CC BY
34
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 98-102
Механика =
УДК 533.6.013.42
Влияние поперечной нагрузки на сверхзвуковой флаттер защемленной прямоугольной пластинки *
Нгуен Ван Чыонг
Аннотация. Численно решается задача о нелинейном сверхзвуковом флаттере защемленной прямоугольной пластинки, находящейся под действием постоянной поперечной нагрузки. Деформирование пластинки описывается теорией Кармана, ее взаимодействие с потоком — поршневой теорией. Интегрирование по времени осуществляется по конечноразностной схеме Кранка-Николсон, по пространственной области — методом конечных элементов. Результаты расчетов сопоставляются с данными работы: Ventres, Dowell. AIAA Journal. 1970. 8. 2022-2030.
Ключевые слова: аэроупругость, пластинка Кармана, автоколебания, нелинейный сверхзвуковой флаттер.
Среди задач сверхзвукового панельного флаттера [1] особое место занимает задача о флаттере защемленной по всем сторонам прямоугольной пластинки, по одной поверхности взаимодействующей с потоком газа, а по другой — находящейся под действием равномерно распределенной постоянной поперечной нагрузки [2], так как такая пластинка — это расчетная схема элемента обшивки летательного аппарата. В линейной постановке задачи граничные условия на каждой из сторон таковы [3]: равенство нулю прогиба и его производной по нормали к граничному контуру пластинки. В нелинейной постановке к этим условиям необходимо добавить еще два, определяющих продольное деформирование нейтральной плоскости пластинки [3]. Так как пластинка защемлена, естественно считать, что перемещения в ее плоскости на граничном контуре равны нулю. При этом предположении в работе [2] были выполнены расчеты нелинейных колебаний пластинки, обтекаемой газовым потоком. Результаты расчетов были сопоставлены с данными экспериментов, и, как оказалось, упомянутое предположение приводит к их расхождению, причем качественному. Согласно экспериментам, увеличение поперечной нагрузки приводит к
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-00134).
росту критического динамического давления, теория же предсказывает противоположный эффект. Согласование теории с экспериментом получается, если считать, что на граничном контуре усилия в плоскости пластинки равны нулю. Авторы работы [2] объясняют этот парадоксальный результат низкой изгибной жесткостью рам, к которым приклепывались пластинки. Однако никакого количественного анализа в подтверждение этой гипотезы в работе [2] не приводится.
Примененный в работе [2] численный метод включает в себя некоторые гипотезы, достоверность которых не очевидна. Решение ищется методом Галеркина; при этом не показано, что выбранные координатные функции удовлетворяют требованию полноты. Решение уравнения (2) работы [2], называемое полным решением, на самом деле является лишь частным решением. Есть и другие, менее существенные, недостатки. Но возможно, их влияние невелико, и выводы работы [2] справедливы. Представляется интересным получить решение задачи другим методом; этому посвящена настоящая работа. Метод решения задачи изложен в статье [4]. Деформирование пластинки описывается теорией Кармана, ее взаимодействие с потоком — поршневой теорией. Интегрирование по времени осуществляется по конечноразностной схеме Кранка-Николсон, по пространственной области — методом конечных элементов. Расчетная схема обтекания пластинки, обтекаемой потоком газа, скорость которого на бесконечности равна V, изображена на рис. 1.
Внешние нагрузки в плоскости пластинки отсутствуют. Поперечной нагрузкой является давление потока газа д, действующее на одну поверхность пластинки, и постоянное давление р, приложенное к другой поверхности.
Аэродинамическая нагрузка определяется, согласно поршневой теории [3], формулой
где р, с — плотность газа и скорость звука на бесконечности, Ь — время, ад (£, Х\, х2) — прогиб пластинки.
Все стороны пластинки защемлены. Это значит, что решение задачи должно быть подчинено следующим граничным условиям: на сторонах АВ, ВС, СП и ПА равны нулю прогиб и> и его нормальная производная (Зи!/дх1 на сторонах АВ и СП, ди>/дх2 на сторонах ВС и ПА), а также перемещения в нейтральной плоскости пластинки щ и п2.
Рассмотрим пример расчета при исходных данных, заимствованных из работы [2]. Пусть а — длина сторон ВС и ПА, а Ь — длина сторон АВ и СП, Н — толщина пластинки. Результаты расчетов, приведенные ниже, получены для значений в = Ь/а = 2.18 и Н/а = 2.94 ■ 10-3. Кроме того,
Рис. 1. Схема обтекания пластинки
постоянным было число Маха на бесконечности М = V/с = 2. При расчетах также принималось условие [2]
1
М
0.01,
где ро — плотность материала пластинки. Переменными величинами были безразмерное динамическое давление Л [2] и безразмерная статическая нагрузка Р [2], определяемые формулами [2]
Л=
рУ^
Б
Р
рЬ4
где Б - цилиндрическая жесткость пластинки.
Рассмотрим вначале случай отсутствия постоянного давления, то есть Р = 0. Граница устойчивости — критическое значение Лс определяется в результате линейного анализа [5]. При количестве конечных элементов в направлении оси абсцисс щ = 10, а в направлении оси ординат — щ = 20, что обеспечивает относительную погрешность расчета е < 10-3, получено критическое значение Лс = 1870. Экспериментальное значение [2] равно Лсе = 1740; расхождение теории и эксперимента составляет 7.5%, что можно считать допустимым. Теоретическое значение работы [2] равно Лс = 1920.
Результаты нелинейного анализа представлены на рис. 2. По оси абсцисс отложено безразмерное время т = сЬ/Н, по оси ординат — безразмерный прогиб Ш = ю/Н центра пластинки. Использовалась та же сетка конечных элементов при шаге по времени Дт = 0.5. Значение Л, при котором проводился расчет, на 5% превышает Лс, то есть в данном случае Л = 1960. Как видно из рис. 2, пластинка потеряла устойчивость, и возник флаттер — автоколебания, характеризуемые своим предельным циклом.
На рис. 3 представлены результаты расчета, отличающегося от предыдущего только значением постоянной распределенной нагрузки. В данном случае она не равна нулю: Р = 6000.
Рис. 2. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при Р = 0
т
От1-1-1-1-
О 1 2 3 т-10"5
Рис. 3. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при Р = 6000
Как видно из рис. 3, колебания затухают (за счет аэродинамической вязкости), то есть флаттер отсутствует. Таким образом, поперечная нагрузка увеличивает критическое значение Л. Этот результат согласуется с экспериментальными данными [2], но противоречит результатам расчетов работы [2], что, по-видимому, является следствием недостаточной точности теоретического метода работы [2].
Автор благодарит профессора И.М. Лавита за внимание к работе.
Список литературы
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.
2. Ventres C.S., Dowell E.H. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates // AIAA Journal. 1970. V. 8. N 11. P. 2022-2030 (Рус. пер.: Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 11. С. 126-136).
3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.
4. Лавит И.М., Нгуен Ван Чыонг. Автоколебания прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2 . С. 137-145.
5. Исаулова Т.Н., Лавит И.М. Устойчивость консольно защемленной косоугольной неоднородной пластины в сверхзвуковом потоке газа // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52. № 4. С. 191-204.
Нгуен Ван Чыонг (20021984@yandex.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Effect of lateral load on supersonic flutter of rectangular
clamped plate
Nguyen Van Truong
Abstract. A nonlinear supersonic flutter problem for a rectangular clamped plate under fixed lateral load is solved numerically. Plate deformation is simulated using the von Karman theory. An interaction between plate and flow is based on the piston flow theory. Time integration is executed with Crank-Nicholson finite-difference scheme. Space integration is executed with finite element method. Results of calculations are compared with data of paper by Ventres, Dowell. AIAA Journal. 1970. 8. 2022-2030.
Keywords: aeroelasticity, von Karman plate, self-oscillations, non-linear supersonic flutter.
Nguyen Van Truong (20021984@yandex.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 14-07.2014
