Влияние случайных вариаций факторов на результаты факторного анализа на базе мультипликативных индексных моделей Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Суровицкая Г.В., Балашова Е.А. ВЛИЯНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВАРИАЦИЙ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА НА БАЗЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ИНДЕКСНЫХ МОДЕЛЕЙ

В статье аналитическим методом и методом статистического моделирования исследуется влияние случайных вариаций факторов на результаты факторного анализа, проводимого на базе мультипликативных индексных моделей, в которых общий индекс вычисляется как произведение частных индексов по рассматриваемым факторам.

В настоящее время актуальной проблемой повышения эффективности управления системой менеджмента качества (СМК) университета является создание моделей ее качества. Перспективным представляется построение мультипликативных индексных моделей качества СМК. Проведенные авторами исследования показали, что в зависимости от состава исходных данных могут быть построены следующие модели качества СМК университета:

- двухфакторная (в случае использования данных справочно-аналитической информационной системы «Вузы России»);

- трехфакторная (в случает использования данных самооценки и БИОТ-анализа, полученных с использованием методик, рекомендованных разработчиками типовой модели системы качества образовательного учреждения);

- четырехфакторная (в случае диагностирования СМК комплексным методом на основе требований ГОСТ Р ИСО 9001-2008).

В случае использования индексных моделей качества СМК, в анализе причин несоответствий может быть использован отличающийся сравнительной простотой индексный метод факторного анализа.

Характерной особенностью индексного метода факторного анализа является нетранзитивность, проявляющаяся в том, что результаты оценки приращений по факторам зависят от порядка следования индексов сомножителей [1]. Для обеспечения достоверности результатов применения индексного метода факторного анализа необходимо исследовать влияние случайных вариаций факторов на результаты факторного анализа.

Аналитический способ оценки влияния случайных вариаций факторов

Рассмотрим влияние погрешностей задания индивидуальных индексов на примере задачи исследования условных темпов роста, в которой идеальное значение общего темпа прироста задается формулой [2]:

агу = 1У-1 (1)

а темпы прироста по факторам выражениями:

за счет фактор а - А1уа = Iа — 1 , (2)

за счет фактора Ь - А1уЬ = 1^1 — 1а , (3)

за счет фактора к - Мук = 1а1ъ,.. .,1к- 444-1 ' (4>

где 1у - исследуемый индекс; 1а , 1ь , 4 - индексы значений факторов а , Ь , к соответствен-

но.

Сложность аналитических выкладок позволяет исследовать влияние двух факторов. При этом если индексы определяются с некоторыми погрешностями, будут верны формулы:

йуа=1а+т~ Ь (5)

+£,(')№ +6(0-1], (6)

где предполагается, что погрешности представления темпов прироста по факторам а и Ь , т.е.

Д/у, , представляют собой некоторые случайные функции времени ^а(?) и ^(?) с известными законами распределения плотности вероятности и нулевым математическим ожиданием.

С учетом сказанного в случае оценки темпа прироста по фактору а получим математическое ожидание функции № :

т т

м{ыуа} = Ц[1а-\\л+Цшл = 1а-1+м{ш}=1а-\ • п>

1 о 1 о

1 т

ожидание функции О(?) равно нулю, т.е. М{<0(?)} = — \Оа(?)^? = 0 ,

Поскольку математическое ожидание функции (?) равно нулю, т.е. М\да (?)} =—J (?)а? = 0 , то ре-

1 0

зультаты не будут иметь систематического смещения.

В случае оценки темпа прироста по фактору Ь имеем математическое ожидание функции Д/у, • т ,т 1ЧГ т т

Л 1 ґ Т 14і т 1

М{^уь} = т\(/“7* “7“)Л + 4^1+ у!&(0* + т 0 т 0 т 0

1 т

- \°а О) аЬ О№■

т

т

(8)

0

Так как математические ожидания функции £ (?) и функции ^(?) равны нулю, то второе и третье слагаемые в формуле (8) тоже равны нулю. Учитывая это, запишем:

1

м{муЬ} = іаіь-іа+-\ш-ШЛ, (9)

т*

1 0

т.е. к идеальному результату (3) добавляется некоторое случайное смещение, представляемое корреляцией между факторами а и Ь . Если функции О (?) и О (?) коррелированны, то будет появляться некоторая погрешность. Размером этой погрешности в большинстве случаев можно пренебречь, поскольку аа (?) << - и а (?) << -.

Определим далее соответствующие дисперсии, для которых:

1 т

D{^ya} = ^\Cit)dt=D{Q; (10)

T 0

1 1 2

=-\[hm+hm+m ■ m - m\ <*=

0

1 T 2 = ~J[[b(t) + 4a(t) '(Ib - 1 + 6(0)]<* =

0

T

= 1 J[[(t) + 2IJb(t) • 4a(t)[/b -1 + {„] + -1 + {„(t)]2Ъ.

T 0

Учитывая формулу (11) определим дисперсию:

D{Myb}=I2aD{%b}+2Ia(Ib -1 )КЛ +

2i T

+J£(?)• ^b2(?d + (Ib -1)2Dfe} + (12)

T 0

+J 7 J£(t )^b2(? №

где - коэффициент корреляции факторов а и Ь .

Как видно из формулы (12) в оценках дисперсий появляется смещение. Оценим его, полагая, что

_1) Т

£{4 }= Б{^ }= £{£} и, учитывая, что -(-Ь - ^(1 )сИ = 0 . Перепишем формулу (12) в следующем виде:

Т 0

£>{Д/*} =/’£>{£}+2/в(/*-!)£,* +

2I T

+-*•J^(t)^b2(t)dt + (Ib -1)2D{^}+ (13)

T 0

1 T

- J^2(?) •£t(t)dt.

0

Используя формулы (10) и (13), проведем в первом приближении сравнение формул для вычисления дисперсий:

дК,}=я{ф

0{^уЬ}=12М^ + 21а{1ь-\) + {1ь-\)2В{^ . (14)

Асимптотическая формула (14) дает основание утверждать, что при - > 1 и -ь > 1 , т.е. при возрастающих результативных показателях и относительно малых случайных вариациях индивидуальных индексов факторов, будет выполняться неравенство:

о{^Ф}>о{муа}.

Продемонстрируем это соотношение на конкретном примере, приняв, что -а = 1,- ; -ь = 1,3 ;

= 0,02 . Для таких данных получим П^Муа^ = 0,02 , а П^МуЬ | = 0,755 - различие более, чем очевидно.

В случае, если - < 1 и -^ < 1 для исходных данных -а = 0,8 и -ь = 0,7 при той же дисперсии получим

D{tiya} = 0fil и D{Myb} = 0,005, т.е. дисперсия

уменьшается.

Оценка влияния случайных вариаций факторов методом статистического моделирования Как показала практика, метод аналитического исследования не всегда приемлем в силу его сложности. На наш взгляд, предпочтительным является метод имитационного статистического моделирования с использованием математических пакетов, который позволяет помимо прямого получения оценок статистических показателей дополнительно учитывать особенности законов распределения случайных факторов. Проиллюстрируем это на примере трехмерного факторного анализа с использованием системы MathCAD. Рассмотрим MathCAD-программу для исследования влияния случайных погрешностей на оценки показателей абсолютного прироста при нормальном распределении вариаций по факторам.

1.Зададим исходные данные:

Ia := 1.1 Ib := 1.2 Ic := -3

N := 300 sigma:= 0.033 i := 0.. (N - 1)

Ia := rnorm(N, 1.1,0.033) Ib := rnorm(N, 1.2,0.033)

Ic := rnorm(N ,1.3,0.033)

AIai := (Iai - 1) AIbi := Iai • (Ibi - 1)

AIq := Iai • Ibi • (Ici - 1)

T T Ia =

T

Ib =

T Ic =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1.086 1.078 1.084 1.069 1.044 1.101 1.096 1.118 1.172 1.127

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1.202 1.184 1.202 1.173 1.198 1.192 1.201 1.259 1.198 1.185

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1.299 1.358 1.25 1.354 1.307 1.267 1.289 1.282 1.283 1.254

T

Ala =

Alb =

T

AIc =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.086 0.078 0.084 0.069 0.044 0.101 0.096 0.118 0.172 0.127

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.219 0.198 0.219 0.185 0.207 0.211 0.22 0.29 0.232 0.208

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0.39 0.457 0.326 0.444 0.384 0.35 0.38 0.397 0.397 0.339

2. Проведем анализ распределения по параметру Д1а :

V := Д1а

уаг(д1а) = 1.046 х 10“ 3

Обозначим число разрядов гистограммы:

Определим частоты попаданий показателей в разряды гистограммы:

Рисунок - 1 Гистограмма распределения Д1а и полигон нормального распределения

Аналогичный анализ по параметрам Д1Ь и Д1с дает, ^г(д1Ь) = О74 х 10 ^г(д1с) = -.177 х 10

гистограммы распределений, показанные на рисунках 2 и 3.

0.31

int upper

Рисунок 2 - Гистограмма распределения AIb и полигон нормального распределения

и

£ор

50

0.34

0.42

0.51

Рисунок 3 - Гистограмма распределения ДІС и полигон нормального распределения

Обобщая расчеты дисперсий по параметрам ДІа , АІЬ и ЛІС , отметим, что по мере увеличения числа учитываемых индексов дисперсия возрастает аналогично тому, что мы наблюдали при аналитических исследованиях.

Таким образом, проведенные в статье исследования влияния случайных вариаций факторов на результаты факторного анализа на базе мультипликативных индексных моделей позволили установить, что по мере увеличения числа учитываемых в модели факторов возрастает дисперсия погрешности представления темпов прироста по факторам.

Кроме этого, как было доказано на основе имитационного моделирования, в случае мультипликативных индексных моделей влияние случайных вариаций факторов сказывается в том, что в показателях погрешностей факторов происходит искажение законов распределения - появляются «хвосты» распределения. Вследствие этого по мере увеличения числа сомножителей в индексной мультипликативной модели закон распределения все более отличается от нормального.

1. Страж С. Индексные системы в анализе динамики результативных показателей // Вестник статистики. 1978. № 9.С. 29.

2. Теслюк И.Е. Статистика финансов: Учеб. пособ. - Мн.: Выш. шк.,1994, 224 с.

Заключение

ЛИТЕРАТУРА