CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XVI
198 5
№ 2
УДК 533.697.4
ВЛИЯНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ КОНТУРА СВЕРХЗВУКОВОГО СОПЛА В КРИТИЧЕСКОМ СЕЧЕНИИ НА РАСХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВЯЗКОГО ПОТОКА СО СТУПЕНЧАТЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОЛНОГО ДАВЛЕНИЯ
Проведено обобщение метода уточнения интегральных характеристик сопла на случай кусочно-однородных течений. Приведены результаты численного исследования влияния двумерности течения со ступенчатым распределением полного давления на расходные характеристики сопла. Лаваля при изменении радиуса кривизны его контура в области минимального сечения.
В последнее время в приложениях проявляется интерес к слоистым течениям, образующимся при совместном истечении через сопло двух или нескольких потоков с различными параметрами торможения и физическими свойствами газа. Такие течения, если пренебречь вязкостью, можно рассчитывать в приближении слоистой гидравлики, когда поток предполагается состоящим из слоев с одномерным течением в каждом слое, а статическое давление в нем — зависящим лишь от продольной координаты [1]. В ряде случаев важно знать, как учет двумерности влияет на характер течения и на интегральные характеристики сопла.
Численный расчет двухслойных течений невязкого газа проводился в работах [2, 3], однако данных по таким течениям явно недостаточно. В частности, не исследован практически важный для комбинированных двигателей вопрос о влиянии на расходные характеристики сопла радиуса кривизны контура в области минимального сечения.
Среди возможных постановок задач для слоистых течений определенный интерес представляет задача, рассмотренная в настоящей работе: заданы контур сопла и площади потоков Р°1 на входе в сопло, параметры торможения в слоях р0 г, ро г и отношения удельных теплоемкостей в них. Требуется определить влияние двумерности течения на расходные характеристики сопла — коэффициенты расходов для каждого из потоков и сопла в целом.
1. При численном расчете слоистых течений возникают погрешности не только в сеточных распределениях газоднамических параметров, но и в положениях границ между слоями. Метод поправок [4], развитый для однородных течений [5—7], и другие методы уточнения интегральных характеристик сопла [8, 9] не учитывают неточность определения положения границы между слоями. Поэтому в настоящей работе было проведено обобщение метода поправок на случай кусочно-однородных течений.
Пусть поток в сопле состоит из п слоев, в каждом из которых параметры торможения и физические свойства газа постоянны. Для некоторой величины а в 1-м слое введем среднее значение а площади 1-го слоя.
В. Л. Зимонт, С. В. Ягудин
Уравнения сохранения расхода, энергии и условие изоэнтропичности для каждого из слоев можно записать в следующем виде:
Я41
J (Р «)» = (Р и)1 У7,- = рг щ А1 р1 = аи (1)
% р И2 + 1/2 + да»\ "Х-г; р £,• и? г
I о / - + 5* — , (2)
•X.— 1 р 2 /,• %г—1 рг 2 (У.г— 1)рог
л / 7/ \р?
чтс*> (3)
/’о / \Рог / Р0‘\
где р — давление, р — плотность, и, с, до — компоненты вектора скорости вдоль осей х, у, г декартовой системы координат, х — отношение удельных теплоемкостей, р — давление, осредненное по всему сечению сопла,
(4)
1~1
Ви Сь &1 ~~ коэффициенты неравномерностей, определяющиеся по результатам рачетов поля течения согласно выражениям
л.-. (р “)* н. - (р ц2)г + (Р~^)г + (р ®2)г Л1--------■ ■ . -=^2----- .
РI щ Рг Иг
Ф Р1
С,- - .
Р/ Р
При заданных значениях площадей во входном сечении сопла и параметров торможения расходы определяются величиной статического давления р° в этом сечении. Таким образом, Зя+1 уравнений (1) — (4) связывают 3/1+2 неизвестных величины и,-, рг-, Бг, р и р°. Определить их можно двумя эквивалентными способами. Используя условие максимума суммарного расхода 0=26; через сопло (с применением множителей Лагранжа), можно получить следующие условие
С‘ I = 0. (5)
У1
ШЛн —c^ о,р)
В приближении слоистой гидравлики все коэффициенты неравномерностей равны единице, и условие (5) совпадает с известным (ем., например, [10]) условием запирания неоднородного течения в сопле Лаваля. Условие (5) является замыкающим для уравнений (1) — (4). Решая эту систему нелинейных уравнений каким-либо известным итерационным методом, можно уточнить расход газа и другие интегральные характеристики в минимальном сечении сопла. В настоящей работе условие (5) явно не использовалось, а давление р° просто подбиралось таким, чтобы минимальное значение суммарной площади слоев было равно площади минимального сечения сопла.
Следует отметить, что осредненные параметры в критическом сечении зависят также от значений производных в этом сечении от коэффициентов неравномерностей по продольной координате, которыми при таком подходе пренебрегается. В работе [4] для случая течения с постоянными параметрами торможения доказано, что при вычислении интегральных характеристик потока — коэффициентов расхода и ^импульса — эти погрешности компенсируются и учитывать указанные производные нет необходимости. Для рассматриваемого случая течения со ступенчатым распределением параметров торможения аналогичные результаты отсутствуют.
2. Численно методом установления с использованием конечно-разностной схемы С. К. Годунова рассчитывались двухслойные течения невязкого совершенного газа в осесимметричном сопле Лаваля, контур которого был составлен из плавно сопрягающихся между собой отрезков прямых и дуг окружностей (рис. 1). Угол наклона образующей дозвуковой части к оси сопла составлял 35,5°, а расширяющейся его части—12,5°. Радиус скругления И стенки в области минимального сечения изменялся в диапазоне от 0,1 до 1 (за единицу длины принимался радиус минимального сечения
сопла 3'*). Радиусы цилиндрических каналов, разделяющих потоки до входного сечения сопла, были з»! = 0,85 и (индексы 1 и 2 относятся к приосевому и присте-
ночному слоям соответственно).
Отношения удельных теплоемкостей газа в слоях принимались одинаковыми и равными иі=Х2=1,4. Для определенности одинаковыми в них принимались и значения температур торможения (как известно, в рамках модели невязкого газа отношение Т02ІТ01 не является характерным параметром).
При расчетах в приближении слоистой гидравлики для каждого значения у® из интервала (0, У®) можно определить диапазон значений отношения полных давлений в слоях й=рог/Роь при которых расход низконапорного газа отличен от нуля. Так, для рассматриваемого сопла (см. рис. 1) при 1,4 диапазон значений к ограничен
сверху, а приу°>1—снизу. При значении у® =0,85, выбранном для расчетов, предельное значение к, при котором течение низконапорного газа блокируется высоконапорным, приблизительно равно 1,056.
Учитывая, что в двухконтурных двигателях с совместным истечением двух потоков через сопло полные давления, как правило, отличаются незначительно, а также ограничиваясь в настоящей работе наиболее общим случаем, когда течение в обоих слоях на входе в сопло является дозвуковым, ниже приводятся результаты численных расчетов при значениях £=0,9; 1,0 и 1,05 (при этом отношения расходов в слоях, вычисленных по слоистой гидравлике, равны соответственно 620/610= 1,012; 3 и 24,316). При численных расчетах граница между слоями выделялась и устанавливалась в процессе решения при использовании сетки, подвижной в, вертикальном направлении.
На рис. 2 приведены звуковые линии и границы между слоями в окрестности минимальных сечений сопл с /?==0,1 и 1 (сплошные линии соответствуют однородному течению, штриховые линии — значению к=0,9, а штрихпунктирные — значению £=1,05). Уменьшение радиуса скругления контура приводит к тому, что отклонения звуковых линий при £=0,9 и 1,05 от звуковой линии однородного течения уменьшаются во втором слое, особенно вблизи стенки сопла. По слоистой гидравлике положения границ между слоями в минимальном сечении не зависят от закона изменения площадей поперечных сечений сопла (при фиксированных значениях параметров торможения и площадей /г°) и указаны на рис. 2 стрелками.
На рис. 3 приведены результаты расчетов коэффициентов расхода для каждого
ИЗ ПОТОКОВ (Хг!
(А/=6//6г о (*=1.2), а на рис. 4 — суммарного коэффициента расхода ц:
_ 6| + 62
6)0 + 620
где й1 и 62 — расходы в потоках, уточненные описанным выше способом.
Рис. 2
Из кривых, приведенных на рис. 3, следует, что в случае 6=1,05 влияние двумер-ности на расход низконапорного газа чрезвычайно велико, что объясняется близостью этого режима к предельному с £=1,056, при котором расход низконапорного газа обращается в нуль. Отметим, что при £=1,05 наблюдалась значительная разница в положениях границы между потоками, полученных из газодинамического расчета и из формул слоистой гидравлики с учетом коэффициентов неравномерности. По-видимому, это связано с особенностью метода Годунова, для которого характерен заметный рост потока энтропии вдоль течения.
Кривые рис. 4 иллюстрируют качественно понятный результат, состоящий в том, что с уменьшением радиуса кривизны в критическом сечении уменьшение коэффициента расхода значительно меньше в случае течения высоконапорного потока в центральной части сопла.
Следует отметить, что для двухслойных течений, по-видимому, отсутствуют аналитические результаты для коэффициентов расхода, с помощью которых можно было бы так же надежно апробировать предлагаемый способ уточнения, как это было сделано с привлечением известных аналитических решений для течений с постоянными параметрами торможения в работе [5]. Поэтому для контроля в дополнение к расчетам при £=1 на полуподвижной сетке с выделением границы между потоками были проведены расчеты однородного течения в сопле с фиксированной сеткой, состоящей из такого же числа ячеек 22X46. Уточненные значения коэффициентов расхода при
0,1 <^<1 для этих расчетов, найденные по формулам для течений с постоянными параметрами торможения, приведенным в работе [7], с точностью до сотых долей процента совпали со значениями р,, полученными по методу настоящей работы для двухслойного течения с £=1 и приведенными на рис. 4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bernstein А., Н е i s е г W. Н., И е v е п о г С. Compound compressible nozzle flow. Trans. ASME, Ser. E. — J. Appl. Mech., 1967, vol. 34,
N 3.
2. П и p у м о в У. Г. Исследование двухслойных течений в сверхзвуковых осесимметричных соплах. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.
3. Л а н ю к А. Н. О влиянии двумерности течения газа со ступенчатым распределением полных параметров на интегральные характеристики сопла Лаваля.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, № 3.
4. Зимонт В. Л. Метод повышения точности расчета интегральных характеристик потока в сверхзвуковых соплах. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 2.
5. 3 и м о н т В. Л., Я г у д и н С. В. Об увеличении точности определения интегральных характеристик сопл на основании численных расчетов поля течения. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. IX, № 3.
6. Я гудин С. В. Сокращение времени и увеличение точности определения коэффициента импульса сверхзвуковых сопл при расчетах численными методами.—Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 3.
7. Я г у д и н С. В. Численный анализ влияния пространственности сверхзвукового сопла на коэффициент импульса. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 1.
8. D a s h S. Analysis and desing of three dimensional supersonic nozzles. — NASA CR-132350, 1972.
9. К P а й к о A. H. Определение интегральных характеристик сопл при течении в них идеального газа.—Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 3.
10. Pearson Н., Н о 11 i d а у J. В., Smith S. F. A theory of the cylindrical ejector supersonic propelling nozzle. — J. Roy. Aeronaut. Soc., 1958, vol. 62, N 574.
Рукопись поступила lOjVIlI 1983
