CC BY
54
УДК 550.8.056
Ю.Н. Васильев
Влияние тупиковых пор на механизм фильтрации газа в пористой среде
В работе [1] выведено новое уравнение фильтрации, учитывающее влияние погребенной воды и тупиковых пор на движение газа в продуктивном пласте. Применительно к случаю радиальной фильтрации уравнение имеет вид:
dp
dt
K 0
цХаф1
^ poФ2 тф!
(1)
где p - давление газа, p = p (t, r); t - время; r - радиальная координата; K0 - коэффициент проницаемости, определенный по керну при условиях, когда его значение
Ключевые слова:
фильтрация газа, тупиковые поры, проточные поры.
Keywords:
gas filtration, one-side open pore, flowing-through pores.
не зависит от градиента давления — (аппроксимирующее уравнение:
dr
K = -
к
1 + a exp I -b
1 dr/ dr
(2)
где K - коэффициент проницаемости в обводненном керне или в керне, содержащем
8р1
конденсат, зависящий от градиента давления); a, b,-- константы в аппроксимирую-
dr
щем уравнении (2); д - коэффициент вязкости газа в пластовых условиях; X - константа, имеющая размерность, обратную давлению, в уравнении состояния газа р = CeXp (р - плотность газа, C - константа), используемом для линеаризации уравнения фильтрации; д - знак частной производной; а - газонасыщенность пористой среды; ф1 - коэффициент абсолютной пористости проточных пор; ф2 - коэффициент абсолютной пористости тупиковых пор (ф = ф1 + ф2 - коэффициент абсолютной пористости); р0 - начальное пластовое давление; т - общий период разработки месторождения.
В работе [1] показано, что значение коэффициента проницаемости K0, определенное в лабораторных условиях, закономерно использовать только вблизи работающей скважины - на расстоянии нескольких метров (в отдельных случаях десятков метров) от оси скважины. В остальном массиве продуктивного пласта коэффициент проницаемости зависит от градиента давления.
Градиенты давления в работающей скважине уменьшаются примерно обратно пропорционально расстоянию от оси скважины. В работе [1] показано, что на расстояниях нескольких десятков метров они становятся меньше тех минимальных значений, при которых определяются коэффициенты проницаемости в лабораториях. Значит, обоснованно можно утверждать следующее: чтобы вызвать движение по проточным порам и разблокировать тупиковые, требуется создать градиенты давления, равные или большие тех минимальных градиентов, при которых определяются значения проницаемости водо- или конденсатонасыщенных кернов. Область фильтрации газа через водонасыщенную пористую среду при градиентах ниже минимальных, регламен-
№ 3 (23) / 2015
VGN-3-23-2015-v24.indd 3
21.08.2015 9:59:24
4
Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ
тируемых стандартом по определению проницаемости, к настоящему времени не изучена.
Ввиду различных размеров суженных перетоков между порами (проточная-проточная, тупиковая-проточная) градиенты давления от начала до полного их разблокирования будут представлять собой некоторый промежуток, в котором проницаемость зависит от градиента. В первом слагаемом правой части уравнения (1) экспонента, зависящая от градиента давления, моделирует это свойство; второе слагаемое характеризует тупиковые поры как постоянный источник, из которого газ при падении давления подается в проточные поры.
Большинство пор блокировано водяными (или конденсатными) пробками. Чтобы разблокировать тупиковые поры и вызвать движение по проточным, необходимы градиенты давления, превышающие те, которые оцениваются по используемой в настоящее время модели. При пуске газовой скважины в работу движение газа в сторону скважины происходит из области, ограниченной цилиндром, радиус основания которого равен внутреннему радиусу скважины, а высота - толщине пласта, и цилиндрической поверхностью той же высоты с подвижным радиусом, на которой область значений градиента давления обеспечивает вскрытие водяных пробок как между проточными, так и между тупиковыми и проточными порами. Поскольку эти градиенты ввиду различных размеров пережимов между порами принимают разные значения, группирующиеся вокруг наиболее вероятных, то подвижный объем представляет собой коаксиальный цилиндр с размытыми внешними стенками.
Если средний радиус такого подвижного цилиндра возрастает при постоянном дебите скважины, его перемещение замедляется обратно пропорционально квадрату данного радиуса. Так что ненаучное понятие «зоны влияния» газовой скважины при известных параметрах пласта и свойствах насыщающих его флюидов можно оценить применительно к фиксированному времени работы скважины как имеющее даже физический смысл. Пластовое давление при работающей скважине на всем протяжении подвижного радиуса будет выше, чем при расчете по традиционно используемой мо-
дели, и, начиная с конца его до контура питания, останется постоянным.
Влияние на процесс фильтрации второго слагаемого (1), характеризующего наличие тупиковых пор, можно показать на примере решения самой простой задачи нахождения закона изменения пластового давления p при стационарной фильтрации. Если подходить строго, то осуществить такой процесс в реальных условиях невозможно, но, однако, в настоящее время в первом приближении он моделируется.
Поскольку на данный момент отсутствуют экспериментальные данные для построения аппроксимирующей функции
1
1 + „ exp I -b
1 dr/ dr
входящей в правую часть уравнения (1), можно использовать то обстоятельство, что в радиусе нескольких десятков метров от оси скважины она будет равна единице. Тогда уравнение (1) будет выглядеть следующим образом:
dp 1 d
dt ^ r dr
r di К
(3)
K 0 p0 Ф2
где x =-----; у =----,
тф!
для установившегося движения:
i L f r± Г D = 0,
r dr l dr J
(4)
где D = y/%.
Граничные условия: если r = rc, то p = pc; если r = RK, то p = рк, где rc, RK - радиусы скважины и контура питания соответственно; pc, pK - давления на скважине и контуре.
Решением уравнения будет функция
(Р - Pc )ln —
rc
P = Pc +-------R------+
ln R
r
(R2k- r,2)ln --(r2- r,2)ln R D rc r„
ln R
(5)
r
№ 3 (23) / 2015
VGN-3-23-2015-v24.indd 4
21.08.2015 9:59:24
Проблемы разработки и эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений
5
Значение коэффициента D
р0 ф2 |Аа
~Г' ~к7
увеличивается по мере возрастания глубины залегания продуктивного пласта, так как обычно в этих случаях увеличиваются значения таких параметров, как начальное пластовое давление p0, доля тупиковых пор в общей открытой пористости, вязкость газа, и снижается проницаемость пласта K0. Так, значение произведения (p0T), равное примерно 2p0/(pK + pc), возрастает в процессе разработки больше чем в 20 раз при падении пластового давления в 10 раз; с уменьшением проницаемости резко возрастает доля тупиковых пор в общей открытой пористости. По графику, построенному Б.И. Тульбовичем [2], она линейно снижается в зависимости от логарифмического нарастания проницаемости (см. таблицу).
Расчеты показывают, что в начале разработки залежей сеноманского газа коэффициент D равен 2,3 10-3 Па/м2, при снижении пластового давления до 20 105 Па он увеличивается до 11,9 10-3 Па/м2. На рисунке приведены графики зависимости давления от радиуса, построенные по формуле (5).
Как отмечалось ранее, вблизи скважины градиент давления оказывается большим, чем
при логарифмическом нарастании давления. Если вместо давленияp в уравнение (3) ввести функцию П = П(г, t) по соотношению
p = П + yt,
(6)
то уравнение (2) становится однородным:
5П 1 д ( 5ПФ dt ~Xr dr 1Г dr )'
Уравнение (7) в частных производных подстановкой Больцмана может быть преобразовано к обыкновенному дифференциальному уравнению введением переменной 4, зависящей от r и t по соотношению 4 = r2/(4%t):
^ d42
+(1+о dd^ = 0.
d 4
(8)
При обработке результатов исследования скважин в нестационарном режиме используется решение уравнения (8) относительно давления p. Физическая постановка задачи заключается в следующем: найти изменение давления как функцию расстояния от оси скважины r и времени t с начала пуска скважины с постоянным дебитом Q*. Пуск осуществляется после полного восстановления давления в зоне расположения скважины до начального давления pH.
В переменных r и t начальное и граничное условия формулируются следующим образом: если t = 0, то p = pH; при t > 0 и r ^ 0 дебит скважины1 Q* = const (рассматривается приток газа к линейному стоку). Для независимой переменной 4 = r2/(4^t) эти условия будут таковыми:
если t = 0, то 4 = ®, а p = pH. (9)
Чтобы использовать решение уравнения (3) для обработки исследования скважины в нестационарном режиме, необходимо для функции П сформулировать начальное и граничные условия, которые бы совпадали с условиями (9) для функции p. При r = rc объемный
График зависимости пластового давления от радиуса (см. (5))
Здесь и далее все обозначения со звездочкой в нижнем индексе указывают на то, что физическая величина рассматривается при стандартных условиях.
Доля тупиковых пор в общей открытой пористости [2]
Проницаемость, мД 10 50 100 200 500 600 1000
Относительное содержание тупиковых пор в общем объеме открытых пор 0,8 0,56 0,5 0,42 0,30 0,28 0,22
№ 3 (23) / 2015
VGN-3-23-2015-v24.indd 5
21.08.2015 9:59:24
6
Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ
расход на забое скважины Q = g/p, где g по условию задачи - постоянный массовый расход; p - плотность газа при забойных условиях. При стандартных условиях тот же расход Q* = s/Р*, следовательно
Q = Q*p*l Р.- (10)
менными. После первого интегрирования получаем:
Щ Ce-^_
'1 •
^ 1 |
(16)
Используя граничное условие (15) и имея в виду, что если £ = 0, то e-£ = 1, находим
Линейная скорость фильтрации на цилиндрической поверхности с радиусом r = rc
Q _ aq*
V = —
2nrh
2%rchpc
(11)
. p* zT
где A =-----, h - толщина пласта.
z*T*
По закону Дарси та же скорость
Ко dp
V = -
ц dr
(12)
Приравнивая правые части выражений (11) и (12), получаем:
r p
сг (
dp
dr
Ay-Q, 2%K0h'
(13)
Правая часть равенства (13) имеет постоянное значение, следовательно, и произведение
dp
dr
для каждого радиуса условно мож-
но считать значением постоянным, так как при 0 < r < rc никакого дополнительного притока в скважине нет.
Используя экспоненциальную аппроксимацию уравнения состояния газа [3], можно показать, что
dp
dr
AyXQ, 2nK0h '
(14)
где размерность константы X обратна размерности давления. Но, принимая во внимание ра-
5П dp
венство (6), имеем: — = ——.
dr dr
Следовательно,
дЛ
dr
= 2
5П
5^
=2 ^ 4%t
S| ^ • (15)
Уравнение (8) - обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися пере-
r =1
r
r
AyXQ* 4 nK0 h
(17)
В действительности найденное значение константы С1 верно не для r = 0, а для сколь угодно малого значения r при условии, что дебит Q* будет сохраняться постоянным. Но и в используемом в настоящее время решении фактически делается такое же допущение.
Далее интегрируем уравнение (16) от текущего переменного значения функции П, которое после пуска скважины с дебитом Q* будет снижаться от рн. В правой части интегрирование следует осуществить от некоторого текущего значения £, при котором давление равно П, до бесконечности, что соответствует граничному условию: если £ = да, то П = Пн = рн.
П1п = cJt" Y ^ (18)
п, - П=С,[-ЯД-?)]. (19)
Или pH - p = C [- Et (- £)] - \yt. (20)
Упрощая решение, окончательно получаем:
Рн - Рн (t)
AyXQ, 4nK0 h
ln
' 2,246%t ^
(21)
где рз - забойное давление.
Необходимо обратить внимание, что в отличие от используемой в настоящее время формулы в параметр х входит делителем коэффициент не общей открытой, а проточной пористости ф1, слагаемое же yt пропорционально отношению коэффициентов тупиковой и проточной пористости.
Принципиальный вывод, который можно сделать, анализируя результаты настоящей работы, заключается в том, что необходимо более четко разграничивать функции проточных и тупиковых пор в процессе фильтрации газа в пористой среде с погребенной водой или на-
№ 3 (23) / 2015
VGN-3-23-2015-v24.indd 6
21.08.2015 9:59:25
Проблемы разработки и эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений
7
личием жидких углеводородов, которые образуют между порами блокирующие жидкостные пробки.
Эффект работы тупиковых пор как постоянных источников не фиксируется в лабораторных опытах по определению проницаемости, а в реальных условиях, особенно для низкопроницаемых коллекторов, его значение в процессе фильтрации может оказаться весьма существенным, даже определяющим. Поэтому при моделировании фильтрационных процессов газа через пористую среду необходимо обязательно оценивать степень влияния массы газа в тупиковых порах на характер распределения давления.
Список литературы
1. Васильев Ю.Н. Новое уравнение фильтрации, учитывающее влияние погребенной
воды и тупиковых пор на движение газа в продуктивном пласте / Ю.Н. Васильев // Вести газовой науки: Проблемы разработки газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. -М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2014. - № 4 (20). -С. 4-15.
2. Михайлов Н.Н. Физика нефтяного и газового пласта (физика нефтегазовых пластовых систем): учеб. пос. - Т. 1 / Н.Н. Михайлов. -М.: МАКС Пресс, 2008. - 448 с.
3. Васильев Ю.Н. Математические основы обработки результатов газодинамических исследований скважин / Ю.Н. Васильев,
Н.И. Дубина. - М.: Недра-Бизнесцентр, 2008. -116 с.
№ 3 (23) / 2015
VGN-3-23-2015-v24.indd 7
21.08.2015 9:59:25
