Влияние поверхностной активности реагентов на хемоконвективную устойчивость несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 532.6

ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ АКТИВНОСТИ РЕАГЕНТОВ НА ХЕМОКОНВЕКТИВНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*

Е.В. Аитова, Д.А. Брацун

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, г. Пермь

EFFECT OF SURFACE ACTIVITY OF REAGENTS ON THE STABILITY OF HEMOKONVEKTIVNUYU INCOMPRESSIBLE FLUID

E.V. Aitova, D.A. Bratsun

Perm state humanitarian pedagogical university, Perm

В данной работе исследуется влияние химической реакции первого порядка на конвективную устойчивость слоя жидкости, имеющего свободную поверхность. Рассматривается задачи о проникновении реагента A через поверхность в среду, с которой он вступает в реакцию, в результате которой выделяется продукт S. Предполагается, что оба участника реакции могут проявлять поверхностно активные свойства. Задача об устойчивости основного состояния, характеризуемого процессами реакции-диффузии, по отношению к монотонным возмущениям концентрационно - капиллярной природы, решена аналитически. Показано, как влияют на механическое равновесие жидкости основной реагент и продукт реакции, а также скорость прохождения реакции. Получены нейтральные кривые концентрационной неустойчивости Марангони.

Ключевые слова: поверхностная активность, конвективная устойчивость, свободная поверхность, реакция-диффузия, концентрционно-капиллярная конвекция, неустойчивость Марангони.

In this work we investigate the effect of first-order chemical reaction on the convective stability of a liquid layer having a free surface. We consider the problem of the penetration of the reagent A through the surface in an environment with which it reacts, resulting in the released product S. It is assumed that both participants in the reaction may exhibit surface active properties. The problem of the stability of the ground state, characterized by a reaction-diffusion processes, with respect to monotonic perturbations of concentration - capillary nature, is solved analytically. It is shown how to influence the mechanical equilibrium of liquid the main reagent and reaction product, as well as speed of response. Concentration curves obtained for the neutral Marangoni instability.

Key words: surface activity, convective stability, free surface, reaction-diffusion, the concentration capillary convection, Marangoni instability.

Связь между химическими реакциями и гидродинамическими неустойчивостями является достаточно новой областью исследований. Во многих случаях эти процессы могут взаимодействовать: например, химическая реакция за счет ряда механизмов может привести

© Аитова Е.А.,Брацун Д.А.,2013

*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и образования РФ (ГК № 1.3103.2011), Министерства образования Пермского края (грант С-26/244) и в рамках Проекта №031-Ф Программы стратегического развития ПГПУ

к генерированию гидродинамических течений, которые, в свою очередь, интенсифицируют протекание реакций.

В последние годы внимание немалого числа исследователей приковано к изучению реакции нейтрализации кислоты основанием с выделением соли и форм её взаимодействия с

гидродинамическими явлениями [1—7]. Этот интерес стимулируется сравнительной простотой реакции нейтрализации и многочисленными приложениями. Как оказалось, реакция нейтрализации приводит к появлению сложных хемоконвективных структур [1, 2, 4, 5, 8], возникновению экстремальной деформации межфазной поверхности [3], используется для внешнего управления структурообразованием в реакторе [6, 8], генерирования необычныч шахматных структур из соляных пальцев [7, 8] и даже фрактальных пространственных паттернов в тонких слоях [9].

Данная работа посвящена изучению протекания химической реакции первого порядка А —-^ £, которая является упрощенной моделью реакции нейтрализации. С одной стороны,

упрощение позволяет получить аналитическое решение задачи устойчивости, а с другой — сделанные допущения во многих ситуациях не являются критическим, и модель может быть использована для характеристики процессов, протекающих во время объёмной и поверхностной реакции нейтрализации.

Математическая формулировка задачи. Пусть жидкость заполняет полубесконечную область пространства -да< 2 < 0, которая ограничена сверху плоской недеформированной свободной границей (рис.1). Будем считать, что реагент с концентрацией А поступает в жидкость сверху через свободную границу и реагирует там без остатка, выделяя продукт £. Скорость реакции характеризуется коэффициентом К. Таким образом, в слое происходит реакция первого порядка:

А -—^8, (1)

реагент А реагент А

п \г Я,

о

Свободная поверхность

сурфактант 5 сурфактант 5

Рис.1. Схематическое изображение системы

Необходимо отметить, что реакция (1) представляет собой упрощение реальной реакции нейтрализации, так как здесь мы пренебрегаем кинетикой основания, предполагая, что оно равномерно растворено в жидкости и не убывает в ходе реакции. Кроме того, как известно, реакция нейтрализации протекает со значительным выделением тепла, которым мы в рамках данной задачи также пренебрегаем [1, 3, 4]. Последнее допущение можно обосновать малостью характерного времени распространения тепла по сравнению с временем диффузии реагентов. Расчеты показывают, что термокапиллярные возмущения являются менее опасными [2, 8].

Тем не менее, кинетическое уравнение (1) довольно точно моделирует поведение кислоты в реакциях нейтрализации и позволяет точно смоделировать динамику соли. Кроме того, реакция первого порядка (1) дает возможность получить решение для невесомости в аналитическом виде. Рассматриваемая система является автономной, так как градиент кислоты на поверхности имеет постоянное значение.

Учитывая эти замечания, система уравнений в приближении Буссинеска имеет следующий вид:

дv 1

---ъ V-Уу =------Ур + vAv, (2)

д * Ро

дА

— + у-УА = DAAA — КА, (3)

д t А У ’

дя

— + V-УЯ = DSAS + КА, (4)

д t я к '

где V - вектор скорости, р - давление, р 0 - плотность раствора, Ds - коэффициент диффузии соли, DA - коэффициент диффузии кислоты. В уравнении (2) слагаемое, отвечающее за объемную силу, было опущено, так как предполагается, что система находится в невесомости. Граничные условия на поверхности г = 0 имеют вид:

V, = 0, (5)

д2 уг д2 А д2 Я

Т = аА--------------------------^ 7

д 2 д х д х

7

З2 V ^2 л я2

= °а^ + , (6)

дА

—А^~ + 7 А (А - А 0) = 0 (7)

д 7

д Я

+ 7я (Я - Я о) = 0, (8)

д7

где а А, а я - концентрационный коэффициенты поверхностного натяжения реагентов, у А -коэффициент проникновения кислоты через поверхность, у я - коэффициент испарения соли с поверхности; А0 и Я0 - равновесные концентрации над свободной поверхностью. Как

видно из условия (6), предполагается, что как кислота, так и соль могут оказывать влияние на поверхностное натяжение.

Граничные условия далеко от поверхности 7 = —да имеют вид:

V=0 (9)

дА

— = 0, д7 (10)

дЯ Л

— = 0, д7 (11)

Так как в задаче нет явного масштаба длины, то его можно скомбинировать из

физических констант, характеризующих процесс. Положим, например, И = —А.

У А

Это означает, что концентрационное число Био для проникающего реагента имеет фиксированное значение или, по-другому, на свободной поверхности задан постоянный поток кислоты. Учитывая это замечание, введем следующие единицы измерения: длина -

—а —А Р 0 уУ А л о с

—А, время-------А-, скорость - у А, давление--0—А, концентрация - А0. В безразмерном

У А vу А —А

виде уравнения (2-4) принимают вид:

д t

Г раничные условия (6-8) записываются как

дЧ

д г2

дк д 2

дv 1

---1---V •'Уу =-V» + Av, (12)

д tSе к ’

Ъе — + V •УА = АА - а2 А, (13)

д t К ’

дК

Ъе— + V • УК = DSAS + а2 А. (14)

^ д2А д2Ъ = МА д X 2 + М а X 2- (15)

дА+а -1=0, д 2 (16)

( К \ -+бк ъ - = 0, Ъ л (17)

10

V

где введены следующие обозначения для безразмерных параметров: Ъе =--------число

D А

V Р ^ а 0 а

Шмидта; БК = ——А - концентрационное число Био для соли; МА = А 0 и МК = Ъ 0—

УаРк Ша ПУ а

1 1

Л-г Р2 к2

концентрационные числа Марангони для кислоты и соли соответственно; а =------------

Уа

число Дамкёхлера. Остальные граничные условия (5,9-11) записываются без изменений.

Числа Шмидта Ъе есть отношение характерного диффузионного времени к характерному гидродинамическому. Обычно этот параметр принимает большие значения, что означает быстрое затухание гидродинамических возмущений по сравнению с процессами диффузии реагентов.

Параметры Марангони имеют смысл отношения термокапиллярной силы к вязкой силе и отвечают за поверхностные явления. Как правило, поверхностное натяжение убывает с концентрацией поверхностно-активного вещества. Число Дамкёхлера определяет безразмерную скорость протекания реакции.

Основное состояние. Так как мы предположили наличие постоянного потока кислоты через свободную поверхность (16), уравнения (12-14) с граничными условиями (5, 9-11, 15-17) допускают стационарное решение, которое соответствует процессам реакции-диффузии при одновременном механическом равновесии жидкости. Предполагая дд

— = 0, — = 0, V = 0 , получим: д t д х

д2 А0 2

- а А = 0, (18)

г 2 +а А = 0 (19)

д 2

Решая уравнения (18-19) с граничными условиями (10-11) и (16-17) получаем:

А 0( г) = ^— еаг, (20)

а +1

S 0( г) =

1

DS (а + 1)

(1 - еаг),

(21)

Задача устойчивости. Рассмотрим задачу о малых возмущениях основного состояния (20, 21). Вводя нормальные возмущения и , а, 5 для скорости и концентраций реагентов, получаем следующую систему уравнений для малых монотонных возмущений:

“ “ - 2к 2“ ^ + к и — 0, й г4 й г2 (22)

й2 а 2 ^ ТТйЛ° —^- (к + а ) а — и , йг 2 йг (23)

й25 ,2 1 тт й50 а2 —- - к 5 — и а. й г DS йг DS (24)

К уравнениям (22-24) необходимо добавить граничные условия на свободной поверхности:

и — 0, (25)

й ^ " (26)

йг

2 + к Аа + к s 5 — 0,

и вдали от поверхности:

йа

--------+ а — 0,

йг

й5 0 ~

-------Ъ В„5 — 0,

йг 5

и — 0 йи

йг

— 0,

йа — 0

йг

й5 — 0.

йг

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Здесь: к - волновое число по оси х, и - вертикальная компонента возмущения скорости.

Задача (20-32) может быть решена аналитически по аналогии с тем, как это сделал Пирсон [10] в задаче о плоском слое, подогреваемом снизу. Так как уравнение для возмущения скорости (22) не зависит от остальных переменных, то его решение с учетом (25, 29-30) найти проще всего:

и (г) — £, гекг, (33)

где £, - неизвестная амплитуда, которая определяется из условия разрешимости всей системы. После нахождения скорости удобно решить уравнение для возмущения концентрации кислоты (23) совместно с граничными условиями (27, 31):

— „ ((а + к)(а +1) + к 2) фг + ( 2ак 2(а + 1)(ф +1)

1

а + к

\

-г - -

2к (а +1) 2ак (а +1)

,(а+ к ) г

(34)

4

2

где ф —л/к2 +а2 . В последнюю очередь решается уравнение для возмущения концентрации соли (24):

кг е ((а + к)(а +1) + к2) ф^ е (к + а)(Dsа2 + 4ка^ +4к2)(а+к>

5(г ) — Л е -С-------т------------е + С-------т т---------- ---------е -

2DSак (а + 1)(ф +1) 2к2DSа(2к + а)2(а +1)

-С г_____(а°5 +2к )_____е (“+к) г . (35)

2кБ1 (2к + а)(а +1)

Здесь л - еще одна неизвестная амплитуда, которая должна быть определена из условия разрешимости.

Сравнивая формулы (34) и (35), можно заметить любопытный факт: значительная часть возмущения концентрации кислоты (первое слагаемое в (34)) вычитается из возмущения концентрации соли (второе слагаемое в (35)). Таким образом, чем больше возмущение входящего реагента, тем меньше возмущение продукта реакции и наоборот. Это значит, что возмущения будут взаимно подавлять друг друга.

Рис.2. Характерный вид возмущения концентрации кислоты, построенный по формуле (34);

к — 1, С— 1, а — 1

Рис.3. Характерный вид возмущения концентрации соли, построенный по формуле (35);

к — 1, С— 1, Л — -1, а — 1, — 1

На рис. 2 и 3 представлены характерные виды возмущений кислоты и соли, построенные по формулам (34) и (35) соответственно. Отметим, что на рис.3 было взято

значение параметра ^ = -1, так как удовлетворение условия разрешимости приводит к выводу о том, что £ и ^ принимают значения в противофазе.

Условие разрешимости системы получается, если подставить полученные решения (33-35) в оставшиеся неиспользованными граничные условия (26) и (28):

М5 =

БЦк + В5 )(Ф, + МА Ф 2) а (ф + 1)Ф з + (к — ф)Ф 4

(36)

где

Ф1 = 4ак(а + 1)(ф +1),

Ф 2 = (а + к)(а — ф) + к2,

а2 + 4каО„ + 2О„к2 + 2к2

Ф3 = —----------------^^-----------------

3 (2к + а)2

Ф2 = (а + к)(а +1) + к .

(37)

На рис. 4 для разных значений скорости реакции представлены нейтральные кривые для концентрационной конвекции Марангони в случае, когда единственным поверхностноактивным веществом является соль: МА = 0. Как видно из рисунка, при уменьшении скорости реакции длина волны возмущения растёт. Кроме того, скоростные реакции оказываются менее опасными, так как нейтральные кривые для них лежат значительно выше (график приведен в логарифмическом масштабе).

М*

/кГ

0.1

а =о.оі

Рис. 4. Нейтральные кривые концентрационно-капиллярной конвекции для разных значений числа Дамкёхлера; О = 1, В3 = 1, М А = 0

Что касается концентрационно-капиллярных возмущений, генерируемых кислотой, то они все затухают. Это легко показать, допустив М8 = 0 в формуле (36):

МА = —

4ак (а + 1)(ф +1) (а + к)(а — ф) + к2

(38)

Выражение (38) отрицательно при любом сочетании параметров. Учитывая, что как кислота, так и соль в рассматриваемой системе уменьшают поверхностное натяжение (см., например, экспериментальную работу [1]), числа Марангони могут принимать только положительное значение. Таким образом, просачивающаяся через свободную поверхность и тут же реагирующая кислота не способна раскачать неустойчивость в одиночку.

Тем не менее она оказывает существенное влияние на устойчивость системы по отношению к возмущениям концентрации соли. Достаточно сравнить вид возмущений реагентов (рис. 2 и 3) и формулы для возмущений (34) и (35), чтобы заметить, что кислота

действует в противофазе с солью. Таким образом, увеличение числа Марангони М А автоматически ведет к стабилизации системы по отношению к действию соли. Нейтральные кривые конвекции представлены на рис. 5. Любопытно, что при стабилизации система теряет четкий минимум нейтральной кривой, что означает одновременное возбуждение возмущений из широкого диапазона длин волн.

к

Рис. 5. Нейтральные кривые концентрационно-капилярной конвекции, генерируемой солью для разных значений числа Марангони кислоты; DS = 1, BS = 1, а = 1

Выводы. В работе предложена модель полубесконечного пространства, заполненного несжимаемой жидкостью и ограниченного сверху свободной поверхностью. Рассамотрена задача о конвективной устойчивости этой системы в случае, когда в жидкость просачивается реагент, вступающий в реакцию первого порядка. Эта модель обладает несомненными достоинствами, такими как геометрическая простота, стационарность условий протекания процесса, линейность реакции. Рассмотрение модели позволило выяснить некоторые общие закономерности взаимного влияния кинетических хемопроцессов и конвективного массопереноса, которые происходят при реакции нейтрализации.

Список ссылок

Eckert K., Acker M., Shi Y. Chemical pattern formation driven by a neutralization reaction. Part I: Mechanism and basic features // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P. 385-399.

Bratsun D.A., De Wit A. On Marangoni convective patterns driven by an exothermic chemical reaction in two-layer systems. // Phys. of Fluids. Vol.16. 2004. P. 1082-1096.

Shi Y., Eckert K. Orientation-dependent Hydrodynamic Instabilities from Chemo-Marangoni Cells to Large Scale Interfacial Deformations // Chinese J. of Chem. Eng. 2007. Vol.15.

P. 748-753.

Shi Y., Eckert K. Acceleration of reaction fronts by hydrodynamic instabilities in immiscible systems // Chem. Eng. Sci. 2006. Vol. 61, №.17. P. 5523-5533.

Rongy L., Trevelyan P. M. J., De Wit A. Dynamics of A+B^-C reaction fronts in the presence of buoyancy-driven convection // Phys. Rev. Lett., 2008. Vol. 101, № 8.

P. 084503-084507.

Брацун Д.А., Де Вит А. Об управлении хемоконвективными структурами в плоском реакторе // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.2. C. 6-13.

Bratsun D.A. and De Wit A. Buoyancy-driven pattern formation in reactive immiscible two-layer systems // Chem. Eng. Sci. 2011. Vol. 66, №.22. P.5723-5734.

Брацун Д.А. Хемоконвективное структурообразование в реагирующих жидкостях // LAM Lambert Academic Publishing. 2012. C. 145.

Experimental reaction-driven liquid film fingering instability / L.A. Riolfo, J. Carballido-Landeira, C.O. Bounds, J.A. Pojman, S. Kalliadasis, A. De Wit // Chem. Phys. Lett. 2012. Vol.

534. P. 13—18.

Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. Vol. 4. P. 489-500.

УДК 532

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИФФУЗИИ ПАРОВ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ

В КАПИЛЛЯРЕ ЖИДКОСТИ

В.В. Дьякова, Д.А. Полежаев

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет

THE EXPERIMENTAL STUDY OF VAPOR DIFFUSION OF OSCILLATING

LIQUID IN A CAPILLARY TUBE

V.V. Dyakova, D.A. Polezhaev

Perm state humanitarian pedagogical university, Perm

Экспериментально изучается диффузия паров жидкости (изопропилового спирта) в капилляре в отсутствие и при наличии ее колебаний. В экспериментах исследуется испарение изопропилового спирта в капиллярах различного диаметра в зависимости от амплитуды и частоты колебаний жидкости. Обнаружено, что интенсивность диффузии спирта в потоке осциллирующего воздуха значительно превосходит темп диффузии в неподвижном газе. Показано, что эффект возрастает при увеличении числа Пекле. Показано, что интенсификация диффузии обусловлена возникновением дисперсии Тейлора [1]. Результаты хорошо согласуются с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Ключевые слова: жидкость, диффузия, капилляр, колебания.

The vapor diffusion of liquid in a capillary tube in the absence and presence of liquid oscillations is experimentally studied. It is found that evaporation rate enhances under liquid oscillation; the effect is proportional to Peclet number. The analysis demonstrates that the effect is determined by Taylor dispersion. The diffusion rate is studied in dependence on a capillary tube diameter, frequency and amplitude of liquid oscillations.

Key words: fluid, diffusion, capillary tubes, oscillations.

Экспериментальная установка. Рабочая жидкость заполняет шприц 1 (рис. 1), к игле которого крепится длинный стеклянный капилляр 2. Шприц устанавливается внутри металлической кюветы 3, предназначенной для термостатирования жидкости (принцип работы описан в [1]). В экспериментах используются шприцы, имеющие резиновую прокладку (трехкомпонентные шприцы). Упругая и плотно прилегающая к стенке шприца прокладка используется в качестве мембраны 4 для создания колебаний жидкости. Мембрана приводится в движение штоком 5, прочно установленным в центре акустического динамика 6.

Управление акустическим динамиком осуществляется посредством цифрового генератора ПГСФ-052 и усилителя DIGISYNTHETIC DP3200. Электрический сигнал от генератора транслируется в усилитель, а затем в акустический динамик; уровень

© Дьякова В.В., Полежаев Д.А., 2013

сигнала можно варьировать как генератором, так и усилителем. Частота и амплитуда колебаний жидкости в капилляре изменяются в диапазонах / = 0-20 Гц и Ь = 0 - 7 мм соответственно.

Об интенсивности диффузии паров жидкости вдоль оси капилляра можно судить по изменению положения границы раздела «жидкость - газ» в капилляре. Эксперименты показывают, что скорость смещения мениска вглубь капилляра зависит от интенсивности колебаний жидкости и ее температуры.

Рис.1. Схема экспериментальной установки: 1 - шприц, 2 - капилляр, 3 - металлическая кювета, 4 - мембрана, 5 - подвижный шток, 6 - акустический динамик

Для изучения траектории колебательного движения мениска в капилляре используется высокоскоростная видеокамера высокого разрешения Basler А402к с объективом типа HELIOS-44M-4. В зависимости от условий эксперимента частота съемки составляет 140 - 200 кадров в секунду при разрешении 800*400 точек на кадр, что позволяет получить 5 - 40 изображений мениска в течение одного периода колебаний. Для определения координаты мениска видеоряд обрабатывается с помощью прикладных программ, методика обработки описана в [1].

Для исключения влияния осцилляций температуры на динамику испарения жидкости используется регулятор «Термодат 13К2», который позволяет контролировать температуру с точностью до 0,1°С [1].

Типичные результаты измерения координаты положения мениска приведены на рис. 2. При малых и умеренных амплитудах мениск совершает гармонические колебания (рис. 2, а и б). Отклонение от гармонического закона наблюдаются в диапазоне Ь > 3 мм (рис. 2, в); результаты подобных экспериментов в работе не учитываются.

Методика проведения эксперимента. Заполненный рабочей жидкостью шприц помещается в кювету. С помощью регулятора устанавливается температура жидкости (как правило, на 1 - 2°С выше, чем комнатная температура). Эксперимент начинается, когда температура жидкости достигает температуры уставки и мениск находится вблизи края капилляра.

а

б

I. С

в

Рис. 2. Траектория движения границы раздела «жидкость - газ»; d = 1,6 мм, / = 7 Гц,

Ь = 1,7; 3,0 и 3,8 мм (а - в)

а б в г

Рис. 3. Фотографии границы раздела изопропиловый спирт - воздух в отсутствие вибраций в капилляре й = 1,6 мм, время между последовательными кадрами составляет 1500 с (а - г)

Фотокамера №коп D40 регистрирует положение границы раздела «жидкость -

газ», освещаемой светодиодной лампой. Управление фотокамерой осуществляется

с помощью программы DcamCapture, которая позволяет делать произвольное

количество фотографий через установленный интервал времени.

Как правило, эксперимент длится 3 - 4 часа, что позволяет получить 500 - 1000

фотографий. Примеры фотографий границы раздела «изопропиловый спирт - воздух»

приведены на рис. 3. Каждое изображение обрабатывается и вычисляется координата

мениска относительно вершины капилляра. По результатам строится график

1 /2

зависимости координаты мениска 2 от корня квадратного из времени t (рис. 4). Для оценки качества полученных результатов проводится сравнение экспериментальных данных с теорией. Закон диффузии Фика позволяет получить выражение для зависимости 2 = ) [1]:

2 = .РО^ , (1)

где параметр

А =

2О— (2)

Р®

определяет темп испарения жидкости из капилляра и численно равен тангенсу угла

1/2

наклона прямой на плоскости t , г (рис. 4); О - коэффициент диффузии паров жидкости в воздухе, р- плотность насыщенных паров жидкости, р®- плотность

жидкости. Для экспериментального определения коэффициента диффузии О паров

1/2

жидкости в воздухе достаточно вычислить наклон прямой на плоскости t , г. Эксперименты показывают, что при наличии вибраций диффузия паров из капилляра также подчиняется закону (1). В таком случае эффективный коэффициент диффузии О зависит от частоты и амплитуды вибраций и для его вычисления можно воспользоваться выражением

О* = А*2Р®. (3)

2р ^ ;

Р

Параметр А численно равен тангенсу угла наклона графика зависимости 2 = )

при наличии вибраций и вычисляется экспериментально.

Результаты эксперимента. Рассмотрим динамику границы раздела «изопропиловый спирт - воздух» при наличии вибраций (рис. 5). В эксперименте фотокамера и генератор сигналов не синхронизированы друг с другом, поэтому фаза колебаний мениска во время фотосъемки варьируется. Как следствие, на графике зависимости положения мениска от времени можно видеть «облако» точек с резкими границами - крайними нижним и верхним положениями мениска во время колебаний.

Сравнение результатов в отсутствие и при наличии осцилляций (рис. 4 и 5) показывает, что интенсивность диффузии при наличии колебаний жидкости значительно возрастает. Примечательно, что в обоих случаях координата изменяется согласно закону

, различие заключается только в величине коэффициента А .

Интенсивность диффузии характеризуется коэффициентом диффузии D, поэтому для оценки вклада колебаний жидкости в темп диффузии удобно использовать параметр

V А

2

(4)

На рис. 6 приведены результаты измерений интенсивности диффузии изопропилового спирта в воздухе в капиллярах различного диаметра. Сравнение значений коэффициента *, полученных при одинаковой частоте f и амплитуде колебаний Ь, показывает, что увеличение диаметра капилляра положительным образом сказывается на интенсивности диффузии. С увеличением частоты колебаний скорость диффузии также возрастает (рис. 7). Независимо от диаметра капилляра и частоты вибраций в приближении Ь ^ 0 результаты экспериментов стремятся к значению * = 1.

Рис. 4. Эволюция положения границы раздела «изопропиловый спирт - воздух»

(^ = 1,6 мм, t = 22,5°С)

20

15

10

£ У4' ♦ + ♦ **/'

■■■■у-

♦* *

♦

* /

/

. ♦♦ / ** й ♦,'/**

♦♦ ^ *

*. V

/

/

у

25

50

лп т t , с

75

100

Рис. 5. Эволюция положения границы раздела «изопропиловый спирт - воздух»; диаметр капилляра d = 1,6 мм, частота вибраций / = 20 Гц, амплитуда вибраций Ь = 1,90 мм, температура t = 20,0°С

0 0.002 Ь, м 0.004

Рис. 6. Зависимость относительного коэффициента диффузии от амплитуды колебаний жидкости при / = 10 Гц в капиллярах диаметром d = 0,7; 1,0; 1,6 и 2,05 мм (1 - 4)

0 0.002 Ь, м 0.004

Рис. 7. Зависимость относительного коэффициента диффузии от амплитуды колебаний жидкости в капилляре диаметром d = 1,6 мм при частоте / = 7; 10; 15 и 20 Гц (1 - 4)

Анализ результатов. Рассмотрим диффузию паров покоящейся жидкости в воздухе внутри капилляра. Процесс диффузии подчиняется закону Фика, который в приложении к исследуемой задаче принимает вид

Ра

dz

= £

dpo

dz

(5)

Плотность паров спирта р0 вблизи границы раздела «спирт - воздух» можно считать равной плотности насыщенных паров р, у края капилляра - нулю. Решением (5) является уравнение (1), полученное в приближении, что плотность паров спирта р0 линейно изменяется с координатой 2.

Этот результат подтверждается многочисленными экспериментами по изучению испарения покоящейся жидкости из капилляра (например, рис. 4 и [1, 2]). Следовательно, при наличии колебаний жидкости концентрация паров спирта вдоль оси капилляра также изменяется по линейному закону. Повышение интенсивности диффузии можно интерпретировать как следствие сужения области изменения концентрации паров вдоль оси капилляра от ее максимального значения до нуля.

Остановимся подробнее на изучении динамики паров спирта в капилляре с колеблющейся жидкостью. Для эффективного испарения жидкости требуется быстро доставить пары спирта к открытому концу капилляра. Пары спирта увлекаются осциллирующим в канале воздухом, скорость которого существенно зависит от радиальной координаты: вблизи оси капилляра скорость воздуха максимальная, у периферии -минимальная. Как следствие, в центральной части канала спирт увлекается быстродвижущимся воздухом, а вблизи стенок остается малоподвижным, так что возникает дисперсия спирта вдоль оси канала. Одновременно создается радиальный градиент концентрации спирта и появляются диффузионные потоки, стремящиеся выровнять концентрацию спирта в поперечном сечении канала. Таким образом, осевое конвективное движение способствует быстрой доставке паров спирта к открытому концу канала, а радиальная диффузия вовлекает в этот процесс весь объем паров жидкости. Описанный механизм перемещения включений в вязком потоке жидкости или газа получил название дисперсии Тейлора [3].

В экспериментах [4] показано, что перенос вещества в осциллирующем потоке жидкости подчиняется условию

П

— = 1 + / (а,о) Ре2, (6)

d пг г V ^

здесь а = —, = V 2 число Уомерсли, о =--------------------------число Шмидта, Ре =-число

2^/^® § П П

Пекле, d (г) - диаметр (радиус) капилляра, V - коэффициент кинематической вязкости, ® -циклическая частота колебаний жидкости, § - толщина вязкого пограничного слоя Стокса, и - скорость движения жидкости. Число Уомерсли характеризует отношение поперечного размера канала к толщине вязкого пограничного слоя, возникающего вблизи стенки капилляра при движении воздуха. В зависимости от величины этого параметра колебательное движение является невязким (а >> 1) или вязким (а<< 1). Сравнивать между собой можно результаты, полученные при близких значениях а. В настоящей работе а изменяется в пределах 0,5 - 2,0. В [4] для предельного случая а<< 1 экспериментально получено значение функции / (а, о) = о/192, в области а > 1 функция убывает по закону /~а-:

\ что хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями [5]. Уменьшение эффективности дисперсии Тейлора при повышении а связано с тем, что движение воздуха перестает быть чисто вязким: толщина вязкого слоя Стокса меньше радиуса капилляра, и движение воздуха в центре канала невязкое.

Число Шмидта характеризует относительный вклад молекулярных процессов переноса импульса и переноса вещества диффузией. В настоящем эксперименте температура варьировалась в диапазоне 22 - 25°С; поскольку коэффициенты диффузии и кинематической вязкости одинаковым

образом изменяются с температурой, то при расчетах число Шмидта принимается неизменным и равным а = 1,56 ± 0,02.

В качестве характерной скорости движения используется значение и = Ью, здесь Ь и Ю - амплитуда и циклическая частота колебаний жидкости в капилляре. В итоге уравнение (6) можно представить в виде

Б* = 1 + а Ь (7)

Б 192 Б2 '

Результаты измерения эффективного коэффициента диффузии в капиллярах разного диаметра хорошо согласуются между собой в изученном диапазоне чисел Пекле, однако отличаются от теоретических предсказаний [5] (рис. 8).

Возможное объяснение расхождения между полученными результатами и теорией заключается в том, что теория [5] построена в приближении а < 1, тогда как в работе число Уомерсли ай1 .

Важным результатом проведенных исследований является обнаруженный эффект десятикратного увеличения коэффициента диффузии при относительно незначительном вибрационном воздействии. Особый интерес представляет предельный случай Ре >> 1, когда эффективный коэффициент диффузии неограниченно увеличивается, что является привлекательным результатом с точки зрения применения в технологических процессах.

0 14 Ре 28

Рис. 8. Зависимость безразмерного коэффициента диффузии от числа Пекле; точки 1 - 4 соответствуют d = 0,7; 1,0; 1,6 и 2,05 мм, пунктирная линия соответствует теоретическим предсказаниям (7)

Выводы. Экспериментально изучена диффузия паров осциллирующей в капилляре жидкости в зависимости от диаметра капилляра и параметров вибраций. Обнаружено, что коэффициент диффузии паров жидкости при ее колебаниях D превышает коэффициент

°* ^ 10

диффузии паров покоящейся жидкости И : в экспериментах удалось достичь О .

Показано, что интенсификация диффузии обусловлена дисперсией Тейлора: результаты качественно согласуются с экспериментальными данными [4] и предсказаниями теории [5].

Список ссылок

1. Дерендяева О.М., Полежаев Д.А. Изучение испарения осциллирующей в капилляре жидкости // Конвективные течения. Пермь, 2011. Вып. 5. С. 183-194.

2. Coquard T., Camassel B., Prat M. Evaporation capillary in tubes of square cross section // Proc. Summer ASME Heat Transfer. 2005. Vol. 2. Р. 127-134.

3. Taylor I. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube // Proc. R. Soc. Lond. A219. 1953. Р. 186-203.

4. Joshi C. et al. An experimental study of gas exchange in laminar oscillatory flow //

J. Fluid Mech. 1989. Vol. 133. Р. 245-254.

5. Watson J. Diffusion in oscillatory pipe flow // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 133. Р. 233-244.