неотрицательные значения. Отсутствие в списке индексов значения 1 связано с тем, что мы рассматриваем гармонические составляющие, отнесенные к первой гармонике, и поэтому коэффициент Кир) для любой кривой равен 1.
Близость произвольной многоуровневой кривой Z к кривой с желаемыми значениями Z0 можно оценить следующей величиной
N / ч2
Г (Z,Z 0) = Х( KU (,) - K°( j)).
(24)
j=o j
Здесь Ки(;) — гармонические составляющие произвольной кривой Z из множества ГМ, поэтому г (2, 7 0) является функционалом, определенным на этом множестве [15]. Поскольку коэффициенты Ки(у) являются функциями параметров Хк и ек
кривой 7, то г(2,70) одновременно является функцией этих параметром. Поэтому, минимизируя эту функцию по параметрам кривой, можно получить те их значения, при которых соответствующая многоуровневая кривая 2* будет наиболее близка по значениям гармонических составляющих к кривой 2 .
Следует отметить, что кривая 2 0в общем случае не входит в множество ГМ. Поэтому кривая
Z = arg min г(Z,Z0).
Zer,,
(25)
доставляющая минимум функционалу (24), имеет
*
значения показателей Ки (у, отличающиеся от
желаемых K,
и (,)
хотя и наиболее близкие к ним
по сравнению с другими кривыми из ГМ . Напряжения уровней кривой 2* обозначим через Х*к .
В качестве метода минимизации целесообразно выбрать градиентный метод [16], поскольку мы располагаем явными выражениями производных
показателей качества Ки(у) и Ки по параметрам кривой. При этом следует учитывать, что градиентный метод, как и большинство методов минимизации, является итерационным и, следовательно, находит не саму минимизирующую кривую * *
2 , а лишь достаточно близкую к ней кривую 2е из ГМ, удовлетворяющую условию
г(2**, 2 0) <е, (26)
где е — заранее заданное максимально допустимое значение минимизируемой функции. Таким образом, в результате решения задачи синтеза М-уров-невой кривой с желаемым гармоническим составом градиентным методом мы определяем напряжения уровней кривой, удовлетворяющей условию
*
(26). Набор этих уровней обозначим через Хк ,
к = 1М.
Функция (24) наиболее наглядно соответствует цели минимизации, и поэтому будет использоваться ниже для оценки точности решения задачи. Однако для удобства применения градиентного метода ее целесообразно заменить следующей функцией, достигающей минимума при одних и
тех же значениях Хк и ек, что и г(2,20) :
1 N
p(z , z 0)=- ku - L KU(,) ■ ku (,).
2 j=0
j
■K
(27)
Здесь Ки — суммарный коэффициент гармонических составляющих кривой 2. Функции г(2,20) и р(2, 20) отличаются только на постоянное слагаемое и поэтому достигают минимума.
Для реализации градиентного метода минимизации функции р(2, 20) найдем ее градиент, как функции в Хк. Координаты градиента ОХ функции р(2, 20) от параметров Хк при фиксированных параметрах ек равны др дК1
G = ^р = "ku v Ko 9Ku(j) (k = i M)
GX,k = --L KU(j) ■—-(k = 1M).
дЧ дЧ j=o
j*1
5X
k
Теперь реализацию градиентного метода можно свести к следующим действиям:
1. Задаются начальный номер шага итерационного процесса i = 1 и максимально допустимое значение е минимизируемой функции (27).
2. Выбирается начальное приближение кривой 2j. Например, можно рекомендовать рассмотренную в начале статьи кривую со значениями напряжений уровней
Xk = Sinj (k = 1M).
3. Осуществляется шаг итерационного процесса спуска к минимуму по следующей схеме
4i±! = 4i - h • G,k (i) (k = ÜM, (28)
где г - номер шага итерационного процесса; Хкг и Хк ¿+1 - значения параметров на г-м и (г + 1)-м шаге процесса; Нк - шаг движения по параметру Хк ; GХ,k (¿) - координаты градиента, рассчитанного на г-м шаге.
Набор параметров Хк,г+1 определяет очередное приближение 2г-+1 к желаемой кривой.
4. Используя формулы (10), (19), (22) и (23), определяется значение
В этих формулах J+ есть множество номеров гармоник, для которых К°(^ > 0 , а J0 - множество номеров гармоник, для которых Кщ
и (1)
= 0 .
'г+1
= г (2М, 2 0)
минимизируемой функции (24) при значениях параметров, полученных на предыдущем шаге.
5. Если выполняется условие гг+1 - е , то задача считается решенной. При этом искомые значе-
" ГГ*
ния параметров кривой 2е считаются равными * -
Хк ,е =Хк,¿+1 (к = 1, М),
то есть полученными на последнем шаге. Если же
'г+1
> е , то осуществляется возврат к пункту 3.
По приведенному алгоритму следует сделать следующее замечание.
Для более детальной оценки степени достижения целей минимизации величину г(2,20) из (24) целесообразно представить в виде суммы двух составляющих г (2,20) = г+ (2,20) + г0 (2,20), где
г+ (2, 2 0) = X Ки (1) - < 1) )2;
г>(2, 2 0) = X Кщ] 1).
Величина г+ (2, 2 ) характеризует степень близости значений тех гармонических составляющих кривой 2, которые вводятся в спектр кривой в соответствии с технологическими требованиями (например, при индукционном нагреве деталей сложной формы), к их желаемым значениям.
Величина г0(2,20) характеризует наличие в спектре «ненужных» гармоник. Очевидно, величина л]г0(2,20) аналогична суммарному коэффициенту гармонических составляющих Кщ при решении нахождения кривой, максимально приближенной к синусоиде.
На рис. 6-8 показаны результаты компьютерного моделирования синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом за счет изменения напряжений уровней по предлагаемому алгоритму.
На рис. 6 представлены результаты синтеза многоуровневой кривой с желаемыми величинами 3-й и 5-й гармоник, равными 0,7 и 0,3 соответственно. В этом случае степень близости значений этих гармонических составляющих многоуровневой кривой к их желаемым значениям г+ (2, 20) равна 0,002, а коэффициент «засоренности ненужными гармониками» г0(2,20) - 0,026. Таким образом, степень достижения целей минимизации г (2, 20) составляет величину, равную 0,028.
Рис. 6. Результаты синтеза многоуровневой кривой с величинами 3-й и 5-й гармоник, равными 0,7 и 0,3 соответственно, г+ (Z,Z0) = 0,002, г0^,Z0) = 0,026 , г^,Z0) = 0,028
0
Рис. 7. Результаты синтеза многоуровневой кривой с величинами 2-й и 5-й гармоник, равными 0,7 и 0,3 соответственно, г+ (Z,Z0) = 0,001, г0^,Z0) = 0,017 , г^,Z0) = 0,018
Рис. 8. Результаты синтеза многоуровневой кривой с величинами 2-й, 3-й и 5-й гармоник, равными 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно, г+ ^,Z0) = 0,003 , г0^,Z0) = 0,028 , г^,Z0) = 0,031
На рис. 7 представлены результаты синтеза многоуровневой кривой с желаемыми величинами 2-й и 5-й гармоник, равными 0,7 и 0,3 соответственно. В этом случае степень близости значений этих гармонических составляющих многоуровневой кривой к их желаемым значениям г+ (2, 20) равна 0,001, а коэффициент «засоренности ненужными гармониками» г0(2,20) - 0,017. Таким об-
разом, степень достижения целей минимизации г(2,20) составляет величину, равную 0,018.
На рис. 8 представлены результаты синтеза многоуровневой кривой с желаемыми величинами 2-й, 3-й и 5-й гармоник, равными 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. В этом случае степень близости значений этих гармонических составляющих многоуровневой кривой к их желаемым значениям
r+ (Z, Z0) равна 0,003, а коэффициент «засоренности ненужными гармониками» r0(Z, Z0) - 0,028. Таким образом, степень достижения целей минимизации r (Z, Z0) составляет величину, равную 0,031.
Заключение
1. Предложена методика расчета чувствительности показателей качества выходного напряжения многоуровневых инверторов напряжения к отклонениям величин его параметров от оптимальных значений, обеспечивающая возможность решения задачи синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом. Это заметно расширяет функциональные возможности рассматриваемого класса преобразовательных устройств, что способствует росту их применения в современных промышленных технологиях, качество которых в значительной степени определяется спектром питающего напряжения, например, в системах индукционного нагрева.
2. Разработан алгоритм синтеза многоуровневой кривой выходного напряжения с задаваемым гармоническим составом, наиболее соответствующим реализуемому технологическому процессу.
3. Результаты компьютерного моделирования синтеза многоуровневой кривой с желаемым гармоническим составом за счет изменения напряжений уровней по предлагаемому алгоритму при различных величинах выбранных гармоник показывают его универсальность, наглядность и информативность за счет оценки степени близости значений коэффициентов гармонических составляющих многоуровневой кривой к их желаемым значениям и коэффициента «засоренности ненужными гармониками».
Литература
1. Зиновьев, Г.С. Основы силовой электроники: учеб. / Г.С. Зиновьев. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - Ч. 2. - 197 с.
2. Rodriguez, J. Multilevel Inverters: Survey of Topologies, Controls, and Applications / J. Rodriguez, J.S. Lai, F.Z. Peng // IEEE Transactions on Industry Applications. - 2002. - Vol. 49, no. 4. - P. 724-738. DOI: 10.1109/TIE.2002.801052
3. Power Electronics Handbook / H. Muhammad Rashid (Ed.). - Butterworth-Heinemann, 2018. - 1522p.
4. Strzelecki, R. Power Electronics in Smart Electrical Energy Networks / R. Strzelecki, G. Benysek. -Springer-Verlag London Limited, 2008. - 421 p.
5. Smart Power Grids 2011 / Ali Keyhani, Mu-
hammad Marwali (Ed.). - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. - 701 p.
6. Multi-level Inverter: A Literature Survey on Topologies and Control Strategies / B. Singh [et al.] // International Journal of Reviews in Computing. - 2012. - Vol. 10. - P. 1-16. DOI: 10.1109/ICPCES. 2012.6508041
7. ГОСТ 32144-2013. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. - М.: ФГУП «Стандартинформ», 2013. -10 с.
8. Дзлиев, С.В. Принципы построения систем питания установок индукционной закалки зубчатых колес при двухчастотном нагреве / С.В. Дзлиев // APIH 05: Материалы междунар. конф. - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005. - С. 193-201.
9. Формирование двухчастотных колебаний тока в системах индукционного нагрева / С.К. Зе-ман [и др.] // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315, № 4. - С. 105-111.
10. Юшков, А.В. Энергетически эффективные преобразователи частоты для двухчастотной индукционной плавки: автореф. дис. ... канд. техн. наук/А.В. Юшков. - Томск, 2012. - 19 с.
11. Рогинская, Л.Э. Полупроводниковый преобразователь частоты с многофункциональным трансформатором / Л.Э. Рогинская, А.Р. Латы-пов //Практическая силовая электроника. - 2017. -№ 3 (67). - С. 37-41.
12. Стабилизация параметров выходного напряжения многоуровневых инверторов / Е.Е. Миргородская, В.А. Колчев, Н.П. Митяшин, Е.Д. Карнаухов // Вопросы электротехнологии. - 2018. -№ 1 (18). - С. 70-79.
13. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.
14. Universal Power Source of Single-phase Multilevel Inverters / E.E. Mirgorodskaya [et al.] // 2019 16th Conference on Electrical Machines, Drives and Power Systems, ELMA 2019 - Proceedings. -Varna; Bulgaria, 2019. - P. 337-341. DOI: 10.1109/ELMA.2019.8771654
15. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - 7-е изд. - М.: Физматлит, 2012. -572 с.
16. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс: пер. с англ. / Б. Банди. - М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.
Миргородская Екатерина Евгеньевна, канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электронные приборы и системотехника», Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов; mee85@inbox.ru.
Митяшин Никита Петрович, д-р техн. наук, профессор, кафедра «Электронные приборы и системотехника», Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов; mityashinnp@mail. ги.
Томашевский Юрий Болеславович, д-р техн. наук, профессор, кафедра «Электронные приборы и системотехника», Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов; yurytomash@mail.ru.
Мирошниченко Алексей Юрьевич, д-р техн. наук, доцент, кафедра «Электронные приборы и системотехника», Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов; alexm2005@list.ru.
Поступила в редакцию 8 сентября 2019 г.
DOI: 10.14529/power190414
INFLUENCE OF VOLTAGE LEVELS AND ANGLES OF THE MULTILEVEL INVERTER LEVEL SWITCHING ON THE STRUCTURE OF ITS OUTPUT VOLTAGE SPECTRUM
E.E. Mirgorodskaya, Ymee85@inbox.ru, N.P. Mityashin, mityashinnp@mail.ru, Yu.B. Tomashevsky, yurytomash@mail.ru, A.Yu. Miroshnichenko, alexm2005@list.ru
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation
Multilevel voltage inverters are currently widely used in various power systems, as they are an efficient method to form the output voltage harmonic composition. The implemented multilevel concept allows controlling the composition and magnitude of output harmonics, which is relevant for the power supply systems feeding technological processes, quality-sensitive to the spectrum of the supply voltage. The paper proposes an approach to determine the influence of parameter changes in a multilevel inverter on the spectrum of its output voltage. It allows solving the problem of synthesizing of a multilevel curve with the desired harmonic composition. The authors obtain the formulas instrumental to calculate the sensitivity of harmonic voltage components coefficients and the total coefficient of harmonic voltage components to changes in input voltage levels and electrical angles of their switching in the inverter. The paper presents an algorithm, developed to synthesize a multilevel output voltage curve with a given harmonic composition that is most appropriates for the realized technological process. The results of computer simulation of the synthesis of a multilevel curve with the desired harmonic composition due to changes in voltage levels at various values of selected harmonics show its universality, clarity and information content. The presented approach to the design of the considered type of converting devices significantly expands the functionality of multilevel voltage inverters, which contributes to their application in modern industrial technologies, the quality of which is largely determined by the supply voltage spectrum, for example, in systems of multi-frequency induction heating.
Keywords: multilevel voltage inverter, coefficient of harmonic voltage components, voltage level, angle of level switching, gradient, sensitivity.
References
1. Zinov'ev G.S. Osnovy silovoy elektroniki [Power Electronics Basics]. Novosibirsk, NGTU Publ., 2000. 197 p.
2. Rodriguez J., Lai J.S., Peng F.Z. Multilevel Inverters: Survey of Topologies, Controls, and Applications. IEEE Transactions on Industry Applications, 2002, vol. 49, no. 4, pp. 724-738. DOI: 10.1109/TIE.2002.801052
3. Rashid M.H. (Ed.). Power Electronics Handbook. Butterworth-Heinemann, 2018. 1522 p.
4. Strzelecki R. Benysek G. Power Electronics in Smart Electrical Energy Networks. Springer-Verlag London Limited, 2008. 421 p.
5. Keyhani A., Marwali M. (Ed.). Smart Power Grids 2011. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. 701 p.
6. Mittal N., Singh B., Singh S.P., Dixit R., Kumar D. Multi-Level Inverter: A Literature Survey on Topologies and Control Strategies. International Journal of Reviews in Computing, 2012, vol. 10, pp. 1-16. DOI: 10.1109/ICPCES.2012.6508041
7. GOST 32144-2013. Elektricheskaya energiya. Sovmestimost' tekhnicheskikh sredstv elektromagnitnaya. Normy kachestva elektricheskoy energii v sistemakh elektrosnabzheniya obshchego naznacheniya [State Standard 32144-2013. Electric Energy. Electromagnetic Compatibility of Technical Equipment. Quality Standards for Electric Energy in General Power Supply Systems], Moscow, Standartinform Publ., 2013. 10 p. (in Russ.)
8. Dzliev S.V. [Principles of Constructing Power Systems for Induction Hardening Gears with Dual-Frequency Heating]. APIH 05. Saint Petersburg, Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI" Publ., 2005, pp. 193-201. (in Russ.)
9. Zeman S.K., Kazantsev Yu.M., Osipov A.V., Yushkov A.V. Formirovanie dvukhchastotnykh kolebaniy toka v sistemakh induktsionnogo nagreva [Formation of Dual-Frequency Current Oscillations in Induction Heating Systems]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2009, vol. 315, no. 4, pp. 105-111 (in Russ.)
10. Yushkov A.V. Energeticheski effektivnye preobrazovateli chastoty dlya dvukhchastotnoy induktsionnoy plavki. Avtoref. kand. diss. [Energy-Efficient Frequency Converters for Dual-Frequency Induction Melting. Abstract of cand. diss.]. Tomsk, 2012. 19 p.
11. Roginskaya L.E., Latypov A.R. Poluprovodnikovyy preobrazovatel' chastoty s mnogofunktsional'nym transformatorom [Semiconductor Frequency Converter with Multifunction Transformer] Prakticheskaya silovaya elektronika [Practical Power Electronics], 2017, no. 3 (67), pp. 37-41. (in Russ.)
12. Mirgorodskaya E.E., Kolchev V.A., Mityashin N.P., Karnaukhov E.D. Stabilizatsiya parametrov vykhodnogo napryazheniya mnogourovnevykh invertorov [Stabilization of Output Voltage Parameters of Multilevel Inverters]. Voprosy elektrotekhnologii [Journal of Electrotechnics], 2018, no. 1 (18), pp. 70-79. (in Russ.)
13. Krasovskiy A.A. (Ed.). Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravleniya [Handbook of Automatic Control Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 712 p.
14. Mirgorodskaya E.E., Mityashin N.P., Kolchev V.A., Tomashevsky Yu.B., Stepanov S.F., Artyukhov D.I. Universal Power Source of Single-Phase Multilevel Inverters. 16th Conference on Electrical Machines, Drives and Power Systems, ELMA 2019, 2019, Varna; Bulgaria, pp. 337-341. DOI: 10.1109/ELMA.2019.8771654
15. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza [Elements of Function Theory and Functional Analysis]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2012. 572 p.
16. Bandi B. Metody optimizatsii. Vvodnyy kurs [Optimization Methods. Introductory Course]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1988. 128 p.
Received 8 September 2019
ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ
FOR CITATION
Влияние уровней напряжения и углов их включения в многоуровневом инверторе на структуру спектра его выходного напряжения / Е.Е. Миргородская, Н.П. Митяшин, Ю.Б. Томашевский, А.Ю. Мирошниченко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». — 2019. — Т. 19, № 4. — С. 120—131. DOI: 10.14529/power190414
Mirgorodskaya E.E., Mityashin N.P., Tomashevsky Yu.B., Miroshnichenko A.Yu. Influence of Voltage Levels and Angles of the Multilevel Inverter Level Switching on the Structure of Its Output Voltage Spectrum. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Power Engineering, 2019, vol. 19, no. 4, pp. 120-131. (in Russ.) DOI: 10.14529/power190414
