CC BY
83
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 533.16
И.В. Храмцов
студент, кафедра ракетно-космической техники и энергетических установок, ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
д-р техн. наук, профессор, кафедра ракетно-космической техники и энергетических установок, ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
канд. техн. наук, доцент, кафедра ракетно-космической техники и энергетических установок, ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Аннотация. На основе решения одномерного уравнения Навье-Стокса предложена методика определения профиля скорости в шероховатых трубах на основном участке течения. Приведены результаты исследования профиля скорости для различных режимов шероховатости и скоростей потока. Проведено исследование профиля скорости во FlowVision и получены результаты, хорошо согласующиеся с аналитическим решением. Полученные результаты представляют интерес для построения методики извлечения импеданса звукопоглощающих конструкций на основании экспериментальных продувок в установках «канал с потоком».
Ключевые слова: авиационный шум, звукопоглощающие конструкции, импеданс, уравнение Навье-Стокса, шероховатые трубы, пограничный слой, профиль скорости, FlowVision.
I.V. Khramtsov, Perm National Research Polytechnic University
R.V. Bulbovich, Perm National Research Polytechnic University
V.V. Pavlogradsky, Perm National Research Polytechnic University
THE EFFECT OF ROUGHNESS ON THE VELOCITY PROFILE IN THE SQUARE TUBE
Abstract. On the basis of the one-dimensional solutions of the Navier-Stokes proposed a method for determining the velocity profile in the rough pipes in the main section of flow. The results of the study of the velocity profile for the different modes of roughness and flow rates. A study of the velocity profile in FlowVision and obtained results in good agreement with the analytical solution. The results are of interest for the construction of extraction technique of impedance Plant on the basis of experimental installations in purging "channel with the flow."
Keywords: aircraft noise, sound-absorbing structure, the impedance, the Navier-Stokes equations, rough pipes, the boundary layer, the velocity profile, FlowVision.
Известно, что одним из самых сложных и наукоемких направлений является снижение авиационного шума. С момента появления первых звукопоглощающих конструкций (ЗПК) и по настоящее время активно ведутся теоретические и экспериментальные исследования, направленные на создание методов и методик расчета импе-
Р.В. Бульбович
В.В. Павлоградский
ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ НА ПРОФИЛЬ СКОРОСТИ
В ТРУБАХ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ
данса ЗПК. До сих пор слабо изучено влияние на импеданс ЗПК потока, скользящего вдоль его поверхности. Процессы звукопоглощения, определяемые граничными условиями у стенки ЗПК, в значительной степени могут зависеть от характеристик пограничного слоя, и, в целом, от профиля скорости потока. В силу этого для реализации экспериментально-теоретических методов извлечения импеданса ЗПК в установках «канал с потоком» необходимо знать профиль скорости потока, в котором возникает акустические процессы.
В нестационарном потоке возникают пульсации давления, которые стремятся уравновесить имеющиеся в потоке пульсации количества движения. Такие пульсации будут распространяться от источника и, достигая наблюдателя, будут восприниматься им как звук.
При достаточно малых числах Маха сжимаемость среды не будет оказывать существенного влияния на изменение давления в окрестности более или менее локализованного потока, и в этом случае при известном поле скоростей давление можно определить на основании уравнения Пуассона [1]:
V2 р = у,
где Y - известная функция мгновенной скорости.
В данной работе рассматривается течение воздуха в канале квадратного поперечного сечения. В трубу втекает воздух с начальной скоростью ивх и вблизи стенок канала возникает пограничный слой. Рассматривается установившийся поток, характеризующийся неизменным профилем скорости. Целью данной работы явилось построение профиля скорости при различных режимах проявления шероховатости.
Течения в трубах часто встречаются на практике. При этом скорость потока значительно меньше скорости звука, и поэтому жидкость считается несжимаемой. Пусть жидкость втекает в трубу с равномерной скоростью. На стенках трубы образуется пограничный слой, толщина которого увеличивается вдоль трубы. Так как плотность и расход через каждое сечение остаются постоянными, то сохраняется и средняя скорость. Поэтому уменьшение скорости вблизи стенки приводит к увеличению скорости в ядре потока. Данная область течения называется начальным участком. На некотором расстоянии от входа в трубу толщина пограничного слоя становится равной радиусу трубы, т.е. происходит смыкание пограничных слоев. Эта область называется основным участком и характеризуется неизменным профилем скорости.
Ось х направляется вдоль оси трубы, а координата у отсчитывается от оси трубы. Для основного участка составляющая скорости в осевом направлении не зависит от х. Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах принимает вид [2]:
И
^ С2 и 1 сСи ^ Ср Ср
= , -г = 0, (1)
Су2 у Су) бх' Су
причем граничным условием будет являться и=0 при у=г. Решением данного дифференциального уравнения будет являться логарифмический закон распределения скорости для гидравлически гладкой трубы
и = - у) + 5,5, (2)
и V
где и =^тт/р - динамическая скорость, - = /р - кинематическая вязкость среды.
Распределение скорости в ламинарном подслое можно считать линейным и его величина определяется по соотношению
V
5П « 5-. (3)
и
Жидкость в аэродинамической трубе считается несжимаемой, поэтому средняя скорость в каждом сечении остается неизменной и равна начальной скорости на входе в трубу. Средняя скорость в установившемся потоке определяется по формуле:
ивх = иср = и0 - 3,75и, (4)
где и0 - на оси потока, которой соответствует число Маха М0.
Большинство используемых в технике труб являются шероховатыми. Шероховатость поверхности создает дополнительную турбулизацию течения, что достаточно существенно влияет на профиль скорости потока [3]. Шероховатость стенки обычно характеризуется средней высотой бугорков —, которая называется абсолютной шероховатостью. Используя абсолютную шероховатость в качестве характерного линейного размера для течения вблизи стенки, логарифмический закон распределения скоростей представляется в безразмерном виде:
— = + В . (5)
и —
В этом случае величина В является функцией безразмерной величины .
-
При течении в шероховатых трубах различают три режима [3]:
1. Режим без проявления шероховатости:
— < 0,25, и< 3. (6)
5П -
Размеры зерен образующих шероховатость, при таком гидравлически гладком режиме столь малы, что все элементы шероховатости лежат внутри ламинарного подслоя. Их обтекание происходит без вихреобразований и шероховатость не оказывает влияние на характеристики турбулентного течения.
При этом
В = 5,5 + 2,5 !п = 5,5. (7)
V
И соотношение (5) принимает вид
— = 2,5!п Г - У)+ 5,5. (8)
и, —
2. Переходный режим проявления шероховатости:
0,25 < — < 5, 3 < 70. (9)
5П -
В этом случае элементы шероховатости частично выступают из ламинарного подслоя. Дополнительное, по сравнению с гладкими трубами, сопротивление возникает в основном вследствие сопротивления формы элементов шероховатости, высту-
пающих из ламинарного подслоя в турбулентный пограничный слой. При этом выражение для функции В имеет следующий вид:
В
2>/2
3,75 - !п-
' Л где А - закон сопротивления.
18,7
—+ -
г
1 (Л
= 1,74 - 21д
у]Л
Яеу/А,
Закон распределения скоростей: В.
и г - у
— = 5,75 !д— и, Л
(10)
(11)
(12)
> 70.
(13)
3. Режим с полным проявлением шероховатости:
Л Ли,
— > 5, —-
Все элементы шероховатости выступают из ламинарного подслоя. Преобладающая часть сопротивления состоит из сопротивления формы отдельных элементов шероховатости. При режиме с полным проявлением шероховатости В=8,5. Поэтому закон распределения скоростей принимает простую форму
и г - у
— = 5,75 !д— и Л
8,5.
(14)
В статье рассматриваются аэродинамические трубы квадратного поперечного сечения. Переход от труб с круглым сечением к трубам квадратного сечения производится введением гидравлического диаметра 4Р
б = 2г =■
(15)
где Р - площадь поперечного сечения, в - смоченный периметр.
Допустимая высота шероховатости - наибольшая высота шероховатости, при которой высота шероховатости не выступает из ламинарного подслоя и не оказывает дополнительного сопротивления, определяется из соотношения
Лдоп * 100
и
(16)
ср
Число Рейнольдса является определяющим параметром для характера течения. Для труб рассматривают число Рейнольдса, составленное для диаметра трубы и средней скорости [3]. Его можно определить по соотношению:
Ре =
рЦсрб И
(17)
Поскольку величина динамической скорости не может быть определена аналитически, предложена приближенная оценка через решение нелинейного уравнения (4) при условии и=и0 и при у=0.
Методика получения профиля скорости для шероховатых труб В случае рассмотрения течения в шероховатых трубах изначально неизвестна ни динамическая скорость и,, ни соответственно режим проявления шероховатости.
V
Для снятия этой неопределённости предложена итерационная процедура, состоящая из следующих этапов.
1. По формуле (15) определяется гидравлический диаметр трубы квадратного поперечного сечения.
2. В соответствии с состоянием поверхности внутренней стенки трубы задаются средней высотой бугорков шероховатости 1п.
3. Предполагая изначально режим течения без проявления шероховатости, решается нелинейное уравнение (2) при условии и=и0 при у=0 и определяется значение динамической скорости и„1.
4. При полученном значении динамической скорости и„1 проверяются условия (6), (9), (13) и определяется режим проявления шероховатости.
5. В соответствии с определённым режимом проявления шероховатости используется соответствующий логарифмический закон распределения скоростей из списка формул (8), (12), (14) для определения значении динамической скорости и2 при условии и=и0 при у=0.
6. При вновь полученном значении динамической скорости и2 проверяются условия (6), (9), (13) и вновь определяется режим проявления шероховатости.
7. Итерационный процесс считается законченным, если при проверке режим проявления шероховатости соответствует режиму, полученному на предыдущем этапе. В противном случае повторяются пункты 2-4.
8. По окончании итерационного процесса по закону распределения скоростей, соответствующему установленному режиму, определяется профиль скорости.
9. Определяются характеристики профиля скорости: средняя скорость, число Рейнольдса, толщина ламинарного подслоя по формулам (4), (17), (3).
/V/ /V/
К Ч
7 1 !
°о 0.004 О.оой с.;:: 002
г-у
Рисунок 1 - Распределение скоростей в шероховатых трубах: М1 - гидравлически гладкая труба, М2 - труба с переходным режимом проявления шероховатости (И = 200 мкм), М3 - труба с полным проявлением шероховатости (И=1000 мкм)
г*
/
1
% 0004 0.003 001: 0016 002
Рисунок 2 - Распределение скоростей в шероховатых трубах: М1 - гидравлически гладкая труба, М2 - труба с переходным режимом проявления шероховатости (И=120 мкм), М3 - труба с полным проявлением шероховатости (И=500 мкм)
Анализ результатов
Исследования влияния шероховатости на профиль скорости проведены для течения воздуха в трубе квадратного сечения размерами 40*40 мм. Гидравлический диаметр трубы определенный по формуле (15) составил 0,04 м. Шероховатость представляется по модели песочной шероховатости. Исследования проведены для потока с начальными скоростями движения, соответствующими числам Маха М = 0,1-0,8.
На рис. 1-3 представлено распределение скоростей в шероховатых трубах с различной высотой шероховатости при различных скоростях на оси трубы в установившемся потоке, полученных по предложенной методике.
м,
М-,
0 8
0.64
-0.43
М3 0.32
0.16
1 1
0.004
0.003
0.012 0.016
0.02
Рисунок 3 - Распределение скоростей в шероховатых трубах: М1 - гидравлически гладкая труба, М2 - труба с переходным режимом проявления шероховатости (И=70 мкм), М3 - труба с полным проявлением шероховатости (И=100 мкм)
Таблица 1 - Результаты расчетов для различных режимов проявления шероховатости
Исходные данные Результаты расчетов
число М0 на оси потока и0, м/с высота шероховатости Л, мкм режим проявления шероховатости средняя скорость иср, м/с толщина ламинарного подслоя 51, мм число Рей-нольдса Р!в
0,1 34,3 <41,1 Без проявления 29,04 0,0503 82412
200 Переходный 27,76 0,0404 78769
1000 Полное проявление 26,25 0,0328 74480
0,4 137,2 <10,75 Без проявления 118,59 0,0142 336468
120 Переходный 112,8 0,011 320050
500 Полное проявление 108,15 0,0091 306848
0,8 274,4 <5,13 Без проявления 239,2 0,0075 678688
70 Переходный 228,5 0,00576 648334
100 Полное проявление 227,04 0,00558 644183
Профили скоростей, представленные на рис. 1-3, хорошо согласуется с реальным течением и имеет характер, аналогичный исследованиям, представленным в работах [2, 3].
В табл. 1 приведены исходные расчетные данные для различных режимов проявления шероховатости и результаты аналитических расчетов, которые показывают, что шероховатость оказывает существенное влияние на профиль скорости и толщину ламинарного подслоя.
Моделирование течения в пакете FlowVision
Моделирование течения с целью определения профиля скорости проводилось также в газодинамическом пакете созданном командой разработчиков ком-
пании Тесис. использует конечно-объемный подход для аппроксимации
уравнений математической модели. Уравнения Навье-Стокса в программном комплексе Р^У1эюп решаются методом расщепления по физическим процессам [4].
Рассматриваемая модель сначала строится в программе геометрического моделирования SolidWorks. Для моделирования используется модель несжимаемой жидкости. Расчет производился на демонстрационной версии продукта, в которой количество ячеек ограничено 15000.
Рисунок 4 - Профиль скорости в гидравлически гладкой трубе: М - аналитическое решение, т - численное решение в FlowVision
Рисунок 5 - Профиль скорости при переходном режиме проявления шероховатости, высота шероховатости 200 мкм: М - аналитическое решение, т - численное решение в FlowVision
Для сравнения результатов полученных аналитически и с помощью программного комплекса FlowVision требуется равенство скоростей на оси потока. Для этого используются следующие граничные условия:
• на входе задается нормальная скорость, равная скорости пульсации турбулентной энергии, полученной по формуле (4), и масштаб турбулентности вычисляется автоматически;
• на стенке задается логарифмический закон распределения скоростей и величина шероховатости в микрометрах. Исследование шероховатости проводится по модели песочной шероховатости;
• на выходе используется граничное условие свободный выход, соответствующее истечению в атмосферу.
На рис. 4-6 приведены в качестве примера профили скорости при М0 = 0,1 для различных режимов течения.
% 0004 0 OOS 0012 0016 0 02 г-у
Рисунок 6 - Профиль скорости при режиме с полным проявлением шероховатости, высота шероховатости 1000 мкм: М - аналитическое решение, m - численное решение в FlowVision
Как видно на представленных рисунках решение во FlowVision дает аналогичные результаты с аналитическим решением по предложенной методике. Для других значений числа М потока также наблюдается хорошее совпадение результатов расчёта. Отличие в значениях скорости вблизи стенки вызвано использованием крупной сетки, заложенной в демоверсии программы (ограничение на общее количество ячеек). Характерно, что профили скорости, полученные во FlowVision, достоверно обеспечи-
dM _
вают выполнение условия — = 0 на оси потока.
dy
Таким образом, в результате проведенных исследований предложена методика получения профиля скорости в каналах квадратного сечения для различных начальных скоростей потока с учетом шероховатости. Аналитические результаты сопоставлены с расчётами профиля скорости в демоверсии программного комплекса FlowVision для трёх режимов проявления шероховатости и показано их хорошее совпадение. Полученные результаты представляют интерес для построения методики извлечения импеданса ЗПК на основании экспериментальных продувок в установках «канал с потоком».
Список литературы:
1. Голдстейн М.Е. Аэроакустика. - М.: Машиностроение, 1981. - 294 с.
2. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1991. - 600 с.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 712 с.
4. FlowVision. Руководство пользователя. Версия 2.5.4, 2008.
List of references:
1. Goldstein M.E. Aeroacoustics. Moscow: Mashinostroyeniye, 1981. - 294 p.
2. Abramovich G.N. Applied Gas Dynamics. Moscow: Nauka, 1991. - 600 p.
3. Schlichting G. Theory of the boundary layer. Moscow: Nauka, 1974. - 712 p.
4. FlowVision. User's Guide. Version 2.5.4 2008.
