CC BY
3в
естник АПК ^ ^
Проблемы аграрного образования -; № 1(17), 2015 " " " "
213
УДК 378.147
Попова С. В., Смирнова Н. Б. Popova S. V., Smirnova N. B.
ВЛИЯНИЕ РАЗВИВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ЭФФЕКТИВНОЕ ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ ВУЗА
THE INFLUENCE OF THE DEVELOPMENTAL FUNCTIONS OF MATHEMATICAL TASKS FOR EFFECTIVE TEACHING OF STUDENTS
Одной из задач преподавателя вуза является обеспечение развития мыслительной активности студентов, которая в курсе математических дисциплин реализуется с помощью теоретического материала и задач.
Задачи в обучении математике служат выполнению различных функций, таких, как обучающих, воспитывающих, развивающих, контролирующих. В данной статье обратим внимание на развивающие функции задач.
В развивающие функции задач заложены основные функции развивающего обучения: интенсифицирующая, динамичная, психологическая, дидактическая и другие.
Нами показаны различные способы выполнения развивающих функций задач на конкретных примерах из различных разделов математических дисциплин с помощью постановки дополнительных вопросов, частичного изменения условия данной задачи, рассмотрения её частных или предельных случаев, изменения места задачи в системе обучения.
Подробно на примерах рассмотрены типы вопросов, направленные на развитие творческого мышления студентов, более глубокое усвоение материала, закрепление изученных тем.
Частичное изменение условия задачи, связанное с практическим применением в нематематической сфере,повышает интерес к изучаемой теме, способствует установлению межпредметных связей, позволяет объяснять смысл коэффициентов и переменных, входящих в формулу, с точки зрения той науки, где используется математический аппарат.
Изменение места задачи в системе обучения может стать стимулом к научно-исследовательской деятельности.
Развивающие функции задач не только обеспечивают усвоение студентами требуемых обществом научных знаний, но и овладение способами добывания знаний при наличии осознанной цели в формировании его творческой активности.
Ключевые слова: всесторонне развитая личность, развивающие функции задач, проблемное обучение.
One of the tasks of the teacher is to ensure the development of cognitive activity of students, which in the course of mathematical disciplines is implemented using theoretical material and tasks.
Challenges in teaching mathematics are used to perform various functions, such as training, educating, developing, controlling. In this article we pay attention to the developmental task functions.
In developing the functions of the tasks laid down the basic functions of developmental education: stimulating, dynamic, psychological, didactic and others.
We have shown various ways to achieve developmental task functions with specific examples from various branches of mathematical disciplines by setting additional questions, partial change the terms of this task, consider it as a special or limiting cases, change the location of the task in the learning system.
The detail on the examples considered are the types of questions aimed at the development of creative thinking of students, deeper learning, consolidation of the learned topics.
Partial change of the conditions of the problem associated with practical application in non-mathematical sphere, increases interest in the subject, promotes interdisciplinary connections, allows to explain the meaning of the coefficients and the variables included in the formula, from the point of view of the science that uses mathematical tools.
To change the task in the learning could be encouraged to research activities.
Developmental task functions not only provide students mastering required by the society of scientific knowledge, but also the mastery of the ways of obtaining knowledge in the presence of a conscious purpose in the formation of his creative activity.
Key words: intelligent personality, developmental functions tasks, problem training.
Попова Светлана Викторовна -
доцент кафедры математики Ставропольский государственный аграрный университет Тел.: 8-909-770-70-82 E-mail: svp0314@yandex.ru
Смирнова Нина Борисовна -
старший преподаватель кафедры информационных технологий и сервиса Российского государственного социального университета филиала в г. Ставрополе Тел.: 8-919-754-27-47 E-mail: snb2864@yandex.ru
Popova Svetlana Viktorovna -
Docent of Department of Mathematics, Stavropol State Agrarian University Phone: 8-909-770-70-82 E-mail: svp0314@yandex.ru
Smirnova Nina Borisovna -
Senior Lecturer of Department of Information Technology and Services Russian State Social University branch, Stavropol Phone: 8-919-754-27-47 E-mail: snb2864@yandex.ru
В современном обществе целью воспитания и образования является всесторонне развитая личность. Поэтому перед преподавателями вузов ставится
задача: теоретически обосновать и практически реализовать такое обучение, которое обеспечило бы формирование личности, обладающей высокими духовными
Ежеквартальный
научно-практический
журнал
потребностями, развитыми познавательными способностями [12]. Это в свою очередь диктует необходимость так строить познавательную деятельность на занятиях, а также организовывать самостоятельную работу студентов, чтобы обеспечить развитие их мыслительной активности [5, 8].
Задачи в обучении математике служат выполнению различных функций: обучающих, воспитывающих, развивающих, контролирующих. Рассмотрим в данной статье развивающие функции задач.
Чаще всего считается, что математическое развитие автоматически сопутствует процессу усвоения фактов и навыков в области математической науки. Подразумевается, что обучающийся, познакомившись и усвоив определённое количество формул, определений, теорем, решив некоторое число задач, приобретает необходимое развитие. А если уменьшить этот багаж знаний, умений и навыков, то обозначенное развитие обеспечить уже нельзя. Считаем такую позицию принципиально ошибочной.
Широко распространённой развивающей функцией является ознакомление с математическими фактами, разбор и усвоение математических теорем, выведение формул, решение необходимого количества упражнений, формирующих способности человека и оказывающих установленное влияние на развитие математического мышления студента.
Полагаем, что основной функцией развивающего обучения можно считать повышение теоретического уровня содержания обучения. Высокий теоретический уровень знания, который необходимо усвоить студенту, объективно способствует интенсификации развития логической памяти, операций анализа и синтеза, отвлечения и обобщения.
Интенсифицирующая функция развивающего обучения предполагает наличие определённого уровня трудности, состоящего не в повышении некоторого абстрактного уровня сложности задач, а в раскрытии скрытых творческих резервов студента.
Самой динамичной функцией развивающего обучения является быстрый темп продвижения в обучении, требующий умения выделить самое главное в том или ином учебном материале не только для преподавателя, но и для студента. В этом случае разумно сочетаются темп подачи материала (не обязательно быстрый) и систематичность его повторения.
Психологически важной функцией развивающего обучения представляется функция осознания студентами процесса учения. Сюда входит понимание целей и задач занятий, желание изучать данный материал (иметь положительную мотивацию учения), возможность действовать для достижения поставленных целей, умение контролировать правильность своих достижений, соотносить результат с целью и способами учения, видеть связь и возможность
применения получаемых математических знаний в других дисциплинах и будущей профессиональной деятельности.
Дидактическая функция развивающего обучения состоит в возможности формирования, продвижения в обучении всех студентов различного уровня подготовки. Развитие успешнее происходит тогда, когда человек усваивает знания не в готовом виде, а когда он «спотыкается о препятствие» в виде противоречия, проблемы, когда он удивляется, самостоятельно ищет пути решения любой поставленной задачи [11].
Это обусловлено тем, что в наше время не только резко увеличился поток научной информации, но и возникла необходимость решения очень большого количества разнообразных проблем, предусмотреть которые, конечно, невозможно. Но вполне реально научить способам постановки проблем и их творческому решению. Введение проблемности в учебный процесс - важнейшая мера повышения его развивающего эффекта. Студенты упражняются в решении проблем вообще, ибо все проблемы имеют нечто общее: противоречие между прежними знаниями и новыми фактами; между прежними способами действий и теми, которые необходимы для решения поставленной задачи; между необходимостью самостоятельного приобретения знания и возможностью пойти уже проторенной дорогой и т.д.
Выполнение развивающих функций можно достичь различными способами: постановкой дополнительных вопросов, частичным изменением условия данной задачи, рассмотрением её частных или предельных случаев, решением задачи рациональным способом, изменением места задачи в системе обучения, решение специально подобранных нестандартных задач и т. д.
Считаем, что если вопрос начинается со слов «скажите», «назовите», «расскажите», то он только опирается на память обучаемого, требует простого изложения каких-либо ранее усвоенных знаний. Необходимо формулировать вопросы так, чтобы они адресовались главным образом мышлению студентов, заставляли их в процессе поиска ответа совершать те или иные мыслительные операции.
К таким типам вопросов относятся:
- вопросы на сравнение (полное, когда требуется установить в сравниваемых объектах сходство и различие, и неполное, когда устанавливается или только сходство, или только различие);
- вопросы, требующие установления основных характерных черт, признаков понятий и предметов;
- вопросы, устанавливающие причинно-следственные связи (установление причины по данному следствию и наоборот);
- вопросы, требующие подведения частного под общее;
- вопросы, требующие применения общего к конкретному факту;
в
;№ 1(17), 2015
Проблемы аграрного образования
215
- вопросы, требующие установления справедливости обратного утверждения.
Предлагаем подборку вопросов из различных разделов математики [7].
Примером вопроса на полное сравнение может быть вопрос из аналитической геометрии при изучении кривых второго порядка: «В чем сходство и различие характеристик эллипса и гиперболы?».
При изучении линейной алгебры можно задавать вопросы на неполное сравнение, например, «Чем отличаются матрица и определитель?» [6].
Для лучшего усвоения особенностей темы «Повторение независимых испытаний» уместны вопросы, требующие установления основных характерных черт. Например: «Могут ли быть наличие числа испытаний и вероятности наступления события в каждом испытании характерными признаками применения формулы Бернулли?»
Более глубокого усвоения матричной алгебры можно достигнуть, задавая вопросы, устанавливающие причинно-следственные связи: «Что является причиной невозможности нахождения матрицы, обратной данной?»
При закреплении тем прикладного характера, таких как «Скалярное поле», можно формулировать вопросы, требующие подведения частного под общее, вида: «Как изменится градиент скалярного поля при перемещении в другую точку этого поля?»
Развитию творческого мышления способствуют вопросы, требующие применения общего к конкретному факту. Рассматривая основные теоремы теории вероятности, можно ставить вопросы вида: «Как получить теорему сложения вероятностей несовместных событий, зная теорему сложения вероятностей совместных событий?»
Более глубокому усвоению математических законов способствуют вопросы, требующие установления справедливости обратного утверждения. Так в дифференциальном исчислении функции одной переменной можно ставить вопросы следующего типа: «Известно, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке. Верно ли, обратное утверждение?
И, как часто бывает, основательно изучить тему возможно, отвечая на вопросы различных типов.
Рассмотрим задание общего характера из курса аналитической геометрии в пространстве:
«Исследовать и построить поверхность, задан-
2 2 2 x У z
ную каноническим уравнением — - — = о ».
abc
Для правильного решения этой задачи и усиления её развивающих функций полезно поставить следующие вопросы:
а) какой вид поверхности описывается данным уравнением?
б) всегда ли эта поверхность невырожденная?
в) при каких условиях она становится поверхностью вращения?
г) какими характерными признаками обладает данная поверхность?
д) приведите примеры применения свойств изучаемой поверхности и её сечений в математике, технике и других областях человеческой деятельности.
Отвечая на поставленные вопросы, студентам придётся выполнять такие умственные операции, как сопоставление видовых и родовых понятий, установление связей между ними, отбор признаков для определения понятия, подведение частного под общее, формулирование выводов, умения обобщать. Эти вопросы способствуют усилению развивающих функций данной задачи.
Частичное изменение условия задачи, особенно, если оно связано с практическим применением в нематематической сфере, также усиливает развивающие функции задачи [10].
Так при изучении темы «Дифференциальные уравнения» в основном формулируются задачи на выработку навыка нахождения общего и частного решения дифференциального уравнения [9].
Студенты учатся, например, решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Для студентов инженерных направлений после проработки алгоритма считаем необходимым сформулировать задачу, показывающую физический смысл компонент такого уравнения [4].
Предлагаем рассмотреть простейшее прямолинейное движение материальной точки массы m вдоль оси Ox под воздействием трёх сил: 1) силы притяжения точки к началу координат; 2) силы сопротивления среды; 3) возмущающей силы. Исходя из физической сути каждой силы, находится их результирующая сила, которая отвечает второму закону Ньютона. После преобразований и ввода новых обозначений приходим к уравнению вида х" + 2кх' + к2х = /(V), которое с точки зрения математики является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, а с точки зрения физики оно является уравнением колебаний.
Далее проводится исследование коэффициентов и переменных, входящих в формулу, и даётся объяснение их смысла с точки зрения физики.
Например, если предположить, что правая часть уравнения /(V) = 0, то получим линейное однородное дифференциальное уравнение х" + 2кх' + к2х = 0, которое является уравнением свободных колебаний, так как нет внешней возмущающей силы. А если выполняется условие к = 0, то колебания происходят в среде без сопротивления. Если же принять во внимание, что правая часть уравнения /(V) Ф 0, то исследуемое уравнение будет неоднородным. С физической точки зрения оно учитывает возмущающую силу и будет являться уравнением вынужденных колебаний.
Ежеквартальный
научно-практический
журнал
Студентам экономических направлений по указанной теме можно предложить дифференциальное уравнение, представляющее математическую модель рынка с прогнозируемыми ценами вида a0P"(t) + alP'(t) + a2P(t) = a3, учитывающее, что спрос и предложение в условиях рынка зависят не только от текущей цены на товар, но и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены P = P(t) [2, 3].
В данном случае повышается интерес к данной теме, устанавливаются межпредметные связи [1], чем и усиливаются развивающие функции задачи.
Рассмотрение частных или предельных случаев некоторых формул позволяет развивать «пытливые умы», отвечая на их каверзные вопросы «А что будет, если...?» Наиболее наглядно такие задачи раскрываются при изучении аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Полагая коэффициенты, входящие в канонические уравнения, поочерёдно равными
Литература:
1. Алексеева Е. Е. Реализация креативной развивающей функции обучения математике в вузе // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2010. № 5. С.79-82.
2. Межпредметные связи в учебном процессе высшего учебного заведения / И. В. Ата-нов, И. В. Капустин, Г В. Никитенко, В. С. Скрипкин // Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 355.
3. Исследование операций (учебное пособие) / Р. В. Крон, С. В. Попова, Е. В. Долгих, Н. Б. Смирнова // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 118-119.
4. Колбина Е. В. Требования к подбору задач как одно из условий реализации компетентно-контекстного обучения математике в техническом вузе // Современные проблемы науки и образования. 2013. № 3.
5. Котова Т. Н., Хачатурян Р. Е. Формирование профессиональной компетенции студентов технических вузов на основе междисциплинарной интеграции. // Сборники конференций НИЦ Социосфе-ра. 2014. № 7. С. 53-57.
6. Линейная алгебра (учебное пособие) / Р. В. Крон, С. В. Попова, Е. В. Долгих, Н. Б. Смирнова // Международный журнал экспериментального образования. 2014. № 11-1. С. 115.
7. Мелешко С. В., Невидомская И. А. Факторы, мотивирующие внеаудиторную самостоятельную работу студентов в информационно-образовательной среде вуза // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона : сб. науч. ст. по материалам Междунар. науч.-практ. конф. Ставрополь, 2013. С. 252-254.
нулю, приходим к вырожденным случаям, когда вместо кривой линии получаем одну прямую линию или две параллельные прямые.
К серьёзной исследовательской деятельности готовит студентов такой методический приём, как изменение места задачи в системе обучения.
Так нахождение экстремума функции двух переменных классически изучается в математическом анализе. Но более востребованным изучаемый алгоритм оказывается при изучении численных методов, особенно метода наименьших квадратов, и нелинейного программирования для нахождения экстремальных точек методом Лагранжа.
Развивающие функции задач не только обеспечивают усвоение студентами требуемых обществом научных знаний, но и овладение способами добывания знаний при наличии осознанной цели в формировании его творческой активности.
References:
1. Alekseeva, E. E. Implementation of creative developmental functions of teaching mathematics in high school // journal of Baltic Federal University. I. Kant. 2010. № 5. Р. 79-82.
2. Interdisciplinary communication in the educational process of higher educational institutions / I. C. Atanov, I. C. Kapustin, G. V. Ni-kitenko, V. C. Skripkin // Modern problems of science and education. 2013. № 6. Р. 355.
3. Operations research (tutorial) / R. V. Kron, S. V. Popova, E. V. Dolgih, N. B. Smirnova // International journal of experimental education. 2014. № 11-1. C. 118-119.
4. Kolbina E. V. Requirements for the selection task as one of the conditions for the implementation of competence-context of teaching mathematics at the technical University // Modern problems of science and education.
2013. № 3.
5. Kotova T. N., Khachaturian R. E. Formation of professional competence of students of technical universities on the basis of interdisciplinary integration. // Conference proceedings SIC Sociosphere. 2014. № 7. Р. 53-57.
6. Linear algebra (tutorial) / R. V. Kron, S. V. Pop-ova, E. V. Dolgih, N. B. Smirnova // International journal of experimental education.
2014. № 11-1. Р. 115.
7. Meleshko, S. V., Nevidomskay I. A. Factors that motivate out-of-class independent work of students in the educational environment of the University // Information systems and technology as a factor of economic development of the region: collection of scientific articles of the International scientific-practical conference / Stavropol, 2013. C. 252-254.
8. Popova S. V., Smirnova N. B. The use of differential equations in the construction of mathematical models of economic processes // Agricultural science, creativity, growth : collection of scientific articles of the Interna-
в
9.
: № 1(17), 2015
Проблемы аграрного образования
Попова С. В., Смирнова Н. Б. Использование дифференциальных уравнений в построении математических моделей экономических процессов // Аграрная наука, творчество, рост : сб. науч. ст. по материалам Междунар. науч.-практ. конф. / Ставрополь, 2013. С.278-280. Бондаренко, В.А., Родина Е.В. Кейс-метод в преподавании математических дисциплин // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики : сб. тр. науч. конф. Ставрополь, 2012. С. 12-17.
217
tional scientific-practical conference / Stavropol, 2013. C. 278-280. Bondarenko, VA, Rodina EV Case method of teaching mathematics // Theoretical and applied problems of modern pedagogy: Sat. tr. scientific. Conf. Stavropol, 2012. S. 12-17.
