Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 532.54

ВЛИЯНИЕ СКИН-ЭФФЕКТА НА КОНВЕКТИВНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ ПРИ МОДУЛЯЦИИ ГРАНИЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

© 2010 г. Н.С. Булгакова

Институт проблем геотермии The Institute of Geothermal Problems

Дагестанского научного центра РАН, of Dagestan Scientific Centre RAS,

пр. Шамиля, 39а, г. Махачкала, 367010, Shamil Ave, 39a, Makhachkala, 367010,

geoterm@iwt.ru geoterm@iwt.ru

Рассматривается свободная конвекция бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции градиента температуры около некоторого среднего значения. Ранее данная задача была решена в приближении малых частот модуляции. Показано, что модуляция равновесного градиента температуры может быть как стабилизирующим, так и дестабилизирующим фактором в сравнении со случаем отсутствия модуляции. Известно, что с ростом частоты модуляции у границ смеси образуются скин-слои, в которых концентрируются колебания градиента температуры и концентрации примеси. В данной работе путем сравнения результатов в случае приближения малых частот с результатами, полученными в более точной постановке, изучается влияние этих слоев (скин-эффект) на конвективную устойчивость механического равновесия смеси.

Ключевые слова: бинарная смесь, конвективная устойчивость, скин-эффект, модуляция градиента температуры, нейтральные кривые, частота и амплитуда модуляции.

Free convection of a binary mixture is considered in a horizontal cavity with modulation the temperature gradient near some mean its value. Earlier the given problem has been solved in approximation of small frequency of modulation. It is shown that modulation of equilibrium temperature gradient may be both stabilizing and destabilizing factor in comparison with a case of modulation absence. It is known that when increasing the modulation frequency at mixture boundaries skin-layers origin, where oscillations of temperature gradient and concentration of an admixture are concentrated. In the given work influence of these layers (skin-effect) on convective stability of mechanical equilibrium of a mixture is studied by comparison of results for a case of approximation of small frequencies with results, obtained for more exact formulation.

Keywords: binary mixture, convective stability, skin-effect, modulation of temperature gradient, neutral curves, frequency and amplitude of modulation.

Явление скин-эффекта в однокомпонентной жидкости изучено в [1]. При определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением. При колебаниях температуры на границах градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат. Модуляции градиента в основном сосредоточены в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эффект). При рассмотрении бинарной смеси плотно-стная неоднородность обусловлена как температурной, так и концентрационной неоднородностью. В данной работе рассматривается конвективная устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры.

В [2, 3] рассмотрена аналогичная задача для горизонтальной полости, заполненной пористой средой. При этом в качестве уравнения движения рассматривалось уравнение Дарси. Влияние силы инерции не учитывалось. Известно, что если проницаемость относительно велика, то становится существенным вклад, вносимый силой инерции и трением в самой жидкости (поправка Бринкмана). Для учета этих факторов вместо уравнения Дарси используется обобщенное уравнение Дарси [4]. При этом для поля скоростей на границах полости задаются свободные плоские границы [1].

В [5] задача решена при условии медленной частоты модуляции, в результате не учтено влияние скин-эффекта. Поэтому здесь путем сравнения решений задач в случае приближения малых частот модуляции и решения в более точной постановке изучается влияние скин-эффекта на устойчивость смеси в горизонтальной полости, на одной из границ которой температура меняется по синусоидальному закону с амплитудой Т0 и частотой w.

Постановка задачи

Рассматривается горизонтальная полость, заполненная бинарной смесью. Температура на границах, а вместе с ней и ее градиент модулируются с частотой w. Концентрация примеси на границах постоянна.

Систему уравнений конвекции бинарной смеси при отсутствии перекрестного эффекта (термодиффузия и диффузионная теплопроводность не существенны) можно записать в виде [1]

^ + (уУ)у = -±- Ур + уАч + §(/31Т + р2С)у а ро

+ = . (1)

— + чУ С = ВАС ¿мч = 0

где V - поле скоростей; р{) - характерная плотность среды, соответствующая средним значениям концентрации и температуры; р - давление в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего р$; г

вязкость; Р\ =—— {—^ ] и

РО \дТ )с,р

кинематическая

Ро

др

~дС

- коэффициенты температурного

т,р

и концентрационного расширения; % - температуропроводность; D - коэффициент диффузии; у - единичный вектор, направленный против поля тяжести.

Введем систему координат: ось x направим вдоль нижней границы слоя, а ось z - вертикально вверх.

Для определения границ устойчивости необходимо найти периодические и квазипериодические решения, разделяющие растущие и затухающие возмущения равновесия, системы дифференциальных уравнений (1) с граничными условиями: Т = Т±,

С = С, Iz = О,Т = То +7n sin wt, С = Сп \z = L ,

sV

dz

2

= О I z = О, L ,L - характерный размер по-

лости.

Приведенные граничные условия на вертикальную компоненту скорости у2 являются условиями свободных плоских границ. При этом = О означает, что конвекция не приводит к искривлению границ

слоя,

82v-

dz

напряжений на границах [1].

При механическом равновесии (v=0) установившееся решение системы

?L = zAT^ = DAC dt dt T = Th C = Ci | z = 0 T = T2 + T0 sin wt, C = C2 | Z = L

имеет вид 7 V = Ч\ - Az + Os(t.z). Cs = (\ - Hz. поправка Qs U. z) = Ql (z) sin wt + ü2 (z) eos wt,

где

A =

Ti -T,

2

B =

Q-C

2

L L

Qi(z) = Tq \_ishazcosaz + q2chazsin az_; ü2 (z) = Tq \]chccz sin az + q2sh az eos az _;

4\ =■

shaz eos az

42 =-

chazsin az

S S

S = sh2aLeos2 aL + ch2aL sin2 aL ; a = L

Рассматриваем малые возмущения равновесия. Подставив возмущенные величины Т3+Т\ С'Л. +С'.

р5 + р' в уравнения (1), взяв гоШЛ от 1-го уравнения и спроецировав полученные уравнения на ось О2, линеаризуем систему.

-Avz = vAAvz + gKxyiß? + ß2C), ot

dt { A dz ) z

— -B =DAC Д = J?1 i—

' Vz , ~ 2 д. 2 2 '

ox oy oz

dt

Запишем ее в безразмерном виде, при этом введем характерные масштабы: Ь - длины; А0Ь - температуры; %/Ь - скорости; Ь2/у - времени; Б^хЬ/О -РоХУ

концентрации; --давления.

dt

dt

м

(2)

t

R = gMRd=ßß2B0L4

Dv

V V

P=-,Pd=~:

X D

V ЬА

Используя для решения системы (2) метод Галер-кина-Бубнова, представим решение в виде

vz = elkr £ Wm <jin л- m z, Т = elkr I fm < jin ttmz,

m—1 m—1

со ^

С = é r kr =кхх+к2у.

(3)

m1

= 0 - условие отсутствия касательных

Подставляя (3) в (2), получим

к2

-RfnO-RdgnO^ о

к2 +

(4)

m= 1

(2 , 2 2 } р dgn Qwn О- (2 + ßn (0

где числа Прандтля; 77- безразмерная ампли-

туда модуляции; к - волновое число; Я,- числа Рэлея; /п , - соответственно амплитуды температуры, скорости и концентрации.

dQs (z, t)

dz.

Gmn = 2jsin Tanz sin mz 0

Qs - определена в (3).

Gmn = 2« Hi + q21mn + (q2 - qi)Jmt

+ €l + 42 Umn + (4l - Ч2)1тп 50SQt_

/ =/l +/2 _j3 _j4

1 mn 1 mn 1 mn 1 mn 1 mn->

j =J1 +J2 -J3 -j4

^ mn ^ mn ^ mn ^ mn ^ mn'

jinQr +

1

vz =

а

Г =

тп 9 9

4(а + у2)

J' =.

4 {а2 +у?)

sh а со s y¿ + — ch a sin y¿ а

chasmyj - —shacosy.

, i=1, 2, 3, 4,

y^ — а - л(т - п), у2 = а + я{т - п). у^=а- 7г(т +п),у4 = а + 7г(т + п),

о ¿2 г íw \глР

£2 = w— , а = - а = У 2

В приближении отсутствия скин-эффекта (w —>0)

Л ■ ^

— = sin Q/ и сис

'Z

смотренному в [5]:

90

—^ = sin Q/ и система (4) приводится к виду, рас-

3z

C-(2«2jO

к¿

с: , ^ _ 2 2- R/GR^O,

к +7T¿ á

Р- / с (1 + '7sinQí(2 (

Рdg <> C=-(2+*2jj (í).

В расчетах приняты обозначения: Q

(5)

т = t(k2 +ж2): w =

к2 + п2

; Г = JjR : R' =

R-k-

{к2 + ж2 f

R =

Rd-k2

(k2+n2f

Решение задачи

Чтобы выявить критерий устойчивости, необходимо найти периодические и квазипериодические решения системы (4), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия. В (4) ограничимся 3Ы уравнениями с 3Ы неизвестными.

Число уравнений 3Ы определяем из малости поправки к решению при переходе к 3(Ж+1) уравнениям.

Для нахождения периодического решения представим его в виде линейной комбинации 3Ы независимых решений. ЗЛГ

/к =

1=1

ш

Щ = Ъс^^Ц) 1=1

ш

Як =

/=1

дединичная матрица ЗЛ'-ЗЛ':

(2яЛ

Из условий периодичности: рм>к (0) = м>к — .

I м';

к 1.2......V: р = ± 1; рёк{0) = §к[^

Получим систему 3Ы линейных однородных алгебраических уравнений относительно с, из условия разрешимости которой при фиксированных R, Rd, Р, Рл

, ,, <Pik(°) = sik

£ = 1,2,.,.,7V, v/ik(0) = Sik+N ,

Фа-( 0) = <%+2N

находим нейтральные кривые г = г( и'), на которых решения системы (4) периодичны. Выше нейтральных кривых возмущения нарастают, ниже - затухают. При вещественном р = 1 получаем целые решения (период которых совпадает с периодом модуляции), р = — 1 -полуцелые (период вдвое больше периода модуляции), комплексном |/>| = 1 - квазипериодические нейтральные решения, когда появляется 2-я частота. В этом случае р находились как собственные числа матрицы из коэффициентов полученной системы линейных однородных уравнений, так как <5;/ - единичная матрица

ЗЛ'-ЗЛ'. Для фиксированных К и /Лу каждому и1 подбираем г из условия \р\ = 1 . Задача решена с помощью приложения МаШса±

Обсуждение результатов

Расчеты проводились при числах Прандтля Р=5, Ра=10. Следует отметить, что значения параметров Р и Рл выбраны не из свойств конкретной смеси, а из соображений большей наглядности основных механизмов потери устойчивости, а также с точки зрения сравнения со случаем пористой среды. Кроме того, нами были проведены расчеты и для других значений параметров, в частности, при Р=1 и Ра=2, которые по порядку величин соответствуют реальным газовым смесям. Как показали расчеты, при этих значениях параметров с качественной точки зрения результаты аналогичны.

Карта устойчивости на плоскости R и R¿ показана на рис. 1.

Рис. 1. Карта устойчивости в плоскости (R', R'¿ )

Ломанная ABC является границей устойчивости бинарной смеси при отсутствии модуляции. При пересечении луча ВА снизу вверх имеет место колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС-монотонная. В случае отсутствия скин-эффекта решалась система (5). Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси в приближении малой частоты модуляции подробно описана в [5].

Расчеты показали, что независимо от закона модуляции выше луча ВА имеет место неустойчивость для всех частот и амплитуд. При этом на плоскости (г,1/и) (рис. 2) существуют кривые, на которых решение для однопараметрического семейства начальных условий является периодической функцией. Для

всех других начальных условий решения неограниченно растут. Над лучом ВС, независимо от закона модуляции, на плоскости (г,1/ и) имеются области, внутри которых возмущения убывают, а вне - растут (рис. 2), т.е. имеются области параметрической стабилизации в плоскости (г,1/ и).

Рис. 2. Области параметрической стабилизации в плоскости (г,1/и) выше границы устойчивости ВС (рис. 1)

г

г

г

б

a

в

г

г

г

г

е

На рис 2 а, б и в - области стабилизации над МС, г, д и е - над ВМ (рис. 1) (а, г - в случае ступенчатой модуляции, б, д - синусоидальной, в, е - в случае учета скин-эффекта). Здесь пунктирные линии соответствуют «целым» нейтральным кривым, сплошные - «полуцелым». Области неустойчивости заштрихованы.

С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси найдены периодические решения системы (4), разделяющие растущие и затухающие возмущения равновесия. В системе (4) ограничимся 3Ы уравнениями с 3Ы неизвестными. Вычисления показали, что нейтральные кривые, полученные с помощью 9 и 12 уравнений системы (4) практически не различаются, т.е. поправка к решению мала. Таким образом, достаточно взять N=3.

Над отрезком ВМ и лучом МС картины в плоскости (г,1/ и) несколько отличаются. Над лучом МС параметрическая стабилизация возможна лишь, когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров (рис. 2 а-в). Ранее расчеты были выполнены для случаев ступенчатой и синусоидальной модуляции при учете условия малости частоты модуля-

ции [5]. Они показали, что параметрическая стабилизация наступает в области больших частот (рис. 2 а, б). В случае учета скин-эффекта подтвердилось наличие области параметрической стабилизации, причем эта область расширилась и произошло ее смещение вверх по оси амплитуд, т.е. стабилизация наступит при большей амплитуде, чем в случае приближения малой частоты модуляции.

Над отрезком ВМ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты (рис. 2 г-е), учет скин-эффекта приводит к смещению области параметрической стабилизации выше по оси амплитуд, увеличению критической амплитуды возникновения стабилизации (рис. 2 е).

Область ниже АВС разбита в пределе низких частот на 3 подобласти, которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа.

Независимо от закона модуляции каждой точке в области ниже АВС (рис. 1) на плоскости (г,1/ и) (рис. 2) соответствует нейтральная кривая, выше которой воз-

мущения растут, ниже - убывают. На самих нейтральных кривых движение периодично, имеются нейтральные кривые целого типа, которым соответствуют целые решения, полуцелого, которым соответствуют полуцелые решения, и смешанного типа, которые состоят из чередующихся участков целого и полуцелого типа. Для целых решений (р = 1) период колебаний равен периоду модуляции, для полуцелых - вдвое больше периода модуляции.

Численные расчеты показали, что при больших частотах квазипериодические возмущения возникают (р - комплексное), но они затухающие |/?| < 1. поэтому квазипериодических нейтральных кривых нет.

Для удобства сравнения ниже приведены графики огибающих нейтральных кривых с учетом скин-эффекта и в приближении малой частоты, а также графики поправок критической амплитуды на скин-эффект в зависимости от 1/w для областей, соответствующих нейтральным кривым целого, полуцелого и смешанного типов.

На рис. 3 а изображены нейтральные кривые целого типа, б - полуцелого, в - смешанного (Г1 - с учетом скин-эффекта, г2 - при условии малости частоты модуляции). На рис. 3 г-е - соответствующие поправки критической амплитуды на скин-эффект в зависимо-

' 2 ~ '1

сти от частоты модуляции, А г = ——- .

- 1 1 -

■ 1, -

\ \ гг-А

■ , J/.V

1 1 Г Г'

ч

- - ^ ■

r

1

г

б

в

Дг

Дг

Дг

£. i II

1 2 í 1 1 г

д

5 10 Г Л 13

е

Рис. 3. Огибающие нейтральных кривых с учетом скин-эффекта и при условии малости частоты, а также графики поправок

критической амплитуды на скин-эффект

Как видно из приведенных рисунков, учет скин-эффекта изменяет нейтральную кривую в области больших частот. Область устойчивости увеличивается, т.е. скин-эффект в отличие от случая с пористой средой [3] играет только стабилизирующую роль. Нейтральные кривые в области малых частот в приведенном на рисунках масштабе полностью совпадают, т.е влияние скин-эффекта при малых частотах незначительно.

Исследовано влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры. Скин-эффект приводит к стабилизации равновесия в области ниже ломанной ABC при больших частотах модуляции и не является дестабилизирующим фактором с уменьшением частоты, как это было в случае с пористой средой [3]. При достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается. Над лучом BA параметрическая стабилизация не происходит. Наличие областей параметрической стабилизации над лучом МС подтвердилось, скин-эффект в этом случае

Поступила в редакцию_

приводит к увеличению критической амплитуды возникновения стабилизации. Квазипериодические возмущения существуют, но являются затухающими.

Литература

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчи-

вость несжимаемой жидкости. М., 1972. 392 с.

2. Рамазанов М.М. Устойчивость бинарной смеси в порис-

той среде при модуляции параметров // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 118.

3. Рамазанов М.М. Влияние скин-эффекта на конвектив-

ную устойчивость бинарной смеси в пористом слое при модуляции граничной температуры // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2. С. 122.

4. Георгиадис Г., Кетон И.. Влияние числа Прандтля на кон-

векцию Бенара в пористой среде // Теплопередача. 1986. № 2. С. 31.

5. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. Конвективная устойчи-

вость горизонтального слоя бинарной смеси при низкочастотной модуляции градиента температуры // Вестн. ДНЦ РАН. 2007. № 28. С. 7.

_22 декабря 2008 г.