CC BY
13
УДК 532.51
A. В. Чупаев, Р. Р. Галямов, А. А. Гайнуллина,
B. В. Кузьмин
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ГРАДИЕНТОВ ДАВЛЕНИЯ НА ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА
Ключевые слова: турбулентный поток, градиент давления.
В статье дано описание нестационарного турбулентного течения нагретого газа на базе интегральных соотношений неразрывности, импульсов и энергии.
Keywords: turbulentflow, the pressure gradient.
The article describes the unsteady turbulentflow of hot gas on the basis of integral relations of continuity, momentum and energy.
Для исследования характеристик нестационарных турбулентных потоков существует возможность применения различного
экспериментального диагностического
оборудования [1, 2]. Однако использование подобных средств диагностики не всегда оправдано, а иногда затруднительно. Альтернативой экспериментальным методам исследования является математическое моделирование, которое, применительно к рассматриваемой задаче может быть проведено, в частности, на основе интегральных соотношений неразрывности потока, импульсов и энергии в приближениях теории пограничного слоя. Эти соотношения получаются из уравнений (1), (2), (3):
f +1£)+f )= 0
да да дах
р ^ + рах ——+ ра
dt дх дх
дР 1 д =--+--
дх r дг
р дТ + дТ + дТ
Р^Р^Т + РСРах^- + pcpar
д/ дх дr
дх
1 д
(qzr)+
r дт где т2 = и
со г
дР дх
дах
5y дТ
(1)
(2)
(3)
■ рах ar
qz =Л — ~ pCpa'r Т'
Gy
В результате умножения их на
почленного ингрирования по радиусу канала:
s fp> i т
[р-(Тг-*р|+| Ь ($-«•!
(т-i*j=
+ 1 р а f '0 S-+&Г ра1Т-S
д
p0m0 f ^-S+)
= 0.
_д_ дх
Роао21 у -S
- S+-S++J
1 дг0 2 f r0 + --х. р-а--S то дх
-S+-S++^j =
-dr и
(4)
(5)
r- дР
S ' = У ах "rw
Срр-а-{Т-(|- S+)-( -TwК+}(|- S+ S+j-(( - Tw )
+ 1 дт- С
=-qw + а
где
2 8Р
дх '
S+=S [' -
т
s++=J
рах р-а- J
rdr
1 -
ах
рах
р-а
=J
-
Т/
S+= J [■ -
rdr
Т - Т
1 --_w
Т — Т
Т - 1w
dr
- J
*рр=i(1 -р
р- J
dr
dr
(6)
Выражение для локальных коэффициентов трения и теплоотдачи в виде
С,
= (1 )2
St'-
(Ь
db
рТ2 Ь
(7)
1
1
1 - ¥т л-1
1 Tl
(8)
а также для профилей скорости и плотности по толщине турбулентного пограничного слоя
а = 1 - -
1
•J
рт 2
Ь
(9)
+
+
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
2
т
т
+
р =
/ 12 1/1 -1 — • S/1
Ц Cf
Prtd£
T2i 4
(10)
Получены на основе использования гипотез Л.Прандля и Ж.Фурье, в виде известных соотношений
— nx nr = l2
П ду
дпх
ду '
(11)
для турбулентных касательных напряжений, и для плотности тепловых потоков
Ох T' = l •
дпх
ду
дт
"дУ
(12)
Для аппроксимации распределений
касательных напряжений и тепловых потоков,
входящих в (7), (8), (9) и (10) использованы полиномы
т = 1 -3#2 + 2#3 + *(-2# + #2), г*> 0
т = 1+^-(1+т*)1+т*, 7~<о (13)
д = 1 - 3#2 + 2#3 + д**^ - + ), * 0
д = 1 + + У*), 4*< 0 (14)
взятые из работ [2], [3].
Нахождение параметров т* и д* не
представляет сложности. Для этого уравнение (2) исходя из условия прилипания жидкости к стенке, представляется в виде
ёР
dP 1
--+ -
dx r
'dг dr >
+ Tr,
dr
= 0
а из него получается (16):
гп =
'дг^
S S дР = - + -
r0
'0
Гп дх
(15)
(16)
Для потенциального ядра потока, выражение для продольного градиента давления имеет вид:
dp dx
-Роюо '
dn0 dx
■Ро-
dn0
dt
Окончательно имеем:
jr = 7 + 2 + S = S „ „ dn0 гп = 7 + À + — = — " "
рот
dt
S dn0
S
(17)
(18)
rn
-Ро-
dt
Аналогичным способом и с учетом условий
dT dTn
на стенке T = Tn= const, — = —— = 0, nx = 0, из
dx dt
уравнения (3) производной q'n :
получается выражение для
-г- S
qn =
r0
(19)
0
Выражения для параметров на внешней границе вязкого подслоя
= 11.6
R+
S
S
if 11.62
' г \ 1
2
R+
S
(20)
(21)
S
входящие в (7) и (8), получены интегрированием (2) в пределах вязкого подслоя с использованием линейного закона «стенки»:
у+ = У + . (22)
Для установления связи между плотностью рабочего тела и параметрами состояния Р и Т воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева Р = РКГ , (23)
считая, что рабочее тело представляет собой совершенный газ, а турбулентное число Прандтля Р^ независимо от фактора гидродинамической
нестационарности и равно 0,9.
Решение системы (4) - (6), для области гидродинамического начального участка проведено, конечноразностным методом. Расчетная сетка показана на рис.1.
t
1+1
-ib-
i-1
Рис. 1 - Расчетная сетка
Уравнения (4), (5), (6) заменялись, конечноразностными аналогами в явном виде с первым порядком аппроксимации.
Граничные и начальные условия на каждом шаге аппроксимации задавались в виде:
(24)
Р01 = f1(t ), О = f2(t), S+1 = f3(t ), p = f4(t). nh = x) > S+ = g 2( x) РЫ = g3(x) , Pl = g4(X). (25)
Условия (24) задавались при постановке задачи, а начальные условия в первом приближении принимались в виде
О = /2(0), S+ = /з(0)
Р1 = /¡(0), p = /4(0). (26)
Расчет начинался с точки (1;1). По известным значениям параметров о0,
dn0 dn0
Р0 , S+ , Р и
dx ' dt
производился расчет по
2
—1
и
q
r
œ
ш
r
r
0
n
+
r
0
формулам (7)-(21) итерационными методами до выполнения условий:
€
/-1П+1 С/
С
< 10
,-8
2 2 - ,»"1 < 10-8,
где п - номер итерации. В каждой расчетной точке определялись б++, б++, б+ , б+ , д®, т(а,8 .
Начальные условия задавались
приближенно, поэтому применялся нестационарный метод расчета. Расчет производился до тех пор, пока не выполнится условие для каждой точки (г, у):
т+1 ^ л п.— 6
\Р0 —Р0 < 10
б+и+1 — б+т < ю-8
„м+1 ^ 1 А-5
( - (0 < 10
(27)
Таблица 1 - Условия расчетов
Номер режима 1 2 3
Тип канала цилиндр диффузор Конфу зор
Угол раскрытия, гяа 0 0,021875 0,0218 75
Длина
предвключенного 0 0,225 0,225
участка, м
Диаметр
предвключенного 0,05 0,05 0,075
цилиндра, м
Период, сек 0,55 0,5 0,5
гт7; [м/с] 47,5 60 50
А 0,47368 0,66666 0,6
Сетка, .'■";.■..'■',■ 27х47 51х51 51х51
Ниже в качества примера приведены результаты расчета некоторых гидродинамических параметров нестационарного турбулентного течения воздуха в цилиндрических, конфузорных и диффузорных каналах. Во всех расчетах распределение скоростей во входных сечениях каналов (при х=0) принималось равномерным, а изменение расхода рабочей среды - происходящим по горманическому закону следующего вида (28):
,(1 - А 008®/)
(28)
Наблюдаемая на графиках (рис. 2) картина свидетельствует о том, что при нестационарном, в частности, в пульсирующем течении рабочего тела в закрытом канале изменения различных параметров потоков в различных сечениях гидродинамических начальных участках происходят с существенными сдвигами по фазе. Причем характер этих сдвигов в значительной степени зависит от формы проточной части канала.
0.2
0.8
0,4
Х[м]
Рис. 2 - Изменение фазовых сдвигов скоростей потока в потенциальном ядре по длине цилиндрического (1), диффузорного конфузорного (3) каналов
(2)
х[м]
[1.3
0.4 0.5
0.1 0,2
Рис. 3 - Изменение осредненных за период пульсации потока значений пристенных касательных напряжения по длине гидродинамического начального участка в цилиндрическом (1), диффузорном (2) и конфузорных (3) каналов
Гш
1
0.' 0,2 V ~ - - _ _
3 ' \
N
Рис. 4 - Фазовые сдвиги в колебаниях пристенных касательных напряжении по длине гидродинамического начального участка в цилиндрическом (1), диффузорном (2) и конфузорных (3) каналов
На рис. 5 представлены пространственно-временные развертки значений локальных коэффициентов трения (а), толщины вытеснения (б), и толщины потери импульса (в) в области гидродинамических начальных участков диффузорного канала.
■ ДО
:=0.0»
Рис. 5 - Пространственно-временные развертки значений локальных коэффициентов трения (а), толщины вытеснения (б), и толщины потери импульса (в) в области гидродинамических начальных участков диффузорного канала
Условные обозначения
х, г - оси цилиндрической системы координат,
[м];
сод, а>г - проекции осредненных значений скоростей на соответствующие оси, [м/с]; Т - температура,[ Ё° ];
( 3
р - плотность, [кг/1 ]; т - касательное напряжение, [н/1 2 ];
, 2
д - плотность тепловых потоков, [Вт/1 ] Я - универсальная газовая постоянная; А - амплитуда;
Ш - циклическая частота, [1/сек]; Индексы:
1 - вход в канал или внешняя граница вязкого
Ш - на стенке; 0 - на оси.
подслоя;
Литература
1. Юшко С.В. Газодинамический стенд для изучения стационарных и нестационарных турбулентных воздушных потоков в трубах / С.В. Юшко. Вестник КНИТУ. -2013. № 21. - с. 125-128.
2. Кузьмин В.В. и др. Установка для метрологического обслуживания, динамических испытаний и газодинамических исследований преобразователей расхода / В.В. Кузьмин, А.А. Гайнуллина, А.Н. Ахмерова. Вестник КНИТУ. -2013. № 10. - с. 289-292.
3. Кутателадзе С.С. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа / С.С. Кутателадзе, А.И. Леонтьев. Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 180с.
4. Федяевский К.К. Нестационарный турбулентный пограничный слой крылового профиля и тела вращения / К.К. Федяевский, А.С. Гиниевский. ЖТФ. - 1959, т.29, вып.7, с. 916-923.
5. Фафурин А.В. Законы трения и теплоотдачи в турбулентном пограничном слое. В сб. тепло- и массообмен в двигателях летательных аппаратов / А. В. Фафурин. Межвузовский сборник. -1979. - Казань, вып.2, с. 62-69.
а
б
в
© А. В. Чупаев - канд. техн. наук, доц. каф. САУТП КНИТУ, [email protected]; Р. Р. Галямов - ст. препод. той же кафедры; А. А. Гайнуллина - асс. той же кафедры; В. В. Кузьмин - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.
