Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального на инвес-тиционный спрос Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

2 (206) - 2006

Рынок ценных бумаг

влияние отклонений распределения

доходности рисковых активов от нормального на инвестиционный

спрос

КГ. НАТМУХА, кандидат экономических наук Кисловодский институт экономики и права

Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1 — 4]. В таких условиях традиционная портфельная теория [5, 6] часто оказывается неадекватной и неспособной объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций финансовых аналитиков по размещению рисковых активов теоретическим предсказаниям [7]. Фундаментальное значение имеет проблема анализа ситуации, когда распределение доходности финансовых инструментов существенно отклоняется от нормального. Имеются многочисленные свидетельства того, что распределение доходности рисковых активов на финансовых рынках характеризуется значительными асимметрией и эксцессом (так называемые «жирные» хвосты распределений, когда на концах хвостов, т.е. в области очень больших и очень малых доходностей, имеет место повышенная плотность распределения по сравнению с нормальным, а также «лептоэксцесс» — островершинность и «платоэксцесс» — плосковершинность). Поскольку модель оценки финансовых активов (САРМ) и большая часть методов эконометрического анализа предполагают, что ожидаемые доходности подчиняются нормальному или логнормальному распределению, возникает проблема распространения этих теорий и методов на ситуации, когда доходности активов не распределены нормально.

В настоящей работе получено приближенное аналитическое выражение, определяющее порт-

фельный выбор («спекулятивный» спрос) инвестора как функцию математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения избыточной доходности рисковых активов. Полученное решение показывает, как отклонения распределения доходности влияют на инвестиционный спрос на рисковые активы. Предполагаем, что инвестор максимизирует свою ожидаемую полезность в следующем периоде

max Etu(Wt+1)

0 '

инвестируя средства в безрисковый актив (банковский счет) и один рисковый актив, так что для капитала инвестора можно записать следующее уравнение

W+1 = W [9t (R t+1 - Rf)+Rf ],

где Et — оператор математического ожидания, — функция полезности, W и Wt+1 _ начальный и конечный капиталы инвестора, R1 t+1 — доходность рискового актива, Rf — доходность безрискового актива, — вес рискового актива в портфеле инвестора.

В предположении о вогнутости функции полезности и(-) запишем следующее условие первого порядка, которому должно удовлетворять оптимальное решение

Et №+1)(Д, t+1 - Rf)]=0. (1)

Решение этой статической (однопериодичес-кой) задачи определяет спекулятивный спрос инвестора на рисковый актив, соответствующий игнорированию инвестором изменения инвестиционных

возможностей. Предполагая, что распределение доходности рискового актива имеет конечные моменты, разложим предельную функцию полезности инвестора u'(V+l) в ряд Тейлора в окрестности ожидаемого капитала в следующем периоде Е. [ Щ+1] Подставляя полученное разложение в условие первого порядка (1), получаем следующее уравнение

о = И(1)(Е [Жм])х, + и(2)(Е [Щ+^Щ 0, т, + +2 и(3)(Е, (Щ^ЩД2 Чщ, + т21 х,) +

6 и(4) (Е [Жм ] )Щ30З т , + тз , х) + О(04),

(2)

0 и(1)(Е,[Щ+1])х = ' м(2)(Е, [Щ+1])Щт2 , ат2 ,

(3)

1

1

а = --а(1 + а)(2 + а)(у2 + 3)о4 + -а(1 -а^у^х _

6

6

1

-—а(1 _а)о2 х2 + х4;

2

1

1

Ь = [-а(1 + а)у:о ^а(3_а)о х + Зх ]

с = Л2[-ао2 + Зх2];

d = R/x.

Здесь а2, у1 у2 означают соответственно дисперсию, асимметрию и эксцесс избыточной доходности. Вес размещения 9 находится из уравнения (4):

0 =

-Ь + К + (Ь2 _ Зас)/К За

(5)

где

К =

А+^14(_Ь2 + Зас)3 + А2

\1/3

З2

где х = {+1 - Щ

ожидаемая избыточная доходность рискового актива, тп — п-й центральный момент распределения доходности рискового актива R1 ,+1, а ы(п)(-) — п-я производная функции полезности.

Заметим, что традиционный результат портфельной теории, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии распределения, следует из уравнения (2)в первом приближении:

А = -2Ь + 9аЬс - 27а Ы.

Для того чтобы выяснить, как отклонения от нормального распределения влияют на портфельный выбор инвестора, вычислим частные производные от веса размещения рискового актива 9 по асимметрии у1 и эксцессу у2. Обозначим /(у1, у2) левую часть уравнения (4). При малых 9 и хполучаем:

Э0_ д/ / _ 1

Эу: д/ / д0 2

-(1 + а)о02 > 0,

(6)

д0 _ д/ / дУ2 ду 2

- ^(1 + а)(2 + а)о20З.

где коэффициент

а = -и (2)Ж / и(1) представляет собой коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратта.

Дальнейший анализ проведем в предположении, что полезность инвестора описывается степенной функцией с постоянным относительным неприятием риска [6]

V1-а

и(Ж) = --, а > 0.

1 -а

Из разложения (2) следует, что в этом случае оптимальный вес рискового актива в портфеле 9 будет решением следующего кубического уравнения

а9З + Ь92 + с9 + d = 0 , (4)

где коэффициенты а, Ь, с, d суть следующие функции

д/ /д0 6

Частные производные (6) показывают, что:

1) оптимальный вес рискового актива в портфеле возрастает при положительной асимметрии и уменьшается при положительном эксцессе;

2) влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального распределения увеличивается с ростом относительного неприятия риска инвестором;

3) влияние асимметрии на оптимальный вес рискового актива в портфеле увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.

Таким образом, отклонения распределения доходности рисковых активов от нормального является источником риска и/или выгоды, которые не могут быть описаны в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Как «жирные» хвосты, так и отрицательная асимметрия, наблюдаемые на фондовых рынках, предполагают существование дополнительного риска для инвестора и поэтому сокращают спекулятивный спрос инвестора на рисковые активы. Предварительный анализ показывает, что увеличение инвестиционного горизонта, хотя и уменьшает величину асимметрии и эксцесса, в целом не уменьшает их влияния на портфельный выбор. Заметим, что влияние отклонений распре-

2

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

47

деления доходности активов от нормального на динамическое хеджирование должно исследоваться на основе динамической модели финансового рынка с учетом конкретной стохастической динамики цен рисковых активов.

литература

1. Cochrane J.H. Asset pricing. Princeton: Princeton University Press, 2001. 268 р.

2. Sornette D. Why stock markets crash. Princeton: Princeton University Press, 2002. 214 р.

3. Наталуха И.Г. Моделирование спекулятивного бума на финансовом рынке с учетом психологии инвесторов // Материалы шестого Всероссийс-

кого симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 2004. Т. 2. С. 7-8.

4. Наталуха И.Г. Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12, Вып. 2. С. 450-455.

5. Шарп У., АлександерГ., БейлиД. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997. 1028 с.

6. КрушвицЛ. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000. 382 с.

7. Canner N., Mankiw N.G., Weil D.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. 1997. V. 87. Р. 181-191.

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ-УПИ И «ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ «ФИНАНСЫ И КРЕДИТ»

ПРОВОДЯТ В ЕКАТЕРИНБУРГЕ НАУЧНУЮ КОНФЕРЕНЦИЮ

«УПРАВЛЕНИЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ РЕПРОДУКЦИЕЙ И ИННОВАЦИОННЫМ РАЗВИТИЕМ»

цель — ознакомить и обсудить с научной общественностью и специалистами результаты выполненных по теме исследований.

Издается сборник научных трудов, доклады будут опубликованы в профильных журналах Издательского дома «Финансы и Кредит». Приглашаем принять участие в конференции преподавателей, аспирантов вузов, научных сотрудников НИИ, специалистов предприятий.

дата и место проведения: 21 февраля 2006 г. Зал Ученого Совета УПИ, аудитория I Часы работы конференции: 10.00 — 17.00

направления работы конференции

1. Концепция единого подхода к процессам управления человеческой репродукцией и инновационным развитием

2. Репродукционно ориентированная экономика: инновационный выбор современной России

3. Стратегии включения репродуктивного труда в реальный сектор экономики (макро-, мезо, и микроуровень)

4. Статистика репродукционного процесса

5. Учет и анализ ресурсов, затрат и результатов репродукционной деятельности

6. Методологические и организационные проблемы подготовки специалистов для сферы социальной репродукции и домашнего репродуктивного сектора

7. Проблемы создания общенациональной системы учета интеллектуальных активов

8. Адаптация финансовой отчетности российских предприятий к международным стандартам: «за» и «против»

9. Методологические проблемы перехода на МСФО в условиях интеграции России в мировую экономику

10. Формирование интеллектуальной сферы деятельности как средство ускорения перехода на инновационный путь развития

11. Пути активизации научно-инновационной деятельности в техническом университете

12. Инновационный анализ: сущность, методика проведения, информационное обеспечение, оценочные показатели

13. Системный подход к управлению инновационным развитием

14. Проблемы совершенствования теоретических и методологических аспектов учета и анализа нематериальных активов

15. Пути повышения интеллектуальной готовности трудовых ресурсов к инновационному развитию

телефон для справок: 8(343)358-11-20 — Илышев Анатолий Михайлович; факс 8(343)375-95-02 e-mail: intelectaudit@r66/ru или satkaf@rambler.ru или astralavr@mail.ru