Научная статья на тему 'Влияние скачков цен рисковых активов на асимметрию и эксцесс распределения доходности'

Влияние скачков цен рисковых активов на асимметрию и эксцесс распределения доходности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
123
22
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Terra Economicus
WOS
Scopus
ВАК
RSCI
ESCI
Область наук

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Денисов Д. А., Наталуха И. Г.

Имеются многочисленные свидетельства того, что доходности по финансовым активам не являются нормально распределенными. В качестве иллюстрации этого утверждения используем индекс S&P 500. Табл. 1 показывает статистические свойства доходности по индексу S&P 500 при различных временных агрегатах [2]. Из табл. 1 видно, что дневные доходы демонстрируют значительную отрицательную асимметрию (-1,31) и очень большой эксцесс (34,70); обе эти величины должны равняться нулю при нормальном распределении.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Влияние скачков цен рисковых активов на асимметрию и эксцесс распределения доходности»

ДЕНИСОВ Д.А., НАТАЛУХА И.Г.

ВЛИЯНИЕ СКАЧКОВ ЦЕН РИСКОВЫХ АКТИВОВ НА АСИММЕТРИЮ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДНОСТИ

Имеются многочисленные свидетельства того, что доходности по финансовым активам не являются нормально распределенными. В качестве иллюстрации этого утверждения используем индекс Б&Р 500. Табл. 1 показывает статистические свойства доходности по индексу Б&Р 500 при различных временных агрегатах [2]. Из табл. 1 видно, что дневные доходы демонстрируют значительную отрицательную асимметрию (-1,31) и очень большой эксцесс (34,70); обе эти величины должны равняться нулю при нормальном распределении. Агрегация по времени уменьшает величины отклонений от нормального распределения, но со скоростью, значительно более низкой, чем предсказывае-

мые центральной предельной теоремой значения 1/ для асимметрии и _ эксцесса, где п

п

чис-

ло дней в агрегате.

Оааёёба 1. Оадаёдадёпдёёё а/о/аИпдё И ё1ааёпо Б&Р 500

Ж

РГп (т)

_ (Лт)

= е

п!

Число дней в Математическое Стандартное Асимметрия Эксцесс

агрегате ожидание, % отклонение, % У1 У2

1 день 12,64 13,66 -1,31 34,70

6 дней 12,71 14,70 -0,49 7,16

11 дней 12,69 14,52 -0,56 6,09

п 16 дней 12,73 14,46 -0,53 4,37

- 21 день 12,76 14,54 -0,42 3,29

26 дней 12,76 14,51 -0,40 2,91

31 день 12,76 14,45 -0,45 2,44

36 дней 12,76 14,51 -0,46 2,43

41 день 12,77 14,56 -0,42 2,56

46 дней 12,77 14,60 -0,38 2,49

51 день 12,79 14,63 -0,34 2,34

56 дней 12,80 14,64 -0,28 2,14

^ = ( - Л) + (У^ + ( - \)У (Л)

(1)

Будем описывать динамику цены рискового актива р следующим стохастическим дифференциальным уравнением

где — стандартное броуновское движение, ¡Лг — тенденция, ( — волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены актива, а с1У (Л) определяет случайный процесс Пуассона с интенсивностью скачков Л (вероятность появления одного скачка за малый промежуток времени равна Рг(У = 1) = ). Вероятность осуществления п скачков на инвестиционном горизонте т определяется вероятностью Пуассона

С1 я

I-

га т

СО □

^

о

I—

ф

I—

^

о а ф

>

0

1 I

ф

т

I—

О

а

о <

>

о

о |_

о |_

о <3

т

О

I—

О О сь

о о СО

Член £ = Е (еи -1) (Е — оператор математического ожидания) описывает средний вклад скачков в цену актива в расчете на один скачок, а и — нормально распределенная случайная величина

с N (и .

Скачки цен рисковых активов (и, соответственно, скачки доходности активов) являются источником отклонений распределения доходности от нормального распределения. Если тенденция Ц и волатильность постоянны, математическое ожидание доходности

(2)

(натуральный логарифм относительной цены актива представляет собой непрерывно начисляемую доходность финансового титула за период времени ) на временном горизонте длиной

составляет Используя лемму Ито, из уравнения (1) нетрудно получить

обратное уравнение Колмогорова для характеристической функции доходности (2), определяющее дисперсию и высшие моменты доходности (2):

¡5 К 2 = [а2 + Л(Ц + а2д)]г; К 3 = Лцд (Ц + 3 а])т; К 4 = Л(Ц + вц2да] + 3а>

га где К — .-ый кумулянт доходности. Кумулянты связаны с центральными моментами т. следу-

I

01 г

ющим образом: т2 = к2; т3 = к3; т4 = к4 + 3т22.

Асимметрия и эксцесс определяются, соответственно, как нормированные третий и четвертый кумулянты

8 ц(ц+а ; г =Щ++а4)

Ш Л [а2 + Л(Ц + а])Г4Г' /2 [а2 + Л(Ц + а2д)]2т ' (3)

^ Из соотношений (3) видно, что появление скачков цен активов приводит к возникновению о ненулевых асимметрии и эксцесса, которые равны нулю для нормального распределения. Скачки | также увеличивают дисперсию доходности активов. Дисперсия доходности по активам, как нетруден но видеть, увеличивается с ростом частоты скачков X, абсолютным значением математического ожи-

со

^ 2

^ дания величины скачка и условной дисперсии величины скачка Сд . Коэффициент асиммет-

§ рии зависит от математического ожидания величины скачка с учетом направления скачка. Еще одной Ее интересной чертой стохастического процесса с учетом скачкообразных изменений цен активов яв-£ ляется то, что коэффициенты асимметрии и эксцесса стремятся к нулю при увеличении инвестицией онного горизонта. Коэффициент асимметрии уменьшается пропорционально квадратному корню из

о

<

> о

длины горизонта, а коэффициент эксцесса убывает пропорционально длине горизонта т .

Из табл. 1 нетрудно видеть, что отклонение от нормального распределения в доходности по

о активам уменьшается при увеличении агрегатов по количеству дней. В этой связи может возникнуть

о представление, что если инвестиционный горизонт велик, то финансовым менеджерам необходимо

СО

£ лишь периодически (например, ежеквартально) реструктурировать свои инвестиционные портфели

о в соответствии с конъюнктурой фондового рынка, а влияние асимметрии и эксцесса на больших ин-

сь

^ вестиционных горизонтах становится незначительным в силу их малых величин. На самом деле этот

х аргумент неправилен, поскольку, как следует из [1, с. 46-48], влияние асимметрии увеличивается с

ф ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.

со

^ Поэтому для независимо и идентично распределенных динамических рядов доходности по активам,

5 в то время как асимметрия и эксцесс убывают с ростом инвестиционного горизонта пропорциональ-

[I но и п соответственно, их влияние также увеличивается пропорционально ^¡п и п. В резуль-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

° тате такой взаимной компенсации получается, что влияние отклонений распределения доходности

° активов от нормального не меняется с ростом инвестиционного горизонта пропорционально п.

О

Простой калибровочный пример, результаты которого иллюстрируются в Табл. 2, показывает относительное влияние отклонений распределения доходов по активам от нормального на характер инвестиционных решений. В этом примере инвестор имеет коэффициент относительного неприятия риска а = 4 и делает портфельный выбор между 5% безрисковым активом и акциями инвестиционного фонда, имитирующего индекс Б&Р 500. В табл. 2 представлены оптимальные размещения

(в процентах) в индекс Б&Р 500 при различных инвестиционных горизонтах (в бизнес-днях). есть вес размещения рискового актива в портфеле в предположении о нормальности распределения до-ходностей у = у2 = 0 ; в2 соответствует нулевому эксцессу; въ соответствует нулевой асимметрии; вес размещения в4 учитывает все четыре первые момента. В последнем столбце табл. 2 приведено процентное изменение в весе размещения капитала инвестора в рисковый актив с учетом и без учета отклонений от нормального распределения:

^ = 100% в в1 *

Qàâëèôà 2. Èiâànôèôèîiiîà ôàoàièà ïî èiaàênô S&P 500

11 Bi 02 Вз е4 А8/8

1 день 102,35 99,55 101,01 98,40 -3,84

6 дней 89,23 87,21 88,06 86,10 -3,51

11 дней 91,30 88,21 89,48 86,55 -5,20

16 дней 92,41 88,92 90,54 -5,63

21 день 91,83 88,76 90,07 87,06 -5,19

26 дней 92,20 89,02 90,34 87,18 -5,44

31 день 92,96 89,17 91,16 87,37 -6,01

36 дней 92,12 88,10 90,13 86,13 -6,51

41 день 91,54 87,73 89,23 85,42 -6,96

46 дней 91,09 87,65 88,66 85,15 -6,52

51 день 90,96 87,80 88,52 85,19 -6,35

56 дней 91,07 88,50 88,70 85,82 -5,76

N

л ь

G ГО J

□I

Z

CO □

□ tu

о

I—

CD

I—

S О d Ф

X

>

О х

О

а

о <

>

о

0

1_

0

1_

о

У

о

m

О

I—

О

о

CL

Построенный пример показывает, что как отрицательная асимметрия, так и положительный эксцесс сокращают инвестиционный спрос на акции инвестиционного фонда. Под влиянием обоих этих факторов инвестор сокращает спрос на акции фонда приблизительно на 6%. Кроме того, как показал предшествующий анализ, влияние отклонений распределения доходности по активам от нормального не уменьшается с увеличением горизонта инвестирования. Таким образом, отклонения распределения доходности по активам от нормального является источником риска, который не может быть описан в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Увеличение инвестиционного горизонта, хотя и уменьшает величину асимметрии и эксцесса, в целом не снижает их влияние на размещение капитала в рисковые активы.

ЛИТЕРАТУРА. =Е

1. Наталуха И.Г. Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального <d

на инвестиционный спрос // Финансы и кредит. 2006. № 2(206).

2. Hamilton J.D. Time series analysis. Princeton: Princeton University Press, 2001. |

о x О

V

со

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.