CC BY
58
РАДИОФИЗИКА
УДК 539.194
В. С. Гречишкин, А.А. Шпилевой, В.А. Дыкин
ВЛИЯНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА СИГНАЛЫ ЯКР
И БИФУРКАЦИОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
При анализе слабых сигналов ЯКР на предельных расстояниях в минах применены современные методы выделения сигналов из шумов. Из уравнений Фоккера - Планка показано, что имеет место дисперсия сигналов под шумом и переход линейчатого спектра ЯКР в сплошной при отношении сигнал/шум 0,05. С помощью оператора времени для сплошного спектра получено соотношение неопределенности в классической физике, из которого следует невозможность детектирования мин по гексогену на расстояниях более 35 см и по тротилу более 17 см. Использованы точки бифуркации для случая нарушения симметрии.
Modern methods of signal extraction were applied in the analysis of weak mine NQR-signals at breaking distances. Fokker-Planck equation proves that there is a signal dispersion under the noise and the transformation of the NQR line spectrum into the continuous one at the SNR of
0.05. With the help of time-operator for a continuous spectrum classical physics uncertainty principle was deduced. The uncertainty principle shows the impossibility of mine detection by hexogen at the distance of more than 35 cm and by trotyl at the distance of more than 17 cm. Bifurcation points were used for the case of symmetry breakdown.
Введение
В данной статье, адресованной прежде всего конструкторам приборов, рассмотрена одна из проблем, связанных с обработкой слабых сигналов под шумом. При низких отношениях сигнал/шум, когда SNR достигает некоторого порогового значения, происходит дисперсия сигнала. В результате сигнал распадается на несколько сигналов и получить исходный становится невозможным. Эта проблема актуальна не только в радиотехнике, но также во многих других областях физики, в частности в космологии.
Впервые с этой проблемой вплотную столкнулись при разработке ЯКР-спектрометров для обнаружения взрывчатых веществ на больших расстояниях. Максимальное удаление прибора, при котором сигнал еще фиксировался, составило всего 35 см. До сих пор этот придел никому не удалось преодолеть. До настоящего времени данная проблема
Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 3. Физико-математические науки. С. 27—35.
28
не была достаточно полно освещена в печати, хотя ее существование значительно ограничивает обработку слабых сигналов под шумом. Одно из первых упоминаний об этой проблеме можно найти в книге И. Пригожина «От существующего к возникающему», где он описывает влияние внешних шумов на сигналы, а также указывает на существование критического значения дисперсии сигнала, при превышении которого происходит срыв решения.
В рамках этой статьи рассмотрен ряд примеров, в которых наблюдается вышеупомянутое явление, а также произведено его теоретическое обоснование.
1. Принцип неопределенности в классической физике
Для анализа сигналов под шумом при наличии дисперсии сигнала применим современные методы в теории необратимых процессов. В случае К-потоков (названных так в честь Колмогорова) оператору Лиувилля можно сопоставить такой эрмитов оператор Т, что их коммутатор равен константе [7]:
[L,T]=(LT - TL ) = 1, (1)
где L = i ddt ’ T =
Введем оператор Т, соответствующий возрасту или внутреннему времени, который удовлетворяет соотношению U-1TU = T + 1, где U = exp(-iLt). Оператор Т допускает спектральное разложение и принимает собственные значения от -ж до +».
Поскольку оператор Лиувилля соответствует производной по времени L = id/dt, то сопряженный оператор соответствует времени T = t. Для двух некоммутирующих операторов имеет место соотношение неопределенности:
ALAT = У2 [LT], (2)
Из соотношения (2) получаем для сплошного спектра оператора L
AfAt = Уг (3)
т. е. распределение частот и времени не могут одновременно описываться дельта-функциями, а соотношение (3) есть впервые полученное соотношение неопределенности в классической физике.
Когда SNR падает и достигает некоторого предельного значения, то линейчатый спектр сигнала под шумом переходит в сплошной. При этом из соотношения (3) следует невозможность детектирования сигналов на этих частотах. Предельные расстояния, соответствующие точкам бифуркации для различных частот сигналов ЯКР, приведены в таблице.
Точки бифуркации и предельные расстояния детектирования для разных веществ
Вещества Частота, кГц Av, Гц Т*2, мс SNR R, см
Гексоген V + = 5241 440 1,14 0,071 17,61
v + = 5192 200 2,5 0,05 25
v + = 5047 450 1,11 0,072 17,36
v-=3448 600 0,83 0,079 15,82
v-=3410 350 1,43 0,065 19,23
v-=3359 480 1,04 0,075 16,67
v о =1782 500 1 0,076 16,45
v 0 =1688 330 1,52 0,063 19,84
ТНТ v 0 = 843 417 1,2 0,07 17,86
Октоген v + = 5300 1200 0,42 0,131 9,54
v + = 5063 1400 0,36 0,152 8,22
v-=3737 630 0,79 0,085 14,71
v-=3623 1700 0,29 0,195 6,41
v 0 =1563 860 0,58 0,087 14,37
v 0 =1440 730 0,69 0,083 15,06
29
2. Поведение сигнала ЯКР под шумом
Величина фазовой ошибки определяется отношением SNR, и если это отношение ниже определенной величины (SNR < 0,5), наблюдается быстрое ухудшение работы синхронного или квадратурного детектора и последующего накопителя, а начинающиеся срывы синхронизма являются причиной возникновения импульсного шума. Если фаза опорного напряжения стабильна и задается напряжением синтезатора, то фаза сигнала с шумом с уменьшением SNR имеет ошибку, что резко ухудшает процесс накопления.
Сложности с выделением сигналов на больших расстояниях возникают из-за дисперсии сигнала под шумом при низких отношениях сигнал-шум, при этом происходит уширение линии спектра и сдвиг расстройки в область низких частот.
2.1. Анализ сигнала ЯКР под шумом с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова
Теоретическое обоснование наличия дисперсии следует из решения уравнения Фоккера —Планка —Колмогорова. Для вероятности фазовой ошибки можно получить следующие уравнения [8]:
_d_
d<p
dP(^) + P(9)(a(asi<p) + в) d<p
= 0, (4)
30
4 A
-п < р < п, а =-------, где А — SNR, = kT ,
кЖ 0
Р = 4(^-^о)
к2Жо
Р(р) = C exp(a cos(p) + Рр)
Р
1 + D | exp(-a cos(x) - px)dx
(5)
t ^ да ^ Р(я) = Р(-я), (6)
К
I P(p)dp = 1,
[exp(-2pK) - l]j| exp[- (a cos(x) + Px)dx]j , (7)
C =
К
| exp(a cos(p))dp
Р = 0, если a = a0, D = 0,
= [2К 0(a)]1 , где 10 (a) — функция Бесселя.
Таким образом, Р(р) = exp(acos(p))[2Kl 0(a)]1; 10(a) = [2яа]1/2 exp(a)
^ Р(р) = exp[a(cos(p) - 1)](2к/a)-1/2
При наличии расстройки решение несколько усложняется. При малом отношении SNR зависимость фазовой ошибки от SNR была нелинейной, а дисперсия фазовой ошибки о2ф = 1/SNR. Таким образом, из-за дисперсии сигнал настолько искажается, что даже большое количество накоплений не даст его реального вида. Результаты показывают, что линии ЯКР уширяются равномерно. Нарушения симметрии не наблюдается. Данные теоретические выкладки подтверждаются лишь частично опытными результатами.
2.2. Точки бифуркации
Почти все системы в физике можно описать математически с помощью дифференциальных уравнений. В эти уравнения часто входят специальные параметры, которые характеризуют саму систему, например индуктивность, емкость и т. д. При проектировании физической системы (например, какого-то прибора) основной задачей является нахождение возможных значений этих параметров, при которых будут обеспечены требуемые динамические характеристики системы. Также необходимо решить задачу устойчивости физической системы.
Решениями дифференциальных уравнений, которые описывают физическую систему, являются фазовые портреты. В зависимости от значений параметров системы характер решения может резко изменяться, что приводит к появлению новых решений, часть из которых оказываются неустойчивыми. Такие значения параметров называются бифуркационными, или просто точками бифуркации. Таким образом, под бифуркацией будем понимать качественное изменение фазового портрета. Проведем классификацию точек бифуркации.
1. Простейшими бифуркациями на фазовой плоскости могут служить переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных. К ним относятся: а) состояние равновесия седло — узел; б) сложный фокус; в) сепаратриса, идущая из седла в седло или из седла в то же самое седло, — сепаратрисная петля; г) двойной предельный цикл.
Среди других типов бифуркаций особый интерес вызывают так называемые локальные. Это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы. Простейшими и наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и периодических движений.
2. Бифуркации состояния равновесия. Основными бифуркациями состояния равновесия являются следующие: 1) слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия; 2) рождение предельного цикла из состояния равновесия; 3) рождение из одного равновесного состояния трех состояний равновесия (спонтанное нарушение симметрии).
3. Бифуркации рождения периодического движения. Если говорить об исчезновении периодических движений, то данный тип бифуркаций можно разбить на три группы. К первой группе относятся такие бифуркации, при которых период движения Т ^ * (или частота w ^ 0) в точке бифуркации, а амплитуда колебания около среднего значения к нулю не стремится. Ко второй группе относится бифуркация исчезновения устойчивого периодического движения в момент его слияния с неустойчивым периодическим движением — так называемая касательная бифуркация. Бифуркации третьей группы встречаются, как правило, в системах, зависящих от двух и более параметров.
Применим теорию бифуркаций к сигналам ЯКР и найдем точку бифуркации для нашей системы, используя метод матричного набора. Сигнал ЯКР представим в виде зависимости амплитуды от частоты. В качестве параметра в нашей системе выступает отношение сигнал/шум (SNR). На рисунках 1, 2 видно, что при отношении сигнал/шум порядка 0,05 линия ЯКР начинает уширяться. Появляются биения на низкочастотном крыле линии ЯКР, которые показывают, что система при больших флуктуациях не сразу находит нужное решение, пока не победит какая-то флуктуация. Таким образом и возникает необратимость.
31
32
Рис. 1. SNR = 0,055
Рис. 2. SNR = 0,049
Особенно хорошо это видно на рисунке 2, когда при малейшем понижении отношения сигнал/шум решение срывается. Оно просто отсутствует. Все линии явно асимметричны, что и говорит о нарушении симметрии. Процессы в системах при нарушении симметрии впервые изучил П. Хиггс [9]. Однако он рассматривал квантовые явления. В условиях больших флуктуаций можно рассмотреть чисто классический случай, когда мы ничего не говорим о квантовой теории. Мы будем рассматривать классические поля.
В качестве исходного сигнала взят сигнал от мины, на который накладывается шум и делается попытка выделить сигнал из-под шума. Из графиков видно, что при SNR < 0,05 возникают дополнительные максимумы. Происходит нарушение симметрии при больших флуктуациях, решение система не может однозначно выбрать. Если ввести в Лагранжиан два скалярных поля квадрупольного взаимодействия и векторное поле сигнала ЯКР с шумами, то при нарушении симметрии могут возникать массовые фотоны, которые и поднимают крыло линии ЯКР на низких частотах. Это аналог явления Хиггса. При изменении качества оцифровки первичного сигнала наблюдался сдвиг точки бифуркации.
На рисунках 1, 2 хорошо видны переходные явления в виде виглей, что обусловлено неустойчивостью системы после точки бифуркации.
2.3. Уравнение Ланжевена
Главным образом процесс образования бифуркации обусловлен влиянием флуктуаций, как внутренних, так и внешних. Под внутренними мы подразумеваем флуктуации, порождаемые самой системой. Как правило, эти флуктуации малы. Поэтому особый интерес представляют внешние шумы, от которых и зависят параметры системы. Следовательно, эти параметры также являются случайными. Одним из первых, кто попытался математически описать влияние внешних шумов, был Ланжевен, который занимался анализом броуновского движения. Согласно Ланжевену, движение частицы определяется не только
скоростью, но также и шумом. Если за х обозначить флуктуирующую величину, а ¥(х,Ь) — внешний шум, то можно получить следующее уравнение [8]:
dX/dt = V (x) + F (x, t)
(S)
где У(х) имеет смысл скорости изменения величины х. Данное уравнение называется обобщенным уравнением Ланжевена. Рассмотрим несколько примеров использования уравнения Ланжевена. Пусть дана некоторая макроскопическая система, на которую действует гауссов белый шум. Тогда уравнение Ланжевена примет виц
dX/dt = -x 3 + у2 - х
(9)
где у — гауссов белый шум.
Рис. 3. Стационарные решения хс уравнения как функция параметра у сплошная линия — устойчивое решение; штриховая — неустойчивое
33
При у = 2 возникает и устойчивое стационарное решение x = 0, и неустойчивое решение x = 1. В отличие от рассмотренного ранее уравнения Фоккера — Планка, которое только качественно описывает расплывание сигнала под шумом, уравнение Ланжевена позволяет найти то предельное значение SNR, при котором происходит срыв решения. Применим уравнение Ланжевена к сигналу ЯКР под шумом. Оно дает следующий результат:
х = у
(10)
где х — фаза сигнала, у — марковский шум.
В точке у = 2 возникает неустойчивое решение х = 1. Такое значение Y, при котором происходит срыв решения, называется точкой бифуркации. Линии в спектре FFT расщепляются, уширяются, появляется новые, следовательно, вероятность достоверного обнаружения (success rate) сильно падает. В случае же с ITMPM этого не происходит — вероятность достоверного обнаружения 97 %.
34
Два скалярных поля квадрупольного взаимодействия ф1 и ф2 и векторное поле сигнала ЯСТ с шумами А¥ подставим в лагранжиан [9]:
L = -2(р)2 -2(7р2)2 -v(pl2 +р2)-4FmvFuv, (11)
где V р=д р - eA р.; V р. = д р. + eA р; F = д A - д A ; е — кон-
^ и ' 1 и ' 1 и '2' и '2 и '2 и '1' UV и v v и
станта связи ЭМП и квадрупольных уровней энергии.
Если происходит нарушение симметрии, то v'(p02 ) = О, v''(р(. )> О . Тогда после замены переменных
B = A -(eрО)-1 д (ЛрЛ, G =д B -д B = F , (12)
U и V ' О / и \ >1 /' и о U v v и Uv ' '•/
получим
диBu = О ; 3vGuv + e2рО2Bu = О . (13)
Из уравнения (13) следует векторная волна, кванты которой имеют массу еф0. Эти кванты уже не есть ЯЖБ. Они способствуют поднятию низкочастотного крыла линии и срыву решения при SNR < 0,5. Поскольку в минах нет токов (j = 0), нет зарядов (divE = 0), то там существуют свободные электромагнитные волны:
V2 E = us—, V2 H = us3-H- , (14)
дї2 Зї2
где — магнитная проницаемость взрывчатого вещества, є — диэлектрическая проницаемость. Все это и создает сложную картину после точки бифуркации.
Методы LPSVD и ITMPM дают примерно одинаковые результаты в локальном Я№, обеспечивая значительное повышение информативности и вероятности достоверного обнаружения до 97—99% для расстояний до 25 см, что значительно выше, чем при использовании других методов («электронный нос», быстрый нейтронный анализ).
Наличие ошибок в фазе при изменении расстояний в локальном ЯЖБ из-за падения SNR делает нецелесообразным применение фазовых импульсных последовательностей и композитных импульсов, которые под шумом искажают форму спектральной линии. Pабота с расстройкой в программе SQRC становится затруднительной, так как расстройку нельзя сделать оптимальной.
В локальном ЯСТ SNR падает как 1/r2, где r — расстояние от образца до поверхностной катушки, т. е. на расстоянии 25 см SNR падает в 25 раз и составляет 0,2, так что для применения методов LPSVD и ITMPM (SNR = 0,5) требуется предварительное накопление сигнала (10 накоплений), но на расстоянии 12 см в использовании накопителя нет необходимости, что существенно упрощает аппаратуру. Такой эксперимент был выполнен. Поскольку дисперсия — это второй момент линии, то на расстоянии 20 см линия ЯЖБ в RDX уширяется в 4,2 раза, а на расстоянии 30 см — в 5,5 раз и становится 1,6 кГц, т. е. нужно сокращать
длительность возбуждающего импульса в 5 раз, увеличивая его мощность в 5 раз, что и делалось в наших экспериментах. Легко показать, что на расстояниях более 10 см эту ошибку уже нельзя не учитывать и требуется подстройка фазы опорного напряжения. Использование параметрических методов спектрального оценивания и подстройки фазы с увеличением расстояния до вещества позволило повысить вероятность достоверного обнаружения до 99,6 %. Аналогичные эффекты можно наблюдать при вращении ССЬ3-групп в ЯКР, где под шумом нельзя применять Фурье-преобразование, а работа с расстройкой приводит к росту дисперсии.
35
Заключение
Рассмотренная проблема является одной из важнейших проблем в физике, поскольку накладывает сильные ограничения на обработку слабых сигналов под шумом. На сегодняшний день нет четких алгоритмов решения этой проблемы, хотя она заслуживает пристального внимания. Данная проблема носит фундаментальный характер и является одним из ограничений законов природы [10].
Однако несмотря на существующие трудности в последнее время развитию ЯКР уделяется большое внимание [11].
Список литературы
1. Grechishkin V.S. // Appl. Phys.1992. Vol. A 55, P. 505-507.
2. Grechishkin V.S. // Appl. Phys.1994. Vol. A 58. P. 63 — 66.
3. Гречишкин В.С., Синявский Н.Я. и др. // Известия вузов. Физика. 1992. № 7.
С. 58—61.
4. Гречишкин В.С. // Ядерные квадрупольные взаимодействия в твердых телах. М.: Наука, 1973.
5. Гречишкин В.С., Анферова Л.В. // Специальная техника. 2004. № 3. С. 42 —49.
6. Hua Y., Sarkar T.K. // Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped / Undamped Sinusoids in Noise, IEEE Trans. Acoustics.
7. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука. 1985.
8. Прокис Дж. // Цифровая связь. М.: Радио и связь. 2000.
9. Higgs P.W. // Phys. Rev. Letters. 1964. Vol. 13. № 16. P. 508—509.
10. Гречишкин В.С., Шерстнева Л.В. // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 4. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта,
2006. С. 86—97.
11. Хатымова Л.З., Хатымов Р.В., Мазунов В.А. // История науки и техники.
2006. № 1. С. 17—27.
Об авторах
В.С. Гречишкин — д-р физ.-мат. наук, проф., заслуженный деятель науки РФ, РГУ им. И. Канта, grechishkin@albertina. ru.
A. А. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
B.А. Дыкин — студ., РГУ им. И. Канта.
